यदि तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो उन पर आने वाली संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता क्या है?

एक खेल में,जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो $4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने पर एक व्यक्ति $5$ रुपये जीतता है और अन्यथा $1$ रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति खेल में भाग लेता है और जैसे ही उसे $4$ से बड़ी संख्या मिलती है,वह खेल छोड़ने का निर्णय लेता है। यदि वह अधिकतम $3$ बार पासा फेंकता है,तो उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि का अपेक्षित मान (माध्य मान) क्या है?

दो व्यक्ति $A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं। जो व्यक्ति पहले दोनों पासों पर $9$ का योग लाता है,वह खेल जीत जाता है। यदि $A$ पहले फेंकता है,तो $B$ के खेल जीतने की प्रायिकता क्या है?

एक थैली $P$ में $4$ लाल और $5$ काली गेंदें हैं,दूसरी थैली $Q$ में $3$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं। यदि थैली $P$ से एक गेंद और थैली $Q$ से दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं,तो निकाली गई तीन गेंदों में से दो काली और एक लाल होने की प्रायिकता क्या है?

Box-$I$ में $1, 2, 3$ अंक वाले $3$ कार्ड हैं; Box-$II$ में $1, 2, 3, 4, 5$ अंक वाले $5$ कार्ड हैं और Box-$III$ में $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंक वाले $7$ कार्ड हैं। प्रत्येक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से एक कार्ड निकाला जाता है। यदि $x_i$ $i^{\text{th}}$ बॉक्स से निकाले गए कार्ड पर अंकित संख्या है,$i=1, 2, 3$,तो $x_1+x_2+x_3$ के विषम होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $\alpha$,$x^2+x+1=0$ का एक मूल है और मान लीजिए कि एक निष्पक्ष पासे को $3$ बार फेंका जाता है। यदि $a, b,$ और $c$ पासे पर दिखाई देने वाली संख्याएँ हैं,तो $\alpha^a+\alpha^b+\alpha^c=0$ होने की प्रायिकता क्या है?