दो बक्से हैं,प्रत्येक में $10$ गेंदें हैं। प्रत्येक बक्से में कुछ काली और बाकी सफेद गेंदें हैं। एक बक्से से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है और वह काली पाई जाती है। यदि निकाली गई काली गेंद के दूसरे बक्से से होने की प्रायिकता $\frac{1}{5}$ है,तो पहले बक्से में काली गेंदों की संख्या है:

$3$ थैले हैं,जिनमें से प्रत्येक में $5$ सफेद गेंदें और $3$ काली गेंदें हैं। साथ ही,$2$ थैले हैं,जिनमें से प्रत्येक में $2$ सफेद गेंदें और $4$ काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह सफेद गेंद पहले समूह के थैले से है।

दो पासे $A$ और $B$ हैं। पासे $A$ में $4$ लाल और $2$ सफेद फलक हैं,और पासे $B$ में $2$ लाल और $4$ सफेद फलक हैं। एक सिक्का एक बार उछाला जाता है। यदि चित आता है,तो पासा $A$ फेंका जाता है; यदि पट आता है,तो पासा $B$ फेंका जाता है। यदि यह दिया गया है कि पहले $n$ प्रयासों में हर बार लाल रंग आता है,तो पासा $A$ के उपयोग किए जाने की प्रायिकता $\left(\frac{32}{33}\right)$ है,तो $n=$

एक कॉलेज में,$25\%$ लड़के और $10\%$ लड़कियाँ गणित विषय चुनते हैं। लड़कियाँ कुल छात्रों की संख्या का $60\%$ हैं। यदि एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वह गणित का अध्ययन करता पाया जाता है,तो छात्र के लड़की होने की प्रायिकता क्या है?

एक डीलर $3$ अलग-अलग विनिर्माण कंपनियों $C_1, C_2$ और $C_3$ से रेफ्रिजरेटर प्राप्त करता है। उसके स्टॉक का $25 \%$ हिस्सा $C_1$ से,$35 \%$ हिस्सा $C_2$ से और $40 \%$ हिस्सा $C_3$ से है। $C_1, C_2$ और $C_3$ से खराब (defective) रेफ्रिजरेटर प्राप्त करने का प्रतिशत क्रमशः $3 \%, 2 \%$ और $1 \%$ है। यदि यादृच्छिक रूप से बेचा गया एक रेफ्रिजरेटर ग्राहक द्वारा खराब पाया जाता है,तो इसके $C_2$ से होने की प्रायिकता क्या है?

एक परीक्षा में $4$ हाँ/नहीं प्रकार के प्रश्न हैं। किसी छात्र द्वारा बिना अनुमान लगाए प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता $2/3$ है। किसी छात्र द्वारा अनुमान लगाकर सही उत्तर देने की प्रायिकता $1/2$ है। एक छात्र परीक्षा या तो सभी $4$ प्रश्नों के उत्तर बिना अनुमान लगाए देता है या सभी $4$ प्रश्नों के उत्तर अनुमान लगाकर देता है। उसके द्वारा सभी प्रश्नों के उत्तर अनुमान लगाकर देने की प्रायिकता $3/7$ है। यदि यह दिया गया है कि छात्र ने कम से कम $3$ प्रश्नों के सही उत्तर दिए हैं,तो इसकी प्रायिकता क्या है कि उसने सभी प्रश्नों के उत्तर बिना अनुमान लगाए दिए हैं?