मान लीजिए $x$ एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसका अनुप्रस्थ अक्ष उसके संयुग्मी अक्ष का दोगुना है। मान लीजिए $y$ एक अन्य अतिपरवलय की उत्केंद्रता है जिसके लिए नाभियों के बीच की दूरी उसकी नियताओं के बीच की दूरी की $3$ गुनी है। तो $y^2-x^2=$

अतिपरवलय $x = 8 \sec \theta, y = 8 \tan \theta$ की नियताओं के बीच की दूरी क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर विचार करें जिसका एक नाभि $P(-3,0)$ पर है। यदि इसके दूसरे नाभि से गुजरने वाला नाभिलंब $P$ पर समकोण बनाता है और $a^2b^2 = \alpha\sqrt{2} - \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in N$,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2), R(x_3, y_3)$ और $S(x_4, y_4)$ आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) $xy = c^2$ पर $4$ चक्रीय बिंदु हैं,तो त्रिभुज $PQR$ के लंबकेंद्र (orthocentre) के निर्देशांक क्या हैं?

मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a > 1$ और $b < a$ है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु है जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है। मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरती है,और मान लीजिए $P$ पर अतिपरवलय का अभिलंब निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड काटता है। मान लीजिए $\Delta$ उस त्रिभुज का क्षेत्रफल है जो $P$ पर स्पर्श रेखा,$P$ पर अभिलंब और $x$-अक्ष द्वारा बनता है। यदि $e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$

यदि $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}=144$ की नियताओं (directrices) का संयुक्त समीकरण है,तो $g+f-c=$