यदि व्यंजक 5^{2n} - 48n + k सभी n in N के लिए | vedclass

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Question

(D) माना $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.हम $25^n$ को $(1 + 24)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 24)^n = 1

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$23$

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(D) माना $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.हम $25^n$ को $(1 + 24)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.अतः,$25^n = 1 + 24n + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.इस मान को व्यंजक में रखने पर,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n)$ के सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य होने के लिए,$(1 - 24n + k)$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।चूंकि $24n$ पहले से ही $24$ से विभाज्य है,इसलिए $(1 + k)$ को $24$ से विभाज्य होना चाहिए।अतः,$1 + k = 24m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।$k$ के न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान के लिए,$m = 1$ रखने पर,$1 + k = 24$,जिससे $k = 23$ प्राप्त होता है।

यदि व्यंजक $5^{2n} - 48n + k$ सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य है,तो $k$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

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