किसी भी n in N के लिए,frac{1}{2 cdot 5} + fra | vedclass

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Question

(A) माना $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$.सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।आंशिक भिन्नो

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$\frac{n}{6n+4}$

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(A) माना $S_n = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$.सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम $T_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right]$ लिख सकते हैं।$n=1$ से $n$ तक योग करने पर,हमें एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी प्राप्त होती है:$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right]$.व्यंजक को सरल करने पर:$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{(3n+2) - 2}{2(3n+2)} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{3n}{2(3n+2)} \right] = \frac{n}{2(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$.

किसी भी $n \in N$ के लिए,$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = $

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यदि श्रेणी $\frac{1}{1 \cdot(1+d)} + \frac{1}{(1+d)(1+2d)} + \dots + \frac{1}{(1+9d)(1+10d)}$ का योग $5$ है,तो $50d$ का मान ज्ञात कीजिए:

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