यदि $5$ अलग-अलग लोगों को लिखे गए $5$ पत्र और उन्हें संबोधित $5$ लिफाफे हैं,तो इन पत्रों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि कोई भी पत्र अपने संबंधित लिफाफे में न जाए?

$5$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि सभी $i + j = 6$ के लिए $a_{ij} = 0$ है,जहाँ सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है। प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में केवल एक ही शून्येतर अवयव है। तो ऐसे आव्यूहों की संख्या है:

$150$ छात्रों ने प्रवेश लिया। उन्हें तीन समान वर्गों $A, B,$ और $C$ में कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?

$9$ व्यक्तियों को तीन समान समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या है

एक व्यक्ति के पास तीन अलग-अलग बैग और चार अलग-अलग किताबें हैं। वह इन किताबों को बैग में कितने तरीकों से रख सकता है कि कोई भी बैग खाली न रहे?

$4$ पते वाले लिफाफे और $4$ संबंधित पत्र हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि कोई भी पत्र अपने सही लिफाफे में न जाए?