वक्र y^2=(2x+1)^3 पर किसी बिंदु P पर अभिलंब क | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र का समीकरण $y^2=(2x+1)^3$ ... $(i)$ है।माना $P(x_1, y_1)$ वक्र पर कोई बिंदु है। अतः,$y_1^2=(2x_1+1)^3$.समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष

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(A) दिया गया वक्र का समीकरण $y^2=(2x+1)^3$ ... $(i)$ है।माना $P(x_1, y_1)$ वक्र पर कोई बिंदु है। अतः,$y_1^2=(2x_1+1)^3$.समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2y \frac{dy}{dx} = 3(2x+1)^2 	imes 2$$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1)^2}{y}$बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}$ है।अधःस्पर्शरेखा (subtangent) की लंबाई $(ST)$ = $\left| \frac{y_1}{m} ight| = \left| \frac{y_1}{\frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}} ight| = \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2}$.अधोलंब (subnormal) की लंबाई $(SN)$ = $|y_1 m| = \left| y_1 	imes \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1} ight| = 3(2x_1+1)^2$.हमें अनुपात $\frac{SN}{(ST)^2}$ ज्ञात करना है:$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{3(2x_1+1)^2}{\left[ \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2} ight]^2} = \frac{3(2x_1+1)^2 	imes 9(2x_1+1)^4}{y_1^4} = \frac{27(2x_1+1)^6}{y_1^4}$.चूंकि $y_1^2 = (2x_1+1)^3$,इसलिए $y_1^4 = (2x_1+1)^6$.इस मान को अनुपात में रखने पर:$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{27(2x_1+1)^6}{(2x_1+1)^6} = 27$.

वक्र $y^2=(2x+1)^3$ पर किसी बिंदु $P$ पर अभिलंब की लंबाई (subnormal) और स्पर्शरेखा की लंबाई (subtangent) के वर्ग का अनुपात क्या है?

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यदि रेखा $ax + by + c = 0$ वक्र $xy = 1$ का अभिलंब है,तो:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{for } x < 0 \\ x^2 + 8 & \text{for } x \ge 0 \end{cases}$ है। तो $f(x)$ के ग्राफ को स्पर्श करने वाली रेखा का $x$-अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

वक्र $y^4=a x^3$ के बिंदु $(a, a)$ पर अभिलंब (normal) का समीकरण है:

यदि वक्र $y^2 = ax^3 + b$ पर बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - 5$ है,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिए गए वक्र $y=x^{2}$ के लिए बिंदु $(0,0)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।

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