किसी भी $n \in N$ के लिए,$4^n+15n-1$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$

सिद्ध कीजिए कि $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$ सभी $n \in N$ के लिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}$ सभी $n \in N$ के लिए।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $n^{3}+2n$ किससे विभाज्य है?