मान लीजिए P(x) घात 3 का एक बहुपद है जिसका x=1 | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ होगा। चूंकि $P(x)$ का $x=1$ पर चरम मान है,इसलिए $P'(1) = 0$ होगा,जिसका अर

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$2$

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(A) मान लीजिए $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ होगा। चूंकि $P(x)$ का $x=1$ पर चरम मान है,इसलिए $P'(1) = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $3a + 2b + c = 0$ ... $(i)$। दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{P(x)+4}{x^2} + 2\right) = 6$,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{P(x)+4}{x^2} = 4$ होगा। $P(x)$ का मान रखने पर,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d + 4}{x^2} = 4$ प्राप्त होता है। सीमा (limit) के परिमित होने के लिए,$x^{-2}$ और $x^{-1}$ के गुणांक शून्य होने चाहिए। अतः,$d+4 = 0 \Rightarrow d = -4$ और $c = 0$ होगा। तब $\lim_{x \rightarrow 0} (ax + b) = 4 \Rightarrow b = 4$ होगा। समीकरण $(i)$ में $b=4$ और $c=0$ रखने पर,$3a + 2(4) + 0 = 0 \Rightarrow 3a = -8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,$P(x) = -\frac{8}{3}x^3 + 4x^2 - 4$ है। अवकलन $P'(x) = -8x^2 + 8x$ है। $x = \frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करने पर,$P'(\frac{1}{2}) = -8(\frac{1}{4}) + 8(\frac{1}{2}) = -2 + 4 = 2$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $P(x)$ घात $3$ का एक बहुपद है जिसका $x=1$ पर चरम मान (extreme value) है। यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{P(x)+4}{x^2}+2\right)=6$ है,तो $\left(\frac{d P}{d x}\right)_{x=\frac{1}{2}}=$

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