यदि x neq -1 और int frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$. अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1) - 1(x+1) = (x^2-1)(x+

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-3}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$. अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1) - 1(x+1) = (x^2-1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$. हर का गुणनखंड करने पर: $x^4(x+1) + 3x^2(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x^4+3x^2+1)$. अतः,$I = \int \frac{(x-1)(x+1)^2}{(x+1)(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx = \int \frac{(x^2-1)}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$. अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{(x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}) 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{((x + \frac{1}{x})^2 + 1) 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx$. माना $u = 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})$,तो $du = \frac{1}{1 + (x + \frac{1}{x})^2} \cdot (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. इस प्रकार,$I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + C = \log|	an^{-1}(x + \frac{1}{x})| + C$. $A \log(f(x)) + C$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $f(x) = 	an^{-1}(x + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है। अतः $f(2) = 	an^{-1}(2 + \frac{1}{2}) = 	an^{-1}(\frac{5}{2})$. इसलिए,$A - 	an(f(2)) = 1 - 	an(	an^{-1}(\frac{5}{2})) = 1 - \frac{5}{2} = \frac{-3}{2}$.

यदि $x \neq -1$ और $\int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx = A \log(f(x)) + C$ है,तो $A - \tan(f(2)) = $

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यदि $\int \sin ^5 x \, dx = \frac{-\cos ^5 x}{5} + a \cos ^3 x + b \cos x + c$ है,तो $a + b =$

यदि $\int \left( \frac{4 e^x - 25}{2 e^x - 5} \right) dx = Ax + B \log |2 e^x - 5| + C$ है,तो:

यदि $\int \frac{d x}{\sqrt[3]{\sin ^{11} x \cos x}}=-\left(\frac{3}{8} f(x)+\frac{3}{2} g(x)\right)+c$ है,तो:

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