TS EAMCET 2006 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हमारे पास $4^n = (1+3)^n$ है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$4^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} 3^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} 3^3 + \dots$ है।
यह $4^n = 1 + 3n + 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ में सरल हो जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $4^n - 3n - 1 = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोष्ठक के अंदर का व्यंजक सभी $n \geq 1$ के लिए एक पूर्णांक है,इसलिए $4^n - 3n - 1$ संख्या $9$ से विभाज्य है।

(D) माना समीकरण $x^3-13x^2+15x+189=0$ के मूल $\alpha, \alpha+2$ और $\beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$
तीसरे समीकरण में $\beta = 11 - 2\alpha$ रखने पर:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$
$\alpha = 7$ रखने पर,समीकरण संतुष्ट होता है।
अतः,मूल $-3, 7, 9$ हैं।

(A) दी गई असमिका: $\sqrt{9x^2+6x+1} < (2-x)$
चूंकि $9x^2+6x+1 = (3x+1)^2$,व्यंजक $|3x+1| < 2-x$ बन जाता है।
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए $2-x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x < 2$।
अब,$|3x+1| < 2-x$ को हल करने पर:
$-(2-x) < 3x+1 < 2-x$
स्थिति $1$: $3x+1 < 2-x$ $\Rightarrow 4x < 1$ $\Rightarrow x < \frac{1}{4}$
स्थिति $2$: $3x+1 > -(2-x)$ $\Rightarrow 3x+1 > -2+x$ $\Rightarrow 2x > -3$ $\Rightarrow x > -\frac{3}{2}$
अतः,$x \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$।

(D) दिया गया है $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
वर्गमूल के अंदर हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
अब,हमें $x^2(x-4)^2 = [x(x-4)]^2$ का मान ज्ञात करना है।
$x = 2+\sqrt{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x-4) = (2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}-4) = (2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ का उपयोग करने पर:
$x(x-4) = (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1$.
अतः,$x^2(x-4)^2 = (-1)^2 = 1$.

(A) दिया गया समीकरण: $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=1$
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}\right|=1$
इसका अर्थ है: $|(x-1)+iy| = |(x+1)+iy|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$-2x = 2x$
$4x = 0$
$x = 0$
अतः,बिंदुपथ काल्पनिक अक्ष है,$x=0$.

(B) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
चूँकि $z=x iy$,हमारे पास $\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3x^2 3y^2 10y 3=0$ प्राप्त होता है।

(C) $8$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों के शब्दों की कुल संख्या (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $8^{4}$ है।
बिना किसी पुनरावृत्ति के $8$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों के शब्दों की संख्या ${}^{8}P_{4}$ है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या = कुल शब्द - बिना किसी पुनरावृत्ति वाले शब्द।
अतः,आवश्यक शब्दों की संख्या $8^{4} - {}^{8}P_{4}$ है।

(A) $1000$ से कम प्राकृतिक संख्याएँ $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय हो सकती हैं।
स्थिति $1$: $1$-अंकीय संख्याएँ: अंक $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हो सकते हैं। कुल $= 9$।
स्थिति $2$: $2$-अंकीय संख्याएँ: दहाई का स्थान $9$ तरीकों से भरा जा सकता है ($0$ को छोड़कर) और इकाई का स्थान $9$ तरीकों से ($0$ सहित लेकिन दहाई के अंक को छोड़कर)। कुल $= 9 \times 9 = 81$।
स्थिति $3$: $3$-अंकीय संख्याएँ: सैकड़े का स्थान $9$ तरीकों से ($0$ को छोड़कर),दहाई का स्थान $9$ तरीकों से ($0$ सहित लेकिन सैकड़े के अंक को छोड़कर),और इकाई का स्थान $8$ तरीकों से (सैकड़े और दहाई के अंकों को छोड़कर) भरा जा सकता है। कुल $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।
कुल प्राकृतिक संख्याएँ $= 9 + 81 + 648 = 738$।

(B) माना $S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \ldots$
द्विपद श्रेणी $(1-x)^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = -2/3$ और $x = -3/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = (1 - (-3/4))^{-2/3} = (1/4)^{-2/3} = \sqrt[3]{16}$.

(C) $\operatorname{cosec} 15^{\circ} + \sec 15^{\circ} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} + \frac{1}{\cos 15^{\circ}}$
$= \frac{\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{\sin 30^{\circ}}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$= 4(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})$
$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ और $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ का उपयोग करने पर:
$= 4 \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$
$= 4 \left( \frac{2\sqrt{6}}{4} \right) = 2\sqrt{6}$

(A) दिया गया है $x = \tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$।
$y = \operatorname{cosec} 75^{\circ} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 1.035$।
$z = 4 \sin 18^{\circ} = \sqrt{5} - 1 \approx 1.236$।
मानों की तुलना करने पर: $0.268 < 1.035 < 1.236$,जो दर्शाता है कि $x < y < z$।

(B) संबद्ध कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मानों का उपयोग करने पर:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\sin 330^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$= -\frac{4}{4} = -1$

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण:
$x-3y+2=0$ ...$(i)$
$2x+5y-7=0$ ...(ii)
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 3y-2$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(3y-2) + 5y - 7 = 0$
$6y - 4 + 5y - 7 = 0$
$11y = 11 \Rightarrow y = 1$
$y=1$ को $(i)$ में रखने पर: $x - 3(1) + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
$3x+2y+5=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $2x-3y+\lambda=0$ के रूप में होगा।
चूंकि यह रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है:
$2(1) - 3(1) + \lambda = 0$
$2 - 3 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x-3y+1=0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-y^2-x+3y-2=0$ है।
हम पदों को समूहित करके समीकरण को फिर से लिख सकते हैं: $x^2 - (y^2 - 3y + 2) = 0$.
$y$ में द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$.
अतः,$x^2 - (y-1)(y-2) = 0$.
विकल्प $D$ का विस्तार करने पर: $(x-y+1)(x+y-2) = x^2 - y^2 - x + 3y - 2$.
यह दिए गए समीकरण से मेल खाता है।
इसलिए,रेखाएँ $x-y+1=0$ और $x+y-2=0$ हैं।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(6x - 7y)(2x - y) = 0$।
अतः,दो भुजाओं के समीकरण $L_1: 6x - 7y = 0$ और $L_2: 2x - y = 0$ हैं।
तीसरी भुजा $L_3: 2x - 3y + 4 = 0$ है।
शीर्ष ज्ञात करने पर: $A = (0, 0)$,$B = (1, 2)$,और $C = (7, 6)$ प्राप्त होते हैं।
केंद्रक $G = \left(\frac{0+1+7}{3}, \frac{0+2+6}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$।

(C) $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(iii)$.
$(B)$ $(1+x)^{-n} = 1-nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2-\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(ii)$.
$(C)$ For $x>1$,the series $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\dots$ is a geometric progression with first term $a=1$ and common ratio $r=\frac{1}{x}$. The sum is $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{x}} = \frac{x}{x-1}$. This matches $(iv)$.
$(D)$ Let $S = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$. This is of the form $(1+y)^{-2}$ where $y = \frac{1}{x^2}$.
$(1+y)^{-2} = 1-2y+3y^2-4y^3+\dots = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$.
Thus,$S = (1+\frac{1}{x^2})^{-2} = (\frac{x^2+1}{x^2})^{-2} = \frac{x^4}{(x^2+1)^2}$. This matches $(v)$.
Therefore,the correct matching is $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(v)$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में आयत का शीर्ष $(x, y) = (8\cos\theta, 2\sin\theta)$ मानिए।
आयत की भुजाएँ $2x = 16\cos\theta$ और $2y = 4\sin\theta$ हैं।
क्षेत्रफल $A = (2x)(2y) = 64\sin\theta\cos\theta = 32\sin(2\theta)$।
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$\sin(2\theta) = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 45^\circ$।
अतः,भुजाएँ $16\cos(45^\circ) = 8\sqrt{2}$ और $4\sin(45^\circ) = 2\sqrt{2}$ हैं।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3 x+2}{(x+1)(2 x^2+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B x+C}{2 x^2+3}$
दोनों पक्षों को $(x+1)(2 x^2+3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3 x+2=A(2 x^2+3)+(B x+C)(x+1)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x=-1$ रखें: $3(-1)+2=A(2(-1)^2+3) \Rightarrow -1=A(5) \Rightarrow A=-\frac{1}{5}$
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $3 x+2=2 A x^2+3 A+B x^2+B x+C x+C$
$3 x+2=(2 A+B) x^2+(B+C) x+(3 A+C)$
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2 A+B=0 \Rightarrow B=-2 A=-2(-\frac{1}{5})=\frac{2}{5}$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $B+C=3 \Rightarrow C=3-B=3-\frac{2}{5}=\frac{13}{5}$
अंत में,$A+C-B$ की गणना करने पर: $-\frac{1}{5}+\frac{13}{5}-\frac{2}{5}=\frac{13-2-1}{5}=\frac{10}{5}=2$

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-6x^2+11x+6=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = 6$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = 11$
$\alpha \beta \gamma = -6$
हमें $\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2) + 3 \alpha \beta \gamma$
अतः,$\Sigma \alpha^2 \beta+\Sigma \alpha \beta^2 = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$
$= (6)(11) - 3(-6)$
$= 66 + 18 = 84$.

(D) माना समीकरण $x^3-13x^2+15x+189=0$ के मूल $\alpha, \alpha+2, \beta$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1) \alpha + (\alpha+2) + \beta = 13 \implies 2\alpha + \beta = 11 \implies \beta = 11 - 2\alpha$.
$2) \alpha(\alpha+2) + (\alpha+2)\beta + \alpha\beta = 15$.
$3) \alpha(\alpha+2)\beta = -189$.
$\beta = 11 - 2\alpha$ को गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$\alpha(\alpha+2)(11-2\alpha) = -189$.
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि मूल $-3, 7, 9$ हैं:
योग: $-3 + 7 + 9 = 13$ ($x^2$ के गुणांक से मेल खाता है)।
गुणनफल: $(-3) \times 7 \times 9 = -189$ (अचर पद से मेल खाता है)।
$7$ और $9$ के बीच का अंतर $2$ है।
अतः,मूल $-3, 7, 9$ हैं।

(A) दिए गए मूल $\alpha = \sin^2 18^{\circ}$ और $\beta = \cos^2 36^{\circ}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} + \frac{6+2\sqrt{5}}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \left(\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{16}\right)^2 = \left(\frac{5-1}{16}\right)^2 = \left(\frac{4}{16}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$।
$16$ से गुणा करने पर,हमें $16x^2 - 12x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $z = 1+i\sqrt{3}$ है। हमें $z$ के $(2n)^{\text{th}}$ मूलों का गुणनफल ज्ञात करना है।
समीकरण $w^{2n} - z = 0$ के मूलों का गुणनफल $(-1)^{2n} \times (-z) = -z$ होता है।
अतः,गुणनफल $-(1+i\sqrt{3}) = -1-i\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|^2=4$ प्राप्त होता है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$\left|\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}\right|^2=4$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=4$.
$x^2+y^2-2y+1=4(x^2+y^2+2y+1)$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2+8y+4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2+3y^2+10y+3=0$.

(B) हमारे पास $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$ है।
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$।
$x^n$ का गुणांक पहले पद से $k=n$ के लिए और दूसरे पद से $k=n-1$ के लिए प्राप्त होता है:
$x^n$ का गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$।
चूंकि $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$,इसलिए:
$x^n$ का गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{(1+2n)}{n!}$।

(A) दी गई श्रेणी का विस्तार: $y = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
यह $\log(1+x)$ के लिए मानक लघुगणकीय श्रेणी विस्तार है जहाँ $|x| < 1$ है।
अतः,$y = \log(1+x)$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^y = 1+x$।
इसलिए,$x = e^y - 1$।
$e^y$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$ है।
इस मान को $x$ के समीकरण में रखने पर:
$x = (1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots) - 1$।
$x = y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$।

(C) हम जानते हैं कि $|x| < 1$ के लिए द्विपद प्रसार:
$(a)$ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ ($iii$ के साथ मेल खाता है)
$(b)$ $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \dots$ ($ii$ के साथ मेल खाता है)
$(c)$ $x > 1$ के लिए,$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x}{x-1}$ ($iv$ के साथ मेल खाता है)
$(d)$ $|x| > 1$ के लिए,$1 - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4} - \frac{4}{x^6} + \dots$ का प्रसार $(1 + \frac{1}{x^2})^{-2} = \frac{1}{(1 + \frac{1}{x^2})^2} = \frac{x^4}{(x^2+1)^2}$ है ($v$ के साथ मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-iii, B-ii, C-iv, D-v$ है.

(C) माना $f(\theta) = 3-\cos \theta+\cos \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$.
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \left(\cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3}\right)$
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \left(\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$
चूँकि $-1 \leq \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) \leq 1$,इसलिए $f(\theta)$ का परिसर $[3-1, 3-(-1)]$ अर्थात $[2, 4]$ है।

(B) दिया गया है $5 \cos x + 12 \cos y = 13$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 \cos x + 12 \cos y)^2 = 169$.
माना $S = 5 \sin x + 12 \sin y$.
$A = (5 \cos x + 12 \cos y)^2 + (5 \sin x + 12 \sin y)^2$ पर विचार करें।
$A = 25(\cos^2 x + \sin^2 x) + 144(\cos^2 y + \sin^2 y) + 120(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$.
$A = 25 + 144 + 120 \cos(x - y) = 169 + 120 \cos(x - y)$.
अतः $169 + S^2 = 169 + 120 \cos(x - y)$,जिससे $S^2 = 120 \cos(x - y)$ प्राप्त होता है।
$\cos(x - y)$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
इसलिए $S^2$ का अधिकतम मान $120$ है।
अतः $S$ का अधिकतम मान $\sqrt{120}$ है।

(C) रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$x-y-2=0$ ...$(i)$
$x+y-4=0$ ...(ii)
$x+3y=6$ ...(iii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(x-y-2) + (x+y-4) = 0$
$2x - 6 = 0$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x=3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3 - y - 2 = 0$
$1 - y = 0 \implies y = 1$
अतः,$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3,1)$ है।
अब,जाँचें कि क्या $(3,1)$ समीकरण (iii) को संतुष्ट करता है:
$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$
चूँकि बिंदु $(3,1)$ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखाएँ $(3,1)$ पर संगामी हैं।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+6xy+8y^2=10$ $\dots$ $(i)$ है।
अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर,रूपांतरण समीकरण:
$x = \frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}$
इन मानों को $(i)$ में रखने पर:
$\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
सरल करने पर:
$\frac{x_1^2+y_1^2-2x_1y_1 + 6x_1^2-6y_1^2 + 8x_1^2+8y_1^2+16x_1y_1}{2} = 10$
$15x_1^2 + 3y_1^2 + 14x_1y_1 = 20$
अतः,रूपांतरित समीकरण $15x^2+14xy+3y^2=20$ है।

(C) केंद्र $(h, k)$ के कार्तीय निर्देशांक $h = r_0 \cos \theta_0$ और $k = r_0 \sin \theta_0$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $(r_0, \theta_0) = (2, \frac{\pi}{2})$ है।
अतः,$h = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $k = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ है।
केंद्र $(0, 2)$ है और त्रिज्या $a = 3$ है।
वृत्त का कार्तीय समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ है,जो $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ बन जाता है।
यह $x^2 + y^2 - 4y + 4 = 9$ या $x^2 + y^2 - 4y = 5$ में सरल हो जाता है।
ध्रुवीय रूपांतरणों $x^2 + y^2 = r^2$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करके,हमें प्राप्त होता है:
$r^2 - 4(r \sin \theta) = 5$।
अतः,ध्रुवीय समीकरण $r^2 - 4r \sin \theta = 5$ है।

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ और बिंदु $(1,3)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
लंबाई $= \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11}$
$= \sqrt{1+9-2+12-11}$
$= \sqrt{22-13}$
$= \sqrt{9}$
$= 3$

(B) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-8x+2y=0$ और $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{17}$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (1, 8)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{40}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{90}$ है।
चूंकि $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ है,इसलिए दोनों वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के $y$-अक्ष को स्पर्श करने के लिए शर्त $g^2=c$ है।
वृत्त के $x$-अक्ष को स्पर्श करने के लिए शर्त $f^2=c$ है।
कथन $I$: $x^2+y^2-6x-4y-7=0$. यहाँ $g=-3$ और $c=-7$ है। चूँकि $g^2 = (-3)^2 = 9$ और $c = -7$,इसलिए $g^2 \neq c$ है। अतः,यह $y$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।
कथन $II$: $x^2+y^2+6x+4y-7=0$. यहाँ $f=2$ और $c=-7$ है। चूँकि $f^2 = (2)^2 = 4$ और $c = -7$,इसलिए $f^2 \neq c$ है। अतः,यह $x$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।
इसलिए,न तो $I$ और न ही $II$ सत्य है।

(D) परवलय का अर्ध-नाभिलंब उसकी किसी भी नाभिकीय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होता है।
माना $l$ अर्ध-नाभिलंब की लंबाई है।
दिया गया है कि नाभिकीय जीवा के खंड $b$ और $c$ हैं।
दो संख्याओं $b$ और $c$ का हरात्मक माध्य $H = \frac{2bc}{b+c}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अर्ध-नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2bc}{b+c}$ है।

(D) मान लीजिए परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $A$ के निर्देशांक $(t^2, 2t)$ हैं,जहाँ $a=1$ है।
चूँकि $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,$OA$ का मध्य बिंदु $M(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{0+t^2}{2} = \frac{t^2}{2} \implies t^2 = 2h$
$k = \frac{0+2t}{2} = t \implies t = k$
$t=k$ को $t^2=2h$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k^2 = 2h$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $y^2=2x$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+4y^2=64$ है,जिसे $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जहाँ $a^2=64$ $(a=8)$ और $b^2=16$ $(b=4)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में आयत का एक शीर्ष $(x, y) = (a \cos \theta, b \sin \theta) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ मानिए।
आयत की भुजाएँ $2x$ और $2y$ हैं,इसलिए क्षेत्रफल $A = (2x)(2y) = 4xy = 4(8 \cos \theta)(4 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम तब होता है जब $\sin(2\theta) = 1$,अर्थात $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$ हो।
$\theta = 45^\circ$ रखने पर,हमें $x = 8 \cos 45^\circ = 4\sqrt{2}$ और $y = 4 \sin 45^\circ = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
आयत की भुजाएँ $2x = 8\sqrt{2}$ और $2y = 4\sqrt{2}$ हैं।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 - 18x - 8y - 23 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 2y) = 23$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 36$।
$36$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a < b$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभिलंब के समीकरण $y - k = \pm be$ होते हैं,जहाँ $(h, k) = (1, 1)$ है।
$y - 1 = \pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \pm \sqrt{5}$।
अतः,$y = 1 \pm \sqrt{5}$।

(C) माना $e$ और $e^{\prime}$ एक अतिपरवलय और उसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$ होता है।
दिया गया है $e = \sqrt{3}$,अतः $e^2 = 3$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{3} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
अतः,$(e^{\prime})^2 = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है कि $e^{\prime} = \sqrt{\frac{3}{2}}$।

(C) $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x + [x]) = 2 + 2 = 4$.
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (2x - [x]) = 2(2) - 1 = 3$.
$l_3 = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{\cos x}{x - \pi/2}$. $L$'Hospital नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac{-\sin x}{1} = -1$.
अतः,$l_3 < l_2 < l_1$.

(D) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+2 x-1}-x\right]$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम व्यंजक को इसके संयुग्मी $\sqrt{x^2+2 x-1}+x$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{(\sqrt{x^2+2 x-1}-x)(\sqrt{x^2+2 x-1}+x)}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2+2 x-1-x^2}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{2x-1}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x(2-\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+1)}\right]$
$= \frac{2-0}{\sqrt{1+0-0}+1} = \frac{2}{2} = 1$

(C) माना $f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b$ है। सीमा के परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ पर $0$ होना चाहिए।
टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\cos 4x = 1 - 8x^2 + \frac{32}{3}x^4 - \dots$
$a \cos 2x = a - 2ax^2 + \frac{2a}{3}x^4 - \dots$
$f(x) = (1 + a + b) - (8 + 2a)x^2 + (\frac{32}{3} + \frac{2a}{3})x^4 + \dots$
सीमा के परिमित होने के लिए,$x^0$ और $x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$1 + a + b = 0$ और $8 + 2a = 0$।
$8 + 2a = 0$ से $a = -4$ प्राप्त होता है।
$1 - 4 + b = 0$ से $b = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = -4$ और $b = 3$ है।

(C) हमारे पास $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(q^n+p^n\right)^{1 / n}$ है।
चूंकि $0 < p < q$,हम व्यंजक से $q^n$ को बाहर निकाल सकते हैं:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \left[q^n \left(1 + \left(\frac{p}{q}\right)^n\right)\right]^{1/n}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} q \left(1 + \left(\frac{p}{q}\right)^n\right)^{1/n}$
चूंकि $0 < \frac{p}{q} < 1$,जैसे ही $n \rightarrow \infty$,$\left(\frac{p}{q}\right)^n \rightarrow 0$ होता है।
अतः,$\lim _{n \rightarrow \infty} q \left(1 + 0\right)^{1/n} = q \cdot 1^0 = q \cdot 1 = q$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज में आधे कोणों के लिए कोटैंजेंट का सूत्र: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर: $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$।
दिया गया है $3a = b + c$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$ है।
$s = 2a$ का मान व्यंजक में रखने पर: $\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$।

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $b+c=3a$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$ है।
$s = 2a$ का मान रखने पर,$\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना त्रिभुज के कोण $3x, 5x$ और $10x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3x + 5x + 10x = 180^{\circ}$.
$18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$.
कोण $30^{\circ}, 50^{\circ}$ और $100^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाएँ उनके सम्मुख कोणों की ज्या (sine) के समानुपाती होती हैं: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.
सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण $(30^{\circ})$ के सम्मुख है और सबसे बड़ी भुजा सबसे बड़े कोण $(100^{\circ})$ के सम्मुख है।
अनुपात $= \sin 30^{\circ} : \sin 100^{\circ}$.
चूंकि $\sin 100^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ}$.
अनुपात $= \frac{1}{2} : \cos 10^{\circ} = 1 : 2 \cos 10^{\circ}$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ होता है।
इनका गुणा करने पर,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\tan \frac{A}{2} = \frac{5}{6}$ और $\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{5}$,अतः $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$ है।
इस प्रकार,$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{3}$ है।
$3(s - b) = s$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$।
चूँकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b + c = 3b$,जो सरल होकर $a + c = 2b$ हो जाता है।

(B) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है और दूसरे अवलोकन बिंदु से पहाड़ी के आधार तक की दूरी $x$ है।
$\triangle BCD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle ACD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow 120 + x = h\sqrt{3}$.
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर:
$120 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$120 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{120 \times \sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \ m$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{12-\sqrt{68+48 \sqrt{2}}}$
सबसे पहले,आंतरिक वर्गमूल को सरल करें: $\sqrt{68+48 \sqrt{2}} = \sqrt{68+2 \times 24 \sqrt{2}} = \sqrt{68+2 \times 6 \times 4 \sqrt{2}}$
चूंकि $(6)^2 + (4 \sqrt{2})^2 = 36 + 32 = 68$,इसलिए $\sqrt{68+48 \sqrt{2}} = \sqrt{(6+4 \sqrt{2})^2} = 6+4 \sqrt{2}$
इसे वापस रखने पर: $\sqrt{12-(6+4 \sqrt{2})} = \sqrt{6-4 \sqrt{2}}$
अब,$6-4 \sqrt{2}$ को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: $6-4 \sqrt{2} = 4 + 2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} = (2)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^2$
अतः,$\sqrt{6-4 \sqrt{2}} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = 2-\sqrt{2}$

(C) $11$ गेंदों ($5$ सफेद + $6$ हरी) में से $7$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${ }^{11}C_7$ हैं।
$5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके ${ }^5C_3$ हैं।
$6$ हरी गेंदों में से $4$ हरी गेंदें चुनने के तरीके ${ }^6C_4$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या ${ }^5C_3 \times { }^6C_4$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{ }^5C_3 \times { }^6C_4}{{ }^{11}C_7}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = e^x \sin x$.
प्रथम अवकलज: $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$.
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$.
तृतीय अवकलज: $f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$.
चतुर्थ अवकलज: $f^{(4)}(x) = 2e^x(\cos x - \sin x) + 2e^x(-\sin x - \cos x) = -4e^x \sin x$.
पंचम अवकलज: $f^{(5)}(x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x = -4e^x(\sin x + \cos x)$.
छठा अवकलज: $f^{(6)}(x) = -4e^x(\sin x + \cos x) - 4e^x(\cos x - \sin x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x - 4e^x \cos x + 4e^x \sin x = -8e^x \cos x$.

(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4x}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए हम $L$'Hospital नियम का उपयोग करेंगे:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sqrt{2} \sin x)}{\frac{d}{dx}(\pi-4x)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \cos x}{-4}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$= \frac{-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$,इसलिए $a = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) वक्रों के समीकरण $xy=2$ $\dots(i)$ और $x^2+4y=0$ $\dots(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(ii)$ से $y = -x^2/4$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$x(-x^2/4) = 2 \Rightarrow -x^3 = 8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ को $(ii)$ में रखने पर,हमें $4 + 4y = 0 \Rightarrow y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -1)$ है।
वक्र $(i)$ के लिए,$y = 2/x$,इसलिए $dy/dx = -2/x^2$। $x = -2$ पर,$m_1 = -2/(-2)^2 = -2/4 = -1/2$।
वक्र $(ii)$ के लिए,$x^2 + 4y = 0$,इसलिए $2x + 4(dy/dx) = 0 \Rightarrow dy/dx = -x/2$। $x = -2$ पर,$m_2 = -(-2)/2 = 1$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |(-1/2 - 1) / (1 + (-1/2)(1))| = |(-3/2) / (1/2)| = |-3| = 3$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2}$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $3x^2 > 0$ सभी $x \neq 0$ के लिए,$f'(x)$ का चिह्न अंश $x^2 - 9$ पर निर्भर करता है।
हमें $x^2 - 9 < 0$ प्राप्त होता है जब $x^2 < 9$,जिसका अर्थ है $|x| < 3$,या $x \in (-3, 3)$.
चूंकि $f'(x) < 0$ सभी $x \in (-3, 3) \setminus \{0\}$ के लिए है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $(-3, 3)$ में ह्रासमान है।

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} dx$.
इसे हल करने के लिए,हम $x^{3/2} = t$ प्रतिस्थापित करते हैं।
तब,$\frac{3}{2} x^{1/2} dx = dt$,जिसका अर्थ है $x^{1/2} dx = \frac{2}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{x^{1/2} dx}{\sqrt{a^3 - (x^{3/2})^2}} = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{(a^{3/2})^2 - t^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{A^2 - t^2}} dt = \sin^{-1}(\frac{t}{A}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\frac{t}{a^{3/2}}) + c$.
$t$ के स्थान पर $x^{3/2}$ रखने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}) + c$.
अतः,$g(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}})$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^2+2x+2}$.
हर को पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखने पर:
$x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2+1} = \tan^{-1}(u) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x+1$ और $du = dx$ है:
$I = \tan^{-1}(x+1) + c$.
इसकी तुलना $I = f(x) + c$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $f(x) = \tan^{-1}(x+1)$.

(B) दिया गया है $f(x, y) = \frac{\cos(x - 4y)}{\cos(x + 4y)}$.
फलन में $y = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x, \frac{x}{2}) = \frac{\cos(x - 4(\frac{x}{2}))}{\cos(x + 4(\frac{x}{2}))} = \frac{\cos(x - 2x)}{\cos(x + 2x)} = \frac{\cos(-x)}{\cos(3x)} = \frac{\cos(x)}{\cos(3x)}$.
अब,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\cos x}{\cos 3x} \right)$.
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(-\sin x)(\cos 3x) - (\cos x)(-3 \sin 3x)}{\cos^2 3x} = \frac{3 \cos x \sin 3x - \sin x \cos 3x}{\cos^2 3x}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$.
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^3(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)} d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना कि $I = \int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$.
हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,अतः समाकलन में यह मान रखने पर:
$I = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2(1 + e^{2x})} d x$.
अंश में $e^x + e^{-x}$ से $e^x$ कॉमन लेने पर:
$e^x + e^{-x} = e^x(1 + e^{-2x}) = e^x \left(1 + \frac{1}{e^{2x}}\right) = e^x \left(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) = \frac{1 + e^{2x}}{e^x}$.
यह मान समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \frac{1 + e^{2x}}{e^x(1 + e^{2x})} d x$.
$(1 + e^{2x})$ पद कट जाएगा:
$I = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 e^{-x} d x$.
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} [-e^{-x}]_{-1}^1 = -\frac{1}{2} [e^{-1} - e^1] = \frac{1}{2} (e^1 - e^{-1}) = \frac{e^2 - 1}{2e}$.

(D) दिया गया है कि अंतराल $[0, 6]$ को $n = 6$ समान भागों में विभाजित किया गया है।
प्रत्येक उप-अंतराल की चौड़ाई $h = \frac{b - a}{n} = \frac{6 - 0}{6} = 1$ है।
$x_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ पर $f(x) = x^3$ के मान इस प्रकार हैं:
$y_0 = f(0) = 0$
$y_1 = f(1) = 1$
$y_2 = f(2) = 8$
$y_3 = f(3) = 27$
$y_4 = f(4) = 64$
$y_5 = f(5) = 125$
$y_6 = f(6) = 216$
ट्रेपेज़ॉइडल नियम के अनुसार:
$\int_0^6 x^3 \, dx \approx \frac{h}{2} \{y_0 + y_6 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5)\}$
$= \frac{1}{2} \{0 + 216 + 2(1 + 8 + 27 + 64 + 125)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 2(225)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 450\} = \frac{666}{2} = 333$.

(A) दिया गया समीकरण $x^y = y^x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें $y \log x = x \log y$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \log y$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\log x \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \log y - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{y \log x - x}{y} \right) = \frac{x \log y - y}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने और चिह्नों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{-(x - y \log x)}{y} \right) = \frac{-(y - x \log y)}{x}$.
अतः,$x(x - y \log x) \frac{dy}{dx} = y(y - x \log y)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$
चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$
माना $u = 1-v^2$,तो $du = -2v dv$। समाकलन करने पर: $-\int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$
$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|c|$
$-\ln|1 - (y/x)^2| = \ln|cx|$
$-\ln|\frac{x^2-y^2}{x^2}| = \ln|cx|$
$\ln|\frac{x^2}{x^2-y^2}| = \ln|cx|$
$\frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$
$x = c(x^2-y^2)$

(B) मान लीजिए कि दो बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पर किसी भी बिंदु को विभाजन सूत्र द्वारा $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $t$ एक अदिश है।
यदि हम रेखाखंड के मध्य-बिंदु पर विचार करें,तो $t = \frac{1}{2}$ लेने पर।
मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}{2} = \frac{2\hat{i}}{2} = \hat{i}$।
अतः,मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश $\hat{i}$ है।

(A) तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ हैं और तीसरा सदिश $\vec{c} = \hat{k}$ मानने पर.
समतलीयता के लिए शर्त:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ \lambda & 3 \end{array}\right| = 0$
$1(3 - (-3\lambda)) = 0$
$3 + 3\lambda = 0$
$\lambda = -1$.

(D) माना कि $\overrightarrow{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है।
दिया गया है $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$,जिसका अर्थ है $a_1 = 1$ है।
आगे,$\overrightarrow{a} \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$ है।
इससे $2a_1 + a_2 = 1$ प्राप्त होता है। $a_1 = 1$ रखने पर,$2(1) + a_2 = 1$,अतः $a_2 = -1$ है।
अंत में,$\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$ है।
इससे $a_1 + a_2 + 3a_3 = 1$ प्राप्त होता है। $a_1 = 1$ और $a_2 = -1$ रखने पर,$1 - 1 + 3a_3 = 1$,अतः $3a_3 = 1$,जिसका अर्थ है $a_3 = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(3 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k})$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A$ और $B^c$ भी स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(B) = \frac{2}{7} \implies P(B^c) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c)$.
चूँकि $A$ और $B^c$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$.
मान रखने पर:
$0.8 = P(A) + \frac{5}{7} - P(A) \cdot \frac{5}{7}$.
$0.8 - \frac{5}{7} = P(A) \cdot (1 - \frac{5}{7})$.
$\frac{5.6 - 5}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$.
$0.6 = 2 \cdot P(A)$.
$P(A) = 0.3$.

(C) $e^{\log x} = x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$e^{\log (\cosh^{-1} 2)} = \cosh^{-1} 2$
हम जानते हैं कि $\cosh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 - 1})$ जहाँ $x \geq 1$ है।
$x = 2$ रखने पर:
$\cosh^{-1} 2 = \log (2 + \sqrt{2^2 - 1}) = \log (2 + \sqrt{4 - 1}) = \log (2 + \sqrt{3})$

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को व्यंजक $A^3 - 4A^2 - 6A$ में प्रतिस्थापित करें:
$= \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 41-36-6 & 42-32-12 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 41-36-6 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 42-32-12 & 41-36-6 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -A$.

(C) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज आव्यूह का गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A|I_n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_n$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A(\operatorname{adj} A)| = | |A|I_n |$ प्राप्त होता है।
$|AB| = |A||B|$ और कोटि $n$ के आव्यूह के लिए $|kA| = k^n|A|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n \cdot |I_n|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|I_n| = 1$,इसलिए हमें $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$ है।
दोनों पक्षों को $|A|$ से विभाजित करने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & \log e^2 & \log e^3 \\ \log e^2 & \log e^3 & \log e^4 \\ \log e^3 & \log e^4 & \log e^5 \end{array}\right|$ है।
गुणधर्म $\log a^n = n \log a$ का उपयोग करते हुए,हम सारणिक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & 2 \log e & 3 \log e \\ 2 \log e & 3 \log e & 4 \log e \\ 3 \log e & 4 \log e & 5 \log e \end{array}\right|$.
प्रत्येक स्तंभ से $\log e$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ को लागू करने पर:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right|$.
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = [2x] - 2[x]$ सभी $x \in R$ के लिए।
स्थिति $1$: यदि $x$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए $x = n$ जहाँ $n \in Z$ है।
तब $f(n) = [2n] - 2[n] = 2n - 2n = 0$।
स्थिति $2$: यदि $x$ पूर्णांक नहीं है,मान लीजिए $x = n + f$ जहाँ $n \in Z$ और $0 < f < 1$ है।
तब $f(x) = [2(n + f)] - 2[n + f] = [2n + 2f] - 2n = 2n + [2f] - 2n = [2f]$।
चूंकि $0 < f < 1$,हमारे पास $0 < 2f < 2$ है।
यदि $0 < f < 0.5$,तो $[2f] = 0$।
यदि $0.5 \leq f < 1$,तो $[2f] = 1$।
अतः,$f(x)$ का परिसर $\{0, 1\}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x + 4, & x < -4 \\ 3x + 2, & -4 \leq x < 4 \\ x - 4, & x \geq 4 \end{cases}$
$(A) f(-5) + f(-4) = (-5 + 4) + (3(-4) + 2) = -1 + (-12 + 2) = -1 - 10 = -11$. अतः,$(A) \rightarrow (iii)$.
$(B) f(|f(-8)|) = f(|-8 + 4|) = f(|-4|) = f(4) = 4 - 4 = 0$. अतः,$(B) \rightarrow (vi)$.
$(C) f(f(-7) + f(3)) = f((-7 + 4) + (3(3) + 2)) = f(-3 + 11) = f(8) = 8 - 4 = 4$. अतः,$(C) \rightarrow (ii)$.
$(D) f(f(f(f(0)))) + 1$. पहले,$f(0) = 3(0) + 2 = 2$. फिर $f(f(0)) = f(2) = 3(2) + 2 = 8$. फिर $f(f(f(0))) = f(8) = 8 - 4 = 4$. फिर $f(f(f(f(0)))) = f(4) = 4 - 4 = 0$. अंत में,$0 + 1 = 1$. अतः,$(D) \rightarrow (v)$.
सही मिलान $(A)-(iii), (B)-(vi), (C)-(ii), (D)-(v)$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x - [x] - \frac{1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $x$ का भिन्नात्मक भाग $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$f(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$ है।
हमें $f(x) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\{x\} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\{x\} = 1$ है।
हालाँकि,परिभाषा के अनुसार,भिन्नात्मक भाग $\{x\}$ हमेशा $0 \le \{x\} < 1$ का पालन करता है।
चूँकि $\{x\}$ कभी भी $1$ के बराबर नहीं हो सकता,इसलिए $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,समुच्चय $\{x \in R: f(x) = \frac{1}{2}\}$ एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) दिया गया है $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$.
इसका अर्थ है $\sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
माना $f(x, y) = \sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
यहाँ,$f(x, y)$ घात $n=1$ का एक समघात फलन है क्योंकि $f(tx, ty) = \frac{(tx)^2+(ty)^2}{tx+ty} = t \cdot \frac{x^2+y^2}{x+y} = t^1 f(x, y)$.
यूलर के प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f$.
$f = \sin u$ और $n = 1$ रखने पर,हमें $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 1 \cdot \sin u$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \sin u$.
दोनों पक्षों को $\cos u$ से विभाजित करने पर,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} = \tan u$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $A$ के लिए: मान लीजिए $I = \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)} d x$.
हम समाकल्य को $I = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x + \frac{1}{x}\right)} d x$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = x + \frac{1}{x}$. तब $dt = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int e^t d t = e^t + c = e^{x + \frac{1}{x}} + c = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
कथन $R$ के लिए: समाकलन $\int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x$ का मूल्यांकन $t = f(x)$ प्रतिस्थापित करके किया जाता है,जिससे $dt = f^{\prime}(x) d x$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\int e^t d t = e^t + c = e^{f(x)} + c$.
कथन $R$ में परिणाम $f(x) + c$ होने का दावा किया गया है,जो गलत है।
इसलिए,$A$ सत्य है और $R$ असत्य है।

(B) दिया गया है $f(x, y) = \frac{\cos(x - 4y)}{\cos(x + 4y)}$.
हमें $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y = \frac{x}{4}}$ का मान ज्ञात करना है.
सबसे पहले,$f$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\cos(x+4y)(-\sin(x-4y)) - \cos(x-4y)(-\sin(x+4y))}{\cos^2(x+4y)}$
$= \frac{\sin(x+4y)\cos(x-4y) - \cos(x+4y)\sin(x-4y)}{\cos^2(x+4y)} = \frac{\sin((x+4y) - (x-4y))}{\cos^2(x+4y)} = \frac{\sin(8y)}{\cos^2(x+4y)}$.
अब $y = \frac{x}{4}$ रखने पर:
$\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y = \frac{x}{4}} = \frac{\sin(8(\frac{x}{4}))}{\cos^2(x + 4(\frac{x}{4}))} = \frac{\sin(2x)}{\cos^2(2x)} = \tan(2x) \sec(2x)$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$
माना $t = \frac{1}{x}$,तब $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$
समीकरण में मान रखने पर: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$
यह $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -1$
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(y) dy} = e^{-\int \frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$
व्यापक हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$
$\frac{1}{xy} = -\log y + c$
$y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{x} = cy - y \log y$

(B) दिए गए रैखिक अवकल समीकरण: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को हल करने के लिए।
$(1+x^2)$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)y = \frac{4x^2}{1+x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर: $y(1+x^2) = \int \left(\frac{4x^2}{1+x^2}\right)(1+x^2) dx + c$.
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + c$.
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + c$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3y(1+x^2) = 4x^3 + c$.

(C) तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
दिए गए सदिशों $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}$,$\vec{b} = 3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ के लिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(0 - 3) + 2(0 - \lambda) = 0$
$-3 - 2\lambda = 0$
$2\lambda = -3$
$\lambda = -3/2$.

(B) समांतर षट्फलक का आयतन उसके तीन किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) के मापांक के बराबर होता है,अर्थात $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
यहाँ किनारे $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}$,और $\vec{c} = 3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$ हैं।
आयतन $= |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 34$.
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & p \end{array}\right| = \pm 34$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(-p - 9) - 5(0 - 3) + 1(0 - (-3)) = \pm 34$.
$4(-p - 9) - 5(-3) + 1(3) = \pm 34$.
$-4p - 36 + 15 + 3 = \pm 34$.
$-4p - 18 = \pm 34$.
स्थिति $1$: $-4p - 18 = 34 \Rightarrow -4p = 52 \Rightarrow p = -13$.
स्थिति $2$: $-4p - 18 = -34 \Rightarrow -4p = -16 \Rightarrow p = 4$.
चूंकि विकल्पों में $-13$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $-13$ है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ है।
हम इसे $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})=|\overrightarrow{c}|^2$ मिलता है।
चूंकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है,इसलिए $|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta=|\overrightarrow{c}|^2$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर $3^2+4^2+2(3)(4) \cos \theta = (\sqrt{37})^2$ प्राप्त होता है।
$9+16+24 \cos \theta = 37$.
$25+24 \cos \theta = 37$.
$24 \cos \theta = 37-25 = 12$.
$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) चूंकि $OA, OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान रूप से झुका हुआ है,इसलिए इसकी दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) समान हैं। मान लीजिए कि $A$ के निर्देशांक $(a, a, a)$ हैं।
यह दिया गया है कि $A$ की मूल बिंदु $O(0,0,0)$ से दूरी $\sqrt{3}$ इकाई है।
इसलिए,$\sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{3}$।
$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3}$।
$|a|\sqrt{3} = \sqrt{3}$।
$|a| = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$ या $a = -1$।
अतः,$A$ के निर्देशांक $(1, 1, 1)$ या $(-1, -1, -1)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही निर्देशांक $(1, 1, 1)$ है।

(B) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ $\dots(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$
हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$
समीकरण $(i)$ से,$l+m = -n$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$l^2+m^2+2lm = n^2$,इसलिए $l^2+m^2 = n^2-2lm$.
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(n^2-2lm) - n^2 = 0$,जिसका अर्थ है $-2lm = 0$,इसलिए $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $(i)$ से,$m+n=0 \implies m=-n$. $(iii)$ में रखने पर,$0^2+(-n)^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $(0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ और $(0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $(i)$ से,$l+n=0 \implies l=-n$. $(iii)$ में रखने पर,$(-n)^2+0^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $(1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ और $(-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2| = |0(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(0) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2})| = |1/2| = 1/2$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(C) प्रति पृष्ठ त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda_{page} = \frac{250}{500} = 0.5$ है।
$n = 2$ पृष्ठों के नमूने के लिए,पॉइसन वितरण का पैरामीटर $\lambda = n \times \lambda_{page} = 2 \times 0.5 = 1$ हो जाता है।
नमूने में $X$ त्रुटियाँ होने की प्रायिकता पॉइसन सूत्र $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
कोई त्रुटि न होने के लिए,हम $k = 0$ रखते हैं:
$P(X=0) = \frac{e^{-1} \times 1^0}{0!} = \frac{e^{-1} \times 1}{1} = e^{-1}$.