TS EAMCET 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે પાણીની સાપેક્ષમાં હોડીનો વેગ $v_b$ છે અને પાણીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_m$ છે.
આપેલ છે કે, હોડીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_{mb} = 2 \,ms^{-1}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ, $v_{mb} = v_m - v_b$, તેથી $v_m = v_b + 2$.
તંત્ર (માણસ + હોડી) પર કોઈ બાહ્ય ક્ષૈતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી, તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 200 v_b + 50(v_b + 2)$.
$P_i = P_f$ સરખાવતા:
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$
$250 v_b = -100$
$v_b = -\frac{100}{250} = -0.4 \,ms^{-1}$.
હોડીના વેગનું મૂલ્ય $0.4 \,ms^{-1}$ છે (માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં).

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r < R_e)$ રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{GMmr}{R_e^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F \propto -r$ હોવાથી,બળ એ કેન્દ્રથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં પુનઃસ્થાપક બળ છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની શરત છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ દર્શાવે છે,જે પોતે એક સાચું વિધાન છે $(F \propto 1/r^2)$.
જો કે,પૃથ્વીની અંદરની ગતિ એ ગોળાની અંદરના અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં બળ $r$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$1/r^2$ ના નહીં. તેથી,કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) $1$. જ્યારે પદાર્થ સમાન વેગ સાથે નીચે સરકે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ એ ગતિજ ઘર્ષણ $f_k = \mu_k mg \cos \theta$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$\mu_k = \tan \theta$.
$2$. જ્યારે પદાર્થને $u$ વેગ સાથે ઉપર ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે તેને $a_{up} = g \sin \theta + \mu_k g \cos \theta$ જેટલો પ્રતિપ્રવેગ મળે છે. $\mu_k = \tan \theta$ હોવાથી,$a_{up} = 2g \sin \theta$.
$3$. અટકી ગયા પછી,પદાર્થ નીચે સરકે છે. ઉપરની મુસાફરી દરમિયાન ઘર્ષણને કારણે ગુમાવેલી ઉર્જા $W_f = f_k \times d$ છે. નીચેની મુસાફરી દરમિયાન પણ એટલી જ ઉર્જા ઘર્ષણમાં વ્યય થાય છે. કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = K_i + W_{gravity} - W_{friction}$ થાય. ઘર્ષણને કારણે ઉર્જાનો વ્યય થતો હોવાથી,અંતિમ વેગ $u$ કરતા ઓછો હશે.

(D) ધારો કે બે સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે અને મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $c$ છે.
સાબુના પરપોટા માટે વધારાનું દબાણ $\frac{4 T}{r}$ છે અને બહારનું દબાણ $P$ છે.
તેથી,$P_a = P + \frac{4 T}{a}$,$P_b = P + \frac{4 T}{b}$ અને $P_c = P + \frac{4 T}{c}$ ...$(i)$
કદ $V_a = \frac{4}{3} \pi a^3$,$V_b = \frac{4}{3} \pi b^3$ અને $V_c = \frac{4}{3} \pi c^3$ છે ...(ii)
હવામાનના મોલનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$P_a V_a + P_b V_b = P_c V_c$.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ની કિંમતો મૂકતા:
$(P + \frac{4 T}{a})(\frac{4}{3} \pi a^3) + (P + \frac{4 T}{b})(\frac{4}{3} \pi b^3) = (P + \frac{4 T}{c})(\frac{4}{3} \pi c^3)$
$P(\frac{4}{3} \pi)(a^3 + b^3 - c^3) + \frac{16}{3} \pi T(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
અહીં કદમાં ફેરફાર $V = \frac{4}{3} \pi(c^3 - a^3 - b^3)$ અને ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $A = 4 \pi(c^2 - a^2 - b^2)$ લેતા:
$-P V + \frac{4}{3} T A = 0$ એટલે કે $3 P V + 4 T A = 0$.

(C) તન્ય પદાર્થો એવા પદાર્થો છે જેને ખેંચીને પાતળા તાર બનાવી શકાય છે. આ ગુણધર્મ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અને ભંગાણ બિંદુ વચ્ચેના મોટા પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ (plastic deformation) વિસ્તારને કારણે હોય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
તન્ય પદાર્થો માટેના પ્રતિબળ-વિકૃતિ વક્રમાં,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અને ભંગાણ બિંદુ વચ્ચેનો વિસ્તાર મોટો હોય છે,જે પદાર્થ તૂટે તે પહેલાં નોંધપાત્ર લંબાઈમાં વધારો કરવાની મંજૂરી આપે છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે આ લંબાઈ ખૂબ જ નાની છે,જે ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે જેમાં દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{constant})$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે જેમાં તાપમાન અચળ રહે છે $(T = \text{constant})$.
$3$. પ્રક્રિયા $CD$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે જેમાં કદ અચળ રહે છે $(V = \text{constant})$.
$4$. પ્રક્રિયા $DA$ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયા છે.
$P-T$ આલેખનું વિશ્લેષણ કરતા:
- પ્રક્રિયા $AB$ $(P = \text{constant})$ માટે, આલેખ એક આડી રેખા છે.
- પ્રક્રિયા $BC$ $(T = \text{constant})$ માટે, આલેખ એક ઉભી રેખા છે.
- પ્રક્રિયા $CD$ $(V = \text{constant})$ માટે, $PV = nRT$ હોવાથી, $P = (nR/V)T$. તેથી, $P \propto T$, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
- પ્રક્રિયા $DA$ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયા $(PV^{\gamma} = \text{constant})$ છે, જે $P-T$ આલેખમાં વક્ર $DA$ ને અનુરૂપ છે.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચો $P-T$ આલેખ વિકલ્પ $(a)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(A) ધારો કે પાણીની સાપેક્ષમાં હોડીનો વેગ $v_b$ છે અને પાણીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_m$ છે.
આપેલ છે કે હોડીની સાપેક્ષમાં માણસનો વેગ $v_{m/b} = 2 \,ms^{-1}$ છે.
સાપેક્ષ વેગની વ્યાખ્યા મુજબ, $v_{m/b} = v_m - v_b$, તેથી $v_m = v_b + 2$.
તંત્ર (માણસ + હોડી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી, તંત્રનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $200 v_b + 50(v_b + 2) = 0$.
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$.
$250 v_b = -100$.
$v_b = -100 / 250 = -0.4 \,ms^{-1}$.
વેગનું મૂલ્ય $0.4 \,ms^{-1}$ અથવા $2/5 \,ms^{-1}$ છે.

(B) કિસ્સો $1$: જ્યારે બ્લોકને ધીમેથી નીચે લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાં પહોંચે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે. $k d = m g$,તેથી $d = \frac{m g}{k}$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે બ્લોકને અસ્પ્રિંગની સ્થિતિમાંથી અચાનક મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. ધારો કે મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
$m g x = \frac{1}{2} k x^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{2 m g}{k}$ મળે છે.
કારણ કે $d = \frac{m g}{k}$,તેથી $x = 2 d$.

(C) પ્રવાહીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરતા હવાના પરપોટાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{\eta}$.
અહીં,$r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$\rho = 1.5 \ g/cc = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$,અને $v = 0.25 \ cm/s = 0.25 \times 10^{-2} \ m/s$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{r^2 \rho g}{v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{(10^{-2})^2 \cdot (1.5 \times 10^3) \cdot 9.8}{0.25 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{10^{-4} \cdot 1500 \cdot 9.8}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot \frac{1.47}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot 588 \approx 130.6 \ Pa \ s$.
આમ,સ્નિગ્ધતા ગુણાંક આશરે $130 \ Pa \ s$ છે.

(A) તારમાં સ્ટ્રેસ $\text{Stress} = \frac{\text{Tension}}{\text{Area of cross-section}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તૂટતા અટકાવવા માટે, સ્ટ્રેસ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
ધારો કે તારમાં તણાવ $T$ છે અને સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ છે.
બે બ્લોક્સ માટે ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1 \, kg$ બ્લોક માટે: $T - 1(10) = 1a \implies T - 10 = a$ (સમીકરણ $1$)
$2 \, kg$ બ્લોક માટે: $2(10) - T = 2a \implies 20 - T = 2a$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(T - 10) + (20 - T) = a + 2a$
$10 = 3a \implies a = \frac{10}{3} \, m/s^2$
સમીકરણ $1$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 10 + \frac{10}{3} = \frac{40}{3} \, N$
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma_{max} = 2 \times 10^9 \, N/m^2$ છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
લઘુત્તમ ત્રિજ્યા $r$ શોધવા માટે સ્ટ્રેસને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ જેટલો લેતા:
$\frac{T}{A} = \sigma_{max} \implies \frac{40/3}{\pi r^2} = 2 \times 10^9$
$r^2 = \frac{40}{3 \times \pi \times 2 \times 10^9} = \frac{20}{3 \pi \times 10^9} \approx 2.122 \times 10^{-9} \, m^2$
$r = \sqrt{2.122 \times 10^{-9}} \approx 4.6 \times 10^{-5} \, m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $R = 20 \ m$ અને $\theta = 30^{\circ}$,તેથી $20 = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g}$.
$\Rightarrow 20 = \frac{u^2 \sin 60^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\frac{u^2}{g} = \frac{20 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}}$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left(\frac{u^2}{g}\right) \sin^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$H = \frac{1}{2} \times \left(\frac{40}{\sqrt{3}}\right) \times \sin^2 30^{\circ}$.
$H = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{\sqrt{3}} \ m$.

$(\text{A})$ ધારો કે $\vec{v}_{r,g}$ એ જમીનની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ છે, $\vec{v}_{m,g}$ એ જમીનની સાપેક્ષે માણસનો વેગ છે, અને $\vec{v}_{r,m}$ એ માણસની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ છે.
જ્યારે માણસ સ્થિર હોય છે, ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે પડે છે. આમ, $\vec{v}_{r,g}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{r,g} \sin 30^{\circ}$ છે અને શિરોલંબ ઘટક $v_{r,g} \cos 30^{\circ}$ છે.
જ્યારે માણસ $v_{m,g} = 10 \,km/h$ ની ઝડપે દોડે છે, ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ રીતે પડતો જણાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{r,m} = \vec{v}_{r,g} - \vec{v}_{m,g}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી, $\vec{v}_{r,g}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક માણસના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ:
$v_{r,g} \sin 30^{\circ} = v_{m,g}$
$v_{r,g} \times (1/2) = 10 \,km/h$
$v_{r,g} = 20 \,km/h$.

(C) સાદા લોલકનો ગોળો એક સ્થિર ગોળાની નીચે શિરોલંબ લટકાવેલો છે. બંને ગોળાઓ સમાન વિદ્યુતભાર $q$ ધરાવે છે.
ગોળાઓ શિરોલંબ રેખામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચે લાગતું અપાકર્ષણ બળ દોરીની દિશામાં જ લાગે છે.
આ સ્થિત-વિદ્યુત બળ ગતિશીલ ગોળા પર ઉપરની દિશામાં લાગે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ની વિરુદ્ધ છે.
જોકે,સાદા લોલક માટે પુનઃસ્થાપક બળ દોરીને લંબ દિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ દોરીની દિશામાં હોવાથી તેનો દોરીને લંબ કોઈ ઘટક મળતો નથી.
તેથી,સ્થિત-વિદ્યુત બળ લોલકની ગતિ કે પુનઃસ્થાપક બળને અસર કરતું નથી.
આમ,લોલકનો આવર્તકાળ બદલાતો નથી: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા ચોખ્ખા બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે:
$F_{ext} = \frac{dp}{dt}$
જો કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ હોય,તો $\frac{dp}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે રેખીય વેગમાન $p$ અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.
અથડામણના કિસ્સામાં,જો સમયગાળો $\Delta t$ અત્યંત નાનો (નગણ્ય) હોય અને બાહ્ય બળ મર્યાદિત હોય,તો આઘાત $J = F_{ext} \cdot \Delta t$ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,અથડામણ માટે,જો બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય અથવા બાહ્ય બળ મર્યાદિત હોય અને અથડામણનો સમય નગણ્ય હોય,તો રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
આમ,શરત $(1)$ અને $(2)$ બંને રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણની જરૂરિયાતને સંતોષે છે.

(D) સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ $O$) ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m(2v)(a) + (2m)(v)(2a) = 2mav + 4mav = 6mav$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_{total} \omega$,જ્યાં $I_{total}$ એ કણો સળિયા સાથે ચોંટી ગયા પછી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{total} = I_{rod} + I_{m} + I_{2m} = \frac{(6m)(8a)^2}{12} + m(a)^2 + (2m)(2a)^2$.
$I_{total} = \frac{6m(64a^2)}{12} + ma^2 + 8ma^2 = 32ma^2 + ma^2 + 8ma^2 = 41ma^2$.
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા:
$6mav = (41ma^2) \omega$.
તેથી,$\omega = \frac{6mav}{41ma^2} = \frac{6v}{41a}$.

(C) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રામાં થતો ફેરફાર ત્રિજ્યા $R$ માં થતા ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.
તાપમાનમાં થતા નાના ફેરફાર $\Delta t$ માટે,ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\Delta R = R \alpha \Delta t$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R' = R(1 + \alpha \Delta t)$ થશે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{1}{2} M (R')^2 = \frac{1}{2} M R^2 (1 + \alpha \Delta t)^2$ થશે.
નાના મૂલ્યો માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ વાપરતા,$I' \approx \frac{1}{2} M R^2 (1 + 2 \alpha \Delta t) = I(1 + 2 \alpha \Delta t)$ મળે.
જડત્વની ચાકમાત્રામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta I}{I} = \frac{I' - I}{I} = 2 \alpha \Delta t$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ અને $\Delta t = 10^{\circ} C$.
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \times (11 \times 10^{-6}) \times 10 = 220 \times 10^{-6} = 0.00022$.
તેથી પ્રતિશત વધારો $0.00022 \times 100 = 0.022 \%$ થાય.

(B) પૃથ્વીની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની પોતાની ધરી પરની ચાકગતિઊર્જા અને સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાને કારણે તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega_0^2$,જ્યાં નક્કર ગોળા માટે $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
તેથી,$K_{rot} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_0^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2$.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} M v^2$,જ્યાં $v = D \omega$ છે.
તેથી,$K_{trans} = \frac{1}{2} M (D \omega)^2 = \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2 + \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
$\frac{M R^2 \omega_0^2}{5}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે $K_{total} = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \frac{M D^2 \omega^2}{M R^2 \omega_0^2} \right] = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \left( \frac{D \omega}{R \omega_0} \right)^2 \right]$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ છે.
કારણ કે $Q = mc\Delta T = (\rho V c) \Delta T$,તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dT}{dt} = \frac{1}{mc} \frac{dQ}{dt}$ છે.
ગોળા માટે,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ અને $A = 4 \pi r^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dT}{dt} = \frac{\sigma (4 \pi r^2) (T^4 - T_0^4)}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) c} = \frac{3 \sigma (T^4 - T_0^4)}{\rho r c}$.
આમ,તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,ગોળાઓ $A$ અને $B$ માટે તાપમાનમાં થતા ફેરફારના દરનો ગુણોત્તર $\frac{(dT/dt)_A}{(dT/dt)_B} = \frac{r_B}{r_A}$ થાય.

(A) $P-V$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે,જેમાં દબાણ $P$ અચળ રહે છે. $P-T$ આલેખમાં,આ એક આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે,જેમાં તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. $P-T$ આલેખમાં,આ એક ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. પ્રક્રિયા $CD$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે,જેમાં કદ $V$ અચળ રહે છે. $PV = nRT$ હોવાથી,અચળ $V$ માટે $P \propto T$ થાય. તેથી,$P-T$ આલેખમાં,આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
$4$. પ્રક્રિયા $DA$ એ સમોષ્મી (adiabatic) પ્રક્રિયા છે,જે $P-T$ આલેખમાં વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી કરતા,સાચો $P-T$ આલેખ વિકલ્પ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી વાયુ બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે: $P \propto \frac{1}{V}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે. સમતાપી સંકોચન પછી,દબાણ $P_2 = 2P$ અને કદ $V_2 = V_1/2$ થાય છે.
આમ,$\frac{V_1}{V_2} = 2$.
હવે,વાયુ એડિબેટિકલી તેના મૂળ કદ $V_1$ સુધી વિસ્તરે છે. ધારો કે અંતિમ દબાણ $P_3 = 0.75P$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_1^\gamma$.
કિંમતો મૂકતા: $(2P) \left(\frac{V_1}{2}\right)^\gamma = (0.75P) V_1^\gamma$.
$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\gamma = 0.75$.
$2^{1-\gamma} = \frac{3}{4} = 3 \cdot 2^{-2}$.
$2^{3-\gamma} = 3$.
બંને બાજુ લોગ લેતા: $(3-\gamma) \log 2 = \log 3$.
$3-\gamma = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585$.
$\gamma = 3 - 1.585 = 1.415 \approx 1.41$.

(B) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ, સ્ત્રોતથી દૂર જતા નિરીક્ષક દ્વારા સીધો સંભળાતો અવાજ: $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$.
અહીં $f_1 = 970 \,Hz$, $f_0 = 1000 \,Hz$, અને $v = 330 \,m/s$ આપેલ છે: $970 = 1000 \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$v_s$ માટે ઉકેલતા: $330 + v_s = \frac{1000 \times 330}{970} \approx 340.2 \,m/s$, તેથી $v_s \approx 10.2 \,m/s$.
ટેકરી પરથી પરાવર્તિત અવાજ એ રીતે વર્તે છે જાણે તે નિરીક્ષક તરફ આવતા સ્ત્રોતમાંથી આવતો હોય. પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ $f_2$ નું સૂત્ર: $f_2 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $f_2 = 1000 \left( \frac{330}{330 - 10.2} \right) = 1000 \left( \frac{330}{319.8} \right) \approx 1031.89 \,Hz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં, આવૃત્તિ આશરે $1032 \,Hz$ છે.

(C) આપેલ છે: $T_A = T_B$,$f_A = f_B$,$L_A = 80 \text{ cm}$,$L_B = x \text{ cm}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર: $\frac{d_A}{d_B} = 0.81$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર: $\frac{D_A}{D_B} = 2$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = \frac{\pi D^2}{4} \times d$.
તેથી,$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2 \times \frac{d_A}{d_B} = (2)^2 \times 0.81 = 4 \times 0.81 = 3.24$.
તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
કારણ કે $f_A = f_B$ અને $T_A = T_B$,તેથી $L_A \sqrt{\mu_A} = L_B \sqrt{\mu_B}$.
$\frac{L_B}{L_A} = \sqrt{\frac{\mu_A}{\mu_B}} = \sqrt{3.24} = 1.8$.
$x = 80 \times 1.8 = 144 \text{ cm}$.

(C) ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho$ છે,પાઈપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને પાણીનો વેગ $v$ છે.
દર સેકન્ડે પહોંચાડવામાં આવતા પાણીનું દળ $m = A v \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ...$(i)$.
આ પાણી પહોંચાડવા માટે જરૂરી પાવર $P$ એ પાણીની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલો હોય છે:
$P = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (A v \rho) v^2 = \frac{1}{2} A \rho v^3$ ...(ii).
જો આપણે તે જ સમયમાં $n$-ગણું દળ પહોંચાડવા માંગતા હોઈએ,તો નવો દળ પ્રવાહ દર $m' = n m$ થશે.
કારણ કે $m = A v \rho$,તેથી $n (A v \rho) = A v' \rho$,જેનો અર્થ છે કે $v' = n v$.
જરૂરી નવો પાવર $P' = \frac{1}{2} A \rho (v')^3$ છે.
નવા પાવર અને મૂળ પાવરનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} A \rho (n v)^3}{\frac{1}{2} A \rho v^3} = n^3$.
તેથી,પાવર $n^3$-ગણો વધારવો જોઈએ.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, તમામ બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે।
$W_{gravity} + W_{air} = \Delta K$
$mgh + W_{air} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
આપેલ છે: $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$, $h = 50 \,m$, $v_i = 1000 \,ms^{-1}$, $v_f = 500 \,ms^{-1}$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
$W_{gravity} = mgh = 0.01 \times 10 \times 50 = 5 \,J$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (500^2 - 1000^2) = 0.005 \times (250000 - 1000000) = 0.005 \times (-750000) = -3750 \,J$.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં મૂકતા:
$5 + W_{air} = -3750$
$W_{air} = -3750 - 5 = -3755 \,J$.
હવાના અવરોધ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય એ હવાના અવરોધ દ્વારા થયેલા કાર્યનું ઋણ મૂલ્ય છે.
હવાના અવરોધ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $= -(-3755 \,J) = 3755 \,J$.

(A) મુક્ત ન્યુટ્રોન અસ્થાયી હોય છે અને તે સ્વયંભૂ રીતે પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને ઇલેક્ટ્રોન એન્ટી-ન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામે છે.
ક્ષયનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$
આ પ્રક્રિયાને બીટા-માઇનસ $(\beta^{-})$ ક્ષય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે વિદ્યુતભાર,બેરિયોન સંખ્યા અને લેપ્ટોન સંખ્યાનું સંરક્ષણ કરે છે.

(A) $1$. નાઈટ્રોજન અણુઓ બેન્ડ વર્ણપટ દર્શાવે છે કારણ કે આણ્વિક વર્ણપટમાં ઈલેક્ટ્રોનિક,વાઈબ્રેશનલ અને રોટેશનલ ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણને કારણે બેન્ડ રચાય છે.
$2$. અગ્નિદીપ્ત ઘન પદાર્થો સતત વર્ણપટનું ઉત્સર્જન કરે છે કારણ કે તેમાં ઉષ્મીય આંદોલનને કારણે આવૃત્તિઓની વિશાળ શ્રેણી હોય છે.
$3$. ફ્રોનહોફર રેખાઓ એ સૌર વર્ણપટમાં જોવા મળતી ઘેરી રેખાઓ છે,જે સૌર વાતાવરણમાં રહેલા વાયુઓ દ્વારા ચોક્કસ તરંગલંબાઇના શોષણને કારણે રચાય છે,આમ તે શોષણ વર્ણપટ બનાવે છે.
$4$. લોખંડના સળિયા વચ્ચેની વિદ્યુત ચાપ (Electric arc) આયર્ન પરમાણુઓની લાક્ષણિક રેખીય ઉત્સર્જન વર્ણપટ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,સાચી જોડી $1-C, 2-A, 3-B, 4-D$ છે.

(D) શરૂઆતમાં,તેલનું ટીપું સંતુલનમાં છે,તેથી વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $qE = mg$.
અહીં,$m = 4.8 \times 10^{-13} \,kg$,$q = 2.4 \times 10^{-18} \,C$,અને $g = 10 \,m/s^2$ છે.
જ્યારે પ્લેટોની ધ્રુવીયતા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ $qE$ ની દિશા ઉલટાઈ જાય છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ની સાથે નીચેની તરફ લાગે છે.
ટીપાં પર લાગતું નવું કુલ બળ $F_{net} = qE + mg$ છે.
કારણ કે $qE = mg$,તેથી $F_{net} = mg + mg = 2mg$.
તાત્કાલિક પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{2mg}{m} = 2g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = 10 \,m/s^2$ મૂકતા,આપણને $a = 2 \times 10 = 20 \,m/s^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $12$ કોષોની બેટરીમાં ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $m$ છે.
દરેક ખોટી રીતે જોડાયેલ કોષ એક યોગ્ય રીતે જોડાયેલ કોષના emf ને રદ કરે છે.
આમ,$12$ કોષોની બેટરીનું અસરકારક emf $E_{12} = (12 - m)E - mE = (12 - 2m)E$ છે.
જ્યારે $12$ કોષોની બેટરી અને $2$ કોષોની બેટરી ($2E$ emf) એકબીજાને મદદ કરે છે,ત્યારે કુલ emf $E_{total} = (12 - 2m)E + 2E = (14 - 2m)E$ થાય છે.
પ્રવાહ $i_1 = \frac{(14 - 2m)E}{R} = 3 \text{ A}$ ...$(i)$
જ્યારે તેઓ એકબીજાનો વિરોધ કરે છે,ત્યારે કુલ emf $E_{total} = (12 - 2m)E - 2E = (10 - 2m)E$ થાય છે.
પ્રવાહ $i_2 = \frac{(10 - 2m)E}{R} = 2 \text{ A}$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{3}{2} = \frac{14 - 2m}{10 - 2m}$
$3(10 - 2m) = 2(14 - 2m)$
$30 - 6m = 28 - 4m$
$2 = 2m$
$m = 1$.
તેથી,ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે જે જંકશન પર અવરોધ $r$,કેપેસિટર $C$ અને અવરોધ $2r$ મળે છે ત્યાંનું સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V_x$ છે,અને જ્યાં બેટરીઓના ઋણ ટર્મિનલ્સ મળે છે ત્યાંનું પોટેન્શિયલ $0 \text{ V}$ છે.
બેટરીઓ $P$,$Q$ અને $R$ ના ધન ટર્મિનલ્સ પરનું પોટેન્શિયલ અનુક્રમે $E$,$E$ અને $2E$ છે.
કેપેસિટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,જંકશન સાથે જોડાયેલી કેપેસિટરની પ્લેટ પરનું પોટેન્શિયલ $V_x$ છે અને બીજી પ્લેટ પરનું પોટેન્શિયલ $E$ છે.
જંકશન $V_x$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_x - E}{r} + \frac{V_x - 2E}{2r} + 0 = 0$
$2r$ વડે ગુણતા:
$2(V_x - E) + (V_x - 2E) = 0$
$2V_x - 2E + V_x - 2E = 0$
$3V_x = 4E$
$V_x = \frac{4E}{3}$
કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $|V_x - E| = |\frac{4E}{3} - E| = \frac{E}{3}$ થાય.

(C) અનંત લાંબા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ લૂપ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,તેમ $b$ લંબાઈની બે ઊભી બાજુઓમાં ગતિકીય emf પ્રેરિત થાય છે.
$x$ અંતરે રહેલી બાજુ માટે,વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી પ્રેરિત emf $e_1 = B_1 v b = \left(\frac{\mu_0 i}{2 \pi x}\right) v b$ છે.
$(x+l)$ અંતરે રહેલી બાજુ માટે,પ્રેરિત emf $e_2 = B_2 v b = \left(\frac{\mu_0 i}{2 \pi (x+l)}\right) v b$ છે.
લૂપ દૂર જઈ રહ્યું હોવાથી,આ બે બાજુઓમાં પ્રેરિત emf લૂપ સર્કિટમાં એકબીજાનો વિરોધ કરે છે.
emf નું ચોખ્ખું મૂલ્ય $e = |e_1 - e_2| = \frac{\mu_0 i v b}{2 \pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+l} \right)$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $e = \frac{\mu_0 i v b}{2 \pi} \left( \frac{x+l-x}{x(x+l)} \right) = \frac{\mu_0 i l b v}{2 \pi x(x+l)}$.

(D) ધારો કે $L$ બાજુવાળી મોટી ચોરસ લૂપમાંથી $I$ જેટલો પ્રવાહ વહે છે. મોટી લૂપની એક બાજુ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ મર્યાદિત વાયરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_{side} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \alpha + \sin \beta)$,જ્યાં $d = L/2$ અને $\alpha = \beta = 45^\circ$ છે.
આવી ચાર બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{\pi L} \times 2 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$ છે.
$L \gg l$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ $S_2 = l^2$ પર સમાન છે.
નાની લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = B \times S_2 = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi_2}{I} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 l^2}{\pi L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M \propto \frac{l^2}{L}$.

(B) વિદ્યુતભારો $x=0$ $(q/2)$,$x=a$ $(-q)$,અને $x=2a$ $(q/2)$ પર સ્થિત છે. બિંદુ $P$ એ $x=a$ પરના $-q$ વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે છે. તેથી $P$ નો યામ $x = a + r$ થશે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$q/2$ સામાન્ય લેતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} - \frac{2}{r} + \frac{1}{r-a} \right]$
પદોને જોડતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{r(r^2-a^2)} \right]$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2-a^2)} \right]$
જ્યારે $r \gg a$ હોય,ત્યારે $r^2 - a^2 \approx r^2$ લેતા:
$V \approx \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2a^2}{r^3} = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $x = a + r$ પર છે. $P$ થી વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$x=0$ પરના $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_1 = (a+r) - 0 = r+a$
$x=a$ પરના $-q$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_2 = (a+r) - a = r$
$x=2a$ પરના $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_3 = |(a+r) - 2a| = |r-a| = r-a$ (કારણ કે $r >> a$)
કુલ સ્થિતિમાન $V_P$ છે:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2(r+a)} - \frac{1}{r} + \frac{1}{2(r-a)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{2r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r(r^2-a^2)}$
કારણ કે $r >> a$,તેથી $r^2 - a^2 \approx r^2$.
તેથી,$V_P = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$.

(A) ધારો કે $M_1$ એ ચુંબક $AB$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $M_2$ એ ચુંબક $CD$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે. બિંદુ $P(2,2)$ એ ચુંબક $AB$ ની અક્ષીય રેખા પર તેના કેન્દ્રથી $r_1 = 2$ અંતરે છે,અને ચુંબક $CD$ ની વિષુવરેખીય રેખા પર તેના કેન્દ્રથી $r_2 = 2$ અંતરે છે.
$P$ પર $AB$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M_1}{r_1^3} = 10^{-7} \times \frac{2M_1}{2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_1}{4}$.
$P$ પર $CD$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M_2}{r_2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_2}{2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_2}{8}$.
આપેલ છે કે પરિણામી ક્ષેત્ર $100 \times 10^{-7} \ T$ છે,તેથી $B_1 + B_2 = 100 \times 10^{-7}$.
$10^{-7} (\frac{M_1}{4} + \frac{M_2}{8}) = 100 \times 10^{-7} \Rightarrow 2M_1 + M_2 = 800$ $(i)$.
જ્યારે $CD$ ના ધ્રુવો ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્ર $B_2$ ની દિશા બદલાય છે,તેથી $B_1 - B_2 = 50 \times 10^{-7}$.
$10^{-7} (\frac{M_1}{4} - \frac{M_2}{8}) = 50 \times 10^{-7} \Rightarrow 2M_1 - M_2 = 400$ (ii).
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $4M_1 = 1200 \Rightarrow M_1 = 300 \ Am^2$.
$(i)$ માં $M_1$ ની કિંમત મૂકતા: $2(300) + M_2 = 800 \Rightarrow M_2 = 200 \ Am^2$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ગતિઊર્જા $K$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી, $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: દળ $m_p = m$, વિદ્યુતભાર $q_p = q$. તેથી, $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: દળ $m_d = 2m$, વિદ્યુતભાર $q_d = q$. તેથી, $r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{q}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: દળ $m_\alpha = 4m$, વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2q$. તેથી, $r_\alpha \propto \frac{\sqrt{4m}}{2q} = \frac{2\sqrt{m}}{2q} = \frac{\sqrt{m}}{q}$.
આમ, ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_p : r_d : r_\alpha = \frac{\sqrt{m}}{q} : \frac{\sqrt{2m}}{q} : \frac{\sqrt{m}}{q} = 1 : \sqrt{2} : 1$ થાય.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
કિસ્સો $(1)$: જો વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય. બળ શૂન્ય હોવાથી,કણ સુરેખ રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે.
કિસ્સો $(2)$: જો વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય,તો ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
કિસ્સો $(3)$: જો વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે (જ્યાં $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$),તો વેગના બે ઘટકો પાડી શકાય: એક $\vec{B}$ ને સમાંતર (જે સુરેખ ગતિ કરાવે છે) અને એક $\vec{B}$ ને લંબ (જે વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે). પરિણામી ગતિપથ હેલિક્સ (કુંતલાકાર) હોય છે.
તેથી,વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના ખૂણાના આધારે ત્રણેય ગતિપથ શક્ય છે.

(B) જ્યારે ચુંબકીય સોયને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સોયના ઉત્તર ધ્રુવ પર $F = mB$ અને દક્ષિણ ધ્રુવ પર $F = -mB$ જેટલું બળ લગાડે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,સોય પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = mB - mB = 0$ થાય છે.
જો કે,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ (ધ્રુવો) પર લાગતા હોવાથી,તેઓ એક બળયુગ્મ બનાવે છે જે સોય પર $\tau = mB \times l \sin(\theta)$ જેટલું ટોર્ક લગાડે છે,જે તેને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
તેથી,ટોર્ક હાજર છે,પરંતુ ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે.

(A) મુક્ત ન્યુટ્રોન અસ્થાયી હોય છે અને તે સ્વયંભૂ રીતે પ્રોટોન, ઇલેક્ટ્રોન અને ઇલેક્ટ્રોન એન્ટી-ન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામે છે. આ ક્ષય પ્રક્રિયાને નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$. આ પ્રક્રિયાને બીટા-માઈનસ $(\beta^{-})$ ક્ષય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) $R$ વક્રતા ત્રિજ્યા અને $\mu_g = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે, હવામાં લેન્સ મેકરનું સૂત્ર:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
આપેલ છે કે $f = 10 \ cm$, તેથી $R = 10 \ cm$.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષને લંબ કાપવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને બે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ મળે છે, જેમાં દરેકની એક સપાટી સપાટ $(R_1 = \infty)$ અને એક વક્ર $(R_2 = -10 \ cm)$ હોય છે.
દરેક પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{f'} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-10} \right) = 0.5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{20} \implies f' = 20 \ cm$.
જ્યારે આ બે ટુકડાઓને એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે જેથી બહિર્ગોળ સપાટીઓ એકબીજાને સ્પર્શે, ત્યારે આ સંયોજન $R_1 = 10 \ cm$ અને $R_2 = -10 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા એક લેન્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે તેને પાણીમાં $(\mu_w = 4/3)$ ડૂબાડવામાં આવે, ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $F'$:
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{2}{10} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$
તેથી, $F' = 40 \ cm$.

(A) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ કોણીય વિભાજન $(\delta_v - \delta_r)$ અને સરેરાશ વિચલન $(\delta_y)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y} = \frac{(\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A}{(\mu_y - 1)A} = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિભાજન શક્તિ માત્ર પ્રિઝમના દ્રવ્યના વિવિધ રંગો માટેના વક્રીભવનાંક $(\mu_v, \mu_r, \mu_y)$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રિઝમના ખૂણા $(A)$, આકાર કે કદ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $CE$ કોન્ફિગરેશનમાં કાર્યરત $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,બેઝ-એમિટર્સ જંકશન ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ હોય છે,જ્યારે કલેક્ટર-એમિટર્સ જંકશન રિવર્સ-બાયસ્ડ હોય છે.
જંકશનનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ છે.
ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ જંકશન (બેઝ-એમિટર્સ) માટે,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ $d_1$ ખૂબ જ નાની હોય છે.
રિવર્સ-બાયસ્ડ જંકશન (કલેક્ટર-એમિટર્સ) માટે,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ $d_2$ નોંધપાત્ર રીતે મોટી હોય છે.
કારણ કે $C \propto \frac{1}{d}$,નાની ડેપ્લેશન પહોળાઈને કારણે કેપેસિટન્સ વધારે મળે છે.
તેથી,$d_1 < d_2$ હોવાથી $C_1 > C_2$ થાય છે.

(D) આપેલ થર્મો emf સમીકરણ: $V = 10 \times 10^{-6} t - \frac{1}{40} \times 10^{-6} t^2$.
તટસ્થ તાપમાન $(t_n)$ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ: $\frac{dV}{dt} = 10 \times 10^{-6} - \frac{2}{40} \times 10^{-6} t = 0$.
$10 \times 10^{-6} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} t_n$.
$t_n = 200^{\circ} C$.
મહત્તમ થર્મો emf $(V_{\max})$ શોધવા માટે,આપણે $t_n = 200^{\circ} C$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$V_{\max} = 10 \times 10^{-6} (200) - \frac{1}{40} \times 10^{-6} (200)^2$.
$V_{\max} = 2 \times 10^{-3} - \frac{40000}{40} \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$.

(D) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[C] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$[R] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$[L] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$[I] = [A]$
$(1)$ $[CR] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] \times [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$. આ સમય દર્શાવે છે.
$(2)$ $[L/R] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] / [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$. આ સમય દર્શાવે છે.
$(3)$ $[\sqrt{LC}] = ([M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2])^{1/2} = [T^2]^{1/2} = [T^1]$. આ સમય દર્શાવે છે.
$(4)$ $[LI^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [A^2] = [M L^2 T^{-2}]$. આ ઉર્જા દર્શાવે છે,સમય નહીં.
આમ,રાશિઓ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ સમયના પરિમાણ ધરાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto w$.
આપેલ છે કે પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w_1 = 4w_2$ છે,તેથી તીવ્રતાઓનો સંબંધ $I_1 = 4I_2$ થશે.
ધારો કે $I_2 = I$,તો $I_1 = 4I$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{4I} + \sqrt{I})^2}{(\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(2\sqrt{I} + \sqrt{I})^2}{(2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I})^2} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $9: 1$ છે.