$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^2 = 0$ का हल ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x^2+11x+13}{x^3+6x^2+11x+6}\right)y = \frac{x+3}{x+1}$,जहाँ $x > -1$,का हल वक्र है,जो बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{4x}{x^2-1}y=\frac{x+2}{(x^2-1)^{5/2}}$ का हल है,जहाँ $x > 1$,और $y(2)=\frac{2}{9}\log_e(2+\sqrt{3})$ तथा $y(\sqrt{2})=\alpha\log_e(\sqrt{\alpha}+\beta)+\beta-\sqrt{\gamma}$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in N$,तो $\alpha\beta\gamma$ का मान $........$ है।

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) $e^x$ है।
$R$. $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक $e^{\int P(x) dx}$ है।
तो,निम्नलिखित में से सही कथन है:

अवकल समीकरण $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I$. यदि $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$ है,तो $ye^{x^2}=2x+c$
$II$. यदि $ye^{x^2}-2x=c$ है,तो $dx=\frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?