यदि $b$ और $c$ परवलय $y^2 = 4ax$ की किसी भी नाभिकीय जीवा (focal chord) के खंडों की लंबाई हैं,तो अर्ध-नाभिलंब (semi-latus rectum) की लंबाई क्या है?

तीन बिंदु $O(0,0)$,$P(a, a^2)$,और $Q(-b, b^2)$ जहाँ $a > 0$ और $b > 0$ परवलय $y = x^2$ पर स्थित हैं। मान लीजिए $S_1$ रेखा $PQ$ और परवलय द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है,और $S_2$ त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल है। यदि $\frac{S_1}{S_2}$ का न्यूनतम मान $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

परवलय $y^2 = 4ax$ के नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण क्या है?

यदि एक बिंदु $P$ से परवलय $y^2 = 4x$ पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ समकोण पर हैं,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

परवलय $x^{2}=12y$ के शीर्ष को नाभिलंब (latus rectum) के सिरों से जोड़ने वाली रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

यदि रेखा $x-y=-4K$ परवलय $y^2=8x$ के बिंदु $P$ पर एक स्पर्श रेखा है,तो $P$ पर अभिलंब की $(K, 2K)$ से लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।