TS EAMCET 2006 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि पानी के सापेक्ष नाव का वेग $v_b$ है और पानी के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_m$ है।
दिया गया है कि नाव के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_{mb} = 2 \,ms^{-1}$ है।
परिभाषा के अनुसार, $v_{mb} = v_m - v_b$, इसलिए $v_m = v_b + 2$.
चूंकि निकाय (व्यक्ति + नाव) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 200 v_b + 50(v_b + 2)$.
$P_i = P_f$ को बराबर करने पर:
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$
$250 v_b = -100$
$v_b = -\frac{100}{250} = -0.4 \,ms^{-1}$.
नाव के वेग का परिमाण $0.4 \,ms^{-1}$ है (व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में)।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी $(r < R_e)$ पर $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{GMmr}{R_e^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F \propto -r$,बल केंद्र से विस्थापन के समानुपाती एक प्रत्यानयन बल है,जो सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए आवश्यक शर्त है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बताता है,जो स्वयं एक सत्य कथन है $(F \propto 1/r^2)$।
हालाँकि,पृथ्वी के अंदर की गति एक गोले के भीतर प्रभावी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा निर्धारित होती है,जहाँ बल $r$ के समानुपाती होता है,न कि $1/r^2$ के। इसलिए,कारण $(R)$,कथन $(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) $1$. जब वस्तु समान वेग से नीचे फिसलती है,तो कुल बल शून्य होता है। इसका अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$,गतिज घर्षण $f_k = \mu_k mg \cos \theta$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$\mu_k = \tan \theta$.
$2$. जब वस्तु को $u$ वेग से ऊपर धकेला जाता है,तो उसे $a_{up} = g \sin \theta + \mu_k g \cos \theta$ का मंदन मिलता है। चूँकि $\mu_k = \tan \theta$,इसलिए $a_{up} = 2g \sin \theta$.
$3$. रुकने के बाद,वस्तु नीचे फिसलती है। ऊपर की यात्रा के दौरान घर्षण के कारण नष्ट हुई ऊर्जा $W_f = f_k \times d$ है। नीचे की यात्रा के दौरान भी उतनी ही ऊर्जा घर्षण में व्यय होती है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + W_{gravity} - W_{friction}$ होगी। घर्षण के कारण ऊर्जा के ह्रास के कारण,अंतिम वेग $u$ से कम होगा।

(D) माना कि दो साबुन के बुलबुलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $a$ और $b$ हैं और बड़े बुलबुले की त्रिज्या $c$ है।
साबुन के बुलबुले के लिए अतिरिक्त दबाव $\frac{4 T}{r}$ है और बाहरी दबाव $P$ है।
अतः,$P_a = P + \frac{4 T}{a}$,$P_b = P + \frac{4 T}{b}$ और $P_c = P + \frac{4 T}{c}$ ...$(i)$
आयतन $V_a = \frac{4}{3} \pi a^3$,$V_b = \frac{4}{3} \pi b^3$ और $V_c = \frac{4}{3} \pi c^3$ है ...(ii)
हवा के मोलों के संरक्षण के नियम से,$P_a V_a + P_b V_b = P_c V_c$.
समीकरण $(i)$ और (ii) का उपयोग करते हुए:
$(P + \frac{4 T}{a})(\frac{4}{3} \pi a^3) + (P + \frac{4 T}{b})(\frac{4}{3} \pi b^3) = (P + \frac{4 T}{c})(\frac{4}{3} \pi c^3)$
$P(\frac{4}{3} \pi)(a^3 + b^3 - c^3) + \frac{16}{3} \pi T(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
यहाँ आयतन में परिवर्तन $V = \frac{4}{3} \pi(c^3 - a^3 - b^3)$ और क्षेत्रफल में परिवर्तन $A = 4 \pi(c^2 - a^2 - b^2)$ लेने पर:
$-P V + \frac{4}{3} T A = 0$ अर्थात $3 P V + 4 T A = 0$।

(C) तन्य पदार्थ वे होते हैं जिन्हें खींचकर पतले तारों में बदला जा सकता है। यह गुण प्रत्यास्थ सीमा और भंजन बिंदु के बीच बड़े प्लास्टिक विरूपण (plastic deformation) क्षेत्र के कारण होता है।
इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है।
तन्य पदार्थों के लिए प्रतिबल-विकृति वक्र में,प्रत्यास्थ सीमा और भंजन बिंदु के बीच का क्षेत्र बड़ा होता है,जो पदार्थ के टूटने से पहले महत्वपूर्ण विस्तार की अनुमति देता है।
कारण $(R)$ कहता है कि यह लंबाई बहुत कम है,जो कि गलत है।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(A) $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समदाबी प्रक्रिया है जिसमें दबाव स्थिर रहता है $(P = \text{constant})$।
$2$. प्रक्रिया $BC$ एक समतापीय प्रक्रिया है जिसमें तापमान स्थिर रहता है $(T = \text{constant})$।
$3$. प्रक्रिया $CD$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है जिसमें आयतन स्थिर रहता है $(V = \text{constant})$।
$4$. प्रक्रिया $DA$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया है।
$P-T$ आरेख का विश्लेषण करने पर:
- प्रक्रिया $AB$ $(P = \text{constant})$ के लिए, ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है।
- प्रक्रिया $BC$ $(T = \text{constant})$ के लिए, ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
- प्रक्रिया $CD$ $(V = \text{constant})$ के लिए, चूंकि $PV = nRT$, इसलिए $P = (nR/V)T$। अतः, $P \propto T$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
- प्रक्रिया $DA$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया $(PV^{\gamma} = \text{constant})$ है, जो $P-T$ आरेख में वक्र $DA$ के अनुरूप है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, सही $P-T$ आरेख विकल्प $(a)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) माना पानी के सापेक्ष नाव का वेग $v_b$ है और पानी के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_m$ है।
दिया गया है कि नाव के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_{m/b} = 2 \,ms^{-1}$ है।
सापेक्ष वेग की परिभाषा के अनुसार, $v_{m/b} = v_m - v_b$, इसलिए $v_m = v_b + 2$.
चूंकि निकाय (व्यक्ति + नाव) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं लग रहा है, इसलिए निकाय का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 0$.
मान रखने पर: $200 v_b + 50(v_b + 2) = 0$.
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$.
$250 v_b = -100$.
$v_b = -100 / 250 = -0.4 \,ms^{-1}$.
वेग का परिमाण $0.4 \,ms^{-1}$ या $2/5 \,ms^{-1}$ है।

(B) स्थिति $1$: जब ब्लॉक को धीरे-धीरे नीचे लाया जाता है,तो वह संतुलन स्थिति में पहुँच जाता है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है। $k d = m g$,इसलिए $d = \frac{m g}{k}$.
स्थिति $2$: जब ब्लॉक को बिना खिंची हुई स्थिति से अचानक गिरने दिया जाता है,तो ब्लॉक सरल आवर्त गति करता है। मान लीजिए कि अधिकतम विस्तार $x$ है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में कमी स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$m g x = \frac{1}{2} k x^2$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{2 m g}{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d = \frac{m g}{k}$,इसलिए $x = 2 d$.

(C) तरल में ऊपर की ओर उठते हुए हवा के बुलबुले का टर्मिनल वेग $v$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{\eta}$.
यहाँ,$r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$\rho = 1.5 \ g/cc = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$,और $v = 0.25 \ cm/s = 0.25 \times 10^{-2} \ m/s$.
श्यानता गुणांक $\eta$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{r^2 \rho g}{v}$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{(10^{-2})^2 \cdot (1.5 \times 10^3) \cdot 9.8}{0.25 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{10^{-4} \cdot 1500 \cdot 9.8}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot \frac{1.47}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot 588 \approx 130.6 \ Pa \ s$.
अतः,श्यानता गुणांक लगभग $130 \ Pa \ s$ है।

(A) तार में स्ट्रेस $\text{Stress} = \frac{\text{Tension}}{\text{Area of cross-section}}$ द्वारा दिया जाता है।
टूटने से बचने के लिए, स्ट्रेस ब्रेकिंग स्ट्रेस से अधिक नहीं होना चाहिए।
मान लीजिए तार में तनाव $T$ है और निकाय का त्वरण $a$ है।
दो ब्लॉकों के लिए गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1 \, kg$ ब्लॉक के लिए: $T - 1(10) = 1a \implies T - 10 = a$ (समीकरण $1$)
$2 \, kg$ ब्लॉक के लिए: $2(10) - T = 2a \implies 20 - T = 2a$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(T - 10) + (20 - T) = a + 2a$
$10 = 3a \implies a = \frac{10}{3} \, m/s^2$
समीकरण $1$ में $a$ का मान रखने पर:
$T = 10 + \frac{10}{3} = \frac{40}{3} \, N$
ब्रेकिंग स्ट्रेस $\sigma_{max} = 2 \times 10^9 \, N/m^2$ है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
न्यूनतम त्रिज्या $r$ ज्ञात करने के लिए स्ट्रेस को ब्रेकिंग स्ट्रेस के बराबर रखने पर:
$\frac{T}{A} = \sigma_{max} \implies \frac{40/3}{\pi r^2} = 2 \times 10^9$
$r^2 = \frac{40}{3 \times \pi \times 2 \times 10^9} = \frac{20}{3 \pi \times 10^9} \approx 2.122 \times 10^{-9} \, m^2$
$r = \sqrt{2.122 \times 10^{-9}} \approx 4.6 \times 10^{-5} \, m$.

(B) प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
दिया गया है $R = 20 \ m$ और $\theta = 30^{\circ}$,इसलिए $20 = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g}$।
$\Rightarrow 20 = \frac{u^2 \sin 60^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\frac{u^2}{g} = \frac{20 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}}$।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left(\frac{u^2}{g}\right) \sin^2 \theta$ है।
मान रखने पर,$H = \frac{1}{2} \times \left(\frac{40}{\sqrt{3}}\right) \times \sin^2 30^{\circ}$।
$H = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{\sqrt{3}} \ m$।

$(\text{A})$ मान लीजिए $\vec{v}_{r,g}$ जमीन के सापेक्ष बारिश का वेग है, $\vec{v}_{m,g}$ जमीन के सापेक्ष आदमी का वेग है, और $\vec{v}_{r,m}$ आदमी के सापेक्ष बारिश का वेग है।
जब आदमी स्थिर होता है, तो बारिश ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ पर गिरती है। अतः, $\vec{v}_{r,g}$ का क्षैतिज घटक $v_{r,g} \sin 30^{\circ}$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $v_{r,g} \cos 30^{\circ}$ है।
जब आदमी $v_{m,g} = 10 \,km/h$ की गति से दौड़ता है, तो बारिश लंबवत रूप से गिरती हुई प्रतीत होती है। इसका मतलब है कि सापेक्ष वेग $\vec{v}_{r,m} = \vec{v}_{r,g} - \vec{v}_{m,g}$ का क्षैतिज घटक शून्य होना चाहिए।
इसलिए, $\vec{v}_{r,g}$ का क्षैतिज घटक आदमी के वेग के बराबर होना चाहिए:
$v_{r,g} \sin 30^{\circ} = v_{m,g}$
$v_{r,g} \times (1/2) = 10 \,km/h$
$v_{r,g} = 20 \,km/h$.

(C) सरल लोलक का गोलक एक स्थिर गोलक के नीचे ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है। दोनों गोलकों पर समान आवेश $q$ है।
चूंकि गोलक ऊर्ध्वाधर रेखा में हैं,इसलिए उनके बीच लगने वाला प्रतिकर्षण बल डोरी की दिशा में ही कार्य करता है।
यह स्थिर-वैद्युत बल गतिशील गोलक पर ऊपर की ओर कार्य करता है,जो गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ के विपरीत है।
हालाँकि,एक सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल डोरी के लंबवत गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \sin \theta$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
स्थिर-वैद्युत बल डोरी की दिशा में कार्य करता है और इसका डोरी के लंबवत कोई घटक नहीं होता है।
इसलिए,स्थिर-वैद्युत बल लोलक की गति या प्रत्यानयन बल को प्रभावित नहीं करता है।
अतः,लोलक का आवर्तकाल अपरिवर्तित रहता है: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर निकाय पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल के बराबर होती है:
$F_{ext} = \frac{dp}{dt}$
यदि कुल बाह्य बल $F_{ext} = 0$ है,तो $\frac{dp}{dt} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि रैखिक संवेग $p$ स्थिर (संरक्षित) रहता है।
टक्कर के मामले में,यदि समय अंतराल $\Delta t$ अत्यंत छोटा (नगण्य) है और बाह्य बल परिमित है,तो आवेग $J = F_{ext} \cdot \Delta t$ शून्य के करीब पहुंच जाता है।
इसलिए,टक्कर के लिए,रैखिक संवेग तब संरक्षित होता है यदि बाह्य बल शून्य हो या यदि बाह्य बल परिमित हो और टक्कर का समय नगण्य हो।
अतः,शर्त $(1)$ और $(2)$ दोनों रैखिक संवेग संरक्षण की आवश्यकता को पूरा करती हैं।

(D) छड़ के द्रव्यमान केंद्र (मध्य बिंदु $O$) के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m(2v)(a) + (2m)(v)(2a) = 2mav + 4mav = 6mav$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_{total} \omega$,जहाँ $I_{total}$ कणों के छड़ से चिपकने के बाद द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{total} = I_{rod} + I_{m} + I_{2m} = \frac{(6m)(8a)^2}{12} + m(a)^2 + (2m)(2a)^2$.
$I_{total} = \frac{6m(64a^2)}{12} + ma^2 + 8ma^2 = 32ma^2 + ma^2 + 8ma^2 = 41ma^2$.
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर:
$6mav = (41ma^2) \omega$.
अतः,$\omega = \frac{6mav}{41ma^2} = \frac{6v}{41a}$.

(C) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण में परिवर्तन त्रिज्या $R$ में परिवर्तन पर निर्भर करता है।
तापमान में छोटे परिवर्तन $\Delta t$ के लिए,त्रिज्या में परिवर्तन $\Delta R = R \alpha \Delta t$ होता है।
नई त्रिज्या $R' = R(1 + \alpha \Delta t)$ होगी।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{2} M (R')^2 = \frac{1}{2} M R^2 (1 + \alpha \Delta t)^2$ होगा।
छोटे मानों के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर,$I' \approx \frac{1}{2} M R^2 (1 + 2 \alpha \Delta t) = I(1 + 2 \alpha \Delta t)$ प्राप्त होता है।
जड़त्व आघूर्ण में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta I}{I} = \frac{I' - I}{I} = 2 \alpha \Delta t$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\alpha = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta t = 10^{\circ} C$.
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \times (11 \times 10^{-6}) \times 10 = 220 \times 10^{-6} = 0.00022$.
अतः प्रतिशत वृद्धि $0.00022 \times 100 = 0.022 \%$ है।

(B) पृथ्वी की कुल गतिज ऊर्जा उसकी अपनी धुरी पर घूर्णन गतिज ऊर्जा और सूर्य के चारों ओर उसकी कक्षीय गति के कारण स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का योग है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega_0^2$,जहाँ ठोस गोले के लिए $I = \frac{2}{5} M R^2$ है।
अतः,$K_{rot} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_0^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2$.
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} M v^2$,जहाँ $v = D \omega$ है।
अतः,$K_{trans} = \frac{1}{2} M (D \omega)^2 = \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2 + \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
$\frac{M R^2 \omega_0^2}{5}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है $K_{total} = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \frac{M D^2 \omega^2}{M R^2 \omega_0^2} \right] = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \left( \frac{D \omega}{R \omega_0} \right)^2 \right]$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ है।
चूंकि $Q = mc\Delta T = (\rho V c) \Delta T$,तापमान परिवर्तन की दर $\frac{dT}{dt} = \frac{1}{mc} \frac{dQ}{dt}$ है।
गोले के लिए,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $A = 4 \pi r^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{dt} = \frac{\sigma (4 \pi r^2) (T^4 - T_0^4)}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) c} = \frac{3 \sigma (T^4 - T_0^4)}{\rho r c}$।
इस प्रकार,तापमान परिवर्तन की दर त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है: $\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{r}$।
अतः,गोलों $A$ और $B$ के लिए तापमान परिवर्तन की दर का अनुपात $\frac{(dT/dt)_A}{(dT/dt)_B} = \frac{r_B}{r_A}$ है।

(A) $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है,जिसमें दबाव $P$ स्थिर रहता है। $P-T$ आरेख में,इसे एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है,जिसमें तापमान $T$ स्थिर रहता है। $P-T$ आरेख में,इसे एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. प्रक्रिया $CD$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है,जिसमें आयतन $V$ स्थिर रहता है। चूँकि $PV = nRT$,स्थिर $V$ के लिए $P \propto T$ होता है। अतः,$P-T$ आरेख में,यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$4$. प्रक्रिया $DA$ एक रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया है,जिसे $P-T$ आरेख में एक वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
इन विशेषताओं की तुलना करने पर,सही $P-T$ आरेख विकल्प $(a)$ में दिखाया गया है।

(B) समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान स्थिर रहता है,इसलिए गैस बॉयल के नियम का पालन करती है: $P \propto \frac{1}{V}$।
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1$ है। समतापीय संपीड़न के बाद,दबाव $P_2 = 2P$ और आयतन $V_2 = V_1/2$ हो जाता है।
अतः,$\frac{V_1}{V_2} = 2$।
अब,गैस रुद्धोष्म रूप से अपने मूल आयतन $V_1$ तक फैलती है। मान लीजिए अंतिम दबाव $P_3 = 0.75P$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_1^\gamma$।
मान रखने पर: $(2P) \left(\frac{V_1}{2}\right)^\gamma = (0.75P) V_1^\gamma$।
$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\gamma = 0.75$।
$2^{1-\gamma} = \frac{3}{4} = 3 \cdot 2^{-2}$।
$2^{3-\gamma} = 3$।
दोनों तरफ लॉग लेने पर: $(3-\gamma) \log 2 = \log 3$।
$3-\gamma = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585$।
$\gamma = 3 - 1.585 = 1.415 \approx 1.41$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार, स्रोत से दूर जा रहे प्रेक्षक द्वारा सीधे सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति: $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$.
यहाँ $f_1 = 970 \,Hz$, $f_0 = 1000 \,Hz$, और $v = 330 \,m/s$ दिया गया है: $970 = 1000 \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$v_s$ के लिए हल करने पर: $330 + v_s = \frac{1000 \times 330}{970} \approx 340.2 \,m/s$, अतः $v_s \approx 10.2 \,m/s$.
पहाड़ी से परावर्तित ध्वनि ऐसे व्यवहार करती है जैसे वह प्रेक्षक की ओर आते हुए स्रोत से आ रही हो। परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $f_2$ का सूत्र: $f_2 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
मान रखने पर: $f_2 = 1000 \left( \frac{330}{330 - 10.2} \right) = 1000 \left( \frac{330}{319.8} \right) \approx 1031.89 \,Hz$.
निकटतम पूर्णांक में, आवृत्ति लगभग $1032 \,Hz$ है।

(C) दिया गया है: $T_A = T_B$,$f_A = f_B$,$L_A = 80 \text{ cm}$,$L_B = x \text{ cm}$.
घनत्व का अनुपात: $\frac{d_A}{d_B} = 0.81$.
व्यास का अनुपात: $\frac{D_A}{D_B} = 2$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = \frac{\pi D^2}{4} \times d$.
अतः,$\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2 \times \frac{d_A}{d_B} = (2)^2 \times 0.81 = 4 \times 0.81 = 3.24$.
तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है।
चूंकि $f_A = f_B$ और $T_A = T_B$,इसलिए $L_A \sqrt{\mu_A} = L_B \sqrt{\mu_B}$.
$\frac{L_B}{L_A} = \sqrt{\frac{\mu_A}{\mu_B}} = \sqrt{3.24} = 1.8$.
$x = 80 \times 1.8 = 144 \text{ cm}$.

(C) मान लीजिए पानी का घनत्व $\rho$ है,पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है और पानी का वेग $v$ है।
प्रति सेकंड प्रवाहित पानी का द्रव्यमान $m = A v \rho$ द्वारा दिया जाता है ...$(i)$।
इस पानी को पहुंचाने के लिए आवश्यक शक्ति $P$,पानी की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर के बराबर होती है:
$P = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (A v \rho) v^2 = \frac{1}{2} A \rho v^3$ ...(ii)।
यदि हम उसी समय में $n$-गुना द्रव्यमान पहुंचाना चाहते हैं,तो नई द्रव्यमान प्रवाह दर $m' = n m$ होगी।
चूंकि $m = A v \rho$,इसलिए $n (A v \rho) = A v' \rho$,जिसका अर्थ है $v' = n v$।
आवश्यक नई शक्ति $P' = \frac{1}{2} A \rho (v')^3$ है।
नई शक्ति और मूल शक्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} A \rho (n v)^3}{\frac{1}{2} A \rho v^3} = n^3$।
अतः,शक्ति को $n^3$-गुना बढ़ाया जाना चाहिए।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{gravity} + W_{air} = \Delta K$
$mgh + W_{air} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
दिया गया है: $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$, $h = 50 \,m$, $v_i = 1000 \,ms^{-1}$, $v_f = 500 \,ms^{-1}$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
$W_{gravity} = mgh = 0.01 \times 10 \times 50 = 5 \,J$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (500^2 - 1000^2) = 0.005 \times (250000 - 1000000) = 0.005 \times (-750000) = -3750 \,J$.
इन मानों को कार्य-ऊर्जा प्रमेय में रखने पर:
$5 + W_{air} = -3750$
$W_{air} = -3750 - 5 = -3755 \,J$.
वायु प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य, वायु प्रतिरोध द्वारा किए गए कार्य का ऋणात्मक मान होता है।
वायु प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य $= -(-3755 \,J) = 3755 \,J$.

(A) एक मुक्त न्यूट्रॉन अस्थिर होता है और स्वतः एक प्रोटॉन,एक इलेक्ट्रॉन और एक इलेक्ट्रॉन एंटी-न्यूट्रिनो में क्षयित हो जाता है।
क्षय समीकरण इस प्रकार है:
$n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$
इस प्रक्रिया को बीटा-माइनस $(\beta^{-})$ क्षय के रूप में जाना जाता है,जो आवेश,बेरियोन संख्या और लेप्टोन संख्या का संरक्षण करती है।

(A) $1$. नाइट्रोजन अणु बैंड स्पेक्ट्रम प्रदर्शित करते हैं क्योंकि आणविक स्पेक्ट्रम में इलेक्ट्रॉनिक,कंपन और घूर्णन ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के कारण बैंड बनते हैं।
$2$. तापदीप्त ठोस एक सतत स्पेक्ट्रम उत्सर्जित करते हैं क्योंकि उनमें तापीय हलचल के कारण आवृत्तियों की एक विस्तृत श्रृंखला होती है।
$3$. फ्रॉनहोफर रेखाएँ सौर स्पेक्ट्रम में देखी जाने वाली काली रेखाएँ हैं,जो सौर वायुमंडल में गैसों द्वारा विशिष्ट तरंग दैर्ध्य के अवशोषण के कारण बनती हैं,इस प्रकार यह एक अवशोषण स्पेक्ट्रम बनाती हैं।
$4$. लोहे की छड़ों के बीच विद्युत आर्क लोहे के परमाणुओं की विशेषता वाला एक रेखीय उत्सर्जन स्पेक्ट्रम उत्पन्न करता है।
अतः,सही मिलान $1-C, 2-A, 3-B, 4-D$ है।

(D) प्रारंभ में,तेल की बूंद संतुलन में है,इसलिए विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है: $qE = mg$।
यहाँ,$m = 4.8 \times 10^{-13} \,kg$,$q = 2.4 \times 10^{-18} \,C$,और $g = 10 \,m/s^2$ है।
जब प्लेटों की ध्रुवता बदल दी जाती है,तो विद्युत बल $qE$ की दिशा उलट जाती है और यह गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
बूंद पर लगने वाला नया कुल बल $F_{net} = qE + mg$ है।
चूंकि $qE = mg$,इसलिए $F_{net} = mg + mg = 2mg$।
तात्कालिक त्वरण $a$ का मान $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{2mg}{m} = 2g$ है।
$g = 10 \,m/s^2$ रखने पर,हमें $a = 2 \times 10 = 20 \,m/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $12$-सेल बैटरी में गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या $m$ है।
प्रत्येक गलत तरीके से जुड़ा सेल एक सही तरीके से जुड़े सेल के emf को रद्द कर देता है।
अतः,$12$-सेल बैटरी का प्रभावी emf $E_{12} = (12 - m)E - mE = (12 - 2m)E$ है।
जब $12$-सेल बैटरी और $2$-सेल बैटरी ($2E$ emf) एक-दूसरे की सहायता करती हैं,तो कुल emf $E_{total} = (12 - 2m)E + 2E = (14 - 2m)E$ होता है।
धारा $i_1 = \frac{(14 - 2m)E}{R} = 3 \text{ A}$ ...$(i)$
जब वे एक-दूसरे का विरोध करती हैं,तो कुल emf $E_{total} = (12 - 2m)E - 2E = (10 - 2m)E$ होता है।
धारा $i_2 = \frac{(10 - 2m)E}{R} = 2 \text{ A}$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{2} = \frac{14 - 2m}{10 - 2m}$
$3(10 - 2m) = 2(14 - 2m)$
$30 - 6m = 28 - 4m$
$2 = 2m$
$m = 1$
अतः,गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या $1$ है।

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि जिस जंक्शन पर प्रतिरोध $r$,संधारित्र $C$ और प्रतिरोध $2r$ मिलते हैं,वहां का सामान्य विभव $V_x$ है,और जहां बैटरियों के ऋणात्मक टर्मिनल मिलते हैं,वहां का विभव $0 \text{ V}$ है।
बैटरियों $P$,$Q$ और $R$ के धनात्मक टर्मिनलों पर विभव क्रमशः $E$,$E$ और $2E$ है।
चूंकि संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए जंक्शन से जुड़ी संधारित्र की प्लेट पर विभव $V_x$ है और दूसरी प्लेट पर विभव $E$ है।
जंक्शन $V_x$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
$\frac{V_x - E}{r} + \frac{V_x - 2E}{2r} + 0 = 0$
$2r$ से गुणा करने पर:
$2(V_x - E) + (V_x - 2E) = 0$
$2V_x - 2E + V_x - 2E = 0$
$3V_x = 4E$
$V_x = \frac{4E}{3}$
संधारित्र पर विभवांतर $|V_x - E| = |\frac{4E}{3} - E| = \frac{E}{3}$ है।

(C) अनंत लंबे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे ही लूप $v$ वेग से गति करता है,$b$ लंबाई की दो ऊर्ध्वाधर भुजाओं में गतिकीय emf प्रेरित होता है।
$x$ दूरी पर स्थित भुजा के लिए,वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए प्रेरित emf $e_1 = B_1 v b = \left(\frac{\mu_0 i}{2 \pi x}\right) v b$ है।
$(x+l)$ दूरी पर स्थित भुजा के लिए,प्रेरित emf $e_2 = B_2 v b = \left(\frac{\mu_0 i}{2 \pi (x+l)}\right) v b$ है।
चूंकि लूप दूर जा रहा है,इसलिए इन दो भुजाओं में प्रेरित emf लूप सर्किट में एक-दूसरे का विरोध करते हैं।
emf का शुद्ध परिमाण $e = |e_1 - e_2| = \frac{\mu_0 i v b}{2 \pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+l} \right)$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $e = \frac{\mu_0 i v b}{2 \pi} \left( \frac{x+l-x}{x(x+l)} \right) = \frac{\mu_0 i l b v}{2 \pi x(x+l)}$।

(D) मान लीजिए कि $L$ भुजा वाले बड़े वर्गाकार लूप से $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। बड़े लूप की एक भुजा द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को परिमित तार के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B_{side} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \alpha + \sin \beta)$,जहाँ $d = L/2$ और $\alpha = \beta = 45^\circ$ है।
चूंकि ऐसी चार भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 I}{\pi L} \times 2 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$ है।
चूंकि $L \gg l$,हम मान सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटे लूप के क्षेत्रफल $S_2 = l^2$ पर एकसमान है।
छोटे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_2 = B \times S_2 = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L} \right) l^2$ है।
अन्योन्य प्रेरण $M$ को $M = \frac{\phi_2}{I} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 l^2}{\pi L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$M \propto \frac{l^2}{L}$।

(B) आवेश $x=0$ $(q/2)$,$x=a$ $(-q)$,और $x=2a$ $(q/2)$ पर स्थित हैं। बिंदु $P$,$x=a$ पर स्थित $-q$ आवेश से $r$ दूरी पर है। अतः $P$ का निर्देशांक $x = a + r$ होगा।
बिंदु $P$ पर कुल विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$q/2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} - \frac{2}{r} + \frac{1}{r-a} \right]$
पदों को संयोजित करने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{r(r^2-a^2)} \right]$
अंश का सरलीकरण करने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2-a^2)} \right]$
चूंकि $r \gg a$,हम $r^2 - a^2 \approx r^2$ मान सकते हैं:
$V \approx \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2a^2}{r^3} = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$

(B) आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग होता है।
मान लीजिए बिंदु $P$,$x = a + r$ पर स्थित है। $P$ से आवेशों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$x=0$ पर स्थित $\frac{q}{2}$ आवेश के लिए: दूरी $d_1 = (a+r) - 0 = r+a$
$x=a$ पर स्थित $-q$ आवेश के लिए: दूरी $d_2 = (a+r) - a = r$
$x=2a$ पर स्थित $\frac{q}{2}$ आवेश के लिए: दूरी $d_3 = |(a+r) - 2a| = |r-a| = r-a$ (चूंकि $r >> a$)
कुल विभव $V_P$ है:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2(r+a)} - \frac{1}{r} + \frac{1}{2(r-a)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{2r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r(r^2-a^2)}$
चूंकि $r >> a$,इसलिए $r^2 - a^2 \approx r^2$.
अतः,$V_P = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$.

(A) माना $M_1$ चुंबक $AB$ का चुंबकीय आघूर्ण है और $M_2$ चुंबक $CD$ का चुंबकीय आघूर्ण है। बिंदु $P(2,2)$,चुंबक $AB$ की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r_1 = 2$ की दूरी पर है,और चुंबक $CD$ की निरक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r_2 = 2$ की दूरी पर है।
$P$ पर $AB$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M_1}{r_1^3} = 10^{-7} \times \frac{2M_1}{2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_1}{4}$.
$P$ पर $CD$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M_2}{r_2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_2}{2^3} = 10^{-7} \times \frac{M_2}{8}$.
दिया गया है कि परिणामी क्षेत्र $100 \times 10^{-7} \ T$ है,इसलिए $B_1 + B_2 = 100 \times 10^{-7}$.
$10^{-7} (\frac{M_1}{4} + \frac{M_2}{8}) = 100 \times 10^{-7} \Rightarrow 2M_1 + M_2 = 800$ $(i)$.
जब $CD$ के ध्रुवों को उलट दिया जाता है,तो क्षेत्र $B_2$ की दिशा बदल जाती है,इसलिए $B_1 - B_2 = 50 \times 10^{-7}$.
$10^{-7} (\frac{M_1}{4} - \frac{M_2}{8}) = 50 \times 10^{-7} \Rightarrow 2M_1 - M_2 = 400$ (ii).
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $4M_1 = 1200 \Rightarrow M_1 = 300 \ Am^2$.
$(i)$ में $M_1$ का मान रखने पर: $2(300) + M_2 = 800 \Rightarrow M_2 = 200 \ Am^2$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ सभी कणों के लिए समान हैं, इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होगा।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: द्रव्यमान $m_p = m$, आवेश $q_p = q$। अतः, $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए: द्रव्यमान $m_d = 2m$, आवेश $q_d = q$। अतः, $r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{q}$।
$\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए: द्रव्यमान $m_\alpha = 4m$, आवेश $q_\alpha = 2q$। अतः, $r_\alpha \propto \frac{\sqrt{4m}}{2q} = \frac{2\sqrt{m}}{2q} = \frac{\sqrt{m}}{q}$।
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $r_p : r_d : r_\alpha = \frac{\sqrt{m}}{q} : \frac{\sqrt{2m}}{q} : \frac{\sqrt{m}}{q} = 1 : \sqrt{2} : 1$ होगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$।
स्थिति $(1)$: यदि वेग $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होता है। बल शून्य है,और कण एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखता है।
स्थिति $(2)$: यदि वेग $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है,तो चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे कण एक वृत्त में गति करता है।
स्थिति $(3)$: यदि वेग $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है (जहाँ $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$),तो वेग को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एक $\vec{B}$ के समानांतर (जो रैखिक गति का कारण बनता है) और एक $\vec{B}$ के लंबवत (जो वृत्तीय गति का कारण बनता है)। परिणामी प्रक्षेप पथ एक हेलिक्स होता है।
इसलिए,वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच के कोण के आधार पर तीनों प्रक्षेप पथ संभव हैं।

(B) जब एक चुंबकीय सुई को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो चुंबकीय क्षेत्र सुई के उत्तरी ध्रुव पर $F = mB$ और दक्षिणी ध्रुव पर $F = -mB$ का बल लगाता है,जहाँ $m$ ध्रुव की शक्ति है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूंकि बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए सुई पर कुल बल $F_{net} = mB - mB = 0$ होता है।
हालाँकि,क्योंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं (ध्रुवों) पर कार्य करते हैं,वे एक बल-युग्म बनाते हैं जो सुई पर $\tau = mB \times l \sin(\theta)$ का आघूर्ण लगाता है,जो इसे चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित करने का प्रयास करता है।
इसलिए,आघूर्ण मौजूद है,लेकिन कुल बल शून्य है।

(A) एक मुक्त न्यूट्रॉन अस्थिर होता है और स्वतः एक प्रोटॉन, एक इलेक्ट्रॉन और एक इलेक्ट्रॉन एंटी-न्यूट्रिनो में क्षयित हो जाता है। इस क्षय प्रक्रिया को समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_{e}$। इस प्रक्रिया को बीटा-माइनस $(\beta^{-})$ क्षय के रूप में जाना जाता है।

(D) $R$ वक्रता त्रिज्या और $\mu_g = 1.5$ अपवर्तनांक वाले उभयोत्तल लेंस के लिए, हवा में लेंस मेकर का सूत्र है:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (1.5 - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$
दिया गया है $f = 10 \ cm$, इसलिए $R = 10 \ cm$ है।
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है, तो हमें दो समतलोत्तल लेंस मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक की एक सतह समतल $(R_1 = \infty)$ और एक सतह वक्र $(R_2 = -10 \ cm)$ होती है।
प्रत्येक समतलोत्तल लेंस की फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{f'} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-10} \right) = 0.5 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{20} \implies f' = 20 \ cm$।
जब इन दो टुकड़ों को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि उत्तल सतहें एक-दूसरे को स्पर्श करें, तो यह संयोजन $R_1 = 10 \ cm$ और $R_2 = -10 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाले एक लेंस के रूप में कार्य करता है।
जब इसे पानी $(\mu_w = 4/3)$ में डुबोया जाता है, तो नई फोकस दूरी $F'$ होगी:
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{F'} = \left( \frac{1.5}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{-10} \right) = \left( \frac{4.5}{4} - 1 \right) \left( \frac{2}{10} \right) = \left( \frac{0.5}{4} \right) \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$
अतः, $F' = 40 \ cm$।

(A) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $(\omega)$ को कोणीय विक्षेपण $(\delta_v - \delta_r)$ और माध्य विचलन $(\delta_y)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y} = \frac{(\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A}{(\mu_y - 1)A} = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$ है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि विक्षेपण क्षमता केवल विभिन्न रंगों के लिए प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक $(\mu_v, \mu_r, \mu_y)$ पर निर्भर करती है।
यह प्रिज्म के कोण $(A)$, आकार या माप पर निर्भर नहीं करती है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) $CE$ कॉन्फ़िगरेशन में कार्य कर रहे $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड-बायस्ड होता है,जबकि कलेक्टर-एमिटर जंक्शन रिवर्स-बायस्ड होता है।
जंक्शन की धारिता (capacitance) $C = \frac{\epsilon A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ अवक्षय परत की चौड़ाई है।
फॉरवर्ड-बायस्ड जंक्शन (बेस-एमिटर) के लिए,अवक्षय परत की चौड़ाई $d_1$ बहुत कम होती है।
रिवर्स-बायस्ड जंक्शन (कलेक्टर-एमिटर) के लिए,अवक्षय परत की चौड़ाई $d_2$ काफी अधिक होती है।
चूँकि $C \propto \frac{1}{d}$,कम अवक्षय चौड़ाई के कारण धारिता अधिक होती है।
इसलिए,$d_1 < d_2$ का अर्थ है $C_1 > C_2$।

(D) दिया गया थर्मो emf समीकरण: $V = 10 \times 10^{-6} t - \frac{1}{40} \times 10^{-6} t^2$।
उदासीन तापमान $(t_n)$ ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dV}{dt} = 10 \times 10^{-6} - \frac{2}{40} \times 10^{-6} t = 0$।
$10 \times 10^{-6} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} t_n$।
$t_n = 200^{\circ} C$।
अधिकतम थर्मो emf $(V_{\max})$ ज्ञात करने के लिए,हम $t_n = 200^{\circ} C$ को मूल समीकरण में रखते हैं:
$V_{\max} = 10 \times 10^{-6} (200) - \frac{1}{40} \times 10^{-6} (200)^2$।
$V_{\max} = 2 \times 10^{-3} - \frac{40000}{40} \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$।

(D) विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[C] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$[R] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$[L] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$[I] = [A]$
$(1)$ $[CR] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] \times [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$। यह समय को दर्शाता है।
$(2)$ $[L/R] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] / [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$। यह समय को दर्शाता है।
$(3)$ $[\sqrt{LC}] = ([M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2])^{1/2} = [T^2]^{1/2} = [T^1]$। यह समय को दर्शाता है।
$(4)$ $[LI^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [A^2] = [M L^2 T^{-2}]$। यह ऊर्जा को दर्शाता है,समय को नहीं।
अतः,राशियाँ $(1)$,$(2)$ और $(3)$ समय की विमा रखती हैं। इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) प्रकाश की तीव्रता $I$,झिरी की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $I \propto w$।
दिया गया है कि पहली झिरी की चौड़ाई $w_1 = 4w_2$ है,इसलिए तीव्रताओं का संबंध $I_1 = 4I_2$ होगा।
मान लीजिए $I_2 = I$,तो $I_1 = 4I$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{4I} + \sqrt{I})^2}{(\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(2\sqrt{I} + \sqrt{I})^2}{(2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I})^2} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$
अतः,अनुपात $9: 1$ है।