(x^2+y^2) dx = 2xy dy का हल ज्ञात कीजिए: | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,$

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$c(x^2-y^2)=x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$माना $u = 1-v^2$,तो $du = -2v dv$। समाकलन करने पर: $-\int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$$-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|c|$$-\ln|1 - (y/x)^2| = \ln|cx|$$-\ln|\frac{x^2-y^2}{x^2}| = \ln|cx|$$\ln|\frac{x^2}{x^2-y^2}| = \ln|cx|$$\frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$$x = c(x^2-y^2)$

$(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ का हल ज्ञात कीजिए:

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$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ जहाँ $x = 1$ है।

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अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ का हल है

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