MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $n$-મા ક્રમની મહત્તમનું સ્થાન $x_n = x_0 + n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x_0$ એ શૂન્ય ક્રમની મહત્તમનું સ્થાન છે અને $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ છે.
$\lambda_1 = 6000 \ Å$ માટે આપેલ છે:
$x_1 = x_0 + 1 \beta_1 = 14.50 \ mm$
$x_{10} = x_0 + 10 \beta_1 = 16.75 \ mm$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $9 \beta_1 = 16.75 - 14.50 = 2.25 \ mm$,તેથી $\beta_1 = 0.25 \ mm$.
તેથી $x_0 = 14.50 - 0.25 = 14.25 \ mm$.
હવે,$\lambda_2 = 5500 \ Å$ માટે,નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_2 = \beta_1 \times (\frac{\lambda_2}{\lambda_1}) = 0.25 \times (\frac{5500}{6000}) = 0.25 \times (\frac{11}{12}) \approx 0.229 \ mm$.
શૂન્ય ક્રમની મહત્તમ $x_0$ નું સ્થાન સમાન રહે છે,જે $14.25 \ mm$ છે.
$10$-મા ક્રમની મહત્તમનું નવું સ્થાન $x'_{10} = x_0 + 10 \beta_2 = 14.25 + 10 \times (0.25 \times \frac{11}{12}) = 14.25 + 2.29 = 16.54 \ mm \approx 16.55 \ mm$.
આમ,સ્થાનો $14.25 \ mm$ અને $16.55 \ mm$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ માટેનું સૂત્ર છે: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ કિંમતો છે: $\lambda = 6000 \, \text{\AA} = 6000 \times 10^{-8} \, \text{cm} = 6 \times 10^{-5} \, \text{cm}$, $D = 40 \, \text{cm}$, અને $\beta = 0.012 \, \text{cm}$.
$d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $d = \frac{\lambda D}{\beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{(6 \times 10^{-5} \, \text{cm}) \times (40 \, \text{cm})}{0.012 \, \text{cm}}$.
$d = \frac{240 \times 10^{-5}}{0.012} \, \text{cm} = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{1.2 \times 10^{-2}} \, \text{cm} = 2 \times 10^{-1} \, \text{cm} = 0.2 \, \text{cm}$.
તેથી, બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $0.2 \, \text{cm}$ છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ હોવાથી,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ મળે.
હવે,તીવ્રતાના સૂત્રમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $I = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = I_0 \times \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2:1$ થાય.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(2\pi / 2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ થાય. તેથી,$I_{max} = I$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda / 6$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 6) = \pi / 3$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I' = I_{max} \cos^2(\phi_2 / 2) = I \cos^2((\pi / 3) / 2) = I \cos^2(\pi / 6)$ થાય.
આપેલ છે કે $\cos(\pi / 6) = \sqrt{3} / 2$,તેથી $I' = I \times (\sqrt{3} / 2)^2 = I \times (3 / 4) = 3I / 4$.

(D) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્ત્રોત અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે આભાસી સ્ત્રોતો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ રહેતા હોવાથી,શલાકાની પહોળાઈ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\beta \propto \lambda$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 5000 \ Å$ અને $\lambda_2 = 6400 \ Å$.
નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta_2$ અને પ્રારંભિક શલાકાની પહોળાઈ $\beta_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{6400}{5000} = 1.28$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\beta_2 = 1.28 \beta_1$.
શલાકાની પહોળાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\beta_2 - \beta_1}{\beta_1} \times 100\% = (1.28 - 1) \times 100\% = 0.28 \times 100\% = 28\%$ છે.
તેથી,શલાકાની પહોળાઈમાં $28\%$ નો વધારો થશે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (\text{પથ તફાવત} \Delta x)$.
બિંદુ $P$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_P = 0$,તેથી $\phi_P = 0$. તીવ્રતા $I_P = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
બિંદુ $Q$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_Q = \frac{\lambda}{4}$,તેથી $\phi_Q = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
તીવ્રતા $I_Q = I_{max} \cos^2(\frac{90^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(45^{\circ}) = I_{max} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2: 1$ થાય છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1 \ m$,$n = 3$.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે,$3^{rd}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_1 = \frac{3 \lambda_1 D}{d}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે,$3^{rd}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_2 = \frac{3 \lambda_2 D}{d}$ છે.
આપેલ છે $\lambda_2 = 1.5 \lambda_1$,તેથી $y_2 = \frac{3(1.5 \lambda_1) D}{d} = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d}$.
શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = |y_2 - y_1| = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d} - \frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{1.5 \lambda_1 D}{d}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta y = \frac{1.5 \times \lambda_1 \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 0.75 \times 10^3 \lambda_1 \ m$.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $m^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_m = (m - 1/2) \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા અને $m^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાના અંતરનો ગુણોત્તર:
$\text{ગુણોત્તર} = \frac{y_n}{y_m} = \frac{n \beta}{(m - 1/2) \beta} = \frac{n}{m - 1/2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $n : (m - 1/2)$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના બિંદુ $y$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બીજું ન્યૂનતમ $n = 2$ માટે મળે છે,તેથી $\Delta x = (2(2) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
આ બિંદુ બરાબર એક સ્લિટની સામે છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $y = \frac{d}{2}$ થાય.
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{(\frac{d}{2})d}{D} = \frac{3\lambda}{2}$.
$\frac{d^2}{2D} = \frac{3\lambda}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = \frac{d^2}{3D}$ મળે છે.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(X)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = X$ અને $x = D$,આપણને મળે છે:
$X = (\frac{\lambda}{d}) D$
આલેખનો ઢાળ (slope) $m = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય છે:
$\lambda = \text{slope} \times d$.

(A) મધ્યસ્થ શલાકાથી $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = (n - 1/2) \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
બીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n = 2)$:
$y_2 = (2 - 1/2) \beta = 1.5 \beta = 3 \ mm$.
તેથી,$\beta = 3 / 1.5 = 2 \ mm$.
મધ્યસ્થ શલાકાથી $n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છઠ્ઠી પ્રકાશિત શલાકા માટે $(n = 6)$:
$y_6 = 6 \times \beta = 6 \times 2 \ mm = 12 \ mm$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું અંતર $D' = 2D$ અને નવી સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta'$ માટેના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ચાર ગણી વધે છે.

(D) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ છે,જ્યાં $I_0$ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,તેથી $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
તીવ્રતા $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$.
આપેલ છે કે $I_1 = \frac{K}{4}$,તેથી $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $I_0 = \frac{K}{2}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$\Delta x = \lambda$,તેથી $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
તીવ્રતા $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (-1)^2 = I_0$.
$I_0 = \frac{K}{2}$ મૂકતા,આપણને $I_2 = \frac{K}{2}$ મળે છે.

(B) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $\Delta \lambda$ એ તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે,$\lambda$ એ વાસ્તવિક તરંગલંબાઈ છે,$v$ એ તારાનો વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે કે આભાસી તરંગલંબાઈ વાસ્તવિક તરંગલંબાઈ કરતા $0.02 \%$ વધારે છે,તેથી $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.02 \% = \frac{0.02}{100} = 2 \times 10^{-4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{-4} = \frac{v}{3 \times 10^8 \ m/s}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = (2 \times 10^{-4}) \times (3 \times 10^8 \ m/s) = 6 \times 10^4 \ m/s$.
$km/s$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = \frac{6 \times 10^4}{10^3} \ km/s = 60 \ km/s$.