MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि अक्ष शीर्ष $A$ से गुजरती है और भुजा $BC$ के समानांतर है।
शीर्ष $A$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष पर ही स्थित है,इसलिए अक्ष से इसकी लंबवत दूरी $0$ है। जड़त्व आघूर्ण में इसका योगदान $m(0)^2 = 0$ है।
शीर्ष $B$ और $C$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष से $h$ लंबवत दूरी पर हैं,जहाँ $h$ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
ऊँचाई $h$ का मान $h = \ell \sin 60^{\circ} = \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ व्यक्तिगत द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$I = m(0)^2 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$.
$h$ का मान रखने पर:
$I = 2m \left( \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2m \left( \frac{3}{4} \ell^2 \right) = \frac{3}{2} m \ell^2$.

(B) माना तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m$ है।
लूप $A$ का द्रव्यमान $M_A = (2 \pi R)m$ है।
लूप $B$ का द्रव्यमान $M_B = (2 \pi NR)m$ है।
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{M_B}{M_A} = \frac{2 \pi NRm}{2 \pi Rm} = N$ है।
वृत्ताकार लूप का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
इसलिए,$I_A = M_A R^2$ और $I_B = M_B (NR)^2 = M_B N^2 R^2$ है।
$M_B = N M_A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_B = (N M_A) N^2 R^2 = N^3 M_A R^2 = N^3 I_A$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $I_B = 3 I_A$,इसलिए $N^3 = 3$ है।
अतः,$N = (3)^{1/3}$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली रिंग का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ होता है।
चूंकि दोनों रिंग एक ही तार से बनी हैं,इसलिए द्रव्यमान $m$ परिधि $(2 \pi r)$ के समानुपाती होता है,अतः $m \propto r$ है।
इसलिए,$m_A = k(2 \pi nR)$ और $m_B = k(2 \pi R)$,जहाँ $k$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
अतः,$\frac{m_A}{m_B} = \frac{nR}{R} = n$ है।
रिंग $A$ का जड़त्व आघूर्ण $I_A = m_A (nR)^2 = (n m_B) (n^2 R^2) = n^3 (m_B R^2)$ है।
चूंकि $I_B = m_B R^2$,इसलिए $I_A = n^3 I_B$ है।
दिया गया है कि $I_A = 64 I_B$,इसलिए $n^3 = 64$ है।
अतः,$n = \sqrt[3]{64} = 4$ है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष भुजा $BC$ के अनुदिश है।
$B$ और $C$ पर स्थित द्रव्यमान घूर्णन अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए अक्ष से उनकी लंबवत दूरी $0$ है। अतः,उनका जड़त्व आघूर्ण $I_{B} = m(0)^{2} = 0$ और $I_{C} = m(0)^{2} = 0$ है।
$A$ पर स्थित द्रव्यमान भुजा $BC$ से $h$ लंबवत दूरी पर है। $\ell$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,ऊँचाई $h = \ell \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$ द्वारा दी जाती है।
अक्ष $BC$ के परितः $A$ पर स्थित द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I_{A} = m h^{2} = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \ell \right)^{2} = m \left( \frac{3}{4} \ell^{2} \right) = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{A} + I_{B} + I_{C} = \frac{3}{4} m \ell^{2} + 0 + 0 = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ है।

(A) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों डिस्क का द्रव्यमान $M$ समान है,इसलिए $I_1 = \frac{1}{2} M R_1^2$ और $I_2 = \frac{1}{2} M R_2^2$ होगा।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ है।
चूंकि दोनों डिस्क एक ही पदार्थ से बनी हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है। द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \rho = (\pi R^2 t) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों के लिए $M$ और $\rho$ समान होने के कारण,$\pi R_1^2 t_1 \rho = \pi R_2^2 t_2 \rho$,जो सरल होकर $R_1^2 t_1 = R_2^2 t_2$ हो जाता है।
इससे हमें $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{t_2}{t_1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को जड़त्व आघूर्ण के अनुपात में रखने पर,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{t_2}{t_1}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $I_1 t_1 = I_2 t_2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि केंद्र $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{o} = \frac{Ma^{2}}{6}$ है।
एक कोने (मान लीजिए $A$) से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I_{A} = I_{o} + Mh^{2}$,जहाँ $h$ केंद्र और कोने के बीच की दूरी है।
वर्ग का विकर्ण $d = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$ है।
केंद्र से कोने तक की दूरी $h$ विकर्ण की आधी है: $h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$।
प्रमेय में मान रखने पर:
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + \frac{Ma^{2}}{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2} + 3Ma^{2}}{6} = \frac{4Ma^{2}}{6} = \frac{2Ma^{2}}{3}$।

(B) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{2}{5} MR^{2}$ है।
ग्रह के अपने आकार का आधा होने के बाद,नई त्रिज्या $R' = \frac{R}{2}$ और नया द्रव्यमान $M' = \frac{M}{2}$ हो जाता है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I_{2}$ की गणना इस प्रकार है:
$I_{2} = \frac{2}{5} M' (R')^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \left(\frac{M}{2}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \times \frac{M}{2} \times \frac{R^{2}}{4}$
$I_{2} = \frac{2}{40} MR^{2} = \frac{MR^{2}}{20}$.

(A) नत समतल पर लुढ़कते हुए एक ठोस बेलन के लिए,शीर्ष पर कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा $PE = Mgh$ है।
नीचे,कुल ऊर्जा स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है और लुढ़कने की स्थिति $v = R\omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$.
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$.
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2$.
$Mgh = \frac{3}{4} Mv^2$.
ऊँचाई $h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{3 v^2}{4 g}$.

(A) माना पहिये की त्रिज्या $R = 2 \ cm$ है।
प्रारंभ में,बिंदु $P$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
आधे चक्कर के बाद,पहिये का केंद्र परिधि के आधे के बराबर दूरी यानी $\pi R$ आगे बढ़ता है।
केंद्र की नई स्थिति $(\pi R, R)$ है।
आधे चक्कर के बाद,बिंदु $P$ पहिये के निचले हिस्से से ऊपरी हिस्से पर चला जाता है।
बिंदु $P$ के नए निर्देशांक $(\pi R, 2R)$ होंगे।
विस्थापन $d$ प्रारंभिक स्थिति $(0, 0)$ और अंतिम स्थिति $(\pi R, 2R)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \sqrt{(\pi R - 0)^2 + (2R - 0)^2} = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$।
$R = 2 \ cm$ रखने पर: $d = 2\sqrt{\pi^2 + 4} \ cm$ या $2(\pi^2 + 4)^{1/2} \ cm$।

(A) नत समतल पर लुढ़कते हुए ठोस बेलन के लिए,कुल स्थितिज ऊर्जा $Mgh$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल ऊर्जा $E = Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ और लुढ़कने की शर्त $v = R\omega$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$.
अतः,$Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} Mv^2$.
$K_{rot}$ के व्यंजक में $Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$ रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(A) दिया गया है कि पहिया प्रारंभ में विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
नियत बल आघूर्ण $\tau$ द्वारा उत्पन्न कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I}$ है।
$t$ समय के बाद,कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \left(\frac{\tau}{I}\right)t = \frac{\tau t}{I}$ होगा।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
$\omega$ का मान रखने पर,$K = \frac{1}{2} I \left(\frac{\tau t}{I}\right)^2 = \frac{1}{2} I \cdot \frac{\tau^2 t^2}{I^2} = \frac{\tau^2 t^2}{2 I}$ प्राप्त होता है।

(A) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
ठोस गोले के लिए उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} MR^2$ है।
मान लीजिए गोले की कोणीय गति $\omega_s = \omega$ है।
अतः,गोले की गतिज ऊर्जा $K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2$ है।
डिस्क के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ है।
डिस्क की कोणीय गति $\omega_d = 2\omega$ दी गई है।
अतः,डिस्क की गतिज ऊर्जा $K_d = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (2\omega)^2 = \frac{1}{4} MR^2 (4\omega^2) = MR^2 \omega^2$ है।
डिस्क की गतिज ऊर्जा और गोले की गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_d}{K_s} = \frac{MR^2 \omega^2}{\frac{1}{5} MR^2 \omega^2} = 5$ है।
इसलिए,अनुपात $5: 1$ है।

(A) अनुप्रस्थ अक्ष के परितः वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = M R^2$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I \omega = M R^2 \omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I' = M R^2 + m R^2 + m R^2 = (M + 2m) R^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,अतः $L_i = L_f$।
$M R^2 \omega = (M + 2m) R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{M R^2 \omega}{(M + 2m) R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$.

(B) घंटे वाली सुई की कोणीय चाल $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{T_{h}} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$ है।
सेकंड वाली सुई की कोणीय चाल $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{T_{s}} = \frac{2 \pi}{60} \text{ rad/s}$ है।
सापेक्ष कोणीय चाल $\omega_{rel} = |\omega_{s} - \omega_{h}|$ द्वारा दी जाती है।
$\omega_{rel} = \left| \frac{2 \pi}{60} - \frac{2 \pi}{43200} \right| = 2 \pi \left( \frac{720 - 1}{43200} \right)$.
$\omega_{rel} = 2 \pi \left( \frac{719}{43200} \right) = \frac{719 \pi}{21600} \text{ rad/s}$।

(A) $m$ द्रव्यमान और $d$ दूरी पर स्थित दो परमाणुओं से बने द्विपरमाणुक अणु का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = m(d/2)^2 + m(d/2)^2 = 2m(d^2/4) = \frac{md^2}{2}$.
घूर्णी गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
$\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(B) अक्ष से $r$ दूरी पर बल $F$ द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F \times r$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $\tau = 25 \,N \times 0.4 \,m = 10 \,Nm$ प्राप्त होता है।
ठोस बेलन का उसकी अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
मान रखने पर, $I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \cdot m^2$ प्राप्त होता है।
संबंध $\tau = I \alpha$ का उपयोग करते हुए, कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\tau}{I}$ होगा।
$\alpha = \frac{10 \,Nm}{0.08 \,kg \cdot m^2} = 125 \,rad/s^2$.

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 120 \ rpm = \frac{120 \times 2\pi}{60} = 4\pi \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 0 \ rad/s$.
लिया गया समय $t = 10 \ s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 4\pi}{10} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 0.05 \ kg \ m^2$.
मंदक बल आघूर्ण $\tau = I|\alpha| = 0.05 \times 0.4\pi = 0.02\pi \ Nm$.
चूंकि $\tau = F \times R$, इसलिए बल $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.02\pi}{0.1} = 0.2\pi \ N$.

(A) टॉर्क $\tau$ और कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L$ के बीच का संबंध घूर्णन के लिए आवेग-संवेग प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = \int \tau \ dt$.
चूंकि टॉर्क $\tau = 50 \ Nm$ स्थिर है और $8 \ s$ के समय अंतराल के लिए कार्य करता है,इसलिए कोणीय संवेग में परिवर्तन है:
$\Delta L = \tau \times \Delta t$
$\Delta L = 50 \ Nm \times 8 \ s$
$\Delta L = 400 \ kg \cdot m^2/s$.
अतः,कोणीय संवेग में परिवर्तन $400 \ kg \cdot m^2/s$ है।

(A) बल आघूर्ण $\tau$ और कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर के बीच का संबंध घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = 1 \, J \cdot s$ और अंतिम कोणीय संवेग $L_2 = 4 \, J \cdot s$ दिया गया है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_2 - L_1 = 4 - 1 = 3 \, J \cdot s$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 4 \, s$ है।
अतः, बल आघूर्ण $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3}{4} = 0.75 \, N \cdot m$ है।

(A) बिंदु $P$ का निर्देशांक $(1, -1)$ है,अतः इसका स्थिति सदिश $\vec{r}_P = \hat{i} - \hat{j}$ है।
चूंकि बल मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर कार्य करता है,बिंदु $P$ के सापेक्ष बल के अनुप्रयोग बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{r}_O - \vec{r}_P = 0 - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + \hat{j}$ होगा।
बिंदु $P$ के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{\tau} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-F\hat{k})$।
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर: $\vec{\tau} = F[(\hat{i} \times \hat{k}) - (\hat{j} \times \hat{k})]$।
सदिश गुणन संबंधों $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{\tau} = F[-\hat{j} - \hat{i}] = -F(\hat{i} + \hat{j})$।

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा:
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,किसी पिंड की उत्सर्जक शक्ति $(E)$ का सूत्र $E = e \sigma T^4$ है,जहाँ $e$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों की उत्सर्जक शक्ति समान है,इसलिए $E_1 = E_2$।
अतः,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$।
इससे $\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जकता का अनुपात $e_1 : e_2 = 1 : 4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1} = 4$।
इस प्रकार,$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = 4$।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
अतः,$T_1 : T_2$ का अनुपात $\sqrt{2} : 1$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{max} T = b$ (नियतांक)।
मान लीजिए $\lambda_A$ और $\lambda_B$ पिंड $A$ और $B$ के लिए अधिकतम ऊर्जा की तरंगदैर्ध्य हैं,और $T_A$ और $T_B$ उनके निरपेक्ष तापमान हैं।
दिया गया है: $T_A = 3 T_B$ और $\lambda_B - \lambda_A = 4 \mu m$ (चूंकि $T_A > T_B$,इसलिए $\lambda_A < \lambda_B$)।
वीन के नियम से: $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
$T_A = 3 T_B$ प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda_A (3 T_B) = \lambda_B T_B$,जिससे $\lambda_B = 3 \lambda_A$ प्राप्त होता है।
इसे अंतर समीकरण में रखने पर: $3 \lambda_A - \lambda_A = 4 \mu m$।
$2 \lambda_A = 4 \mu m \implies \lambda_A = 2 \mu m$।
अतः,$\lambda_B = 3 \times 2 \mu m = 6 \mu m$।

(A) कृष्णिका एक आदर्श पिंड है जो विकिरण की सभी आवृत्तियों को उत्सर्जित और अवशोषित करता है। कृष्णिका विकिरण के प्लांक के नियम के अनुसार,कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता तरंगदैर्ध्य और तापमान पर निर्भर करती है। तीव्रता का वितरण सभी तरंगदैर्ध्य के लिए समान नहीं होता है; यह एक विशिष्ट वक्र (प्लांक का वक्र) का पालन करता है जहाँ तीव्रता तरंगदैर्ध्य के साथ बदलती रहती है। इसलिए,यह कथन कि 'सभी तरंगदैर्ध्य के लिए तीव्रता समान होती है' गलत है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = b$ (स्थिरांक),इसलिए $T \propto 1/\lambda_m$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\lambda_P : \lambda_Q = 3:4$ दिया गया है,इसलिए तापमान का अनुपात $T_P : T_Q = 4:3$ होगा।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) T^4$ होती है।
अतः,विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 \times \left( \frac{4}{3} \right)^4$.
$\frac{P_P}{P_Q} = \frac{9}{4} \times \frac{256}{81} = \frac{1}{1} \times \frac{64}{9} = \frac{64}{9}$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता वाली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ और परम तापमान $T$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_{m} T = \text{नियतांक}$
दिया गया है:
$T_{1} = 2200 \ K$
$T_{2} = 3300 \ K$
माना कि नया तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}^{\prime}$ है।
संबंध $\lambda_{m} T_{1} = \lambda_{m}^{\prime} T_{2}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{m}^{\prime} = \lambda_{m} \times \frac{T_{1}}{T_{2}}$
$\lambda_{m}^{\prime} = \lambda_{m} \times \frac{2200}{3300}$
$\lambda_{m}^{\prime} = \frac{2}{3} \lambda_{m}$

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, विकिरण की दर $P$ (या $E$) $P = e \sigma A T^{4}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $A = 4 \pi r^{2}$ है।
गोले $S_{1}$ के लिए: $E = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4}$।
गोले $S_{2}$ के लिए: $E' = e \sigma (4 \pi (3R)^{2}) (T/3)^{4}$।
$E' = e \sigma (4 \pi \cdot 9R^{2}) (T^{4} / 81)$।
$E' = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4} \cdot (9 / 81)$।
$E' = E \cdot (1 / 9) = E/9$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $E_1 = \sigma A_1 T_1^4$ है और अंतिम स्थिति $E_2 = \sigma A_2 T_2^4$ है।
दिया गया है कि लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मान के $1/3$ तक कम कर दिया जाता है,इसलिए नया क्षेत्रफल $A_2 = (L/3) \times (B/3) = A_1 / 9$ होगा।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$।
अतः,$E_2 = \frac{16}{9} E$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले एक गोलाकार कृष्ण पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^{4}$ होती है,जहाँ $A = 4 \pi r^{2}$ सतह का क्षेत्रफल है।
चूँकि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं,इसलिए $P_{1} = P_{2}$ होगा।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 \pi r_{1}^{2} \sigma T_{1}^{4} = 4 \pi r_{2}^{2} \sigma T_{2}^{4}$ प्राप्त होता है।
समान पदों $4 \pi \sigma$ को हटाने पर,$r_{1}^{2} T_{1}^{4} = r_{2}^{2} T_{2}^{4}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = \frac{T_{2}^{4}}{T_{1}^{4}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) संचरण गुणांक $(T)$ को किसी पदार्थ से होकर गुजरने वाली विकिरण ऊर्जा और उस पर आपतित कुल विकिरण ऊर्जा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अथर्मनस पदार्थ वह पदार्थ है जो ऊष्मीय विकिरण को अपने माध्यम से गुजरने नहीं देता है।
चूंकि अथर्मनस पदार्थ के माध्यम से कोई विकिरण ऊर्जा संचरित नहीं होती है,इसलिए संचरित ऊर्जा $0$ होती है।
अतः,संचरण गुणांक $T = 0$ होता है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{m} T = b$ (नियतांक),इसलिए $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की कुल उत्सर्जन शक्ति $E$,$E = \sigma T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
$T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto \left(\frac{1}{\lambda_{m}}\right)^{4} = \frac{1}{\lambda_{m}^{4}}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि उत्सर्जन शक्ति $E$ कृष्णिका के सतह क्षेत्र $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,उत्सर्जन शक्ति का अनुपात $Ex : Ey : Ez = \frac{1}{\lambda_{x}^{4}} : \frac{1}{\lambda_{y}^{4}} : \frac{1}{\lambda_{z}^{4}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $Ex : Ey : Ez = \frac{1}{(200)^{4}} : \frac{1}{(300)^{4}} : \frac{1}{(400)^{4}}$.
चूंकि $200 < 300 < 400$,इसलिए $\frac{1}{200^{4}} > \frac{1}{300^{4}} > \frac{1}{400^{4}}$ होता है।
अतः,$Ex > Ey > Ez$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_{\max} T = \text{नियतांक}$, इसलिए $\lambda_{1} T_{1} = \lambda_{2} T_{2}$.
दिया गया है $\lambda_{1} = \lambda$ और $\lambda_{2} = \frac{2 \lambda}{3}$.
अतः, $T_{2} = \frac{\lambda_{1} T_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{\lambda T_{1}}{2 \lambda / 3} = \frac{3}{2} T_{1}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, उत्सर्जन शक्ति $E$, $T^{4}$ के समानुपाती होती है, अर्थात $E = \sigma A T^{4}$.
इसलिए, $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{4}$.
$T_{2}$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{E_{2}}{E} = \left( \frac{3/2 T_{1}}{T_{1}} \right)^{4} = \left( \frac{3}{2} \right)^{4} = \frac{81}{16}$.
अतः, $E_{2} = \frac{81 E}{16}$.

(C) ठंडा करने के कारण होने वाला तापीय संकुचन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है。
इस संकुचन को रोकने के लिए, द्रव्यमान '$m$' द्वारा लगाया गया तनाव बल $F$ समान विस्तार उत्पन्न करना चाहिए: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $L \alpha \Delta T = \frac{FL}{AY}$.
अतः, आवश्यक बल $F = AY \alpha \Delta T$ है。
चूंकि $F = Mg$, इसलिए $Mg = AY \alpha \Delta T$.
दिए गए मानों को रखने पर: $M = \frac{AY \alpha \Delta T}{g}$.
$M = \frac{(3 \times 10^{-6} \,m^{2}) \times (10^{11} \,N/m^{2}) \times (10^{-5} /K) \times (100 - 0) \,K}{10 \,m/s^{2}}$.
$M = \frac{3 \times 10^{0} \times 100}{10} = \frac{300}{10} = 30 \,kg$.

(C) छड़ का ऊष्मीय प्रसार $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रसार को रोकने के लिए,एक संपीड़न बल $F$ इस प्रकार लगाया जाना चाहिए कि संपीड़न ऊष्मीय प्रसार के बराबर हो।
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$।
अतः,प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L}$।
प्रतिबल समीकरण में $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ रखने पर:
$\sigma = Y \frac{L \alpha \Delta \theta}{L} = Y \alpha \Delta \theta$।

(C) छड़ का ऊष्मीय प्रसार $\Delta L = L \alpha T$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रसार को रोकने के लिए,हमें एक संपीड़न बल $F$ लगाना होगा ताकि संपीड़न विकृति ऊष्मीय विकृति के बराबर हो।
उत्पन्न प्रतिबल $\sigma = Y \times \text{विकृति} = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}}$ है।
गर्म करने के बाद छड़ की अंतिम लंबाई $L_{final} = L(1 + \alpha T)$ है।
अतः,बल $F = \text{प्रतिबल} \times A = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}} \times A$।
मान रखने पर,$F = Y \times \frac{L \alpha T}{L(1 + \alpha T)} \times A = \frac{YA \alpha T}{1 + \alpha T}$।

(B) तापमान में परिवर्तन $\Delta T = t$ के कारण तार में उत्पन्न तापीय विकृति $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = \alpha t$ द्वारा दी जाती है।
यंग मापांक की परिभाषा के अनुसार,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ है।
विकृति के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Y = \frac{F/A}{\alpha t}$ प्राप्त होता है।
तनाव $F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = YA \alpha t$ प्राप्त होता है।
अतः,जब तापमान $t^{\circ} C$ गिरता है तो तनाव में वृद्धि $YA \alpha t$ होती है।

(C) आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
स्थिर दाब पर किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
अतः,अनुपात $\Delta W : \Delta U : \Delta Q = n R \Delta T : n C_v \Delta T : n C_p \Delta T = R : C_v : C_p$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
इस प्रकार,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,$C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$ है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $R : \frac{5}{2} R : \frac{7}{2} R = 1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 : 5 : 7$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(B) नियत दाब पर प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
अतः,अनुपात $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = C_p : C_v : R$ होगा।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
इसलिए,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ और $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} R : \frac{5}{2} R : R$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{R}$ से गुणा करने पर,हमें $7 : 5 : 2$ का अनुपात प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $\gamma = \frac{5}{3}$.
चरण $1$: आयतन $V$ से $2V$ तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P \times V = P_2 \times 2V$.
इसलिए,$P_2 = \frac{P}{2}$.
चरण $2$: आयतन $2V$ से $16V$ तक रुद्धोष्म प्रसार।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^{\gamma} = P_3 V_3^{\gamma}$.
$P_3 = P_2 \left( \frac{V_2}{V_3} \right)^{\gamma}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( \frac{2V}{16V} \right)^{5/3} = \frac{P}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( (2^{-3})^{5/3} \right) = \frac{P}{2} \times 2^{-5} = \frac{P}{2 \times 32} = \frac{P}{64}$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ से, हमारे पास $V = \frac{RT}{P}$ है।
रुद्धोष्म समीकरण में $V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^{\gamma} = \text{नियतांक}$
$P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{नियतांक}'$
$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{नियतांक}'$
$P^{1-\gamma} = \frac{\text{नियतांक}'}{T^{\gamma}}$
$P = \text{नियतांक}'' \cdot T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$
इसे $P \propto T^{x}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म घातांक $\gamma = 1.4$ (या $\frac{7}{5}$) होता है।
$\gamma$ का मान रखने पर:
$x = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = 3.5$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) एक भौतिक राशि की विमाएँ $[L^{a} M^{b} T^{c}]$ के रूप में दी गई हैं।
आइए दिए गए विकल्पों की विमाओं की जाँच करें:
$1$. वेग: $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$। यहाँ,$a=1, b=0, c=-1$ है। विकल्प $A$ गलत है।
$2$. बल: $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$। यहाँ,$a=1, b=1, c=-2$ है। विकल्प $B$ गलत है।
$3$. दाब: दाब को $\text{बल} / \text{क्षेत्रफल} = [M^{1} L^{1} T^{-2}] / [L^{2}] = [M^{1} L^{-1} T^{-2}]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। यहाँ,$a=-1, b=1, c=-2$ है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।
$4$. त्वरण: $[M^{0} L^{1} T^{-2}]$। यहाँ,$a=1, b=0, c=-2$ है। विकल्प $D$ गलत है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिए गए स्थिरांकों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$G = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
$h = [M L^{2} T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
माना व्यंजक $T = G^{a} h^{b} c^{d}$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[T^{1}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{a} [M L^{2} T^{-1}]^{b} [L T^{-1}]^{d}$
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-a+b} L^{3a+2b+d} T^{-2a-b-d}]$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $-a + b = 0 \implies a = b$
$L$ के लिए: $3a + 2b + d = 0 \implies 3a + 2a + d = 0 \implies d = -5a$
$T$ के लिए: $-2a - b - d = 1 \implies -2a - a - (-5a) = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$
अतः,$a = 1/2, b = 1/2, d = -5/2$.
सही व्यंजक $\left[\frac{G h}{c^{5}}\right]^{\frac{1}{2}}$ है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
संबंध $E = h \nu$ से,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $\nu$ आवृत्ति है।
$h = \frac{E}{\nu}$।
ऊर्जा $E$ की विमा $[ML^2 T^{-2}]$ है।
आवृत्ति $\nu$ की विमा $[T^{-1}]$ है।
अतः,$h$ की विमा $= \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-1}]$।
अब,बल,विस्थापन और समय के गुणनफल की विमा की जाँच करते हैं:
बल $F$ की विमा $= [MLT^{-2}]$।
विस्थापन $d$ की विमा $= [L]$।
समय $t$ की विमा $= [T]$।
गुणनफल की विमा $= [MLT^{-2}] \times [L] \times [T] = [ML^2 T^{-1}]$।
यह प्लांक नियतांक की विमा के समान है।

(A) दी गई भौतिक राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[E] = [M L^{2} T^{-2}]$
$[M] = [M]$
$[L] = [M L^{2} T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
अब,इन मानों को व्यंजक $\left(\frac{E L^{2}}{G^{2} M^{5}}\right)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
विमा $= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M L^{2} T^{-1}]^{2}}{[M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{2} \cdot [M]^{5}}$
$= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M^{2} L^{4} T^{-2}]}{[M^{-2} L^{6} T^{-4}] \cdot [M^{5}]}$
$= \frac{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}$
$= [M^{0} L^{0} T^{0}]$
चूंकि परिणामी राशि विमाहीन है,इसलिए यह कोण की विमाओं के समान है (कोण एक विमाहीन भौतिक राशि है)।

(B) अपवर्तनांक $\mu$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए इसकी विमा $[M^0 L^0 T^0]$ है।
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$\frac{B}{\lambda^2}$ की विमाएँ $\mu$ की विमाओं (जो विमाहीन है) के बराबर होनी चाहिए।
$\left[ \frac{B}{\lambda^2} \right] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] = [\lambda^2] \times [M^0 L^0 T^0]$
चूँकि $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,इसकी विमा $[L]$ है।
$[B] = [L^2]$
विमा $[L^2]$ क्षेत्रफल की विमा के अनुरूप है।

(A) $LR$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) $\tau = \frac{L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरकत्व $L$ का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]$ है।
प्रतिरोध $R$ का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]$ है।
अतः,$\frac{L}{R}$ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$\frac{[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]}{[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]} = M^{1-1} L^{2-2} T^{-2-(-3)} A^{-2-(-2)} = M^{0} L^{0} T^{1} A^{0}$.
इस प्रकार,$\left(\frac{L}{R}\right)$ की विमाएँ $[L^{0} M^{0} T^{1}]$ हैं।

(B) दिए गए समीकरण $F = P \cos(Ax) + Q \sin(Bt)$ में,त्रिकोणमितीय फलनों के तर्क (arguments) विमाहीन होने चाहिए।
अतः,$(Ax)$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
चूंकि $[x] = [L]$,इसलिए $[A][L] = [M^0 L^0 T^0]$,जिसका अर्थ है कि $[A] = [L^{-1}]$।
इसी प्रकार,$(Bt)$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ होनी चाहिए।
चूंकि $[t] = [T]$,इसलिए $[B][T] = [M^0 L^0 T^0]$,जिसका अर्थ है कि $[B] = [T^{-1}]$।
अब,अनुपात $\left[\frac{B}{A}\right]$ की विमाओं की गणना करने पर:
$\left[\frac{B}{A}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$।
विमा $[L T^{-1}]$ वेग (velocity) की भौतिक राशि को दर्शाती है।

(D) त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
दिया गया है $F = A \sin(Ct) + B \cos(Dx)$।
$\sin(Ct)$ पद के लिए,तर्क $Ct$ विमाहीन होना चाहिए।
$[Ct] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C][T] = [T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$।
$\cos(Dx)$ पद के लिए,तर्क $Dx$ विमाहीन होना चाहिए।
$[Dx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D][L] = [L^0] \implies [D] = [L^{-1}]$।
अब,$\frac{C}{D}$ की विमाएँ हैं:
$\left[ \frac{C}{D} \right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$।
ये वेग की विमाएँ हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) स्टीफन नियतांक $\sigma$ की विमा सूत्र $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ शक्ति है,$A$ क्षेत्रफल है और $T$ तापमान है।
$[\sigma] = \frac{[P]}{[A][T]^4} = \frac{[ML^2 T^{-3}]}{[L^2][K^4]} = [MT^{-3} K^{-4}]$.
वीन नियतांक $b$ की विमा $\lambda_{max} T = b$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $T$ तापमान है।
$[b] = [L][K]$.
अतः,$\sigma b$ की विमाएँ हैं:
$[\sigma b] = [MT^{-3} K^{-4}] \times [LK] = [L^1 M^1 T^{-3} K^{-3}]$.

(A) दिया गया समीकरण $P = \frac{c - t^{2}}{DS}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$c$ की विमाएँ $t^{2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$[c] = [t^{2}] = [T^{2}]$.
अब,दाब $P$ की विमा $[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$ है।
यहाँ $S$ दूरी है,इसलिए $[S] = [L]$.
समीकरण $P = \frac{c}{DS} - \frac{t^{2}}{DS}$ में मान रखने पर,हम पद $\frac{c}{DS}$ पर विचार करते हैं:
$[P] = \frac{[c]}{[D][S]} \Rightarrow [M L^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^{2}]}{[D][L]}$.
$[D]$ के लिए हल करने पर:
$[D] = \frac{[T^{2}]}{[M L^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^{2}]}{[M T^{-2}]} = [M^{-1} T^{4}]$.
हमें $\left(\frac{D}{c}\right)$ की विमाएँ ज्ञात करनी हैं:
$\left[\frac{D}{c}\right] = \frac{[M^{-1} T^{4}]}{[T^{2}]} = [M^{-1} T^{2}] = [L^{0} M^{-1} T^{2}]$.

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
व्यंजक $A = B + \frac{C}{D+E}$ में,चूंकि $B$ को $\frac{C}{D+E}$ पद के साथ जोड़ा गया है,इसलिए $A$ की विमाएँ $B$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $[B] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$,इसलिए $[A] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$।
साथ ही,हर $(D+E)$ में,$D$ और $E$ की विमाएँ समान होनी चाहिए,इसलिए $[D] = [E]$।
पूरे पद $\frac{C}{D+E}$ की विमा $B$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[B] = \frac{[C]}{[D+E]} \implies [D+E] = \frac{[C]}{[B]}$।
दी गई विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[D+E] = \frac{[L^{1} M^{0} T^{0}]}{[L^{1} M^{0} T^{-1}]} = [T^{1}]$।
अतः $[D] = [T^{1}]$ और $[E] = [T^{1}]$ प्राप्त होता है।

(C) छोटे कोण '$A$' वाले एक पतले प्रिज्म के लिए,आपतन कोण '$i$',अपवर्तन कोण '$r_1$' और निर्गत कोण '$r_2$' के बीच का संबंध $A = r_1 + r_2$ है।
चूंकि किरण विपरीत सतह से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $0$ है,जिसका अर्थ है $r_2 = 0$.
अतः,$A = r_1 + 0$,यानी $r_1 = A$.
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$। छोटे कोणों के लिए,$\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$.
इस प्रकार,$\mu = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu = \frac{i}{A}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $i = \mu A$ मिलता है।

(D) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और $i = e = \frac{3}{4}A$ है।
$A$ का मान रखने पर:
$i = e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$।
विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = i + e - A$ है।
मान रखने पर:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ}$।
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(A) छोटे कोण '$A$' वाले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण '$\delta$' का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
हम जानते हैं कि प्रिज्म के लिए संबंध: $i + e = A + \delta$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि किरण दूसरे पृष्ठ से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण '$e$' का मान $0$ होगा।
संबंध में $e = 0$ और $\delta = (\mu - 1)A$ रखने पर:
$i + 0 = A + (\mu - 1)A$
$i = A + \mu A - A$
$i = \mu A$.
अतः,आपतन कोण $\mu A$ है।

(D) प्रकाश के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
चूंकि दूसरी सतह पर चांदी की परत है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ होना चाहिए।
प्रिज्म सूत्र $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 30^{\circ}$ प्रिज्म कोण है और $r_2 = 0^{\circ}$ है,हमें $r_1 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
यहाँ $n = \sqrt{2}$ और $r_1 = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण '$A$' और अपवर्तन कोणों '$r_1$' तथा '$r_2$' के बीच का संबंध $A = r_1 + r_2$ होता है।
चूंकि किरण दूसरे फलक से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण '$e = 0$' होगा,जिसका अर्थ है कि दूसरा अपवर्तन कोण '$r_2 = 0$' है।
अतः,$A = r_1$।
प्रथम सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार,$n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
पतले प्रिज्म के लिए,कोण '$i$' और '$r_1$' बहुत छोटे होते हैं,इसलिए हम $\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$ मान सकते हैं।
इस प्रकार,$n = \frac{i}{r_1}$।
$r_1 = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{i}{A}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $i = An$।

(A) जब प्रकाश की किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति '$v$' अपरिवर्तित रहती है क्योंकि यह केवल प्रकाश के स्रोत पर निर्भर करती है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ '$c$' निर्वात में प्रकाश की गति है और '$n$' अपवर्तनांक है।
माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{v}{f} = \frac{c/n}{f} = \frac{\lambda}{n}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए अपवर्तनांक $n = \frac{3}{2}$ के लिए,नया तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{3/2} = \left(\frac{2}{3}\right) \lambda$ है।
अतः,आवृत्ति '$v$' रहती है और तरंगदैर्ध्य $\left(\frac{2}{3}\right) \lambda$ हो जाती है।

(C) जब प्रकाश निर्वात से कांच में प्रवेश करता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य घट जाती है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि कांच में प्रकाश की गति निर्वात की तुलना में कम होती है।
किसी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,$\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $v$ माध्यम में प्रकाश की गति है।
चूंकि कांच का अपवर्तनांक निर्वात से अधिक होता है,इसलिए प्रकाश की गति $v$ कम हो जाती है।
संबंध $v = f \lambda$ के अनुसार,जहाँ $f$ आवृत्ति है (जो स्थिर रहती है) और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,गति $v$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक होती है।
इसलिए,जैसे-जैसे प्रकाश की गति कम होती है,प्रकाश की तरंगदैर्ध्य भी घट जाती है।

(C) मान लीजिए $n_{aw}$ हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक है,$n_{gw}$ पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक है,और $n_{ag}$ कांच के सापेक्ष हवा का अपवर्तनांक है। दिया गया है: $x = n_{aw}$,$y = n_{gw}$,और $z = n_{ag}$।
उत्क्रमणीयता के सिद्धांत और सापेक्ष अपवर्तनांक की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$x = \frac{n_w}{n_a}$
$y = \frac{n_g}{n_w}$
$z = \frac{n_a}{n_g}$
इन तीनों व्यंजकों का गुणा करने पर:
$x \cdot y \cdot z = \left(\frac{n_w}{n_a}\right) \cdot \left(\frac{n_g}{n_w}\right) \cdot \left(\frac{n_a}{n_g}\right) = 1$
अतः,$xyz = 1$।

(A) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और उस माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,दो माध्यमों के लिए हमारे पास है:
$\mu_{1} = \frac{c}{v_{1}}$ और $\mu_{2} = \frac{c}{v_{2}}$
इन समीकरणों से,हम लिख सकते हैं:
$c = \mu_{1} v_{1}$ और $c = \mu_{2} v_{2}$
चूंकि दोनों व्यंजक निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ के बराबर हैं,इसलिए:
$\mu_{1} v_{1} = \mu_{2} v_{2}$

(B) जब किसी वस्तु को माध्यम में रखा जाता है,तो वह अपनी सीमाओं पर प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के कारण दिखाई देती है।
यदि वस्तु का अपवर्तनांक उसके चारों ओर के द्रव के अपवर्तनांक $(\mu_{object} = \mu_{fluid} = \mu)$ के बिल्कुल समान हो,तो द्रव से वस्तु में प्रवेश करते समय प्रकाश की गति या दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
परिणामस्वरूप,वस्तु और द्रव के बीच की सतह पर कोई अपवर्तन या परावर्तन नहीं होता है।
अतः,प्रकाश की किरणें वस्तु से ऐसे गुजर जाती हैं जैसे कि वह वहां मौजूद ही न हो,जिससे वस्तु द्रव के बाहर के प्रेक्षक के लिए अदृश्य हो जाती है।

(C) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है: $\mu = \frac{c}{v}$.
चूंकि प्रकाश जब एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति $(f)$ स्थिर रहती है,इसलिए हम गति को $c = f \lambda_0$ और $v = f \lambda$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है और $\lambda$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य है।
इन मानों को अपवर्तनांक के सूत्र में रखने पर: $\mu = \frac{f \lambda_0}{f \lambda} = \frac{\lambda_0}{\lambda}$.
चूंकि $\lambda_0$ (निर्वात में तरंगदैर्ध्य) एक स्थिरांक है,इसलिए $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$ होता है।
यहाँ,$\mu_1 = \sqrt{2}$ (कांच का अपवर्तनांक),$i = 45^{\circ}$ (आपतन कोण),और $\mu_2 = 1$ (वायु का अपवर्तनांक) है।
मान रखने पर: $\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 1 \cdot \sin r$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है: $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin r$।
$1 = \sin r$।
चूंकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ}$ होगा।

(D) जब प्रकाश की किरण समानांतर माध्यमों की एक श्रृंखला से गुजरती है और अंततः मूल माध्यम में बाहर निकलती है,तो सापेक्ष अपवर्तनांक का गुणनफल $1$ के बराबर होता है।
दिए गए क्रम (हवा $\rightarrow$ पानी $\rightarrow$ कांच $\rightarrow$ हवा) के लिए,उत्क्रमणीयता के सिद्धांत और समानांतर स्लैब के गुण के अनुसार:
$_{a}n_{w} \times _{w}n_{g} \times _{g}n_{a} = 1$.
हम जानते हैं कि $_{g}n_{a} = \frac{1}{_{a}n_{g}}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$_{a}n_{w} \times _{w}n_{g} \times \frac{1}{_{a}n_{g}} = 1$.
$_{w}n_{g}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$_{w}n_{g} = \frac{_{a}n_{g}}{_{a}n_{w}}$.
अतः,विकल्प $D$ सही संबंध है।

(C) उत्तल लेंस अनंत से आने वाली प्रकाश की समानांतर किरण पुंज को अपने फोकस बिंदु पर केंद्रित करता है,जो लेंस से $f_{2}$ दूरी पर स्थित है।
अवतल दर्पण से परावर्तन के बाद प्रकाश किरणों को अपना पथ पुनः प्राप्त करने के लिए,किरणों को दर्पण पर लंबवत गिरना चाहिए।
यह तब होता है जब किरणें अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों।
अवतल दर्पण का वक्रता केंद्र उसके ध्रुव से $2f_{1}$ दूरी पर स्थित होता है।
इसलिए,लेंस और दर्पण के बीच की दूरी '$d$' लेंस की फोकस दूरी और दर्पण की वक्रता त्रिज्या का योग होनी चाहिए।
अतः,$d = f_{2} + 2f_{1}$.

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $n = \tan(i_B)$ होता है,जहाँ $i_B$ ब्रूस्टर कोण है।
दिया गया है $i_B = 54.74^{\circ}$,इसलिए $n = \tan(54.74^{\circ}) = \sqrt{2}$।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n = \frac{\sin i}{\sin r}$,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
दिया गया है $i = 45^{\circ}$ और $n = \sqrt{2}$,इन मानों को रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin r}$
$\sqrt{2} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin r}$
$\sin r = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5$
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}(0.5)$ होगा।

(B) पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक,पहले माध्यम में प्रकाश की गति और दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $n_{21} = \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$.
हालाँकि,प्रश्न में पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक पूछा गया है,जो स्वयं अपवर्तनांकों के अनुपात द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$।

(A) किसी माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{C}{\mu_{w}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ हवा में प्रकाश की गति है और $\mu_{w}$ पानी का अपवर्तनांक है।
$h$ दूरी तय करने में लगा समय $(t)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{वेग}}$.
मान रखने पर,हमें मिलता है $t = \frac{h}{v}$.
चूँकि $v = \frac{C}{\mu_{w}}$,हम इसे समय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$t = \frac{h}{(C / \mu_{w})} = \frac{h \mu_{w}}{C}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) तार की लंबाई $L$ है। जब इसे $n$ फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो एक फेरे की परिधि $2\pi r = L/n$ होती है,जहाँ $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{L}{2\pi n}$ है।
एक फेरे का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi n}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4\pi^2 n^2} = \frac{L^2}{4\pi n^2}$ है।
$n$ फेरों वाली कुंडली का कुल चुंबकीय आघूर्ण $M = nIA = nI \left(\frac{L^2}{4\pi n^2}\right) = \frac{IL^2}{4\pi n}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में कुंडली पर कार्य करने वाला अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = MB$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ का मान रखने पर,हमें $\tau_{max} = \left(\frac{IL^2}{4\pi n}\right)B = \frac{BIL^2}{4\pi n}$ प्राप्त होता है।

(B) एक अनबायस्ड $p-n$ जंक्शन में,$n$-क्षेत्र से $p$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉनों का और $p$-क्षेत्र से $n$-क्षेत्र में होल्स का विसरण (diffusion) जंक्शन के पास होता है।
जब ये आवेश वाहक जंक्शन को पार करते हैं,तो वे पुनर्संयोजित (recombine) होकर एक-दूसरे को उदासीन कर देते हैं।
परिणामस्वरूप,जंक्शन के पास का क्षेत्र गतिशील आवेश वाहकों (मुक्त इलेक्ट्रॉनों और होल्स) से रिक्त हो जाता है।
इस क्षेत्र को डिप्लीशन लेयर या अवक्षय क्षेत्र कहा जाता है।
इसलिए,यह परत गतिशील आवेश वाहकों,यानी इलेक्ट्रॉनों और होल्स से रिक्त होती है।

(D) दिए गए परिपथ में,दो डायोड $D_{1}$ और $D_{2}$ को एक $DC$ वोल्टेज स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है।
परिपथ में धारा प्रवाहित होने के लिए,दोनों डायोड का अग्र-अभिनत (forward-biased) होना आवश्यक है।
हालाँकि,डायोड के अभिविन्यास को देखने पर,$D_{1}$ अग्र-अभिनत है जबकि $D_{2}$ पश्च-अभिनत (reverse-biased) है।
श्रेणी परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों से समान होती है।
चूंकि $D_{2}$ पश्च-अभिनत है,यह बहुत उच्च प्रतिरोध प्रदान करता है,जो प्रभावी रूप से एक खुले स्विच के रूप में कार्य करता है।
परिणामस्वरूप,बैटरी का संपूर्ण विभवांतर पश्च-अभिनत डायोड $D_{2}$ के सिरों पर दिखाई देता है,जबकि अग्र-अभिनत डायोड $D_{1}$ के सिरों पर विभवांतर नगण्य (सिलिकॉन के लिए लगभग $0.7 \ V$) होता है।
यदि $D_{1}$ और $D_{2}$ के सिरों पर विभवांतर समान बताया गया है,तो इसका अर्थ है कि परिपथ विन्यास या समान विशेषताओं की धारणा का पुनर्मूल्यांकन किया जाना चाहिए,या डायोड एक विशिष्ट ब्रेकडाउन क्षेत्र में काम कर रहे हैं। मानक व्याख्या के अनुसार,एक पश्च-अभिनत डायोड के सिरों पर विभवांतर अग्र-अभिनत डायोड की तुलना में बहुत अधिक होता है।

(D) $PN$ जंक्शन डायोड में,यदि एनोड (p-साइड) का विभव कैथोड (n-साइड) के विभव से अधिक है,तो डायोड फॉरवर्ड बायस्ड होता है। यदि एनोड का विभव कैथोड के विभव से कम है,तो यह रिवर्स बायस्ड होता है।
आरेख $(A)$ में,एनोड $-4 \ V$ पर है और कैथोड $-3 \ V$ पर है। चूंकि $-4 \ V < -3 \ V$,एनोड कैथोड की तुलना में कम विभव पर है,इसलिए आरेख $(A)$ रिवर्स बायस्ड है।
आरेख $(B)$ में,मानक विन्यास को मानते हुए जहाँ एनोड $-2 \ V$ पर है और कैथोड $-4 \ V$ पर है,एनोड कैथोड की तुलना में उच्च विभव पर है,इसलिए आरेख $(B)$ फॉरवर्ड बायस्ड है।
अतः,आरेख $(A)$ रिवर्स बायस्ड है और आरेख $(B)$ फॉरवर्ड बायस्ड है।

(B) दी गई परिपथ में,डायोड का $p$-सिरा $+2 V$ से और $n$-सिरा $400 \Omega$ के प्रतिरोधक के माध्यम से $-2 V$ से जुड़ा है।
चूंकि $p$-सिरे का विभव $n$-सिरे के विभव से अधिक है,इसलिए डायोड अग्र अभिनत (forward biased) है।
एक आदर्श डायोड के लिए,अग्र प्रतिरोध $0 \Omega$ होता है।
इसलिए,परिपथ में कुल प्रतिरोध $R = 400 \Omega$ है।
परिपथ में विभवांतर $V = 2 V - (-2 V) = 4 V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धारा $I = V / R$ द्वारा दी जाती है।
$I = 4 V / 400 \Omega = 1 / 100 A = 0.01 A$.
मिलीएम्पियर में बदलने पर,$I = 0.01 \times 1000 mA = 10 mA$।

(D) $(i)$ जब एक $p-n$ जंक्शन अग्र अभिनत (forward biased) होता है,तो बाहरी विद्युत क्षेत्र अवक्षय क्षेत्र के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है। यह विभव प्राचीर (potential barrier) को कम करता है और परिणामस्वरूप अवक्षय परत की चौड़ाई घट जाती है।
$(ii)$ जब एक $p-n$ जंक्शन पश्च अभिनत (reverse biased) होता है,तो बाहरी विद्युत क्षेत्र अवक्षय क्षेत्र के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का समर्थन करता है। यह विभव प्राचीर को बढ़ाता है और परिणामस्वरूप अवक्षय परत की चौड़ाई बढ़ जाती है।

(D) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड रिवर्स बायस में होता है,तो बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $n$-क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $p$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह विन्यास बहुसंख्यक आवेश वाहकों (majority charge carriers) को जंक्शन से दूर खींचता है।
परिणामस्वरूप,अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई बढ़ जाती है।
अतः,विभव प्राचीर (potential barrier) भी बढ़ जाता है,जो धारा के प्रवाह का विरोध करता है,जिससे विद्युत चालन नगण्य हो जाता है।

(C) चौथे चतुर्थांश (quadrant) में कार्य करने वाले उपकरण के $I-V$ अभिलक्षण (जहाँ वोल्टेज धनात्मक और धारा ऋणात्मक होती है,या इसके विपरीत) उस उपकरण को दर्शाते हैं जो ऊर्जा का उपभोग करने के बजाय उसे उत्पन्न करता है।
फोटोसेल में,$I-V$ अभिलक्षणों को आमतौर पर चौथे चतुर्थांश में दिखाया जाता है क्योंकि यह प्रकाशित होने पर विद्युत ऊर्जा के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक $p-n$ जंक्शन डायोड में,जब रिवर्स बायस लागू किया जाता है,तो बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $n$-क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $p$-क्षेत्र से जुड़ जाता है।
इसके कारण बहुसंख्यक आवेश वाहक ($n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन और $p$-क्षेत्र में होल) जंक्शन से दूर चले जाते हैं।
परिणामस्वरूप,अवक्षय परत (depletion layer) चौड़ी हो जाती है और बैरियर विभव बढ़ जाता है।
अवक्षय परत की बढ़ी हुई चौड़ाई के कारण,बहुसंख्यक आवेश वाहकों का प्रवाह रुक जाता है,जिसका अर्थ है कि डायोड धारा के लिए उच्च प्रतिरोध प्रदान करता है।

(A) चालकों में,संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड (conduction band) एक-दूसरे पर अतिव्यापन करते हैं। यह अतिव्यापन इलेक्ट्रॉनों को कम तापमान पर भी संयोजी बैंड से चालन बैंड में स्वतंत्र रूप से जाने की अनुमति देता है,यही कारण है कि चालकों की विद्युत चालकता बहुत अधिक होती है।

(A) कुचालकों में,संयोजी बैंड (valence band) इलेक्ट्रॉनों से पूरी तरह भरा होता है और चालन बैंड (conduction band) पूरी तरह से खाली होता है। संयोजी बैंड और चालन बैंड के बीच का ऊर्जा अंतराल (वर्जित ऊर्जा अंतराल) बहुत बड़ा होता है (आमतौर पर $> 3 \ eV$)। इसलिए,कमरे के तापमान पर भी इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड से चालन बैंड में नहीं कूद सकते हैं,जिससे वे बिजली के खराब संवाहक बन जाते हैं। अतः,बैंड गैप बहुत अधिक होता है और चालन बैंड खाली होता है।

(C) एक ऑसिलेटर सर्किट में स्थायी दोलनों के लिए,बार्कहाउसेन मानदंड (Barkhausen criterion) का संतुष्ट होना आवश्यक है।
यह मानदंड बताता है कि फीडबैक सिस्टम का लूप गेन इकाई (unity) के बराबर होना चाहिए,जिसे $|A\beta| = 1$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ,$A$ एम्पलीफायर का ओपन-लूप गेन है और $\beta$ फीडबैक फैक्टर है।
इसलिए,स्थायी दोलनों के लिए शर्त $A\beta = 1$ है।

(D) कॉमन-एमिटर ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर कॉन्फ़िगरेशन में,करंट गेन (जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है) को कलेक्टर-एमिटर वोल्टेज $(V_{CE})$ को स्थिर रखते हुए कलेक्टर धारा में परिवर्तन $(\Delta I_{C})$ और बेस धारा में परिवर्तन $(\Delta I_{B})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\beta = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{B}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: $\beta = 20$, $I_{E} = 7 \,mA$.
हम जानते हैं कि कॉमन एमिटर मोड में करंट गेन को $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
साथ ही, एमिटर करंट, कलेक्टर करंट और बेस करंट के बीच संबंध $I_{E} = I_{C} + I_{B}$ है, जिसका अर्थ है $I_{B} = I_{E} - I_{C}$।
गेन सूत्र में $I_{B}$ का मान रखने पर: $\beta = \frac{I_{C}}{I_{E} - I_{C}}$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $20 = \frac{I_{C}}{7 - I_{C}}$।
$20(7 - I_{C}) = I_{C}$।
$140 - 20I_{C} = I_{C}$।
$140 = 21I_{C}$।
$I_{C} = \frac{140}{21} = \frac{20}{3} \,mA$।

(B) दिया गया है: इनपुट प्रतिरोध $R_{i} = 1000 \Omega$,इनपुट सिग्नल वोल्टेज $v_{i} = 5 mV = 5 \times 10^{-3} V$,और करंट गेन $\beta = 60$ है।
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके इनपुट धारा $I_{b}$ की गणना करें: $I_{b} = \frac{v_{i}}{R_{i}} = \frac{5 \times 10^{-3} V}{1000 \Omega} = 5 \times 10^{-6} A$.
कॉमन एमिटर एम्पलीफायर में आउटपुट धारा कलेक्टर धारा $I_{c}$ होती है।
संबंध $I_{c} = \beta \times I_{b}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I_{c} = 60 \times 5 \times 10^{-6} A = 300 \times 10^{-6} A$.
अतः,आउटपुट धारा का शिखर मान $3 \times 10^{-4} A$ है।

(B) फीडबैक वाले एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $A_f = \frac{A}{1 - A\beta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ ओपन-लूप वोल्टेज गेन है और $\beta$ फीडबैक फैक्टर है।
एक ऑसिलेटर के लिए निरंतर दोलन उत्पन्न करने हेतु,बार्कहौसेन (Barkhausen) मानदंड का पालन होना आवश्यक है।
बार्कहौसेन मानदंड के अनुसार,लूप गेन इकाई (unity) के बराबर होना चाहिए,जिसे $A\beta = 1$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) दिया गया है: $\alpha = 0.8$ और $\Delta I_B = 6 \text{ mA}$.
सबसे पहले, हम कॉमन-एमिटर कॉन्फ़िगरेशन के लिए करंट गेन $\beta$ की गणना $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ संबंध का उपयोग करके करेंगे।
$\alpha$ का मान रखने पर: $\beta = \frac{0.8}{1 - 0.8} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
कलेक्टर करंट में परिवर्तन $\Delta I_C$ और बेस करंट में परिवर्तन $\Delta I_B$ के बीच का संबंध $\Delta I_C = \beta \times \Delta I_B$ है।
मान रखने पर: $\Delta I_C = 4 \times 6 \text{ mA} = 24 \text{ mA}$.
अतः, कलेक्टर करंट में परिवर्तन $24 \text{ mA}$ है।

(D) एक ट्रांजिस्टर में,एमिटर धारा बेस धारा और कलेक्टर धारा का योग होती है: $I_{e} = I_{b} + I_{c}$।
चूंकि $I_{b}$ और $I_{c}$ दोनों धनात्मक धाराएं हैं,इसलिए $I_{c} < I_{e}$ और $I_{b} < I_{e}$ होता है।
कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में करंट गेन को $\beta = \frac{I_{c}}{I_{b}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ट्रांजिस्टर के लिए,$I_{c}$ आमतौर पर $I_{b}$ से बहुत बड़ा होता है (क्योंकि बेस क्षेत्र बहुत पतला और कम डोप्ड होता है),जो $\beta > 1$ बनाता है।
इसलिए,$I_{c} > I_{b}$ वह मूलभूत कारण है कि करंट गेन $\beta$,$1$ से अधिक क्यों होता है।

(D) दिया गया है: कलेक्टर धारा $(i_c)$ और एमिटर धारा $(i_e)$ का अनुपात $\alpha = \frac{i_c}{i_e} = 0.98$ है।
कलेक्टर धारा $i_c = 3 \text{ mA}$ है।
हम जानते हैं कि एमिटर धारा,कलेक्टर धारा और आधार धारा का योग होती है: $i_e = i_c + i_b$।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{i_c}{i_c + i_b} = 0.98$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{i_c + i_b}{i_c} = \frac{1}{0.98} = \frac{100}{98}$।
$1 + \frac{i_b}{i_c} = \frac{100}{98} \implies \frac{i_b}{i_c} = \frac{100}{98} - 1 = \frac{2}{98} = \frac{1}{49}$।
अतः,$i_b = \frac{i_c}{49} = \frac{3 \text{ mA}}{49} = \frac{3000 \mu\text{A}}{49} \approx 61.22 \mu\text{A}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,आधार धारा लगभग $60 \mu\text{A}$ होगी।

(D) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट ($G_1$ और $G_2$) और एक $NOR$ गेट $(G_3)$ शामिल हैं।
$1$. इनपुट $A$,$NOT$ गेट $G_1$ से होकर गुजरता है,इसलिए $C$ पर आउटपुट $C = \overline{A}$ है।
$2$. इनपुट $B$,$NOT$ गेट $G_2$ से होकर गुजरता है,इसलिए $D$ पर आउटपुट $D = \overline{B}$ है।
$3$. ये आउटपुट $C$ और $D$ को $NOR$ गेट $G_3$ में इनपुट के रूप में दिया जाता है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y$,उसके इनपुट के $OR$ का पूरक (complement) होता है।
$4$. इसलिए,$Y = \overline{C + D}$।
$5$. $C$ और $D$ के मान रखने पर,हमें $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ प्राप्त होता है।
$6$. डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$।
$7$. बूलियन व्यंजक $Y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट को दर्शाता है।
अतः,परिणामी गेट एक $AND$ गेट है जिसका व्यंजक $A \cdot B$ है।

(A) वह लॉजिक गेट जिसके लिए आउटपुट उच्च $(1)$ होता है यदि और केवल यदि सभी इनपुट उच्च $(1)$ हों,उसे $AND$ गेट कहते हैं।
$A$ और $B$ इनपुट वाले $AND$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ को $Y = A \cdot B$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि $A = 1$ और $B = 1$ है,तो $Y = 1 \cdot 1 = 1$ प्राप्त होता है।
इनपुट के किसी अन्य संयोजन के लिए,आउटपुट निम्न $(0)$ होता है।

(C) जब एक आंतरिक अर्धचालक ($Si$ या $Ge$ जैसे) में एक पंचसंयोजी अशुद्धि (दाता अशुद्धि) मिलाई जाती है,तो प्रत्येक दाता परमाणु कंडक्शन बैंड में एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है।
चूंकि मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या काफी बढ़ जाती है,इसलिए अर्धचालक $n$-प्रकार का अर्धचालक बन जाता है।
$n$-प्रकार के अर्धचालक में,इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं और होल अल्पसंख्यक आवेश वाहक होते हैं।

(A) अर्धचालक की चालकता $\sigma = n_{e} e \mu_{e} + n_{h} e \mu_{h}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n_{e}$ और $n_{h}$ प्रति इकाई आयतन में इलेक्ट्रॉनों और होलों की संख्या हैं,और $\mu_{e}$ और $\mu_{h}$ क्रमशः इलेक्ट्रॉनों और होलों की गतिशीलता (mobility) हैं।
जब अर्धचालक में अशुद्धि परमाणु मिलाए जाते हैं (जिसे डोपिंग कहा जाता है),तो आवेश वाहकों ($n_{e}$ या $n_{h}$) की सांद्रता काफी बढ़ जाती है।
चूंकि चालकता $\sigma$ वाहक सांद्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए चालकता बढ़ जाती है।
चूंकि प्रतिरोधकता $\rho$ चालकता का व्युत्क्रम है $(\rho = 1/\sigma)$,इसलिए चालकता में वृद्धि होने से प्रतिरोधकता में कमी आती है।

(C)
परम शून्य तापमान $(T = 0 \ K)$ पर,सिलिकॉन जैसे शुद्ध अर्धचालक में संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में इलेक्ट्रॉनों को उत्तेजित करने के लिए कोई तापीय ऊर्जा उपलब्ध नहीं होती है।
परिणामस्वरूप,संयोजी बैंड पूरी तरह से भरा होता है और चालन बैंड पूरी तरह से खाली होता है।
मुक्त आवेश वाहकों की अनुपस्थिति के कारण,पदार्थ विद्युत का संचालन नहीं कर सकता है।
इसलिए,परम शून्य तापमान पर शुद्ध सिलिकॉन एक कुचालक (insulator) के रूप में व्यवहार करता है।

(B) एक आंतरिक (शुद्ध) अर्धचालक में,आवेश वाहक केवल संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में इलेक्ट्रॉनों के तापीय उत्तेजन के कारण उत्पन्न होते हैं।
जब एक इलेक्ट्रॉन चालन बैंड में उत्तेजित होता है,तो वह संयोजी बैंड में एक रिक्ति छोड़ देता है,जिसे होल कहा जाता है।
चूंकि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन-होल जोड़ी एक साथ उत्पन्न होती है,इसलिए चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n_{e})$ संयोजी बैंड में होल्स की संख्या $(n_{h})$ के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,सही संबंध $n_{e} = n_{h}$ है।

(D) फोटोडायोड $p-n$ जंक्शन डायोड का एक विशेष प्रकार है जिसे रिवर्स बायस स्थितियों में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह प्रकाश के प्रति संवेदनशील होता है। फोटोडायोड के प्रतीक में एक मानक $p-n$ जंक्शन डायोड प्रतीक के साथ दो तीर डायोड की ओर इशारा करते हुए होते हैं,जो यह दर्शाते हैं कि उस पर प्रकाश आपतित हो रहा है। चूंकि दी गई छवि एक ज़ेनर डायोड प्रतीक को दर्शाती है (जिसके कैथोड पर '$Z$' आकार के सिरे होते हैं),यह फोटोडायोड का प्रतिनिधित्व नहीं करती है। हालाँकि,मानक पाठ्यपुस्तकों के अनुसार,एक फोटोडायोड को आने वाली प्रकाश किरणों द्वारा पहचाना जाता है।

(D) फोटोडायोड $p-n$ जंक्शन डायोड का एक विशेष प्रकार है,जिसे एक पारदर्शी खिड़की के साथ बनाया जाता है ताकि प्रकाश डायोड पर गिर सके।
यह रिवर्स बायस स्थितियों में संचालित होता है।
जब अर्धचालक के ऊर्जा अंतराल $E_g$ से अधिक ऊर्जा $h
u$ वाला प्रकाश डायोड पर आपतित होता है,तो इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े उत्पन्न होते हैं।
जंक्शन पर विद्युत क्षेत्र के कारण,ये आवेश वाहक पुनर्संयोजन से पहले अलग हो जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप बाहरी सर्किट में धारा प्रवाहित होती है।
इस फोटो-करंट का परिमाण आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करता है।
इसलिए,सही कथन यह है कि यह हमेशा रिवर्स बायस में संचालित होता है।

(C) प्रकाश उत्सर्जक डायोड $(LED)$ एक अत्यधिक डोपित $p-n$ जंक्शन डायोड है।
जब डायोड को फॉरवर्ड बायस में रखा जाता है,तो $n$-क्षेत्र से इलेक्ट्रॉन और $p$-क्षेत्र से होल्स जंक्शन क्षेत्र में प्रवेश करते हैं।
जंक्शन क्षेत्र में,ये आवेश वाहक पुनर्संयोजन (recombination) की प्रक्रिया से गुजरते हैं।
पुनर्संयोजन की प्रक्रिया के दौरान,मुक्त होने वाली ऊर्जा फोटॉन के रूप में होती है।
यदि अर्धचालक पदार्थ में उपयुक्त बैंड गैप है,तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम के अनुरूप होती है।
इसलिए,प्रकाश का उत्सर्जन होल्स और इलेक्ट्रॉनों के पुनर्संयोजन के कारण होता है।

(C) चुंबकीय तीव्रता $(H)$ को प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चुंबकीय तीव्रता का सूत्र $H = \frac{nI}{L}$ है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ विद्युत धारा है और $L$ लंबाई है।
चूँकि फेरों की संख्या $(n)$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए $H$ की विमाएँ $\frac{I}{L}$ की विमाओं द्वारा दी जाती हैं।
विद्युत धारा $(I)$ की विमा $[I^1]$ है और लंबाई $(L)$ की विमा $[L^1]$ है।
अतः,चुंबकीय तीव्रता की विमाएँ $[L^{-1} M^0 T^0 I^1]$ हैं।

(C) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ को संबंध $\tau = M \times B$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
इससे,$M = \tau / B$ प्राप्त होता है।
टॉर्क $\tau$ की इकाई $N m$ (न्यूटन-मीटर) है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ की इकाई $T$ (टेस्ला) है।
इसलिए,$M$ की इकाई $N m / T$ है।
चूंकि $1 \ T = 1 \ Wb / m^2$,हम लिख सकते हैं कि $M = (N m) / (Wb / m^2) = N m^3 / Wb$।
साथ ही,$M = I A$,जहाँ $I$ धारा $(A)$ है और $A$ क्षेत्रफल $(m^2)$ है,इसलिए इकाई $A m^2$ होती है।
चूंकि $1 \ J = 1 \ N m$,इकाई $N m / T$ का मान $J / T$ के बराबर है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$J-T$ (विकल्प $C$) विमीय रूप से गलत है क्योंकि यह ऊर्जा और चुंबकीय क्षेत्र का गुणनफल दर्शाता है,न कि चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई $\theta$,स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\theta \propto \frac{1}{a}$।
इसलिए,जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई $a$ बढ़ती है,केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई घटती जाती है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट की चौड़ाई $a$ पर निर्भर करती है।
यह स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बाइप्रिज्म प्रयोग (या यंग के डबल स्लिट प्रयोग) में फ्रिंज चौड़ाई $(z)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और आईपीस (पर्दे) के बीच की दूरी है,और $d$ दो कला-संबद्ध स्रोतों के बीच की दूरी है।
यह दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और कला-संबद्ध स्रोतों के बीच की दूरी $d$ स्थिर रखी गई है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$z \propto D$
इसका अर्थ है कि अनुपात $\frac{z}{D}$ एक स्थिरांक है।
इसलिए,$\frac{z_{1}}{D_{1}} = \frac{z_{2}}{D_{2}} = \frac{z_{3}}{D_{3}} = \frac{z_{4}}{D_{4}}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।