MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र है: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$।
चूंकि आयतन $V = A \cdot l$,हम लिख सकते हैं $l = \frac{V}{A}$।
इसे सूत्र में रखने पर: $Y = \frac{F \cdot (V/A)}{A \cdot \Delta l} = \frac{F \cdot V}{A^2 \cdot \Delta l}$।
विस्तार $\Delta l$ के लिए: $\Delta l = \frac{F \cdot V}{Y \cdot A^2}$।
चूंकि $F, V,$ और $Y$ दोनों छड़ों के लिए समान हैं,$\Delta l \propto \frac{1}{A^2}$।
अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार है,इसलिए क्षेत्रफल $A \propto d^2$,अतः $\Delta l \propto \frac{1}{d^4}$।
दिया गया है $d_1 = \frac{1}{2} d_2$,अर्थात $d_2 = 2 d_1$।
विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2 d_1}{d_1} \right)^4 = 2^4 = 16$।
अतः,अनुपात $16: 1$ है।

(D) $1$. प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(Stress = F/A)$। चूंकि दोनों तारों का व्यास $d$ समान है,इसलिए उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi(d/2)^2$ भी समान है। जब संयुक्त तार पर $F$ बल लगाया जाता है,तो प्रत्येक तार पर समान बल $F$ कार्य करता है। इसलिए,दोनों तार समान प्रतिबल का अनुभव करते हैं।
$2$. विकृति को लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है $(Strain = \Delta L / L)$। हुक के नियम के अनुसार,$Stress = Y \times Strain$,जहाँ $Y$ पदार्थ का यंग मापांक है।
$3$. चूंकि तार अलग-अलग पदार्थों से बने हैं,इसलिए उनके यंग मापांक अलग-अलग $(Y_1 \neq Y_2)$ होंगे।
$4$. चूंकि $Strain = Stress / Y$,और दोनों के लिए प्रतिबल समान है लेकिन यंग मापांक अलग-अलग हैं,इसलिए दोनों तारों में विकृति अलग-अलग होगी।
$5$. अतः,तारों में समान प्रतिबल लेकिन अलग विकृति होती है।

(B) प्रतिबल (stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगाए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
चूंकि दोनों तार एक ही भार से खींचे जाते हैं,इसलिए बल $F$ स्थिर है।
अतः,$\text{Stress} \propto \frac{1}{r^2}$.
यह दिया गया है कि तार $A$ की त्रिज्या तार $B$ की त्रिज्या की दोगुनी है,इसलिए $r_A = 2r_B$.
प्रतिबल $S_A$ और $S_B$ की तुलना करने पर:
$\frac{S_B}{S_A} = \frac{r_A^2}{r_B^2} = \left(\frac{2r_B}{r_B}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
इस प्रकार,$S_B = 4 S_A$.
तार $B$ पर प्रतिबल,तार $A$ पर प्रतिबल का चार गुना है।

(A) मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर प्रतिबल $\sigma = \frac{(\rho A x) g}{A} = \rho g x$ है।
एक छोटे अवयव $dx$ में लंबाई में वृद्धि $d\ell = \frac{\sigma dx}{Y} = \frac{\rho g x dx}{Y}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करने पर,कुल लंबाई में वृद्धि $\ell$ है:
$\ell = \int_0^L \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{\rho g L^2}{2Y}$.
यंग मापांक $Y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Y = \frac{\rho g L^2}{2 \ell}$.

(C) किसी तार या छड़ को खींचने में किया गया कार्य पदार्थ में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
किया गया कार्य $(W)$ = $\frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} \times \text{आयतन}$.
हम जानते हैं कि यंग मापांक $(Y)$ = $\frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$,इसलिए $\text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$.
इसे कार्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^2 \times \text{आयतन}$.
यहाँ,$\text{विकृति} = \frac{\ell}{L}$ और $\text{आयतन} = A \times L$.
इन मानों को रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\ell}{L}\right)^2 \times (A \times L)$,
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \frac{\ell^2}{L^2} \times A \times L$,
$W = \frac{1}{2} \times \frac{Y \times A}{L} \times \ell^2$.
चूंकि दी गई छड़ के लिए $Y$,$A$ और $L$ स्थिरांक हैं,इसलिए $W \propto \ell^2$ है।

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F l}{A \Delta l}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta l = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $Y$ स्थिर है। यह दिया गया है कि बल $F$ भी समान है,इसलिए $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$ होगा।
माना लंबाई $l_1 = l$ और $l_2 = 2l$ है,और त्रिज्या $r_1 = r$ और $r_2 = \sqrt{2}r$ है।
लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{l_1}{r_1^2} \times \frac{r_2^2}{l_2} = \frac{l}{r^2} \times \frac{(\sqrt{2}r)^2}{2l} = \frac{l}{r^2} \times \frac{2r^2}{2l} = 1$ है।
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
बल के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ प्राप्त होता है।
रिंग की मूल लंबाई $L = 2 \pi r$ है।
डिस्क पर फिट होने पर रिंग की अंतिम लंबाई $2 \pi R$ हो जाती है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{Y A \times 2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{Y A (R - r)}{r}$.

(A) जब वस्तुओं को गुरुत्वाकर्षण के तहत $h$ ऊँचाई से मुक्त किया जाता है,तो वे मुक्त पतन (free fall) करती हैं।
गति के समीकरणों के अनुसार,जमीन से टकराने से ठीक पहले अंतिम वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g$ और $h$ सभी वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए वेग $v$ सभी वस्तुओं के लिए समान होगा।
हालाँकि,वस्तु का संवेग $p = mv$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि पाँचों वस्तुओं के द्रव्यमान $m$ अलग-अलग हैं,इसलिए जमीन से टकराते समय उनका संवेग $p$ अलग-अलग होगा।
अतः,वह भौतिक राशि जो द्रव्यमान पर निर्भर करती है और अलग-अलग वस्तुओं के लिए बदल जाती है,वह संवेग है।

(B) जब $m$ द्रव्यमान की एक लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है, तो लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. केबल में तनाव $T$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$2$. लिफ्ट का भार $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, कुल बल $F_{\text{net}}$ द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है $(F_{\text{net}} = ma)$।
चूंकि लिफ्ट ऊपर की ओर गति कर रही है, इसलिए तनाव $T$ का मान भार $mg$ से अधिक होना चाहिए।
अतः, $T - mg = ma$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर, हमें $T = mg + ma = m(g+a)$ प्राप्त होता है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग उसके कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए,क्योंकि विस्फोट के दौरान पिंड पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है।
प्रारंभिक संवेग $P_{i} = MV$
अंतिम संवेग $P_{f} = \frac{M}{2}(0) + \frac{M}{2}(v_{0})$
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$MV = 0 + \frac{M}{2}v_{0}$
$MV = \frac{M}{2}v_{0}$
$v_{0} = 2V$

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \ kg$ और विस्थापन $x = t^3 - 2t - 10$ है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 2t - 10) = 3t^2 - 2$.
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2) = 6t$.
बल $F$,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार $F = ma$ है:
$F = 5 \times (6t) = 30t$.
$t = 5 \ s$ पर:
$F = 30 \times 5 = 150 \ N$.

(B) गति के तीसरे समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर। चूँकि वाहन रुक जाता है, $v = 0$, इसलिए $0 = u^2 - 2as$, जिससे $s = \frac{u^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
समान वाहन के लिए मंदन $a$ स्थिर है, इसलिए $s \propto u^2$ होगा।
यहाँ $u_1 = 15 \,km/hr$ और $s_1 = 5 \,m$ दिया गया है।
और $u_2 = 45 \,km/hr = 3 \times u_1$ है।
अतः, नई दूरी $s_2 = s_1 \times (\frac{u_2}{u_1})^2$ द्वारा प्राप्त होगी।
$s_2 = 5 \,m \times (3)^2 = 5 \,m \times 9 = 45 \,m$.

(C) त्रिज्या $r$ की एक गोलाकार वर्षा की बूंद का टर्मिनल वेग $v_T$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v_T = \frac{2(\sigma - \rho) r^2 g}{9 \eta}$
जहाँ $\sigma$ बूंद का घनत्व है,$\rho$ हवा का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि दोनों बूंदों के लिए $\sigma, \rho, g,$ और $\eta$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास है:
$v_T \propto r^2$ --- $(i)$
गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 4 \pi r^2$
इसका अर्थ है:
$A \propto r^2$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि पृष्ठीय क्षेत्रफल टर्मिनल वेग के सीधे आनुपातिक है:
$A \propto v_T$
इसलिए,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात उनके टर्मिनल वेग के अनुपात के बराबर होगा:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{v_{T1}}{v_{T2}} = \frac{16}{9}$
अतः,अनुपात $16: 9$ है।

(A) वाहन का प्रारंभिक संवेग $P = Mv$ है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = \frac{P}{M}$ है।
अंतिम वेग $v = 0$ है क्योंकि वाहन रुक जाता है।
वाहन पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu Mg$ है,जहाँ $N = Mg$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = -\frac{f}{M} = -\frac{\mu Mg}{M} = -\mu g$ है।
गति के समीकरण $v^{2} - u^{2} = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s$ रुकने की दूरी है:
$0^{2} - (\frac{P}{M})^{2} = 2(-\mu g)s$
$-\frac{P^{2}}{M^{2}} = -2\mu gs$
$s = \frac{P^{2}}{2\mu g M^{2}}$.

(B) दिया गया है कि दूरी $s$ समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए $s \propto t^{2}$ है।
इसे $s = k t^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{2}) = 2kt$.
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए $2k$ भी एक स्थिरांक है और यह शून्य के बराबर नहीं है।
अतः,पिंड का त्वरण स्थिर है लेकिन शून्य नहीं है।

(C) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,कोणीय संवेग को $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
स्थिति सदिश $\vec{r}$ और रैखिक संवेग सदिश $\vec{p}$ दोनों वृत्ताकार गति के तल में स्थित होते हैं।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ की दिशा गति के तल के लंबवत होती है।
चूंकि कण एक निश्चित वृत्ताकार पथ पर चलने के लिए बाध्य है,इसलिए गति का तल नहीं बदलता है।
अतः,गति में परिवर्तन के बावजूद,पूरी गति के दौरान कोणीय संवेग सदिश की दिशा स्थिर रहती है।

(A) वलय का अपनी अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = Mr^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = Mr^2 \omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान के दो कणों को अक्ष से $r$ दूरी पर व्यासीय रूप से विपरीत बिंदुओं पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_f = Mr^2 + mr^2 + mr^2 = (M+2m)r^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,अतः $L_i = L_f$।
$Mr^2 \omega = (M+2m)r^2 \omega'$।
नई कोणीय चाल $\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega' = \frac{Mr^2 \omega}{(M+2m)r^2} = \frac{\omega M}{M+2m}$ प्राप्त होता है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर होती है,इसलिए कोणीय त्वरण $\vec{\alpha} = 0$ होता है।
चूंकि $\vec{\alpha} = 0$ है,इसलिए सदिश $\vec{\alpha}$ एक शून्य सदिश है।
परिभाषा के अनुसार,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ गति के तल के लंबवत होता है,और रैखिक वेग $\vec{v}$ गति के तल में स्थित होता है,इसलिए $\vec{\omega} \perp \vec{v}$ सत्य है।
अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}$ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो गति के तल में स्थित होता है,इसलिए $\vec{\omega} \perp \vec{a}$ सत्य है।
रैखिक वेग $\vec{v}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय होता है,और अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}$ त्रिज्यीय होता है,इसलिए $\vec{v} \perp \vec{a}$ सत्य है।
हालाँकि,चूंकि $\vec{\alpha} = 0$ (एक शून्य सदिश) है,इसकी कोई परिभाषित दिशा नहीं होती है जिसके आधार पर यह $\vec{\omega}$ के लंबवत हो सके। अतः,एकसमान वृत्तीय गति के संदर्भ में $\vec{\omega} \perp \vec{\alpha}$ कथन गलत माना जाता है।

(A) $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गति करने वाले $m$ द्रव्यमान के लिए डोरी में तनाव $T$ अभिकेंद्री बल द्वारा दिया जाता है: $T = m r \omega^2$.
चूंकि $m$ और $r$ स्थिर हैं,इसलिए $T \propto \omega^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 10 \ cycle/min = \frac{10}{60} \ cycle/s = \frac{1}{6} \ cycle/s$ है।
माना प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और अंतिम तनाव $T_2 = 4T_1$ है।
समानुपातिकता $T \propto \omega^2$ का उपयोग करने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $4 = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$,जिसका अर्थ है $\frac{\omega_2}{\omega_1} = 2$ है।
अतः,$\omega_2 = 2 \omega_1 = 2 \times \frac{1}{6} \ cycle/s = \frac{1}{3} \ cycle/s$।

(D) परिक्रमण की आवृत्ति $f = \frac{x}{t}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय वेग $\omega$ और आवृत्ति के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi x}{t}$ है।
स्पर्शरेखीय वेग $V$ और कोणीय वेग के बीच संबंध $V = \omega r$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = \frac{\pi}{2} \ m$ दी गई है।
मान रखने पर: $V = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^{2} x}{t}$.

(D) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ कक्षीय वेग है,और $r$ त्रिज्या है।
सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
चूँकि $m$,$G$,और $M$ स्थिरांक हैं,हम पाते हैं कि $L \propto \sqrt{R}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना स्प्रिंग की मूल लंबाई $\ell$ है। माना स्प्रिंग नियतांक $k$ है।
जब द्रव्यमान को कोणीय वेग $\omega$ के साथ घुमाया जाता है,तो अभिकेंद्री बल स्प्रिंग के तनाव $F = k \cdot e_1$ द्वारा प्रदान किया जाता है,जहाँ $e_1 = 1 \ cm$ विस्तार है।
वृत्त की त्रिज्या $r_1 = \ell + e_1$ है।
अतः,$m(\ell + e_1)\omega^2 = k e_1$ --- $(1)$
जब कोणीय वेग को दोगुना $(2\omega)$ किया जाता है,तो विस्तार $e_2 = 6 \ cm$ हो जाता है।
वृत्त की त्रिज्या $r_2 = \ell + e_2$ है।
अतः,$m(\ell + e_2)(2\omega)^2 = k e_2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{m(\ell + e_1)\omega^2}{m(\ell + e_2)4\omega^2} = \frac{k e_1}{k e_2}$
$\frac{\ell + 1}{4(\ell + 6)} = \frac{1}{6}$
$6(\ell + 1) = 4(\ell + 6)$
$6\ell + 6 = 4\ell + 24$
$2\ell = 18$
$\ell = 9 \ cm$.

(B) घड़ी की मिनट की सुई $60$ मिनट में एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ पूरा करती है।
एक चक्कर के लिए लिया गया समय $T = 60 \text{ मिनट} = 60 \times 60 \text{ सेकंड} = 3600 \text{ सेकंड}$ है।
कोणीय चाल $\omega$ को प्रति इकाई समय में तय किए गए कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$।
मान रखने पर: $\omega = \frac{360^{\circ}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{10} \text{ deg/s} = 0.1 \text{ deg/s}$।

(B) मान लीजिए हल्के पत्थर का द्रव्यमान $m_1 = m$ और उसकी त्रिज्या $r_1 = r$ है। उसकी स्पर्शरेखीय गति $v_1$ है।
मान लीजिए भारी पत्थर का द्रव्यमान $m_2 = 3m$ और उसकी त्रिज्या $r_2 = r/3$ है। उसकी स्पर्शरेखीय गति $v_2$ है।
अभिकेंद्री बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिया गया है कि अभिकेंद्री बल समान हैं: $F_1 = F_2$।
$\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$
मान रखने पर: $\frac{m v_1^2}{r} = \frac{3m v_2^2}{(r/3)}$
$\frac{m v_1^2}{r} = \frac{9m v_2^2}{r}$
$v_1^2 = 9 v_2^2$
$v_1 = 3 v_2$
चूंकि $v_1 = n v_2$,इसलिए $n = 3$ है।

(C) माना कण का द्रव्यमान $m$ है,क्षैतिज वृत्त की त्रिज्या $r$ है और कीप का अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ है।
कण पर कार्य करने वाले बल:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. कीप की सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ जो सतह के लंबवत कार्य करता है।
अभिलंब बल $N$ के घटक:
- ऊर्ध्वाधर घटक: $N \cos \theta = mg$ (समीकरण $1$)
- क्षैतिज घटक (अभिकेंद्री बल प्रदान करता है): $N \sin \theta = \frac{mv^{2}}{r}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^{2}/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^{2}}{rg}$
कीप की ज्यामिति से,त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan \theta = \frac{r}{h}$
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{r}{h} = \frac{v^{2}}{rg}$
अतः,$h = \frac{r^{2}g}{v^{2}}$। मानक परिणामों के अनुसार,सही उत्तर $h = \frac{v^{2}}{g}$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान की वस्तु जो $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गति कर रही है,उस पर लगने वाला अभिकेंद्र बल $F = m r \omega^2$ होता है।
चूंकि दोनों कारें समान समय $t$ में अपना वृत्त पूरा करती हैं,इसलिए उनका कोणीय वेग समान है: $\omega = \frac{2\pi}{t}$.
अतः,अभिकेंद्र बलों $F_{1}$ और $F_{2}$ का अनुपात होगा:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m_{1} r_{1} \omega^2}{m_{2} r_{2} \omega^2} = \frac{m_{1} r_{1}}{m_{2} r_{2}}$.
इस प्रकार,अनुपात $m_{1} r_{1} : m_{2} r_{2}$ है।

(B) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर भार अपने प्रारंभिक मान का $\frac{3}{5}$ हो जाता है,इसलिए $g' = \frac{3}{5}g$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{5}g = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$ मिलता है।
अतः,$\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$ है।
दिया गया है $g = 10 \ m/s^2$ और $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$ है।
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10}{5 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{20}{32 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{1.6 \times 10^6}} = \sqrt{0.625 \times 10^{-6}} \approx 0.791 \times 10^{-3} \ rad/s = 7.91 \times 10^{-4} \ rad/s$।

(A) कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में $V$ की स्थिर चाल से गति कर रहा है। आधे चक्कर के बाद,वेग सदिश $\vec{v}_i = V \hat{i}$ से बदलकर $\vec{v}_f = -V \hat{i}$ हो जाता है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = -V \hat{i} - V \hat{i} = -2V \hat{i}$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = 2V$ है।
आधे चक्कर में तय की गई दूरी $\pi R$ है।
लिया गया समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{\pi R}{V}$ है।
औसत त्वरण $a_{avg} = \frac{|\Delta \vec{v}|}{t} = \frac{2V}{\frac{\pi R}{V}} = \frac{2V^2}{\pi R}$ है।

(A) $v$ वेग से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण $U.C.M.$ कर रहा है,इसलिए अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ होता है,जिसका अर्थ है $v^2 = a r$।
गतिज ऊर्जा के समीकरण में $v^2 = a r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} m (a r)$
$E = \frac{m a r}{2}$
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$a = \frac{2 E}{m r}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
चूंकि $\omega_0 = 0$,इसलिए $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$,जिससे $t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}$ प्राप्त होता है।
$\theta$ कोणीय विस्थापन के लिए कण का रेखीय विस्थापन जीवा की लंबाई $d = 2r \sin(\theta/2)$ है। छोटे $\theta$ के लिए,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$,अतः $d \approx r \theta$.
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{r \theta}{t}$ के रूप में परिभाषित है।
$t$ का मान रखने पर: $v_{avg} = \frac{r \theta}{\sqrt{2 \theta / \alpha}} = r \theta \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$.
अतः,सही विकल्प $r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$ है,जो विकल्प $A$ के समान है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड की चाल समय के साथ स्थिर रहती है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ को समय के सापेक्ष वेग के परिमाण (चाल) में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$a_t = \frac{dv}{dt}$।
चूंकि चाल '$v$' एकसमान (स्थिर) है,इसलिए समय के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होता है।
अतः,$a_t = 0$।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 100 \ m$,वेग $v = 20 \ m/s$,और स्पर्शरेखीय त्वरण $a_{t} = 3 \ m/s^{2}$।
सबसे पहले,त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_{r}$ की गणना सूत्र $a_{r} = \frac{v^{2}}{r}$ का उपयोग करके करें।
$a_{r} = \frac{(20)^{2}}{100} = \frac{400}{100} = 4 \ m/s^{2}$।
परिणामी त्वरण $a$,स्पर्शरेखीय और त्रिज्यीय त्वरण का सदिश योग है,जो एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
$a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{t}^{2}}$।
$a = \sqrt{(4)^{2} + (3)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^{2}$।
अतः,परिणामी त्वरण $5 \ m/s^{2}$ है।

(B) माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ और अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = 3E$ है।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$,इसलिए $E \propto \omega^2$ है।
अतः,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = 3$,जिसका अर्थ है $\omega_2^2 = 3\omega_1^2$।
माना प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है,तो $\omega_f^2 = 3\omega_0^2$ होगा।
घूर्णी गति के समीकरण $\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi$ रेडियन है।
$3\omega_0^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(6\pi) \implies 2\omega_0^2 = 12\alpha\pi \implies \alpha = \frac{\omega_0^2}{6\pi}$।
चूंकि $E = \frac{1}{2}mr^2\omega_0^2$,इसलिए $\omega_0^2 = \frac{2E}{mr^2}$ है।
$\alpha$ के समीकरण में $\omega_0^2$ का मान रखने पर: $\alpha = \frac{2E}{mr^2} \cdot \frac{1}{6\pi} = \frac{E}{3\pi mr^2}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r\alpha = r \cdot \frac{E}{3\pi mr^2} = \frac{E}{3\pi mr}$ होगा।

(B) $1$. वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण का रैखिक वेग $v$ हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) की दिशा में होता है।
$2$. कोणीय वेग $\omega$ एक सदिश राशि है जिसकी दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। $xy$-समतल में वामावर्त दिशा में घूम रहे कण के लिए,कोणीय वेग सदिश $\omega$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है,जो वृत्त के समतल के लंबवत होता है (अर्थात,$z$-अक्ष के अनुदिश)।
$3$. चूंकि रैखिक वेग $v$ वृत्त के समतल में स्थित होता है और कोणीय वेग $\omega$ वृत्त के समतल के लंबवत होता है,इसलिए उनके बीच का कोण हमेशा $90^{\circ}$ होता है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में किसी वस्तु के लिए अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = R \omega^2$ होता है।
यहाँ,$R$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय वेग है।
कोणीय वेग $\omega$ और आवृत्ति $n$ के बीच का संबंध $\omega = 2 \pi n$ है।
इस मान को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_c = R (2 \pi n)^2$
$a_c = R (4 \pi^2 n^2)$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) शेल शुरू में स्थिर है इसलिए इसका प्रारंभिक संवेग शून्य है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, तीनों टुकड़ों के संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए टुकड़ों का द्रव्यमान $m_1 = M/4$, $m_2 = M/4$, और $m_3 = M - (M/4 + M/4) = M/2$ है।
पहले दो टुकड़ों के संवेग $p_1 = m_1 v_1 = (M/4) \times 3 = 3M/4$ और $p_2 = m_2 v_2 = (M/4) \times 4 = 4M/4 = M$ हैं।
चूंकि ये टुकड़े परस्पर लंबवत दिशाओं में गति करते हैं, इसलिए उनका परिणामी संवेग $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(3M/4)^2 + (M)^2} = \sqrt{9M^2/16 + 16M^2/16} = \sqrt{25M^2/16} = 5M/4$ है।
तीसरे टुकड़े का संवेग $p_3$ ऐसा होना चाहिए कि $p_3 = -p_{12}$, इसलिए इसका परिमाण $p_3 = 5M/4$ है।
$p_3 = m_3 v_3$ का उपयोग करते हुए, हमें $(M/2) \times v_3 = 5M/4$ प्राप्त होता है।
$v_3$ के लिए हल करने पर, $v_3 = (5M/4) \times (2/M) = 2.5 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।

(B) घूर्णन की आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ rev/s}$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2\pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$ है।
शंक्वाकार लोलक (conical pendulum) के लिए,डोरी में तनाव $T$,अभिकेंद्र बल के समीकरण $T \sin \theta = m \omega^2 r$ और ऊर्ध्वाधर संतुलन $T \cos \theta = mg$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r = \ell \sin \theta$ रखने पर,$T \sin \theta = m \omega^2 (\ell \sin \theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = m \omega^2 \ell$।
मान रखने पर: $T = m (6)^2 \ell = 36 m \ell$।

(A) शंकु लोलक में,लोलक का गोलक एक क्षैतिज वृत्त में गति करता है। गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. डोरी में तनाव $T$,जो डोरी की दिशा में निलंबन बिंदु की ओर कार्य करता है।
$2$. गोलक का भार $mg$,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
तनाव $T$ को दो आयताकार घटकों में वियोजित करने पर:
- ऊर्ध्वाधर घटक $T \cos \theta$ गोलक के भार को संतुलित करता है $(T \cos \theta = mg)$।
- क्षैतिज घटक $T \sin \theta$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है $(T \sin \theta = \frac{mv^2}{r})$।
घूर्णन संदर्भ फ्रेम (अजड़त्वीय फ्रेम) में,अपकेंद्री बल बाहर की ओर कार्य करता है,जो तनाव के क्षैतिज घटक द्वारा संतुलित होता है। इसलिए,अपकेंद्री बल को संतुलित करने वाला तनाव का घटक $T \sin \theta$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
जब ट्रॉली $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज रूप से चलती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ (नीचे की ओर) और छद्म-त्वरण $a$ (विपरीत दिशा में क्षैतिज रूप से) का सदिश योग होता है।
चूंकि ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए प्रभावी त्वरण का परिमाण $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2} = (a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}$ है।
इसे आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{(a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}}} = 2 \pi \sqrt{L} \cdot (a^2 + g^2)^{-\frac{1}{4}}$.

(B) सेकंड्स लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2 \ s$ होता है।
आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
$T = 2$ रखने पर,हमें $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $1 = \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \pi^2 \frac{l}{g}$ प्राप्त होता है,अतः $l = \frac{g}{\pi^2}$।
स्थान $A$ पर,$g_A = 981 \ cm/s^2$ और $\pi^2 = 10$ है,इसलिए $l_A = \frac{981}{10} = 98.1 \ cm$।
स्थान $B$ पर,लंबाई $0.3 \ cm$ कम हो जाती है,इसलिए $l_B = 98.1 - 0.3 = 97.8 \ cm$।
चूंकि यह अभी भी एक सेकंड्स लोलक है,इसलिए स्थान $B$ पर भी $T = 2 \ s$ होगा।
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_B}{g_B}}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 = \pi^2 \frac{l_B}{g_B}$ प्राप्त होता है।
अतः,$g_B = \pi^2 \times l_B = 10 \times 97.8 = 978 \ cm/s^2$।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
सेकंड लोलक के लिए, पृथ्वी और ग्रह दोनों पर आवर्तकाल $T = 2 \,s$ होता है।
अतः, $T_e = T_p = 2 \,s$।
इसका अर्थ है कि $\frac{\ell_e}{g_e} = \frac{\ell_p}{g_p}$, इसलिए $\ell_p = \ell_e \left( \frac{g_p}{g_e} \right)$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
दिया गया है कि $M_p = 2M_e$ और $R_p = 2R_e$ (चूंकि व्यास दोगुना है, इसलिए त्रिज्या भी दोगुनी होगी)।
अतः, $g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$।
इस मान को लंबाई के समीकरण में रखने पर: $\ell_p = 1 \,m \times \left( \frac{g_e/2}{g_e} \right) = 1 \times 0.5 = 0.5 \,m$।

(C) विस्थापन का दिया गया समीकरण $x = a \sin \left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} t\right)$ है।
इसे मानक $SHM$ समीकरण $x = a \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \ rad/s$ प्राप्त होती है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ s$ है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{g}$ प्राप्त होता है।
$T = 2\sqrt{2}$ और $g = \pi^{2}$ का मान रखने पर,$(2\sqrt{2})^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{\pi^{2}}$.
$8 = 4\ell$.
अतः,$\ell = 2 \ m$।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{L}$ है।
यदि हम आवर्तकाल को दोगुना करना चाहते हैं, तो मान लें कि नया आवर्तकाल $T' = 2T$ है।
तब, $2T = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}$.
नए समीकरण को मूल समीकरण से विभाजित करने पर: $\frac{2T}{T} = \frac{2\pi \sqrt{L'/g}}{2\pi \sqrt{L/g}}$.
यह सरल होकर $2 = \sqrt{\frac{L'}{L}}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $4 = \frac{L'}{L}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $L' = 4L$.
अतः, आवर्तकाल को दोगुना करने के लिए लंबाई को चार गुना बढ़ाना होगा।

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
दिया गया है कि लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 0.5 \%$ और आवर्तकाल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 0.2 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$g$ में प्रतिशत त्रुटि = $0.5 \% + 2(0.2 \%) = 0.5 \% + 0.4 \% = 0.9 \%$.

(D) छोटे आयाम '$A$' के साथ सरल आवर्त गति करने वाले एक सरल लोलक के लिए,किसी भी कोण '$\theta$' पर डोरी में तनाव $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य स्थिति पर,वेग 'v' अधिकतम होता है और '$\theta = 0$' होता है,इसलिए '$\cos \theta = 1$'। अतः,अधिकतम तनाव $T_{\max} = mg + \frac{mv_{\max}^2}{\ell}$ है।
सरल आवर्त गति में,वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$।
अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ है।
इसलिए,$v_{\max}^2 = A^2 \frac{g}{\ell}$।
इस मान को $T_{\max}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{\ell} \left( A^2 \frac{g}{\ell} \right) = mg + mg \frac{A^2}{\ell^2} = mg \left( 1 + \frac{A^2}{\ell^2} \right)$।

(A) डोरी में तनाव तब अधिकतम होता है जब गोलक माध्य स्थिति से गुजरता है।
माध्य स्थिति पर,गोलक पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं। परिणामी अभिकेंद्र बल तनाव और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T_{\max} - mg = \frac{mV^{2}}{L} \implies T_{\max} = mg + \frac{mV^{2}}{L} \dots (1)$
सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,माध्य स्थिति पर वेग $V = a\omega$ द्वारा दिया जाता है।
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ होती है।
अतः,$V = a\sqrt{\frac{g}{L}}$,जिसका अर्थ है $V^{2} = a^{2}\frac{g}{L}$।
$V^{2}$ के इस मान को $Eq. (1)$ में रखने पर:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{L} \left(a^{2}\frac{g}{L}\right) = mg + \frac{mga^{2}}{L^{2}} = mg \left[1 + \left(\frac{a}{L}\right)^{2}\right]$.

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्प्रिंग $A$ के लिए,$T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{1}}}$.
स्प्रिंग $B$ के लिए,$T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{2}}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$T_{1} = 2T_{2}$.
अब,इस मान को $\frac{T_{1}+T_{2}}{T_{1}-T_{2}}$ व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2T_{2} + T_{2}}{2T_{2} - T_{2}} = \frac{3T_{2}}{T_{2}} = 3$.
इसे $3:1$ के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए जिसका आयाम $A$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है,अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं $(m_A = m_B = m)$ और अधिकतम वेग समान हैं $(v_{max,A} = v_{max,B})$,इसलिए $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$ होगा।
हम जानते हैं कि $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,इसलिए $A_1 \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{K_2}{m}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$A_1^2 \frac{K_1}{m} = A_2^2 \frac{K_2}{m}$।
सरल करने पर,$A_1^2 K_1 = A_2^2 K_2$।
अतः,$B$ के आयाम $(A_2)$ और $A$ के आयाम $(A_1)$ का अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ है।

(B) सरल आवर्त गति में एक पिंड की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} kA^2$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} kx^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा का एक-चौथाई है:
$U = \frac{1}{4} E$
$U$ और $E$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} kA^2)$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} k$ को हटाने पर:
$x^2 = \frac{A^2}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \frac{A}{2}$
अतः,माध्य स्थिति से $\frac{A}{2}$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा का एक-चौथाई होती है।

(A) $S.H.M.$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिया गया है $U_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^{2}$,इसलिए $\sqrt{U_{1}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}|$.
दिया गया है $U_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^{2}$,इसलिए $\sqrt{U_{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}|$.
विस्थापन $x = x_{1} + x_{2}$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^{2}$ होगी।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1} + x_{2}|$.
यदि $x_{1}$ और $x_{2}$ समान चिह्न के हैं,तो $\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}| + \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}| = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.
अतः,$\sqrt{U} = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.

(B) कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{N \phi}{I}$ द्वारा दिया जाता है।
एक वृत्ताकार कुंडली या परिनालिका के लिए,प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ फेरों की संख्या $N$ के समानुपाती होता है (क्योंकि $B \propto N$)।
इसलिए,कुल फ्लक्स लिंकेज $N \phi$,$N^2$ के समानुपाती होता है।
अतः,स्व-प्रेरकत्व $L$ फेरों की संख्या के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $L \propto N^{2}$।

(B) टोरोइडल सोलेनोइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_{0} N I A}{2 \pi R}$ है।
कुल फ्लक्स लिंकेज $N \phi = \frac{\mu_{0} N^{2} I A}{2 \pi R}$ है।
परिभाषा के अनुसार,स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{N \phi}{I}$ होता है।
कुल फ्लक्स लिंकेज का मान रखने पर,हमें $L = \frac{\mu_{0} N^{2} A}{2 \pi R}$ प्राप्त होता है।

(D) यदि $r_{1}$ त्रिज्या वाली बाहरी कुंडली में $I_{1}$ धारा प्रवाहित होती है,तो केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}}$ होगा।
चूंकि $r_{2} \ll r_{1}$ है,हम मान सकते हैं कि छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ एकसमान है।
छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{2} = B_{1} \times A_{2} = B_{1} \times \pi r_{2}^{2}$ होगा।
$B_{1}$ का मान रखने पर,$\phi_{2} = \left( \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}} \right) \times \pi r_{2}^{2}$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ की परिभाषा के अनुसार,$M = \frac{\mu_{0} \pi r_{2}^{2}}{2 r_{1}}$ होगा।

(D) $R$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वाली बड़ी कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R \gg r$,हम मान सकते हैं कि छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
$r$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \cdot (\pi r^{2})$ है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \cdot (\pi r^{2})$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$M = \frac{\mu_{0} \pi r^{2}}{2R}$ है।
चूंकि $\mu_{0}$,$\pi$ और $2$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto \frac{r^{2}}{R}$ है।

(C) स्व-प्रेरण गुणांक $L$ को $L = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\phi$ चुंबकीय फ्लक्स है और $I$ विद्युत धारा है।
एक टोरॉइड के लिए,कोर के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है $n = \frac{N}{2 \pi R}$,इसलिए $B = \mu_{0} \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$.
कुंडली के प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $A = \pi r^{2}$ कुंडली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
$N$ फेरों से जुड़ा कुल फ्लक्स $\Phi = N \phi = N (B \cdot A) = N \left( \mu_{0} \frac{N}{2 \pi R} I \right) (\pi r^{2})$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $\Phi = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2} I}{2 R}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2}}{2 R}$ है।

(C) प्रकाश प्रकृति में एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है।
विद्युत चुम्बकीय तरंगों को अपने संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
इसलिए,यह कथन कि 'प्रकाश को संचरण के लिए माध्यम की आवश्यकता होती है' गलत है और यह प्रकाश का गुण नहीं है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कार्य फलन नगण्य है,फोटॉन की पूरी ऊर्जा फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ में परिवर्तित हो जाती है: $K = \frac{hc}{\lambda}$.
फोटोइलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{1}$ उसके संवेग $(p)$ से $\lambda_{1} = \frac{h}{p}$ द्वारा संबंधित है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$.
संवेग के समीकरण में $K$ का मान रखने पर: $p = \sqrt{2m \left( \frac{hc}{\lambda} \right)}$.
अब,$p$ का मान डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर: $\lambda_{1} = \frac{h}{\sqrt{2mhc/\lambda}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h \lambda}{2mc}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda_{1}^2 = \frac{h \lambda}{2mc}$.
चूंकि $h, m, c$ स्थिरांक हैं,हमें $\lambda_{1}^2 \propto \lambda$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \lambda_{1}^2$.

(C) परावैद्युत पदार्थ का ध्रुवण $P$ प्रति इकाई आयतन प्रेरित द्विध्रुव आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक रैखिक समदैशिक परावैद्युत के लिए,प्रेरित ध्रुवण $P$ लगाए गए बाहरी विद्युत क्षेत्र $E$ के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $P = \epsilon_{0} \chi_{e} E$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\epsilon_{0}$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $\chi_{e}$ विद्युत प्रवृत्ति है।
कई सरल संदर्भों या इकाइयों की प्रणालियों में जहाँ $\epsilon_{0}$ को समाहित माना जाता है,संबंध $P = \chi_{e} E$ के रूप में दिया जाता है।
अतः,सही संबंध $P = \chi_{e} E$ है।

(D) आयनमंडल पृथ्वी के ऊपरी वायुमंडल का एक क्षेत्र है जो सौर विकिरण द्वारा आयनित होता है। यह आयनीकरण प्रक्रिया परमाणुओं और अणुओं से इलेक्ट्रॉनों को अलग कर देती है,जिसके परिणामस्वरूप मुक्त इलेक्ट्रॉनों और धनात्मक आयनों से बना एक प्लाज्मा निर्मित होता है।

(B) आवेशित गोले के केंद्र से $r$ $(r \ge R)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}}$ है।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{q}{4 \pi R^{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $q = 4 \pi R^{2} \sigma$.
$q$ का मान विद्युत क्षेत्र के समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{r^{2}}$
$E = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} r^{2}}$
$r^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r^{2} = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} E}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = R \sqrt{\frac{\sigma}{\epsilon_{0} E}}$.

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक आवेशित चालक गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$,गॉस के नियम के अनुसार $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले पर कुल आवेश $Q$ का पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ के साथ संबंध $Q = \sigma \cdot (4 \pi R^{2})$ है,इसलिए हम इस मान को विद्युत क्षेत्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma (4 \pi R^{2})}{r^{2}}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $E = \frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_{0} r^{2}}$ प्राप्त होता है।
$\sigma$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sigma = E \varepsilon_{0} \left(\frac{r}{R}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) वैन डी ग्राफ जनरेटर एक इलेक्ट्रोस्टैटिक जनरेटर है जो एक खोखले धातु के गुंबद पर बहुत अधिक विद्युत आवेश जमा करने के लिए एक चलते हुए बेल्ट का उपयोग करता है।
इसे बहुत उच्च विभवांतर (वोल्टेज) उत्पन्न करने के लिए डिज़ाइन किया गया है,जो आमतौर पर लाखों वोल्ट की सीमा में होता है।
हालाँकि,प्रति इकाई समय में स्थानांतरित आवेश की मात्रा बहुत कम होती है,जिसके परिणामस्वरूप बहुत कम विद्युत धारा प्राप्त होती है।
इसलिए,यह उच्च वोल्टेज और कम धारा उत्पन्न करता है।

(A) विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ द्वारा दी जाती है।
प्लेटों के बीच के स्थान का आयतन $V = Ad$ है।
इसलिए,संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा $U = u \times V = \left( \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} \right) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$ होगी।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{\text{enclosed}}$ गोलाकार गुब्बारे द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
जब गुब्बारा फूलता है,तो उसकी त्रिज्या बढ़ जाती है,लेकिन उसकी सतह पर कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि घिरा हुआ आवेश $q$ नहीं बदलता है,इसलिए सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ अपरिवर्तित रहता है।

(B) गाउस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{enc}$ सतह के भीतर परिबद्ध कुल आवेश है और $\epsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता है।
चूंकि विद्युत फ्लक्स केवल सतह के भीतर परिबद्ध आवेश पर निर्भर करता है,न कि गाऊसी सतह के आकार या आकृति पर,इसलिए गोलीय गाऊसी सतह की त्रिज्या बढ़ाने से परिबद्ध आवेश की मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,विद्युत फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$ होता है।
एक घन के केंद्र पर $Q$ आवेश रखने पर,सभी छह फलकों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$ होगा।
चूंकि घन सममित है,इसलिए प्रत्येक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा।
एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स: $\phi_{one} = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$.
दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स: $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_{0}} = \frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$.
अतः,एक फलक और दो विपरीत फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स क्रमशः $\frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$ और $\frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$ है।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले और केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण बनाने वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi r}$ है।
अर्ध-वृत्ताकार चाप के लिए,केंद्र पर बना कोण $\theta = \pi$ रेडियन है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi r} = \frac{\mu_{0} I}{4 r}$.
अतः,बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $\frac{\mu_{0} I}{4 r}$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $F$ सूत्र $F = I L B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I = 1.2 \ A$ धारा है,
$L = 0.5 \ m$ तार की लंबाई है,
$B = 2 \ T$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,
और $\theta = 90^{\circ}$ तार और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times \sin 90^{\circ}$
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times 1$
$F = 1.2 \times 1$
$F = 1.2 \ N$.
अतः,तार पर लगने वाला बल $1.2 \ N$ है।

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{\ell} \times \vec{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार $x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए इसका लंबाई सदिश $\vec{\ell} = \ell \hat{i}$ है।
दिया गया है $\vec{B} = B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\vec{F} = I(\ell \hat{i}) \times B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$।
$\vec{F} = I \ell B [(\hat{i} \times \hat{i}) + 2(\hat{i} \times \hat{j}) - 3(\hat{i} \times \hat{k})]$।
सदिश गुणन के नियमों का उपयोग करने पर: $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$।
$\vec{F} = I \ell B [0 + 2\hat{k} - 3(-\hat{j})] = I \ell B (3\hat{j} + 2\hat{k})$।
बल का परिमाण $F = |\vec{F}| = I \ell B \sqrt{3^2 + 2^2}$ है।
$F = I \ell B \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} I \ell B$।

(D) धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए मध्य-बिंदु पर उनके चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
दोनों तार मध्य-बिंदु से $r = 1.5 \,m$ की दूरी पर हैं।
पहले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{3}{1.5} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi}$ है।
दूसरे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{4.5}{1.5} = \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi}$ है।
चूंकि क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{1} + B_{2} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi} + \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi} = \frac{5 \mu_{0}}{2 \pi}$ होगा।

(A) जब $L$ लंबाई की एक छड़ $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $V$ वेग से चलती है,तो प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = BLV$ होता है।
परिपथ में प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{BLV}{R}$ है।
धारावाही छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = BIL$ होता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $F = B \left( \frac{BLV}{R} \right) L = \frac{B^{2} L^{2} V}{R}$ प्राप्त होता है।
चूंकि छड़ स्थिर गति से चलती है,इसलिए लगाया गया बाहरी बल उस पर कार्य करने वाले चुंबकीय बल के बराबर होना चाहिए। अतः,आवश्यक बल $F = \frac{B^{2} L^{2} V}{R}$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाला बल $F = BIL \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र चालक के लंबवत है,इसलिए $\theta = 90^\circ$,अतः $F = BIL$ होगा।
तारों में तनाव शून्य होने के लिए,चुंबकीय बल को छड़ के भार को संतुलित करना चाहिए।
इसलिए,$BIL = Mg$ होगा।
$B$ के लिए हल करने पर,हमें $B = \frac{Mg}{IL}$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m$,चुंबकन $M$ और छड़ के आयतन $V$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$m = M \times V$
दिया गया है:
चुंबकन $M = 5.3 \times 10^{3} \ A/m$
लंबाई $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
व्यास $d = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,अतः त्रिज्या $r = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
आयतन $V = \pi r^2 l = \frac{22}{7} \times (0.5 \times 10^{-2})^2 \times (5 \times 10^{-2})$
$V = \frac{22}{7} \times 0.25 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2} \approx 3.925 \times 10^{-6} \ m^3$
अब,$m = (5.3 \times 10^3) \times (3.925 \times 10^{-6}) \approx 20.8 \times 10^{-3} \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान $2 \times 10^{-2} \ J/T$ है।

(B) मान लीजिए कि धातु के तार की लंबाई $l$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिधि $2 \pi r = l$ होती है,इसलिए $r = \frac{l}{2 \pi}$।
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{l^2}{4 \pi}$ है।
वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_c = i A_c = i \frac{l^2}{4 \pi}$ है।
जब उसी तार को वर्गाकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो परिधि $4a = l$ होती है,इसलिए भुजा की लंबाई $a = \frac{l}{4}$ है।
वर्गाकार कुंडली का क्षेत्रफल $A_s = a^2 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$ है।
वर्गाकार कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_s = i A_s = i \frac{l^2}{16}$ है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का अनुपात $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4 \pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$
दी गई शर्त $r \gg R$ के अनुसार,हम हर में $r^{2}$ की तुलना में $R^{2}$ की उपेक्षा कर सकते हैं:
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(r^{2})^{3/2}}$
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2r^{3}}$
चूंकि $\mu_{0}$,$I$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम पाते हैं कि:
$B \propto \frac{1}{r^{3}}$

(A) टोरॉइड की औसत त्रिज्या $r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2}$ द्वारा दी जाती है।
टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} n I$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{2 \pi r}$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $n = \frac{N}{2 \pi \left(\frac{r_{1} + r_{2}}{2}\right)} = \frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} I \left(\frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}\right) = \frac{\mu_{0} NI}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ है।

(B) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$।
इससे $(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $R^2 + x^2 = 4R^2$।
अतः,$x^2 = 3R^2$,जिसका अर्थ है $x = R \sqrt{3}$।

(B) परिनालिका का प्रेरकत्व $L = \mu_{0} N^{2} \frac{A_{s}}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_{s}$ परिनालिका का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $N$ फेरों की संख्या है।
माना वाइंडिंग के लिए उपयोग किए गए तार की कुल लंबाई $x$ है और तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $a$ है।
प्रतिरोध $R = \frac{\rho x}{a}$ है।
तार का द्रव्यमान $m = a x D$ है।
इनका गुणा करने पर,$R m = \left( \frac{\rho x}{a} \right) (a x D) = \rho x^{2} D$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^{2} = \frac{R m}{\rho D}$।
तार की कुल लंबाई $x = N \times (2 \pi r)$ भी होती है,जहाँ $r$ परिनालिका की त्रिज्या है।
इसलिए,$N = \frac{x}{2 \pi r}$।
प्रेरकत्व के सूत्र में $N$ का मान रखने पर: $L = \mu_{0} \left( \frac{x}{2 \pi r} \right)^{2} \frac{\pi r^{2}}{\ell} = \mu_{0} \frac{x^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}} \frac{\pi r^{2}}{\ell} = \frac{\mu_{0} x^{2}}{4 \pi \ell}$।
$x^{2} = \frac{R m}{\rho D}$ रखने पर,हमें $L = \frac{\mu_{0}}{4 \pi \ell} \left( \frac{R m}{\rho D} \right)$ प्राप्त होता है।

(C) $I_{1}$ धारा के कारण वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$
$d$ दूरी पर स्थित $I_{2}$ धारा ले जाने वाले लंबे सीधे तार के कारण कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन क्षेत्रों के परिमाण समान और दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए:
$B_{1} = B_{2}$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi} \times \frac{2 R}{\mu_{0} I_{1}}$
$d = \frac{I_{2} R}{\pi I_{1}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) '$n$' फेरों और '$a$' त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर '$I$' धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} n I}{2a}$ द्वारा दिया जाता है।
दो संकेंद्रित कुंडलियों के लिए,केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ और $B_{2}$ हैं:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}}$ और $B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
चूंकि धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों क्षेत्रों का अंतर होगा:
$B = B_{1} - B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}} - \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
$\frac{\mu_{0} n}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1}}{a_{1}} - \frac{I_{2}}{a_{2}} \right]$.
$a_{1} a_{2}$ को लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1} a_{2} - I_{2} a_{1}}{a_{1} a_{2}} \right]$.

(A) मान लीजिए कि बिंदु चुंबक $A$ की अक्ष पर उसके केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित है।
चुंबक $A$ के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र (अक्षीय स्थिति) $B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M_{1}}{d^{3}}$ है।
उसी बिंदु पर चुंबक $B$ के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र (निरक्षीय स्थिति) $B_{2} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M_{2}}{d^{3}}$ है।
चूंकि अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं,परिणामी क्षेत्र चुंबक $A$ की अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,जहाँ $\tan \theta = \frac{B_{2}}{B_{1}}$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
अतः,$1 = \frac{(\mu_{0} M_{2}) / (4\pi d^{3})}{(2\mu_{0} M_{1}) / (4\pi d^{3})} = \frac{M_{2}}{2M_{1}}$।
इससे हमें $\frac{M_{2}}{M_{1}} = 2$ प्राप्त होता है,अर्थात $M_{2} : M_{1} = 2 : 1$।

(B) मान लीजिए कि वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r$ है। लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ है।
इसलिए,$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \sqrt{\frac{A}{\pi}}}$.
धारा $I$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $M = \left( \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A$.
$M = \frac{2 B}{\mu_{0}} \cdot \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \cdot A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_{0} \pi^{1/2}}$.

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $m$ ध्रुव प्राबल्य वाले चुंबकीय ध्रुव पर लगने वाला बल $F = mB$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = 2.5 \times 10^{-4} \,N$ और $B = 3 \times 10^{-5} \,T$ दिया गया है।
ध्रुव प्राबल्य $m$ की गणना करने पर:
$m = \frac{F}{B} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{25}{3} \,Am$.
चुंबकीय आघूर्ण $M$ को ध्रुव प्राबल्य $m$ और चुंबकीय लंबाई $L$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात $M = mL$.
यहाँ $M = 5 \,Am^{2}$ दिया गया है।
अतः, चुंबकीय लंबाई $L$ होगी:
$L = \frac{M}{m} = \frac{5}{25/3} = \frac{5 \times 3}{25} = \frac{15}{25} = 0.6 \,m$.

(B) मान लीजिए कि दो चुंबक $M_1$ और $M_2$ हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $\ell$ और ध्रुव प्रबलता $m$ है। प्रत्येक चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = m \ell$ है।
चूंकि उन्हें लंबवत रखा गया है और एक का उत्तरी ध्रुव दूसरे के दक्षिणी ध्रुव को स्पर्श करता है, इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu}_1$ और $\vec{\mu}_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu}_{res}$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है: $\vec{\mu}_{res} = \vec{\mu}_1 + \vec{\mu}_2$.
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $\mu_{res} = \sqrt{\mu_1^2 + \mu_2^2}$ है।
$\mu_1 = \mu_2 = m \ell$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu_{res} = \sqrt{(m \ell)^2 + (m \ell)^2} = \sqrt{2 (m \ell)^2} = \sqrt{2} m \ell$.
अतः, परिणामी चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $\sqrt{2} m \ell$ है।

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $i$ का मान $i = ef$ होता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $f$ परिक्रमण की आवृत्ति है।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$M = (ef)(\pi r^2)$।
चूँकि $e$,$\pi$ और $r$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto f$ है।
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना $(f' = 2f)$ कर दिया जाए,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ का मान $M' = e(2f)(\pi r^2) = 2(ef\pi r^2) = 2M$ होगा।

(A) मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m(2L)$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
जब तार को केंद्र से मोड़ा जाता है,तो यह $L$ लंबाई के दो खंड बनाता है,जिनमें से प्रत्येक का चुंबकीय आघूर्ण $M' = m(L) = \frac{M}{2}$ होता है।
ये दो खंड एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M_{net}$ दो व्यक्तिगत चुंबकीय आघूर्णों का सदिश योग है:
$M_{net} = \sqrt{(\frac{M}{2})^2 + (\frac{M}{2})^2} = \sqrt{\frac{M^2}{4} + \frac{M^2}{4}} = \sqrt{\frac{2M^2}{4}} = \sqrt{\frac{M^2}{2}} = \frac{M}{\sqrt{2}}$.

(C) चुंबकीय आघूर्ण विद्युत आवेशों की गति से उत्पन्न होता है,जो एक धारा लूप या चुंबकीय क्षेत्र बनाता है।
$1$. एक स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है और यह चुंबकीय क्षेत्र या चुंबकीय आघूर्ण उत्पन्न नहीं करता है।
$2$. नियत वेग से गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र (और इस प्रकार चुंबकीय आघूर्ण) दोनों उत्पन्न करता है।
$3$. त्वरित या मंदित आवेश समय के साथ बदलते विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र बनाते हैं,जिसमें चुंबकीय प्रभाव भी शामिल होते हैं।
इसलिए,स्थिर आवेश ही एकमात्र विकल्प है जो चुंबकीय आघूर्ण उत्पन्न नहीं करता है।

(D) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले छड़ चुंबक के लिए,$d$ दूरी पर अक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}$ होता है।
उसी चुंबक के लिए,$d$ दूरी पर निरक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}$ होता है।
चूंकि चुंबक लंबवत हैं,इसलिए दोनों केंद्रों से $d$ दूरी पर स्थित बिंदु एक चुंबक के लिए अक्षीय और दूसरे के लिए निरक्षीय बिंदु के रूप में कार्य करता है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_{axial}^{2} + B_{equatorial}^{2}}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}\right)^{2} + \left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}\right)^{2}}$.
$B_{net} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi d^{3}} \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}} \sqrt{5}$.

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v = r\omega$,इसलिए $L = m(r\omega)r = m\omega r^2$ है।
अतः,$\omega r^2 = \frac{L}{m} \quad \dots(i)$
घूमते हुए इलेक्ट्रॉन से संबंधित चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi/\omega} = \frac{e\omega}{2\pi}$ और क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$M = \left(\frac{e\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{e}{2} \omega r^2$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से $\omega r^2$ का मान $M$ के व्यंजक में रखने पर:
$M = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right)$।
$L$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{2mM}{e}$।

(D) चुंबकन की तीव्रता $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$M = \frac{m_{net}}{V}$
दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \ g$ और घनत्व $\rho = 5 \ g/cm^{3}$ है।
आयतन $V = \frac{m}{\rho} = \frac{5 \ g}{5 \ g/cm^{3}} = 1 \ cm^{3}$।
आयतन को $SI$ इकाइयों में परिवर्तित करने पर: $1 \ cm^{3} = 10^{-6} \ m^{3}$।
दिया गया चुंबकीय आघूर्ण $m_{net} = 6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}$ है।
$M = \frac{6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}}{10^{-6} \ m^{3}} = 6 \times 10^{-1} \ A/m = 0.6 \ A/m$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि तार की ध्रुव प्रबलता $m$ है। सीधे तार का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times \ell$ है।
जब तार को अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो चाप की लंबाई $\ell = \pi r$ होती है,जहाँ $r$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,त्रिज्या $r = \ell / \pi$ है।
अर्धवृत्ताकार तार के दो सिरों के बीच की दूरी (चुंबकीय लंबाई) व्यास है,$d = 2r = 2\ell / \pi$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ ध्रुव प्रबलता और चुंबकीय लंबाई का गुणनफल है:
$M' = m \times (2r) = m \times (2\ell / \pi) = (2 / \pi) \times (m \times \ell)$।
चूंकि $M = m \times \ell$,इसलिए $M' = (2 / \pi) M$।

(B) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = q_0(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\overrightarrow{F}$ हमेशा वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा आवेश पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए स्थिर गतिज ऊर्जा का अर्थ है कि आवेश की चाल $v$ समय के साथ स्थिर रहती है।
अतः,एक सेकंड के बाद $q_0$ की चाल $v$ ही रहेगी।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के पूर्ण वृत्ताकार पथ का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयन डी (dee) में अर्धवृत्ताकार पथ तय करता है,इसलिए लगा समय $t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{q B}$ होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि लगा समय आयन की गति $(v)$ और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $(r)$ से स्वतंत्र है।

(C) जब $q$ आवेश और $M$ द्रव्यमान का एक कण $V$ विभवांतर से त्वरित होता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} M v^{2} = qV$ होती है।
अतः,वेग $v = \sqrt{\frac{2qV}{M}}$ है।
जब यह कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो यह $R = \frac{Mv}{qB}$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार पथ बनाता है।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{M}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{M}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2MV}{q}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$,$V$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $R \propto \sqrt{M}$,जिसका अर्थ है $R^{2} \propto M$।
इसलिए,$\frac{M_{A}}{M_{B}} = \left(\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)^{2}$।

(A) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $n = \frac{q B}{2 \pi m}$ द्वारा दी जाती है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $B = \frac{2 \pi n m}{q}$ प्राप्त होता है।
डीज़ के अंदर $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में गति करने वाले प्रोटॉन के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{m v^2}{r} = q v B$.
इसे सरल करने पर $m v^2 = q v B r$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $m v^2 = q v B r$ का मान रखने पर,हमें $K.E. = \frac{q v B r}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) जब कोई आवेश $q$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों की उपस्थिति में गति करता है,तो उस पर लगने वाले कुल बल को लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है।
विद्युत बल का सूत्र $\vec{F}_e = q\vec{E}$ है।
चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F}_m = q(\vec{V} \times \vec{B})$ है।
इसलिए,कुल लोरेंत्ज़ बल इन दोनों बलों का सदिश योग है:
$\vec{F} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = q\vec{E} + q(\vec{V} \times \vec{B})$.

(D) चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $Bqv = \frac{mv^2}{R}$,जिसे सरल करने पर $R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ प्राप्त होता है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूँकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होगा।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$।
यह दर्शाता है कि $R \propto \sqrt{K}$ है।
दिया गया है कि नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 3K_1$ है,अतः नई त्रिज्या $R_2$ और मूल त्रिज्या $R_1$ के बीच संबंध:
$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{3}$।
इसलिए,$R_2 = \sqrt{3} R$।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति कर रहे एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B) = qvB \sin \theta$,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
चूंकि कण चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर गति कर रहा है,इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $F = qvB \sin(0^{\circ}) = qvB(0) = 0$.
अतः,कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल शून्य है।

(C) एक गतिमान आवेश $e$ द्वारा $v$ वेग से $r$ दूरी पर एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को बिंदु आवेश के लिए बायो-सावर्ट नियम द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{e(v \times r)}{r^3}$
चूंकि वृत्ताकार कक्षा में वेग सदिश $v$ और त्रिज्या सदिश $r$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
अतः,परिमाण इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ev \sin(90^{\circ})}{r^2} = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^2}$
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r^2 = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}$
$r = \left(\frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}\right)^{1 / 2}$

(D) $V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = eV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है। अतः,वेग $v$,$\sqrt{V}$ के समानुपाती है।
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin \theta$ होता है। यदि कोण $\theta$ स्थिर रहे,तो $F \propto v$ होता है।
चूंकि $v \propto \sqrt{V}$,इसलिए $F \propto \sqrt{V}$ होगा।
दिया गया है कि $F_{1} \propto \sqrt{V_{1}}$ और $F_{2} = 2F_{1} \propto \sqrt{V_{2}}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{\sqrt{V_{2}}}{\sqrt{V_{1}}} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = 4$,जिसका अर्थ है कि $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$।