MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर पानी को बाल्टी से गिरने से रोकने के लिए,अभिकेंद्र बल का मान पानी पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,पानी के बाल्टी में बने रहने की शर्त $m \omega^2 r \geq mg$ है।
न्यूनतम कोणीय वेग $\omega$ के लिए $m \omega^2 r = mg$,जिसे सरल करने पर $\omega = \sqrt{\frac{g}{r}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $2 \pi f = \sqrt{\frac{g}{r}}$।
अतः,घूर्णन की न्यूनतम आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{r}}$ है।

(D) जब द्रव से भरे बेलनाकार पात्र को उसकी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः $\omega$ कोणीय गति से घुमाया जाता है,तो अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित द्रव के कण $v = r\omega$ के रेखीय वेग से घूमते हैं।
घूर्णन निर्देश तंत्र में बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करने पर,अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर प्रभावी दाब $P(r) = P_0 + \frac{1}{2}\rho r^2 \omega^2$ होता है,जहाँ $P_0$ केंद्र $(r=0)$ पर दाब है।
पात्र की कोर पर,$r = R$ है,इसलिए दाब $P_R = P_0 + \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ होगा।
कोर और केंद्र के बीच दाब का अंतर $\Delta P = P_R - P_0 = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ है।
यह दाब अंतर द्रव स्तंभ की ऊँचाई के अंतर $h$ के कारण उत्पन्न हाइड्रोस्टेटिक दाब अंतर द्वारा संतुलित होता है,जो $\Delta P = \rho g h$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\rho g h = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$।
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{R^2 \omega^2}{2g}$ प्राप्त होता है।

(C) संपीड्यता $\beta$ को बल्क मॉडुलस $K$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\beta = \frac{1}{K}$।
दिया गया है:
संपीड्यता $\beta = 5 \times 10^{-10} \ m^2/N$
दाब में परिवर्तन $\Delta P = 15 \times 10^6 \ Pa$
प्रारंभिक आयतन $V = 100 \ ml$
आयतन विकृति (volumetric strain) का सूत्र $\frac{\Delta V}{V} = -\beta \Delta P$ है।
मान रखने पर:
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -(5 \times 10^{-10} \ m^2/N) \times (15 \times 10^6 \ Pa)$
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -75 \times 10^{-4} = -0.0075$
$\Delta V = -0.0075 \times 100 \ ml = -0.75 \ ml$।
ऋणात्मक चिह्न आयतन में कमी को दर्शाता है।
अतः,आयतन में परिवर्तन $0.75 \ ml$ की कमी है।

(A) $h$ गहराई पर निरपेक्ष दाब $P$ का सूत्र है: $P = P_{atm} + \rho gh$।
दी गई मान हैं: $h = 1 \,km = 1000 \,m$,$\rho = 10^{3} \,kg/m^{3}$,$g = 10 \,m/s^{2}$,और $P_{atm} = 1.01 \times 10^{5} \,N/m^{2}$।
गेज दाब (पानी के स्तंभ के कारण दाब) की गणना: $P_{gauge} = \rho gh = 10^{3} \times 10 \times 1000 = 10^{7} \,N/m^{2}$।
अब,वायुमंडलीय दाब को जोड़ने पर: $P = 1.01 \times 10^{5} + 10^{7} = 0.0101 \times 10^{7} + 10^{7} = 1.0101 \times 10^{7} \,N/m^{2}$।
उचित सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $P \approx 1.011 \times 10^{7} \,N/m^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $T$ पृष्ठ तनाव वाले द्रव की सतह से $L$ लंबाई के तार को खींचने के लिए आवश्यक बल का सूत्र $F = 2TL$ है।
यहाँ $2$ का गुणांक इसलिए लिया जाता है क्योंकि पानी की सतह तार के दोनों किनारों के संपर्क में होती है।
दिया गया है: $L = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ और $T = 75 \times 10^{-3} \text{ N/m}$।
मान रखने पर: $F = 2 \times (75 \times 10^{-3} \text{ N/m}) \times (0.1 \text{ m})$।
$F = 2 \times 75 \times 10^{-4} \text{ N} = 150 \times 10^{-4} \text{ N} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ N}$।

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R'$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R'^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
$R'^3 = 2 R^3 \implies R' = 2^{1/3} R$
परिवर्तन से पहले कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_i)$ = $2 \times (4 \pi R^2 T)$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
परिवर्तन के बाद कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_f)$ = $4 \pi R'^2 T$.
पृष्ठीय ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_i}{E_f} = \frac{2 \times 4 \pi R^2 T}{4 \pi R'^2 T} = \frac{2 R^2}{R'^2}$ है।
$R' = 2^{1/3} R$ का मान रखने पर:
अनुपात = $\frac{2 R^2}{(2^{1/3} R)^2} = \frac{2 R^2}{2^{2/3} R^2} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
अतः,अनुपात $2^{1/3} : 1$ है।

(C) समतापीय स्थितियों में,तापमान और पृष्ठ तनाव $T$ स्थिर रहते हैं। जब दो साबुन के बुलबुले मिलकर एक बड़ा बुलबुला बनाते हैं,तो कुल पृष्ठ ऊर्जा संरक्षित रहती है। साबुन के बुलबुले की दो सतहें होती हैं,इसलिए इसकी पृष्ठ ऊर्जा $U = 2 \times (4\pi r^{2}T) = 8\pi r^{2}T$ होती है।
प्रारंभिक और अंतिम पृष्ठ ऊर्जा को बराबर करने पर: $8\pi r^{2}T = 8\pi r_{1}^{2}T + 8\pi r_{2}^{2}T$.
$8\pi T$ से विभाजित करने पर,हमें $r^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बड़े बुलबुले की त्रिज्या $r = (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})^{1/2}$ है।

(C) बूंद के टूटने की प्रक्रिया के दौरान पारे का कुल आयतन स्थिर रहता है।
बड़ी बूंद का आयतन = $n \times$ एक छोटी बूंद का आयतन।
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
दोनों पक्षों से $\frac{4}{3} \pi$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R^{3} = n r^{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$R = n^{\frac{1}{3}} r$
अतः,प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है:
$r = \frac{R}{n^{\frac{1}{3}}}$

(A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $r$ नली की त्रिज्या है।
इसका अर्थ है कि $h \propto \frac{1}{r}$।
चूँकि अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, जिसका अर्थ है कि $r \propto \sqrt{A}$।
इस संबंध को समानुपातिकता में रखने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A_1 = A$ के लिए $h_1 = 15 \,mm = 15 \times 10^{-3} \,m$ दिया गया है।
नए क्षेत्रफल $A_2 = A / 3$ के लिए, अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = 3$ है।
संबंध $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, $h_2 = h_1 \times \sqrt{3} = 15 \times 10^{-3} \times \sqrt{3} \,m = 15 \sqrt{3} \times 10^{-3} \,m$।

(D) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{g}$।
जब लिफ्ट '$a$' त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a$ हो जाता है।
चूंकि '$a < g$' है,इसलिए प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff}$ वास्तविक गुरुत्वाकर्षण '$g$' से कम होता है।
चूंकि $g_{eff} < g$,इसलिए '$h$' का मान बढ़ जाता है क्योंकि '$h$' गुरुत्वाकर्षण त्वरण के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(B) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या की $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं। यहाँ,$n = 2$ है।
आयतन संरक्षण के नियम से: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$n = 2$ रखने पर: $2r^3 = R^3$,जिससे $R = 2^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
पृष्ठ ऊर्जा $E$ को $E = T \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = 2 \times 4 \pi r^2 T = 8 \pi r^2 T$।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$।
परिवर्तन के बाद और पहले की कुल पृष्ठ ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T}{8 \pi r^2 T} = \frac{2^{2/3}}{2} = 2^{2/3 - 1} = 2^{-1/3}$ है।
अतः,अनुपात $2^{-1/3} : 1$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $p = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि पहली बूंद का अतिरिक्त दबाव दूसरी बूंद का तीन गुना है,इसलिए $p_1 = 3p_2$.
अतिरिक्त दबाव के सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2T}{r_1} = 3 \times \frac{2T}{r_2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_2 = 3r_1$ या $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है।
उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

(D) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
यह दिया गया है कि पहले बुलबुले $(P_{1})$ में अतिरिक्त दबाव दूसरे बुलबुले $(P_{2})$ के दबाव का दोगुना है,इसलिए $P_{1} = 2P_{2}$ है।
अतिरिक्त दबाव का सूत्र रखने पर: $\frac{4T}{R_{1}} = 2 \times \frac{4T}{R_{2}}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{R_{1}} = \frac{2}{R_{2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{R_{2}}{R_{1}} = 2$ या $R_{2} = 2R_{1}$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन का अनुपात $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}} = \left( \frac{R_{1}}{R_{2}} \right)^{3}$ है।
चूंकि $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए आयतन का अनुपात $\left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{1}{8}$ है।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$1000$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा: $1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
इसे सरल करने पर $R^3 = 1000 r^3$,अतः $R = 10r$ प्राप्त होता है।
$1000$ छोटी बूंदों की प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $U_i = 1000 \times (4 \pi r^2 T)$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $U_f = 4 \pi R^2 T$ है।
$R = 10r$ रखने पर,$U_f = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$ प्राप्त होता है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा और प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_f}{U_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$ है।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{g}$ है।
इसलिए,ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{g_{2}}{g_{1}}$ होगा।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_{2} = g_{1} \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ होता है,जहाँ $g_{1}$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{g_{1}(1 - d/R)}{g_{1}} = 1 - \frac{d}{R}$ प्राप्त होता है।

(D) जब पारे की दो बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो पारे का कुल आयतन संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि $R$ परिणामी बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
पहली बूंद का आयतन $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}$ है।
दूसरी बूंद का आयतन $V_{2} = \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$ है।
परिणामी बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ है।
चूंकि कुल आयतन संरक्षित है,इसलिए $V = V_{1} + V_{2}$।
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3} + \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$।
दोनों पक्षों से $\frac{4}{3} \pi$ को हटाने पर,हमें $R^{3} = R_{1}^{3} + R_{2}^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = (R_{1}^{3} + R_{2}^{3})^{\frac{1}{3}}$।

(A) प्रभाव का गोला (sphere of influence) एक ऐसा गोला है जिसकी त्रिज्या आणविक सीमा के बराबर होती है और इसका केंद्र एक विशिष्ट अणु पर स्थित होता है।
इस गोले के भीतर,केंद्रीय अणु गोले के अंदर मौजूद अन्य सभी अणुओं से आकर्षक अंतर-आणविक बल का अनुभव करता है।
चूंकि गोला अणु पर केंद्रित है,इसलिए आसपास के अणुओं का वितरण सममित होता है,जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय अणु पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
हालाँकि,यह अंतःक्रिया स्वयं प्रभाव के गोले के भीतर स्थित अन्य अणुओं द्वारा लगाया गया एक आकर्षण बल है।

(B) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $r$ नली की त्रिज्या है।
चूँकि $h \propto \frac{1}{r}$, और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$।
अतः, $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$, या $h_1 \sqrt{A_1} = h_2 \sqrt{A_2}$।
दिया गया है कि $h_1 = 2.2 \text{ cm}$ और $A_2 = \frac{1}{4} A_1$, इसलिए $\sqrt{A_2} = \frac{1}{2} \sqrt{A_1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2.2 \times \sqrt{A_1} = h_2 \times \frac{1}{2} \sqrt{A_1}$।
$h_2$ के लिए हल करने पर: $h_2 = 2.2 \times 2 = 4.4 \text{ cm}$।

(A) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ नली की त्रिज्या है, $\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है。
इससे हमें पता चलता है कि $h \propto \frac{1}{r}$。
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है, जिसका अर्थ है कि $r \propto \sqrt{A}$。
इस संबंध को ऊँचाई के सूत्र में रखने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है, या $h_1 \sqrt{A_1} = h_2 \sqrt{A_2}$。
यहाँ $h_1 = 3 \,cm$ और $A_2 = \frac{1}{9} A_1$ दिया गया है, इसलिए $\sqrt{A_2} = \frac{1}{3} \sqrt{A_1}$。
इन मानों को रखने पर: $3 \times \sqrt{A_1} = h_2 \times \frac{1}{3} \sqrt{A_1}$。
$h_2$ के लिए हल करने पर: $h_2 = 3 \times 3 = 9 \,cm$。

(C) $r$ त्रिज्या वाली द्रव की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r} = 9$ इकाई है।
मान लीजिए कि छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
जब $27$ छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$27 r^3 = R^3$
दोनों तरफ घनमूल लेने पर, हमें $R = 3r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद के अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P' = \frac{2T}{R} = \frac{2T}{3r}$ होगा।
चूंकि $\frac{2T}{r} = 9$ है, इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta P' = \frac{9}{3} = 3$ इकाई।

(A) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि पारे का आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3} r$
दो छोटी बूंदों की प्रारंभिक कुल पृष्ठीय ऊर्जा $E_i$ है:
$E_i = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$
एक बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $E_f$ है:
$E_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
परिवर्तन से पहले और बाद की कुल पृष्ठीय ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{E_i}{E_f} = \frac{8 \pi r^2 T}{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3} = 2^{1/3} : 1$

(A) केशिका नली में पानी की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि $T, \theta, \rho,$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $hr = \text{स्थिरांक}$.
$r_1 = r$ त्रिज्या वाली केशिका के लिए ऊँचाई $h_1 = h$ है। $r_2 = \frac{r}{4}$ त्रिज्या वाली केशिका के लिए नई ऊँचाई $h_2$ ज्ञात करने पर: $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
$h \times r = h_2 \times \frac{r}{4} \implies h_2 = 4h$.
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ है।
नई केशिका के लिए द्रव्यमान $m'$ की गणना करने पर: $m' = \pi (r_2)^2 h_2 \rho$.
$r_2 = \frac{r}{4}$ और $h_2 = 4h$ रखने पर:
$m' = \pi \left(\frac{r}{4}\right)^2 (4h) \rho = \pi \left(\frac{r^2}{16}\right) (4h) \rho = \frac{1}{4} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{4}$.

(B) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं: एक सामने की ओर और एक पीछे की ओर।
जब $L$ भुजा वाले एक वर्गाकार फ्रेम को साबुन के घोल में डुबोया जाता है, तो फ्रेम पर एक फिल्म बन जाती है।
फ्रेम की सीमा की कुल लंबाई $P = 4L$ है।
चूंकि फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए फ्रेम के संपर्क में आने वाली फिल्म की कुल लंबाई $2 \times 4L = 8L$ होती है।
पृष्ठ तनाव $T$ के कारण लगने वाला बल $F = T \times (\text{कुल लंबाई})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $F = T \times 8L = 8TL$।

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। $R$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \text{पृष्ठ तनाव} \times \text{सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन} \times 2$.
$W = T \times (4 \pi R^2) \times 2 = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ त्रिज्या वाले बुलबुले के लिए, किया गया कार्य $W'$ है:
$W' = T \times (4 \pi (2R)^2) \times 2 = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$.
$W'$ की $W$ से तुलना करने पर:
$W' = 4 \times (8 \pi R^2 T) = 4W$.

(C) तारों की लंबाई $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
दूरी में वृद्धि $\Delta x = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ है।
पानी की फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta x)$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 10^{-3} \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$W = (7.2 \times 10^{-2} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 14.4 \times 10^{-6} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(A) साबुन एक सर्फेक्टेंट के रूप में कार्य करता है,जो पानी के पृष्ठ तनाव को कम कर देता है।
पृष्ठ तनाव कम होने से,साबुन का घोल कपड़ों के रेशों में अधिक आसानी से प्रवेश कर सकता है।
यह घोल को गंदगी और तेल के कणों को कपड़े से अलग करने और उन्हें हटाने में मदद करता है,जिससे सफाई प्रक्रिया प्रभावी हो जाती है।
इसलिए,सही कारण यह है कि घोल का पृष्ठ तनाव कम हो जाता है।

(B) पृष्ठ तनाव $T = 3 \times 10^{-2} \,N/m$ है।
फिल्म का क्षेत्रफल $A = 20 \,cm \times 5 \,cm = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$ है।
साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए कुल सतह क्षेत्रफल में वृद्धि $2A$ है।
किया गया कार्य $W = T \times (2A)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = 3 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-4} \,J$.

(D) केशनलिका में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,उसका सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{g}$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे जाती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g' = g - a$ हो जाता है। चूँकि $g' < g$ है,इसलिए $h$ का मान बढ़ जाएगा।
हालाँकि,पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे उपग्रह में प्रभावी गुरुत्व $g'$ शून्य $(0)$ हो जाता है (भारहीनता की स्थिति)। जैसे-जैसे $g' \to 0$ होता है,$h \to \infty$ हो जाता है। अतः,अन्य विकल्पों की तुलना में उपग्रह में $h$ का मान सबसे अधिक बढ़ जाएगा।

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन करने के लिए किया गया कार्य $W = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक व्यास $D_1 = D$, इसलिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = D/2$ है। प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi r_1^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$ है।
अंतिम व्यास $D_2 = 2D$, इसलिए अंतिम त्रिज्या $r_2 = D$ है। अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 4 \pi r_2^2 = 4 \pi D^2$ है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi D^2 - \pi D^2 = 3 \pi D^2$ है।
चूंकि बुलबुले की दो सतहें होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $2 \times \Delta A = 2 \times 3 \pi D^2 = 6 \pi D^2$ होगा।
अतः, किया गया कार्य $W = T \times 6 \pi D^2 = 6 \pi TD^2$ है।

(D) केशनली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
चूँकि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ दिए गए द्रव और नली के लिए नियत हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है,जिसका अर्थ है $h_{1} r_{1} = h_{2} r_{2}$।
दिया गया है कि $h_{1} = h$,$r_{1} = r$,और $r_{2} = \frac{r}{3}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $h \cdot r = h_{2} \cdot \frac{r}{3}$।
अतः,$h_{2} = 3h$।

(D) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$।
संपर्क कोण के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\cos \theta = \frac{h r \rho g}{2 T}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$h$ (ऊँचाई),$r$ (त्रिज्या),और $T$ (पृष्ठ तनाव) तीनों द्रवों के लिए स्थिर हैं।
अतः,$\cos \theta \propto \rho$ है।
दिया गया है कि घनत्व $\varrho_{1} > \varrho_{2} > \varrho_{3}$ है,इसलिए $\cos \theta_{1} > \cos \theta_{2} > \cos \theta_{3}$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $0$ से $\frac{\pi}{2}$ के बीच एक घटता हुआ फलन है,इसलिए बड़ा कोसाइन मान छोटे कोण के अनुरूप होता है।
अतः,$\theta_{1} < \theta_{2} < \theta_{3}$ होगा।

(C) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार वस्तु का सीमांत वेग $v_{t}$,स्टोक्स के नियम के अनुसार $v_{t} = \frac{2r^{2}(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बूंद का घनत्व $\rho$,हवा का घनत्व $\sigma$,गुरुत्वीय त्वरण $g$ और श्यानता गुणांक $\eta$ दोनों बूंदों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $v_{t} \propto r^{2}$ होता है।
त्रिज्याओं का दिया गया अनुपात $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,उनके सीमांत वेगों का अनुपात $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $1: 4$ है।

(A) जब एक गोला टर्मिनल वेग से गिरता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $(W = mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_{B})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_{v})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
टर्मिनल वेग पर: $W = F_{B} + F_{v}$.
अतः,$F_{v} = W - F_{B}$.
गोले का भार $W = V \sigma_{1} g$ है,जहाँ $V$ गोले का आयतन है।
चूँकि $m = V \sigma_{1}$,इसलिए $V = \frac{m}{\sigma_{1}}$ है।
उत्प्लावन बल $F_{B} = V \sigma_{2} g = (\frac{m}{\sigma_{1}}) \sigma_{2} g = mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$ है।
इन मानों को श्यान बल के समीकरण में रखने पर:
$F_{v} = mg - mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}) = mg(1 - \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$।

(A) जब एक गोला टर्मिनल वेग से गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गोले पर कार्य करने वाले बल हैं: नीचे की ओर भार $(W)$,ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_{B})$,और ऊपर की ओर श्यान बल $(F_{v})$।
$W = F_{B} + F_{v}$
$F_{v} = W - F_{B}$
भार $W = Mg = V d_{1} g$,जहाँ $V$ गोले का आयतन है।
उत्प्लावन बल $F_{B} = V d_{2} g$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$F_{v} = V d_{1} g - V d_{2} g = V d_{1} g (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.
चूंकि $M = V d_{1}$,हमें प्राप्त होता है:
$F_{v} = Mg (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.

(D) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाला गोला जब $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गति करता है,तो उसका टर्मिनल वेग स्टोक्स के नियम के अनुसार: $6 \pi \eta R v = \frac{4}{3} \pi R^{3} g (\rho - \sigma)$ होता है।
अतः,$v \propto (\rho - \sigma)$ प्राप्त होता है।
पहले गोले के लिए: $v_{1} \propto (\varrho_{1} - \sigma)$.
दूसरे गोले के लिए: $v_{2} \propto (\varrho_{2} - \sigma)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}$.
इसलिए,$v_{2} = \left[\frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}\right] v_{1}$ होगा।

(A) घनत्व $\rho$ को $\rho = M / V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $V$ आयतन है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ प्राप्त होता है।
बल्क मॉडुलस $K$ को $K = -\frac{P}{dV/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$।
इस मान को घनत्व के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ प्राप्त होता है।
अतः,घनत्व में वृद्धि $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ है।

(A) बल्क मॉडुलस $K$ को $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि आयतन में $x \%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = \frac{x}{100}$.
समुद्र में $h$ गहराई पर दबाव में परिवर्तन $\Delta p = \rho g h$ होता है।
इन मानों को बल्क मॉडुलस के सूत्र में रखने पर: $K = \frac{\rho g h}{x / 100}$.
गहराई $h$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $h = \frac{K \cdot x}{100 \cdot \rho \cdot g}$.
चूंकि $100$ एक स्थिरांक है,इसलिए गहराई $h$,$\frac{Kx}{\rho g}$ के समानुपाती है।

(D) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ को $K = -V \frac{dp}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दाब में छोटे परिवर्तन $p$ के लिए,हमारे पास $K = -V \frac{p}{\Delta V}$ है,जिससे $\Delta V = -\frac{pV}{K}$ प्राप्त होता है।
नया आयतन $V^{\prime} = V + \Delta V = V - \frac{pV}{K} = V(1 - \frac{p}{K})$ है।
चूंकि घनत्व $\varrho = \frac{m}{V}$ है,नया घनत्व $\varrho^{\prime} = \frac{m}{V^{\prime}} = \frac{m}{V(1 - \frac{p}{K})}$ होगा।
$\varrho = \frac{m}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\varrho^{\prime} = \frac{\varrho}{1 - \frac{p}{K}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{\varrho^{\prime}}{\varrho} = \frac{1}{1 - \frac{p}{K}}$ है।

(C) संपीड्यता $K$ को बल्क मापांक $B$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है, जो $K = \frac{1}{B} = -\frac{\Delta V}{P V}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दबाव में वृद्धि से आयतन में कमी आती है।
दिया गया है:
संपीड्यता $K = 6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N$
प्रारंभिक आयतन $V = 1 \,L = 10^{-3} \,m^{3}$
दबाव में परिवर्तन $P = 4 \times 10^{7} \,N/m^{2}$
आयतन में कमी $\Delta V$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta V = K \cdot P \cdot V$
$\Delta V = (6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N) \times (4 \times 10^{7} \,N/m^{2}) \times (10^{-3} \,m^{3})$
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \,m^{3}$
चूंकि $1 \,m^{3} = 10^{3} \,L = 10^{6} \,mL$, इसलिए आयतन में परिवर्तन को मिलीलीटर में बदलने पर:
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \times 10^{6} \,mL = 24 \,mL$.

(C) प्रति इकाई आयतन ऊर्जा घनत्व $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$ द्वारा दिया जाता है।
हुक के नियम से,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,इसलिए $U = \frac{(\text{Stress})^2}{2Y}$.
चूंकि $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi d^2 / 4}$,इसलिए $\text{Stress} \propto \frac{1}{d^2}$.
अतः,$U \propto \frac{1}{d^4}$.
व्यासों का अनुपात $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा घनत्व का अनुपात $\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^4$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{3}{1}\right)^4 = 81:1$.

(B) दृढ़ता गुणांक (Shear Modulus) $\eta$ को $\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}} = \frac{F/A}{\Delta x/L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A$ फलक का क्षेत्रफल है,$\Delta x$ विस्थापन है और $L$ भुजा की लंबाई है।
पहले घन के लिए: $\eta = \frac{F/L^2}{x_{1}/L} = \frac{F}{L x_{1}}$.
अतः,$x_{1} = \frac{F}{\eta L}$.
$2L$ भुजा वाले दूसरे घन के लिए: क्षेत्रफल $A' = (2L)^2 = 4L^2$ है। पदार्थ समान होने के कारण दृढ़ता गुणांक $\eta$ समान रहेगा।
माना नया विस्थापन $x_{2}$ है। तब $\eta = \frac{F/A'}{x_{2}/(2L)} = \frac{F/(4L^2)}{x_{2}/(2L)} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$\eta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{F}{L x_{1}} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$x_{2}$ के लिए हल करने पर: $x_{2} = \frac{x_{1}}{2}$.

(A) प्रतिबल $(S)$ और यंग मापांक $(Y)$ वाले पदार्थ में प्रति इकाई आयतन में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(u)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$
चूंकि यंग मापांक $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$,इसलिए $\text{विकृति} = \frac{S}{Y}$ होगा।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में विकृति का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) खींचे गए तार का ऊर्जा घनत्व $(u)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{विकृति})^{2}$.
दिया गया है:
यंग मापांक $(Y)$ = $1.6 \times 10^{12} \,N/m^{2}$.
विकृति = $2 \times 10^{-4}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (1.6 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-4})^{2}$.
$u = 0.5 \times 1.6 \times 10^{12} \times 4 \times 10^{-8}$.
$u = 0.8 \times 4 \times 10^{12-8}$.
$u = 3.2 \times 10^{4} \,J/m^{3}$.

(A) मान लीजिए कि तार की लंबाई $L$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और आयतन $V$ है। चूंकि आयतन स्थिर है,$V = A \times L$,जिसका अर्थ है $A = \frac{V}{L}$।
यंग मापांक के सूत्र के अनुसार,$Y = \frac{F \times L}{A \times \Delta L}$,जहाँ $\Delta L$ विस्तार है।
$\Delta L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times A}$।
समीकरण में $A = \frac{V}{L}$ रखने पर,हमें मिलता है $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times (V/L)} = \frac{F \times L^{2}}{Y \times V}$।
चूंकि $F$,$Y$,और $V$ स्थिर हैं,इसलिए विस्तार $\Delta L$,$L^{2}$ के समानुपाती है।

(A) तार में विस्तार $\Delta l$ को सूत्र $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$l$ लंबाई है,$Y$ यंग मापांक है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ के बने हैं,इसलिए $Y$ दोनों के लिए समान होगा। क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
मोटे तार $(1)$ के लिए: $l_1 = 2L$,$r_1 = 2R$,$A_1 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$ है।
पतले तार $(2)$ के लिए: $l_2 = L$,$r_2 = R$,$A_2 = \pi R^2$ है।
चूंकि दोनों तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं और उन पर समान बल $F$ लगाया गया है,इसलिए दोनों तारों में तनाव समान है।
अतः,विस्तार का अनुपात:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{F \cdot l_1 / (Y \cdot A_1)}{F \cdot l_2 / (Y \cdot A_2)} = \frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{A_2}{A_1}$
मान रखने पर:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{2L}{L} \cdot \frac{\pi R^2}{4\pi R^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,मोटे तार में विस्तार और पतले तार में विस्तार का अनुपात $1:2$ है।

(C) तार का तोड़ने वाला बल $F$ उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होता है।
चूँकि $A = \pi r^2$, तोड़ने वाला बल $F = \text{Breaking Stress} \times \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समान पदार्थ के तारों के लिए, ब्रेकिंग स्ट्रेस स्थिर रहता है।
इसलिए, $F \propto r^2$.
यहाँ $r_1 = 1 \,mm$ के लिए $F_1 = 10 \,N$ और $r_2 = 3 \,mm$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
मान रखने पर: $\frac{F_2}{10} = \frac{3^2}{1^2} = 9$.
अतः, $F_2 = 10 \times 9 = 90 \,N$.

(A) तार का विस्तार $\Delta L$,सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि दोनों तारों के लिए $F$,$L$ और $Y$ समान हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{A}$ होगा।
तार का द्रव्यमान $m$,$m = \rho AL$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है। चूंकि $\rho$ और $L$ समान हैं,इसलिए $m \propto A$ होगा।
अतः,$\Delta L \propto \frac{1}{m}$ होगा।
द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{4}$ दिया गया है,इसलिए विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{4}{3}$ होगा।

(D) एक तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान (रैखिक द्रव्यमान घनत्व) है।
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{A \cdot L \cdot \rho}{L} = A \cdot \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
वेग समीकरण में $\mu$ का मान रखने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{A \cdot \rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^{2} = \frac{T}{A \cdot \rho}$.
तन्य प्रतिबल (जिसे $\text{Stress} = \frac{T}{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है) ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T}{A} = V^{2} \cdot \rho$.
अतः,तार में तन्य प्रतिबल $V^{2} \rho$ है।

(C) जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो रस्सी पर लगने वाला कुल बल $F = M(g+a)$ होता है।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $s = \frac{F}{A} = \frac{M(g+a)}{\pi r^2}$,जहाँ $r$ रस्सी की त्रिज्या है।
$r^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s}$ प्राप्त होता है।
चूंकि व्यास $D = 2r$ है,इसलिए $r = \frac{D}{2}$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\frac{D}{2})^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s} \implies \frac{D^2}{4} = \frac{M(g+a)}{\pi s}$।
$D$ के लिए हल करने पर,हमें $D^2 = \frac{4 M(g+a)}{\pi s}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $D = \left[\frac{4 M(g+a)}{\pi s}\right]^{\frac{1}{2}}$।

(B) अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_L = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY} = \frac{Mg}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दी जाती है।
पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\sigma = -\frac{\epsilon_D}{\epsilon_L} = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$।
इसलिए,पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \epsilon_L$ है।
त्रिज्या में कमी का परिमाण $\Delta r = r \sigma \epsilon_L$ है।
$\epsilon_L$ का मान रखने पर: $\Delta r = r \sigma \left( \frac{Mg}{\pi r^2 Y} \right) = \frac{Mg \sigma}{\pi r Y}$।

(D) पोटेंशियोमीटर तार $AB$ पर विभव पतन $V_{AB} = E \cdot \frac{R_{AB}}{R + R_{AB} + r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ ड्राइवर सेल का $EMF$ है,$R$ बाहरी प्रतिरोध है,$R_{AB}$ तार का प्रतिरोध है,और $r$ ड्राइवर सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
$(i)$ जब छात्र $X$,$R$ को बढ़ाता है,तो प्राथमिक परिपथ का कुल प्रतिरोध बढ़ जाता है,जिससे धारा $I = \frac{E}{R + R_{AB} + r}$ घट जाती है। परिणामस्वरूप,विभव प्रवणता $k = \frac{V_{AB}}{L}$ घट जाती है। चूंकि संतुलन स्थिति $E_1 = k \cdot l$ है,जहाँ $l$ संतुलन लंबाई है,यदि $k$ घटता है,तो समान $E_1$ बनाए रखने के लिए $l$ को बढ़ना होगा। अतः,शून्य विक्षेप बिंदु $B$ की ओर खिसक जाता है।
(ii) जब छात्र $Y$,$S$ को घटाता है,तो सेल $E_1$ के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V = E_1 - I_1 r_1$ होता है,जहाँ $I_1 = \frac{E_1}{S + r_1}$ है। $S$ को घटाने से सेल $E_1$ से ली जाने वाली धारा $I_1$ बढ़ जाती है,जिससे आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ पर वोल्टेज ड्रॉप $I_1 r_1$ बढ़ जाता है। इसलिए,सेल $E_1$ के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ घट जाता है। चूंकि $V = k \cdot l$ है,$V$ में कमी के लिए छोटी संतुलन लंबाई $l$ की आवश्यकता होती है। अतः,शून्य विक्षेप बिंदु $A$ की ओर खिसक जाता है।

(A) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 45 \Omega$,विशिष्ट प्रतिरोध $\rho = 5 \times 10^{-7} \Omega m$,क्षेत्रफल $A = 4 \times 10^{-7} m^2$ ।
जब विक्षेप $30$ डिवीजनों से घटकर $3$ डिवीजन हो जाता है,तो गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_g = \frac{3}{30} I = \frac{1}{10} I$ हो जाती है।
शंट प्रतिरोध $S$ का सूत्र $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{(\frac{1}{10} I) \times 45}{I - \frac{1}{10} I} = \frac{4.5 I}{0.9 I} = 5 \Omega$ ।
चूंकि $S = \frac{\rho L}{A}$,इसलिए $L = \frac{S A}{\rho}$ होगा।
$L = \frac{5 \times 4 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-7}} = 4 \ m$ ।

(D) माना कुल धारा $I$ है।
दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $I_{G} = 5\% \text{ of } I = 0.05 I$ है।
शंट प्रतिरोध $S$ से गुजरने वाली धारा $I_{S} = I - I_{G} = I - 0.05 I = 0.95 I$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा:
$I_{S} S = I_{G} G$
मान रखने पर:
$(0.95 I) S = (0.05 I) G$
$S = \frac{0.05 I}{0.95 I} G$
$S = \frac{5}{95} G = \frac{1}{19} G$
अतः,शंट का प्रतिरोध $\frac{G}{19}$ होगा।

(A) किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ आवेश संरक्षण के नियम पर आधारित है,जो यह बताता है कि किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली कुल धारा उस जंक्शन से बाहर निकलने वाली कुल धारा के बराबर होती है,क्योंकि जंक्शन पर आवेश न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है।
किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है,जो यह बताता है कि किसी परिपथ के किसी भी बंद लूप में विभव परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जो यह दर्शाता है कि एक बंद लूप के चारों ओर आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

(A) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
दी गई आकृति से,जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराएँ $I$,$0.2 \ A$ और $0.4 \ A$ हैं।
जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराएँ $0.5 \ A$ और $0.8 \ A$ हैं।
$KCL$ लागू करने पर: $I + 0.2 + 0.4 = 0.5 + 0.8$
$I + 0.6 = 1.3$
$I = 1.3 - 0.6 = 0.7 \ A$

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
$1$. पहले जंक्शन पर: कुल आने वाली धारा $1.2 \ A + 1.0 \ A = 2.2 \ A$ है। यह धारा अगले जंक्शन की ओर प्रवाहित होती है।
$2$. दूसरे जंक्शन पर: $2.2 \ A$ धारा प्रवेश करती है,और $0.2 \ A$ तथा $0.1 \ A$ बाहर निकलती है। आगे प्रवाहित होने वाली शेष धारा $2.2 \ A - (0.2 \ A + 0.1 \ A) = 2.2 \ A - 0.3 \ A = 1.9 \ A$ है।
$3$. तीसरे जंक्शन पर: $1.9 \ A$ धारा प्रवेश करती है,और एक शाखा में $0.4 \ A$ बाहर निकलती है। शेष धारा $I$ को दूसरी शाखा से बाहर निकलना चाहिए। इसलिए,$I = 1.9 \ A - 0.4 \ A = 1.5 \ A$.

(B) मीटर ब्रिज प्रयोग में,तार के सिरों पर संपर्क प्रतिरोध माप में त्रुटि उत्पन्न करता है। इस त्रुटि को कम करने के लिए,ज्ञात प्रतिरोध $(R)$ और अज्ञात प्रतिरोध $(S)$ के स्थानों को आपस में बदलकर प्रयोग को दो बार किया जाता है। प्राप्त दो मानों का औसत लेने से,अंत त्रुटियों (end errors) और संपर्क प्रतिरोध का प्रभाव काफी कम हो जाता है।

(C) मीटर ब्रिज में,शून्य विक्षेप बिंदु के लिए शर्त $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{l_2}$ है,जहाँ $l_1 = 40 \ cm$ और $l_2 = 100 - 40 = 60 \ cm$ है।
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लंबाई $L$ समान है,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ होगा।
व्यास का अनुपात $d_A : d_B = 3:1$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात भी $r_A : r_B = 3:1$ होगा,अर्थात $\frac{r_A}{r_B} = 3$।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$।
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$।
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$।

(A) माना कि दो प्रतिरोध $r_1$ और $r_2$ हैं। मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l}{100-l}$ होती है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{r_1}{r_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 4r_1$। अतः,$r_1$ छोटा प्रतिरोध है।
जब $r_1$ के साथ $15 \ \Omega$ को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नई संतुलन लंबाई $40 \ cm$ हो जाती है।
नई स्थिति $\frac{r_1 + 15}{r_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ है।
$r_2 = 4r_1$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{r_1 + 15}{4r_1} = \frac{2}{3}$।
तिर्यक गुणा करने पर $3(r_1 + 15) = 2(4r_1) \Rightarrow 3r_1 + 45 = 8r_1$।
$5r_1 = 45 \Rightarrow r_1 = 9 \ \Omega$।

(B) मीटर ब्रिज में,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{100-l_1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $l_1 = 40 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ होता है।
चूंकि लंबाई समान है $(L_A = L_B)$,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ होगा।
व्यास का अनुपात $d_A:d_B = 3:1$ है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $r_A:r_B = 3:1$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$।
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$।
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$।

(C) मीटर-ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100-\ell}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{18}{\ell_{1}} = \frac{R}{100-\ell_{1}}$ ... $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{18}{1.5 \ell_{1}} = \frac{R/3}{100-1.5 \ell_{1}}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{R}{18} = \frac{100-\ell_{1}}{\ell_{1}} = \frac{100}{\ell_{1}} - 1$.
समीकरण $(2)$ से,$\frac{R/3}{18} = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{1.5 \ell_{1}} = \frac{100}{1.5 \ell_{1}} - 1$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{18/\ell_{1}}{18/(1.5 \ell_{1})} = \frac{R/(100-\ell_{1})}{(R/3)/(100-1.5 \ell_{1})}$
$1.5 = 3 \times \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$0.5 = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$50 - 0.5 \ell_{1} = 100 - 1.5 \ell_{1}$
$1.0 \ell_{1} = 50 \implies \ell_{1} = 50 \text{ cm}$.
$\ell_{1} = 50$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $\frac{18}{50} = \frac{R}{100-50} \implies \frac{18}{50} = \frac{R}{50} \implies R = 18 \Omega$.

(A) दिए गए परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है। प्रतिरोधों को इस तरह व्यवस्थित किया गया है कि ब्रिज संतुलित है क्योंकि भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{3}{3} = \frac{2}{2} = 1$ है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य के $5 \ \Omega$ प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध होते हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
निचली शाखा का प्रतिरोध $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
इन दो समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$,जिससे $R_{eq} = 2.5 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{2.5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
अतः,$p = \sqrt{2mK}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 16K_1$ है।
अतः,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{16K_1}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$\lambda_2 = 0.25 \lambda_1$।
तरंगदैर्ध्य में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\% = \frac{\lambda_1 - 0.25 \lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ है।

(B) चूंकि कार्य फलन नगण्य है,इसलिए उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा आपतित फोटॉन की ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda}$
दोनों पक्षों को $2m$ से गुणा करने पर,$m^2v^2 = \frac{2mhc}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,संवेग $p = mv = \sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ का सूत्र $\lambda_e = \frac{h}{p}$ है।
$p$ का मान रखने पर:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h\lambda}{2mc}}$।

(D) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक विभवांतर $V_1 = V$ है और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ है।
जब विभवांतर को दोगुना किया जाता है,तो नया विभवांतर $V_2 = 2V$ हो जाता है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2me(2V)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$.
इस प्रकार,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{2}$ के कारक से बदल जाती है।

(B) इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों को समान विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित किया जाता है,इसलिए वे समान गतिज ऊर्जा $K = eV$ प्राप्त करते हैं।
किसी कण का संवेग $P$ उसकी गतिज ऊर्जा $K$ से $P = \sqrt{2mK}$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $P_{e} = \sqrt{2m_{e}K}$ है।
प्रोटॉन के लिए,संवेग $P_{p} = \sqrt{2m_{p}K}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{P}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{h/P_{p}}{h/P_{e}} = \frac{P_{e}}{P_{p}}$ होगा।
संवेग के मान रखने पर: $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{\sqrt{2m_{e}K}}{\sqrt{2m_{p}K}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{m_{p}}} = \left(\frac{m_{e}}{m_{p}}\right)^{\frac{1}{2}}$।

(A) ऊर्जा $E$ वाले इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इस संबंध से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
यहाँ $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$ और $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{10^{-10}}{0.5 \times 10^{-10}} = 2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{E_2}{E_1}$,अर्थात $E_2 = 4E_1 = 4E$.
इलेक्ट्रॉन को दी गई अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E - E = 3E$ होगी।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ फोटॉन की आवृत्ति है।
जब एक फोटॉन एक माध्यम से दूसरे माध्यम (जैसे हवा से कांच) में यात्रा करता है,तो उसकी आवृत्ति $\nu$ स्थिर रहती है क्योंकि यह प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि $E = h\nu$ और $h$ एक नियतांक है,इसलिए फोटॉन की ऊर्जा $E$ नहीं बदलती है।
हालाँकि,जैसे ही फोटॉन सघन माध्यम में प्रवेश करता है,उसका वेग $v$ बदल जाता है,और चूंकि $v = \nu \lambda$ होता है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ भी बदल जाती है।
संवेग $p$ को $p = E/c$ (निर्वात में) या $p = h/\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जो तरंगदैर्ध्य के बदलने के साथ बदल जाता है।
इसलिए,ऊर्जा वह राशि है जो नहीं बदलती है।

(C) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
यदि $t$ समय में $n$ फोटॉन उत्सर्जित होते हैं,तो कुल उत्सर्जित ऊर्जा $E_{total} = n \times \frac{hc}{\lambda}$ होगी।
शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $P = \frac{E_{total}}{t} = \frac{nhc}{\lambda t}$।
$n$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $n = \frac{P \lambda t}{hc}$ प्राप्त होता है।

(B) निरोधी विभव $(V_0)$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा द्वारा निर्धारित होता है, जो आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है, न कि उसकी तीव्रता पर।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \Phi_0 = eV_0$.
चूंकि प्रकाश की तीव्रता केवल प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित फोटॉनों की संख्या (और इस प्रकार उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या) को प्रभावित करती है, यह व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा को नहीं बदलती है।
इसलिए, तीव्रता बढ़ाने पर निरोधी विभव अपरिवर्तित रहता है।

(D) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $V_s$ पर,मंदक विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
अतः,$eV_s = \frac{1}{2}mv^2$।
निरोधी विभव $V_s$ के लिए हल करने पर:
$V_s = \frac{mv^2}{2e}$।
इसे $V_s = \frac{v^2}{2(e/m)}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है, और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
प्रारंभ में, $K_{max1} = h\nu - \phi$.
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है, तो नई आवृत्ति $\nu' = 2\nu$ होती है।
नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max2} = h(2\nu) - \phi = 2h\nu - \phi$ है।
चूंकि $K_{max2} = 2(h\nu - \phi/2)$, और $\phi > 0$ है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $K_{max2} > 2(h\nu - \phi) = 2K_{max1}$।
अतः, अधिकतम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक मान के दोगुने से थोड़ी अधिक बढ़ जाती है।

(D) देहली आवृत्ति $\nu_{0} = 15 \times 10^{14} \,Hz$ दी गई है।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0}$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\lambda_{0} = \frac{c}{\nu_{0}} = \frac{3 \times 10^{8}}{15 \times 10^{14}} = 0.2 \times 10^{-6} \,m = 2000 \text{ Å}$.
आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \text{ Å}$ है।
फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन होने के लिए, आपतित तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम या उसके बराबर होनी चाहिए $(\lambda \leq \lambda_{0})$।
चूंकि $\lambda = 6000 \text{ Å} > \lambda_{0} = 2000 \text{ Å}$ है, इसलिए आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (work function) से कम है।
अतः, फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होंगे।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(K.E.)_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ:
$h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
$\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि स्थिर आपतित आवृत्ति $\nu$ के लिए,$(K.E.)_{\max}$ कार्य फलन $\phi_0$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,यदि कार्य फलन $\phi_0$ बढ़ता है,तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ घट जाती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा '$K$' इस प्रकार है: $K = E - W_{0}$.
चूंकि $K = \frac{P^{2}}{2m}$,इसलिए इलेक्ट्रॉन का संवेग '$P$' होगा: $P = \sqrt{2mK} = \sqrt{2m(E - W_{0})}$.
जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र '$B$' में गति करता है,तो वह '$r = \frac{P}{eB}$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
'$P$' का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $r = \frac{\sqrt{2m(E - W_{0})}}{eB}$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_k)$ इस प्रकार दी जाती है:
$E_k = h\nu - \Phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = E_k$,$x = \nu$,$m = h$ (ढाल),और $c = -\Phi$ (y-अंतःखंड) है।
चूंकि y-अंतःखंड ऋणात्मक $(-\Phi)$ है,इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती है। यह x-अक्ष पर देहली आवृत्ति $\nu_0$ से शुरू होती है (जहाँ $E_k = 0$,इसलिए $h\nu_0 = \Phi$) और इसकी ढाल $h$ धनात्मक है। दी गई आकृति में धनात्मक x-अंतःखंड के साथ एक सीधी रेखा दिखाई गई है,जो इस संबंध को सही ढंग से दर्शाती है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करती है। यह आपतित विकिरण की तीव्रता $(I)$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,तीव्रता $(I)$ के साथ अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E)$ के परिवर्तन को दर्शाने वाला ग्राफ तीव्रता अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए। यदि ग्राफ $(D)$ इस स्थिर व्यवहार को दर्शाता है,तो सही विकल्प $(D)$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
चूंकि $K_{max} = eV_{s}$,जहाँ $V_{s}$ निरोधी विभव है,इसलिए $eV_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV_{0} = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए $2\lambda_{0}$ तरंगदैर्ध्य के साथ: $eV_{s}' = \frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$eV_{0} - eV_{s}' = \left(\frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi\right) - \left(\frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi\right)$
$e(V_{0} - V_{s}') = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \frac{hc}{2\lambda_{0}} = \frac{hc}{2\lambda_{0}}$
$V_{0} - V_{s}' = \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
$V_{s}' = V_{0} - \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
नोट: यदि $\frac{hc}{2\lambda_{0}} < \phi$ है,तो निरोधी विभव $0$ होगा क्योंकि प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ को $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि निरोधी विभव $(V_{s})$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $eV_{s} = K_{max}$ संबंध द्वारा संबंधित है,इसलिए हमारे पास $eV_{s} = h\nu - \Phi$ है।
यह समीकरण दर्शाता है कि निरोधी विभव $(V_{s})$ केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ और धातु की सतह के कार्य फलन $(\Phi)$ पर निर्भर करता है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या को प्रभावित करती है,जो बदले में उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है,लेकिन यह व्यक्तिगत प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा को प्रभावित नहीं करती है।
इसलिए,यदि आवृत्ति $(\nu)$ को स्थिर रखा जाता है,तो आपतित प्रकाश की तीव्रता में परिवर्तन के बावजूद निरोधी विभव $(V_{s})$ समान रहता है।

(D) पदार्थ की थ्रेशोल्ड आवृत्ति $\nu_0$ है। प्रारंभिक आपतित आवृत्ति $\nu_1 = 2\nu_0$ है। चूंकि $\nu_1 > \nu_0$,इसलिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होता है।
जब आपतित आवृत्ति को बदलकर $\nu_2 = \frac{1}{3} \nu_1 = \frac{1}{3} (2\nu_0) = \frac{2}{3} \nu_0$ कर दिया जाता है।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए,आपतित आवृत्ति थ्रेशोल्ड आवृत्ति के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए $(\nu \ge \nu_0)$।
चूंकि $\nu_2 = \frac{2}{3} \nu_0 < \nu_0$,इसलिए आपतित आवृत्ति अब थ्रेशोल्ड आवृत्ति से कम है।
अतः,तीव्रता में वृद्धि के बावजूद कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होगा।
इस प्रकार,प्रकाश-विद्युत धारा शून्य हो जाएगी।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ होती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_{1}$ के लिए,$E_{1} = \frac{hc}{\lambda_{1}} - \phi$ --- $(i)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_{2}$ के लिए,$E_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ से,$hc = \lambda_{1}(E_{1} + \phi)$।
समीकरण (ii) से,$hc = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$।
$hc$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\lambda_{1}(E_{1} + \phi) = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$
$\lambda_{1}E_{1} + \lambda_{1}\phi = \lambda_{2}E_{2} + \lambda_{2}\phi$
$\phi(\lambda_{1} - \lambda_{2}) = \lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}$
$\phi = \frac{\lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}}{\lambda_{1} - \lambda_{2}}$
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर,$\phi = \frac{\lambda_{1}E_{1} - \lambda_{2}E_{2}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}}$ प्राप्त होता है।

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} mv^{2}$ द्वारा दी जाती है।
निरोधी विभव $V_{s}$ पर,मंदक विभव द्वारा किया गया कार्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर होता है,इसलिए $eV_{s} = \frac{1}{2} mv^{2}$।
$V_{s}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_{s} = \frac{1}{2} \frac{m}{e} v^{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{m}{e} = \frac{1}{(e/m)}$,हम लिख सकते हैं $V_{s} = \frac{v^{2}}{2(e/m)}$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_1 = 3W$. अतः,$K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = 3W - W = 2W$.
द्वितीय स्थिति के लिए,$E_2 = 5W$. अतः,$K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = 5W - W = 4W$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{2W}{4W} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
वेगों का अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E._{max} = h\nu - \phi_0$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = K.E._{max}$ और $x = \nu$ है:
$1$. ग्राफ का ढाल $(m)$,प्लांक नियतांक $(h)$ के बराबर है।
$2$. $X$-अक्ष पर अंतःखंड तब प्राप्त होता है जब $K.E._{max} = 0$ हो,जिससे $0 = h\nu_0 - \phi_0$ प्राप्त होता है,या $\nu_0 = \phi_0 / h$। यह अंतःखंड देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ को दर्शाता है।
अतः,ढाल प्लांक नियतांक है और $X$-अक्ष पर अंतःखंड देहली आवृत्ति है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
चूंकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$, इसलिए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v = \left[\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}\right]^{1/2}$
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) किसी धातु का कार्य फलन $\phi$,देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0}$ से $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}}$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
दिया गया है कि $\lambda_{A} = 400 \ nm$ और $\lambda_{B} = 800 \ nm$ है।
अतः,कार्य फलन $\phi_{A} = \frac{hc}{\lambda_{A}}$ और $\phi_{B} = \frac{hc}{\lambda_{B}}$ होंगे।
अनुपात $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{hc/\lambda_{A}}{hc/\lambda_{B}} = \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{800 \ nm}{400 \ nm} = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $\phi_{A} : \phi_{B}$ का मान $2$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_s = h\nu - \phi_o = h\nu - h\nu_o$
$V_s = \frac{h}{e}(\nu - \nu_o)$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\nu_o$ देहली आवृत्ति है।
एक निश्चित आपतित आवृत्ति $\nu$ के लिए,निरोधी विभव $V_s$ देहली आवृत्ति $\nu_o$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
ग्राफ से,देहली आवृत्तियों का क्रम इस प्रकार है: $\nu_o(A) < \nu_o(B) < \nu_o(C) < \nu_o(D)$.
चूंकि धातु $A$ की देहली आवृत्ति सबसे कम है,इसलिए किसी भी दी गई आपतित आवृत्ति $\nu$ (जहाँ $\nu > \nu_o(D)$) के लिए इसका निरोधी विभव सबसे अधिक होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_{s}$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_{s} = h\nu - \phi$
$V_{s} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,x-अक्ष पर अंतःखंड (जहाँ $V_{s} = 0$) देहली आवृत्ति $\nu_{0}$ है,जहाँ $\nu_{0} = \frac{\phi}{h}$ या $\phi = h\nu_{0}$ होता है।
दिए गए ग्राफ से,धातु '$P$' के लिए देहली आवृत्ति $\nu_{0}$ है और धातु '$Q$' के लिए $\nu_{0}^{\prime}$ है।
चूंकि $\nu_{0} < \nu_{0}^{\prime}$,इसलिए $h\nu_{0} < h\nu_{0}^{\prime}$ होगा।
अतः,कार्य फलन $\phi_{P} < \phi_{Q}$ है।

(D) $1$. निरोधी विभव $V_s$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ के बीच संबंध: $(K.E.)_{\max} = e V_s$.
दिया गया है $(K.E.)_{\max} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2 \text{ V}$.
$2$. देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ और कार्य फलन $\Phi$ के बीच संबंध: $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$.
दिया गया है $\Phi = 6.63 \times 10^{-19} \text{ J}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$,और $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$.
$\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6.63 \times 10^{-19}} = 3 \times 10^{-7} \text{ m} = 3000 \times 10^{-10} \text{ m} = 3000 \text{ Å}$.
अतः,निरोधी विभव $2 \text{ V}$ है और देहली तरंगदैर्ध्य $3000 \text{ Å}$ है। सही विकल्प $(D)$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_k)$ $E_k = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और पदार्थ की प्रकृति (कार्य फलन) पर निर्भर करती है।
यह आपतित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E)$ और तीव्रता $(I)$ के बीच का ग्राफ तीव्रता अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,रेखा $P$ तीव्रता $I$ की परवाह किए बिना $E$ का एक स्थिर मान दर्शाती है।
अतः,रेखा $P$ सही निरूपण है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3315 \times 10^{-10}} = 6 \times 10^{-19} \ \text{J}$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = \phi_{0} + K_{\text{max}}$, जहाँ $\phi_{0}$ कार्य फलन है और $K_{\text{max}}$ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है।
$\phi_{0} = E - K_{\text{max}} = 6 \times 10^{-19} - 3 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{-19} \ \text{J}$।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0}$ को $\lambda_{0} = \frac{hc}{\phi_{0}}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\lambda_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3 \times 10^{-19}} = 6.63 \times 10^{-7} \ \text{m} = 6630 \ \text{Å}$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_{0}$ होती है,जहाँ $E$ आपतित ऊर्जा है और $\phi_{0}$ कार्य फलन है।
प्रथम विकिरण के लिए,$E_{1} = 2\phi_{0}$,अतः $K_{1} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} = 2\phi_{0} - \phi_{0} = \phi_{0}$.
द्वितीय विकिरण के लिए,$E_{2} = 10\phi_{0}$,अतः $K_{2} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} = 10\phi_{0} - \phi_{0} = 9\phi_{0}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}} = \frac{\phi_{0}}{9\phi_{0}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी प्रकाश-संवेदी सतह का कार्य फलन $\phi$ उस पदार्थ का एक आंतरिक गुण है और यह आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में एक ही प्रकाश-संवेदी सतह का उपयोग किया जाता है,इसलिए कार्य फलन स्थिर रहता है।
अतः,कार्य फलनों का अनुपात $\phi_{1} : \phi_{2} = 1 : 1$ होगा।
हालाँकि,यदि प्रश्न आपतित फोटॉन की ऊर्जा के अनुपात के बारे में है,तो यह $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{hc/\lambda_{1}}{hc/\lambda_{2}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \frac{600}{360} = \frac{5}{3}$ होगा।
भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या के अनुसार,एक ही पदार्थ के लिए कार्य फलन का अनुपात हमेशा $1:1$ होता है। चूंकि विकल्पों में $1:1$ नहीं है,इसलिए यह प्रश्न आपतित फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात पूछ रहा है,जो $5:3$ है।

(D) दाएँ हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,तार में धारा $I$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र तार के ऊपर के क्षेत्र के लिए (जहाँ रिंग $P$ स्थित है) बाहर की ओर और तार के नीचे के क्षेत्र के लिए (जहाँ रिंग $Q$ स्थित है) अंदर की ओर होता है।
चूँकि धारा $I$ लगातार बढ़ रही है,इसलिए दोनों रिंगों से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ रहा है।
रिंग $P$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र बाहर की ओर है और बढ़ रहा है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करने के लिए अंदर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी। इसलिए,रिंग $P$ में प्रेरित धारा दक्षिणावर्त (clockwise) होनी चाहिए।
रिंग $Q$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र अंदर की ओर है और बढ़ रहा है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करने के लिए बाहर की दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी। इसलिए,रिंग $Q$ में प्रेरित धारा वामावर्त (anticlockwise) होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,चित्र $D$ प्रेरित धाराओं के लिए सही दिशाएँ दर्शाता है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$n$ फेरों वाली कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -n \frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ में फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1$ के लिए,औसत प्रेरित emf $|e| = n \frac{|\Phi_2 - \Phi_1|}{t} = n \frac{|\Phi_1 - \Phi_2|}{t}$ होगा।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ होती है।
मान रखने पर,$I = \frac{n|\Phi_1 - \Phi_2| / t}{3R / 2} = \frac{2n|\Phi_1 - \Phi_2|}{3Rt}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित e.m.f. $e$ का मान $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है,इसलिए फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta\phi = A \cdot \Delta B$ होगा।
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B = 4 B_{0} - B_{0} = 3 B_{0}$ है।
समय अंतराल $t$ दिया गया है।
अतः,प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|e| = \frac{\Delta\phi}{\Delta t} = \frac{A \cdot (3 B_{0})}{t} = \frac{3 AB_{0}}{t}$ होगा।

(C) $I$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\theta}{2\pi} \right)$।
यहाँ,केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = \frac{\pi}{16}$ दिया गया है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\pi/16}{2\pi} \right)$।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{\pi/16}{2\pi} = \frac{\pi}{16 \times 2\pi} = \frac{1}{32}$।
अब,इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{1}{32} = \frac{\mu_0 I}{64r}$।

(A) एक इंडक्टर से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ से करने पर,जहाँ $y = \phi$ और $x = I$,हमें ढाल $m = L$ प्राप्त होता है।
चूँकि ग्राफ की ढाल स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाती है,इसलिए जिस इंडक्टर की ढाल सबसे कम होगी,उसका स्व-प्रेरकत्व सबसे कम होगा।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $D$ धारा अक्ष ($I$-अक्ष) के साथ सबसे छोटा कोण बनाती है,जिसका अर्थ है कि इसकी ढाल सबसे कम है।
अतः,इंडक्टर $D$ का स्व-प्रेरकत्व सबसे कम है।

(A) एक इंडक्टर के लिए चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ और धारा $(I)$ के बीच का संबंध $\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है।
इस समीकरण की तुलना मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ से करने पर,हमें $L = \phi / I$ प्राप्त होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि स्व-प्रेरकत्व $L$,$\phi$ बनाम $I$ ग्राफ की ढाल (slope) के बराबर है।
चूंकि चारों रेखाओं में से रेखा $A$ की ढाल सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे अधिक स्व-प्रेरकत्व मान को दर्शाता है।

(D) बड़ी कुंडली $B$ में प्रवाहित धारा $i$ के कारण छोटी कुंडली $A$ के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को कुंडली $A$ के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान माना जा सकता है।
कुंडली $B$ द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}}$ है।
छोटी कुंडली $A$ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A_{1} = \left( \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}} \right) (\pi R_{1}^{2})$ है।
परिभाषा के अनुसार,अन्योन्य प्रेरण $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_{0} \pi R_{1}^{2}}{2 R_{2}}$ होता है।
अतः,$M \propto \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}}$।