MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण की कुल ऊर्जा $(E)$ उसकी स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ होती है।
साथ ही,बल नियतांक $k = m \omega^{2}$ होता है।
$k$ के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर,हमें $k = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^{2} = \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}}$ प्राप्त होता है।
अब,कुल ऊर्जा के सूत्र में $k$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}} \right) A^{2}$।
इसे सरल करने पर,हमें $E = \frac{2 \pi^{2} m A^{2}}{T^{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: विस्थापन $= x$,स्थितिज ऊर्जा $(P.E.) = E$,प्रत्यानयन बल $= F$।
$S.H.M.$ में एक कण के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
स्थितिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
बल समीकरण से,हमारे पास $k = -\frac{F}{x}$ है।
$k$ के इस मान को स्थितिज ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \left(-\frac{F}{x}\right) x^2$
$E = -\frac{1}{2} Fx$
$2$ से गुणा करने पर:
$2E = -Fx$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2E + Fx = 0$
$F$ से भाग देने पर:
$\frac{2E}{F} + x = 0$।

(A) छोटे दोलन करने वाले सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -\frac{mg}{L} x$ होता है।
सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} k x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रत्यानयन बल $F = -kx$ की तुलना $F = -\frac{mg}{L} x$ से करने पर,हमें स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{L}$ प्राप्त होता है।
चरम स्थिति पर,विस्थापन $x$ आयाम $A$ के बराबर होता है।
इन मानों को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $PE = \frac{1}{2} \left( \frac{mg}{L} \right) A^{2} = \frac{mgA^{2}}{2L}$.

(D) सरल आवर्त गति में एक वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $P = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
दिया गया है कि $P_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^2$ और $P_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^2$.
हमें विस्थापन $(x_{1} + x_{2})$ पर स्थितिज ऊर्जा $P$ ज्ञात करनी है:
$P = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^2$
$P = \frac{1}{2} k (x_{1}^2 + x_{2}^2 + 2 x_{1} x_{2})$
$P = \frac{1}{2} k x_{1}^2 + \frac{1}{2} k x_{2}^2 + 2 \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{1}^2} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{2}^2} \right)$
$P = P_{1} + P_{2} + 2 \sqrt{P_{1} P_{2}}$.

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$,जिसका अर्थ है $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$।
दी गई नई लंबाई $\ell_2 = \frac{\ell_1}{3}$ के लिए,नई कोणीय आवृत्ति $\omega_2$ और प्रारंभिक आवृत्ति $\omega_1$ का अनुपात $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_1/3}} = \sqrt{3}$ है।
सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होती है।
चूंकि द्रव्यमान $(m)$ और आयाम $(A)$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $E \propto \omega^2$ है।
अतः,$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$।
इस प्रकार,नई कुल ऊर्जा $E_2 = 3 E_1$ होगी।

(A) दिया गया है,आवर्तकाल $T = 6 \ s$ है। गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है और कुल ऊर्जा $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
हमें दिया गया है कि $K.E. = 50\% \text{ of } T.E.$,इसलिए $K.E. = \frac{1}{2} T.E.$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$.
इसे सरल करने पर $A^2 - x^2 = \frac{A^2}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{A^2}{2}$ या $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
चूंकि कण माध्य स्थिति से शुरू होता है,विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें मिलता है $\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\frac{2\pi}{T} t)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{2\pi}{6} t) = \sin(\frac{\pi}{3} t)$.
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} t$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{3}{4} = 0.75 \ s$.

(A) सरल आवर्त गति में,त्वरण $a$ का सूत्र $a = -\omega^2 x$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है।
सूत्र में $x = 0$ रखने पर,हमें $a = -\omega^2 (0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,माध्य स्थिति पर भार का त्वरण शून्य होता है।

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 0.4 \ m$,अधिकतम गति $v_{max} = 4 \ m/s$ (निम्नतम बिंदु पर)।
जब डोरी क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो यह ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
निम्नतम बिंदु से लोलक के गोलक की ऊँचाई $h = L - L \cos \theta = L(1 - \cos 60^{\circ})$ द्वारा दी जाती है।
$h = 0.4(1 - 0.5) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \ m$.
निम्नतम बिंदु और $\theta$ कोण पर स्थित बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} m v_{max}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + mgh$
$v^{2} = v_{max}^{2} - 2gh$
$v^{2} = (4)^{2} - 2 \times 10 \times 0.2$
$v^{2} = 16 - 4 = 12$
$v = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m/s$.

(C) दिया गया है,$y_{1} = 2 \sin (10 t + \theta)$.
वेग $V_{1} = \frac{dy_{1}}{dt} = 2 \times 10 \cos (10 t + \theta) = 20 \cos (10 t + \theta)$.
दिया गया है,$y_{2} = 3 \cos 10 t = 3 \sin (10 t + \frac{\pi}{2})$.
वेग $V_{2} = \frac{dy_{2}}{dt} = 3 \times 10 \cos (10 t + \frac{\pi}{2}) = 30 \cos (10 t + \frac{\pi}{2})$.
$V_{1}$ की कला $\phi_{1} = 10 t + \theta$ है।
$V_{2}$ की कला $\phi_{2} = 10 t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = (10 t + \theta) - (10 t + \frac{\pi}{2}) = \theta - \frac{\pi}{2}$.

(B) $S.H.M.$ में विस्थापन $x$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = \frac{2A}{3}$ पर,वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A$ है।
जब गति को तीन गुना किया जाता है,तो नया वेग $v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A = \sqrt{5} \omega A$ हो जाता है।
$S.H.M.$ की कुल ऊर्जा किसी भी बिंदु पर स्थिर रहती है,इसलिए $E' = K' + U$।
नई कुल ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} m \omega^2 A'^2$ है।
$x = \frac{2A}{3}$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{2A}{3})^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{4A^2}{9}$ है।
नई गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} m v'^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{5} \omega A)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$ है।
कुल ऊर्जा को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} m \omega^2 A'^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{4A^2}{9}) + \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$।
$A'^2 = \frac{4A^2}{9} + 5A^2 = A^2 (\frac{4+45}{9}) = \frac{49A^2}{9}$।
वर्गमूल लेने पर,$A' = \frac{7A}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) $S.H.M.$ कर रहे एक कण के लिए,समय $t$ के फलन के रूप में विस्थापन $x$ को $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$S.H.M.$ के लिए हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यानयन बल $F$ को $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
$x$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = -k(A \sin(\omega t)) = -kA \sin(\omega t)$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण दर्शाता है कि बल $F$,विस्थापन $x$ के ऋणात्मक मान के समानुपाती है।
इसलिए,बल-समय ग्राफ विस्थापन-समय ग्राफ का उल्टा रूप होगा। यदि विस्थापन ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होकर धनात्मक दिशा में जाता है,तो बल ग्राफ को मूल बिंदु से शुरू होकर ऋणात्मक दिशा में जाना चाहिए।

(D) $S.H.M.$ में एक कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
किसी विस्थापन $x$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ होती है।
दिया गया है कि $K = \frac{3E}{4}$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = E - \frac{3E}{4} = \frac{E}{4}$ होगी।
$U$ और $E$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$।
सरल करने पर,हमें $x^2 = \frac{A^2}{4}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$x = \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) $S.H.M.$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
दिया गया है: $m = 10 \ kg$,$k = 10 \ N/m$,$A = 0.5 \ m$,और $v = 40 \ cm/s = 0.4 \ m/s$.
सबसे पहले,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1 \ rad/s$ की गणना करें।
अब,मानों को वेग समीकरण में रखें: $0.4 = 1 \cdot \sqrt{(0.5)^2 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.16 = 0.25 - x^2$.
$x^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $x^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
वर्गमूल लेने पर: $x = 0.3 \ m$.

(A) जब स्प्रिंग से $m_{1}$ द्रव्यमान जुड़ा होता है,तो $S.H.M.$ की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A_{1}^{2}$ होती है।
माध्य स्थिति पर,$m_{1}$ द्रव्यमान का वेग $v_{1}$ अधिकतम होता है,जो $v_{1} = \omega_{1} A_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ द्वारा दिया जाता है।
जब माध्य स्थिति पर $m_{1}$ पर $m_{2}$ द्रव्यमान रखा जाता है,तो निकाय का संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है।
प्रारंभिक संवेग $p_{i} = m_{1} v_{1}$ है।
अंतिम संवेग $p_{f} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$ है,जहाँ $v_{2}$ माध्य स्थिति पर नया वेग है।
चूँकि $p_{i} = p_{f}$,इसलिए $m_{1} v_{1} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$ है।
$v_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}$ है।
नई कोणीय आवृत्ति $\omega_{2} = \sqrt{\frac{k}{m_{1} + m_{2}}}$ है।
चूँकि $v_{2} = \omega_{2} A_{2}$ है,इसलिए $A_{2} = \frac{v_{2}}{\omega_{2}} = \frac{m_{1} v_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}}$ है।
$v_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A_{2} = \frac{m_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}} = A_{1} \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{A_{2}}{A_{1}} = \left[\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\right]^{1/2}$।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $Y = A \sin 2 \pi (n t - \frac{x}{\lambda})$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = 2 \pi n$ और $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p, \text{max}} = A \omega = A (2 \pi n)$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग का वेग $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A (2 \pi n) = 4 (n \lambda)$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर,$2 \pi A n = 4 n \lambda$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2n$ से विभाजित करने पर,हमें $\lambda = \pi A$ प्राप्त होता है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन का समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है,आवर्तकाल $T = 3 \ s$,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $y = \frac{A}{2}$ हो।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
कोणों की तुलना करने पर: $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} t$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{12} = 0.25 \ s = \frac{1}{4} \ s$.

(B) डैम्पिंग बल $F$ को संबंध $F = -bv$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ आनुपातिकता का स्थिरांक (डैम्पिंग स्थिरांक) है और $v$ वेग है।
$b$ की इकाई ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $b = \frac{F}{v}$।
बल $F$ की $SI$ इकाई न्यूटन $(N)$ है,जो $kg \cdot m \cdot s^{-2}$ के बराबर है।
वेग $v$ की $SI$ इकाई $m \cdot s^{-1}$ है।
इन इकाइयों को $b$ के सूत्र में रखने पर:
$b = \frac{kg \cdot m \cdot s^{-2}}{m \cdot s^{-1}} = kg \cdot s^{-1}$।
अतः,आनुपातिकता के स्थिरांक की इकाई $kg \cdot s^{-1}$ है।

(A) सिक्का प्लेट पर रखा है और उसके साथ गति करता है। $S.H.M.$ में प्लेट का त्वरण $a = \omega^{2} x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
जैसे ही प्लेट नीचे की ओर बढ़ती है,इसका त्वरण ऊपर की ओर निर्देशित होता है। जैसे ही प्लेट ऊपर की ओर बढ़ती है,इसका त्वरण नीचे की ओर निर्देशित होता है।
सिक्का प्लेट के साथ संपर्क तब खो देता है जब प्लेट का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ से अधिक हो जाता है।
दोलन के सबसे ऊपरी बिंदु पर,नीचे की ओर त्वरण अधिकतम होता है,जो $a_{max} = \omega^{2} A$ द्वारा दिया जाता है।
सिक्के के संपर्क खोने के लिए,शर्त $a_{max} \geq g$ है।
इसलिए,न्यूनतम आयाम जिस पर संपर्क खो जाता है,वह $A = \frac{g}{\omega^{2}}$ है।

(D) दोलन का विस्तार $L$ चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी है,जो $2A$ के बराबर है,जहाँ $A$ दोलन का आयाम है।
इसलिए,$A = \frac{L}{2}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = 2 \pi f$ द्वारा दिया जाता है।
$S.H.M.$ में एक कण का त्वरण $a = -\omega^{2} x$ द्वारा दिया जाता है।
दोलन के शीर्ष पर (चरम स्थिति),विस्थापन $x = A = \frac{L}{2}$ होता है।
मान रखने पर,त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^{2} A = (2 \pi f)^{2} \times \frac{L}{2}$ है।
$|a| = 4 \pi^{2} f^{2} \times \frac{L}{2} = 2 \pi^{2} f^{2} L$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $a$ $S$.$H$.$M$. का आयाम है।
दिया गया है कि कण चरम स्थिति से $\frac{a}{3}$ की दूरी पर है,इसलिए माध्य स्थिति से इसका विस्थापन $x = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$ है।
त्वरण का परिमाण $a_p = \omega^2 x = \omega^2 \left( \frac{2a}{3} \right)$ है।
वेग का परिमाण $v_p = \omega \sqrt{a^2 - x^2} = \omega \sqrt{a^2 - \left( \frac{2a}{3} \right)^2} = \omega \sqrt{a^2 - \frac{4a^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{\omega a \sqrt{5}}{3}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_p = \frac{1}{3} a_p$.
$v_p$ और $a_p$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{1}{3} \left( \omega^2 \frac{2a}{3} \right)$.
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega^2 a}{9}$.
दोनों पक्षों को $\omega a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega}{9}$.
$\omega = \frac{9 \sqrt{5}}{3 \times 2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है,इसलिए:
$T = \frac{2 \pi}{\frac{3 \sqrt{5}}{2}} = \frac{4 \pi}{3 \sqrt{5}} \text{ s}$.

(D) सरल आवर्त गति में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
यह दिया गया है कि कण माध्य स्थिति $(x = 0)$ और चरम स्थिति $(x = A)$ के बीच आधे रास्ते पर है,इसलिए विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर:
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{3 A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{\sqrt{3} A}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi A}{T}$

(D) द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब द्रव्यमान को $m$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवर्तकाल $T' = \frac{5T}{3}$ हो जाता है।
अतः,$\frac{5T}{3} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
समीकरण में $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ रखने पर:
$\frac{5}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{25}{9} \times \frac{M}{k} = \frac{M+m}{k}$.
$\frac{25}{9}M = M + m$.
$M$ से विभाजित करने पर:
$\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
अतः,अनुपात $\frac{M}{m} = \frac{9}{16}$ है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी पर सेकंड लोलक के लिए,$T = 2 \text{ s}$ होता है।
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM'}{R'^2}$ है।
दिया गया है कि $M' = 3M$ और $R' = 3R$,इसलिए:
$\frac{g'}{g} = \frac{M'}{M} \cdot \frac{R^2}{R'^2} = 3 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
ग्रह पर आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ है।
अतः,$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{3}$।
$T' = T \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \text{ सेकंड}$।

(A) सरल लोलक की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
सतह से $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है।
यहाँ $d = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए $g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
गहराई $d$ पर नई आवृत्ति $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g'}{l}}$ होगी।
$g' = \frac{g}{2}$ रखने पर,$n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g/2}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right)$.
अतः,$n' = \frac{n}{\sqrt{2}}$.

(A) जब एक द्रव्यमान $m$ को तार से लटकाया जाता है,तो तार एक स्प्रिंग नियतांक $k$ वाली स्प्रिंग की तरह कार्य करता है।
हुक के नियम से,$x$ विस्तार के लिए तार में तनाव बल $T = \frac{YA}{L} x$ होता है।
इसे स्प्रिंग बल समीकरण $F = kx$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{YA}{L}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल लोलक की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ होता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $f \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{3}{4}$ दिया गया है,इसलिए हम इसे समीकरण में रखते हैं:
$\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{9}{16} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी लंबाइयों का अनुपात $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{16}{9}$ है।

(B) रैखिक $S.H.M.$ के लिए मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 0.25 \sin(11t + 0.5)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 11 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
$S.H.M.$ का आवर्तकाल $T$,कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिए गए मान $\pi = \frac{22}{7}$ और $\omega = 11$ रखने पर:
$T = \frac{2 \times (22/7)}{11} = \frac{2 \times 22}{11 \times 7} = \frac{44}{77} = \frac{4}{7} \ s$.
अतः,$S.H.M.$ का आवर्तकाल $\frac{4}{7} \ s$ है।

(B) साम्यावस्था पर,गुरुत्वाकर्षण बल स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित होता है: $mg = kx$।
इससे,स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
साम्यावस्था स्थिति से $k$ का मान रखने पर: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{(mg/x)}} = 2\pi\sqrt{\frac{mx}{mg}}$।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $T = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \sin \frac{\pi}{2}(100t - x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$y = 5 \sin(50\pi t - \frac{\pi}{2}x)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = 50\pi \ rad/s$ है।
हम जानते हैं कि आवर्तकाल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{50\pi} = \frac{1}{25} \ s$.
$T = 0.04 \ s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) स्थिर लिफ्ट में सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \sqrt{3} \ s$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ हो जाता है।
नया आवर्तकाल $T^{\prime} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{4g/3}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T^{\prime}$ को $T$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{T^{\prime}}{T} = \sqrt{\frac{g}{4g/3}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
$T = \sqrt{3} \ s$ का मान रखने पर,$T^{\prime} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ प्राप्त होता है।

(A) घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ होती है।
हम $L$ को $K$ और $\omega$ के पदों में $L = \frac{2K}{\omega}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि आवृत्ति $f$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ भी दोगुना हो जाता है। मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(L_1, K_1, \omega_1)$ है और अंतिम स्थिति $(L_2, K_2, \omega_2)$ है।
हमें $K_2 = \frac{K_1}{2}$ और $\omega_2 = 2\omega_1$ दिया गया है।
संबंध $\frac{L_2}{L_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{L_2}{L} = \frac{K_1/2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{2\omega_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$L_2 = \frac{L}{4}$.

(C) वृत्ताकार गति में किसी कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$v$ इसका कक्षीय वेग है और $r$ कक्षा की त्रिज्या $R$ है।
सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह के लिए,अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}$
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को कोणीय संवेग के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \frac{R}{\sqrt{R}}$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
चूंकि $m$,$G$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम पाते हैं कि $L \propto \sqrt{R}$।

(C) उपग्रह की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^{2}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम वेग $v$ को $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहे कण का कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$L$ के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$L = m \cdot \sqrt{\frac{2E}{m}} \cdot r$
$L = \sqrt{m^{2} \cdot \frac{2E}{m} \cdot r^{2}}$
$L = \sqrt{2mEr^{2}}$
$L = (2mEr^{2})^{\frac{1}{2}}$.

(A) बल आघूर्ण $(\tau)$ और कोणीय संवेग में परिवर्तन $(\Delta L)$ के बीच का संबंध कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = \int \tau dt$.
चूंकि बल आघूर्ण नियत है, इसलिए कोणीय संवेग में परिवर्तन बल आघूर्ण और समय का गुणनफल होता है: $\Delta L = \tau \times \Delta t$.
दिया गया है:
बल आघूर्ण $(\tau)$ = $200 \, N-m$
समय $(\Delta t)$ = $4 \, s$
गणना:
$\Delta L = 200 \, N-m \times 4 \, s = 800 \, kg-m^{2}/s$.
अतः, कोणीय संवेग में परिवर्तन $800 \, kg-m^{2}/s$ है।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है और कोणीय संवेग $L = I \omega$ है।
दिया गया है कि कोणीय आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,$\omega' = 2\omega$.
नई घूर्णन गतिज ऊर्जा $K' = \frac{K}{2}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} I' \omega'^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I \omega^2)$.
$\frac{1}{2} I' (2\omega)^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.
$2 I' \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2 \implies I' = \frac{I}{8}$.
नया कोणीय संवेग $L' = I' \omega' = (\frac{I}{8}) (2\omega) = \frac{I \omega}{4} = \frac{L}{4}$.

(B) $r$ दूरी पर पृथ्वी के चारों ओर घूम रहे उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$L$ के समीकरण में $v$ का मान रखने पर:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r}$
$L = m \sqrt{GMr}$
$L = m(GMr)^{1/2}$.

(A) डिस्क के शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $(I_r)$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है:
$I_r = I_{\text{disc}} - I_{\text{hole}}$
जहाँ $I_{\text{disc}}$ केंद्रीय अक्ष के परितः मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है,और $I_{\text{hole}}$ उसी अक्ष के परितः हटाए गए वृत्ताकार भाग का जड़त्व आघूर्ण है।
$1$. मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} MR^2$
$2$. हटाए गए छेद के गुण:
छेद की त्रिज्या $r = \frac{R}{2}$.
चूंकि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ समान है,छेद का द्रव्यमान $M_h$ होगा:
$M_h = \sigma \cdot \pi r^2 = \left(\frac{M}{\pi R^2}\right) \cdot \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$.
$3$. मूल डिस्क की केंद्रीय अक्ष के परितः छेद का जड़त्व आघूर्ण:
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + M_h d^2$,जहाँ $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M_h r^2$ और $d = \frac{R}{2}$ छेद के केंद्र और मूल डिस्क के केंद्र के बीच की दूरी है।
$I_{\text{hole}} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I_{\text{hole}} = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{MR^2 + 2MR^2}{32} = \frac{3MR^2}{32}$.
$4$. शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण:
$I_r = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda$ दिया गया है। पहली वलय का द्रव्यमान $M_1 = \lambda(2\pi R)$ और त्रिज्या $R_1 = R$ है।
अतः,$I_1 = M_1 R_1^2 = (2\pi R \lambda) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
दूसरी वलय का द्रव्यमान $M_2 = \lambda(2\pi nR)$ और त्रिज्या $R_2 = nR$ है।
अतः,$I_2 = M_2 R_2^2 = (2\pi nR \lambda) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ दिया गया है।
व्यंजक रखने पर: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
इसलिए,$n^3 = 8$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,बड़े गोले का आयतन $27$ छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर होगा: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जहाँ $r$ प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या है।
इससे $R^3 = 27r^3$ प्राप्त होता है,अतः $R = 3r$ या $r = R/3$ है।
घनत्व समान होने के कारण प्रत्येक छोटे गोले का द्रव्यमान $m = M/27$ होगा।
प्रत्येक छोटे गोले का जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{2}{5}mr^2$ है।
$m = M/27$ और $r = R/3$ रखने पर:
$I' = \frac{2}{5} \times (M/27) \times (R/3)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{27} \times \frac{R^2}{9} = \frac{2}{5}MR^2 \times \frac{1}{243} = \frac{I}{243}$.

(A) माना कि वलय और चकती दोनों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
वलय के लिए,इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{2}MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,इसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{diameter} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होगा।
चकती के लिए,इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{4}MR^2$ होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I'} = \frac{\frac{3}{2}MR^2}{\frac{1}{4}MR^2} = \frac{3}{2} \times 4 = 6$ है।
इस प्रकार,अनुपात $6: 1$ है।

(A) मूल डिस्क का द्रव्यमान $M_{total} = 9M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। इसके केंद्र से गुजरने वाली और इसके तल के लंबवत अक्ष के परितः पूर्ण डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{1}{2} M_{total} R^{2} = \frac{1}{2} (9M) R^{2} = \frac{9 MR^{2}}{2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती होता है,इसलिए हटाई गई डिस्क का द्रव्यमान $m = M_{total} \times \frac{\pi (R/3)^{2}}{\pi R^{2}} = 9M \times \frac{1}{9} = M$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके उसी अक्ष के परितः हटाई गई डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime} = I_{cm} + m d^{2}$ है,जहाँ $I_{cm} = \frac{1}{2} m (R/3)^{2}$ और $d = \frac{2R}{3}$ है।
$I^{\prime} = \frac{1}{2} M (R/3)^{2} + M (2R/3)^{2} = \frac{MR^{2}}{18} + \frac{4MR^{2}}{9} = \frac{MR^{2} + 8MR^{2}}{18} = \frac{9MR^{2}}{18} = \frac{MR^{2}}{2}$।
शेष डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{remaining} = I_{1} - I^{\prime} = \frac{9 MR^{2}}{2} - \frac{MR^{2}}{2} = \frac{8 MR^{2}}{2} = 4 MR^{2}$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ की उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$I_1 = MK_1^2$,जहाँ $K_1$ घूर्णन त्रिज्या है।
अतः,$MK_1^2 = \frac{ML^2}{12} \implies K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
एक सिरे से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$I_2 = MK_2^2$,जहाँ $K_2$ घूर्णन त्रिज्या है।
अतः,$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3} \implies K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$.
पहली स्थिति और दूसरी स्थिति में घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(A) माना छड़ का द्रव्यमान $M$ है और इसकी लंबाई $L$ है। छड़ के एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ है।
जब छड़ को $r$ त्रिज्या वाली वलय में मोड़ा जाता है,तो वलय की परिधि छड़ की लंबाई के बराबर होती है: $2\pi r = L$,जिसका अर्थ है $r = \frac{L}{2\pi}$।
वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{Mr^2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर: $I_{1} = \frac{M}{2} \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2 = \frac{M}{2} \cdot \frac{L^2}{4\pi^2} = \frac{ML^2}{8\pi^2}$।
अब,अनुपात $\frac{I}{I_{1}}$ की गणना करने पर:
$\frac{I}{I_{1}} = \frac{ML^2/3}{ML^2/8\pi^2} = \frac{ML^2}{3} \cdot \frac{8\pi^2}{ML^2} = \frac{8\pi^2}{3}$।

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
जब गोले को $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या की डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,तो डिस्क के किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I_{edge} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण समान रहता है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{3}{2}Mr^2 = \frac{2}{5}MR^2$।
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने और $r$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \frac{2R}{\sqrt{15}}$।

(A) छड़ को मध्य बिंदु $O$ पर दो भागों में मोड़ा जाता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $l = \frac{L}{2}$ और द्रव्यमान $m = \frac{M}{2}$ है।
प्रत्येक भाग $l$ लंबाई की एक छड़ के रूप में कार्य करता है जो अपने एक सिरे के परितः घूमती है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एकसमान छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक भाग के लिए,$m = \frac{M}{2}$ और $l = \frac{L}{2}$ है।
अतः,बिंदु $O$ के परितः एक भाग का जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L}{2})^2}{3} = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L^2}{4})}{3} = \frac{ML^2}{24}$.
चूंकि निकाय ऐसे दो भागों से बना है,इसलिए $O$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I$:
$I = I_1 + I_1 = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(A) मान लीजिए कि दो छल्ले $Ring_1$ और $Ring_2$ हैं।
$Ring_1$ के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष उसकी केंद्रीय अक्ष है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = MR^2$ है।
$Ring_2$ के लिए,सामान्य केंद्र से गुजरने वाली और $Ring_1$ के लंबवत अक्ष $Ring_2$ के तल में स्थित है। यह अक्ष $Ring_2$ का व्यास है। इसका जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{MR^2}{2}$ है।
इस अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = MR^2 + \frac{MR^2}{2} = \frac{3 MR^2}{2}$ होगा।

(A) छड़ अपने सिरे से गुजरने वाली एक क्षैतिज अक्ष के परितः दोलन करती है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर अधिकतम घूर्णन गतिज ऊर्जा,द्रव्यमान केंद्र द्वारा उच्चतम बिंदु पर प्राप्त अधिकतम गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$1$. घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
$2$. $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ के लिए उसके सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^{2}}{3}$ है।
$3$. द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा $U = Mgh$ है,जहाँ $h$ द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है।
$4$. गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा की तुलना करने पर: $Mgh = \frac{1}{2} I \omega^{2}$.
$5$. $I$ का मान रखने पर: $Mgh = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^{2}}{3} \right) \omega^{2}$.
$6$. समीकरण को सरल करने पर: $Mgh = \frac{ML^{2} \omega^{2}}{6}$.
$7$. $h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{L^{2} \omega^{2}}{6g}$.

(C) एक सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर स्थित बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{cm} + Mh^2$.
यहाँ,$I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $\frac{ML^2}{12}$ है।
द्रव्यमान केंद्र (सिरे से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर) और दी गई अक्ष (सिरे से $\frac{L}{3}$ की दूरी पर) के बीच की दूरी $h = |\frac{L}{2} - \frac{L}{3}| = \frac{L}{6}$ है।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36}$
$I = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = Mk^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय के लिए उसके तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः,समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_{\text{ring}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$।
अतः,$Mk_{\text{ring}}^2 = 2MR^2 \implies k_{\text{ring}} = \sqrt{2}R$।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए उसके तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः,समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।
अतः,$Mk_{\text{disc}}^2 = \frac{3}{2}MR^2 \implies k_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$।
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{k_{\text{ring}}}{k_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
जब छड़ को $4$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $M' = \frac{M}{4}$ और लंबाई $L' = \frac{L}{4}$ हो जाती है।
प्रत्येक छोटे भाग का उसके अपने केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{M'(L')^2}{12}$ होगा।
$M'$ और $L'$ के मान रखने पर: $I' = \frac{(\frac{M}{4}) \cdot (\frac{L}{4})^2}{12} = \frac{M \cdot \frac{L^2}{16}}{4 \cdot 12} = \frac{ML^2}{12 \cdot 64}$.
चूंकि $I = \frac{ML^2}{12}$,इसलिए $I' = \frac{I}{64}$ प्राप्त होता है।

(A) साइक्लोट्रॉन के लिए अनुनाद (resonance) की शर्त यह है कि ऑसिलेटर की आवृत्ति '$v$' साइक्लोट्रॉन आवृत्ति के बराबर होनी चाहिए: $v = \frac{eB}{2 \pi m}$.
इससे,हम चुंबकीय क्षेत्र को $B = \frac{2 \pi m v}{e}$ के रूप में लिख सकते हैं।
साइक्लोट्रॉन में प्रोटॉन के पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv_{p}}{eB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ '$v_{p}$' प्रोटॉन का वेग है।
वेग के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v_{p} = \frac{eBR}{m}$.
'$B$' का मान रखने पर: $v_{p} = \frac{e}{m} \times \left( \frac{2 \pi m v}{e} \right) \times R = 2 \pi v R$.
प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v_{p}^{2}$ द्वारा दी जाती है।
'$v_{p}$' का मान रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} m (2 \pi v R)^{2} = \frac{1}{2} m (4 \pi^{2} v^{2} R^{2}) = 2 m \pi^{2} v^{2} R^{2}$.

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H = B_e \cos \delta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_e$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है और $\delta$ नमन कोण है।
स्थान $A$ पर,नमन कोण $\delta_A = 30^{\circ}$ है। अतः,क्षैतिज घटक $H_A = B_e \cos 30^{\circ}$ होगा।
स्थान $B$ पर,नमन कोण $\delta_B = 45^{\circ}$ है। अतः,क्षैतिज घटक $H_B = B_e \cos 45^{\circ}$ होगा।
$A$ पर क्षैतिज घटक का $B$ पर क्षैतिज घटक से अनुपात:
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{B_e \cos 30^{\circ}}{B_e \cos 45^{\circ}} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}$
मान रखने पर: $\frac{H_A}{H_B} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{3}: \sqrt{2}$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\theta_1 = 90^{\circ}$ पर $\tau_1 = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$ है।
अतः,$\tau_1 = MB \sin 90^{\circ} = MB(1) = MB$।
इसलिए,$MB = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$।
अब,$\theta_2 = 60^{\circ}$ के लिए,टॉर्क $\tau_2$ होगा:
$\tau_2 = MB \sin 60^{\circ} = (1.732 \times 10^{-5}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\sqrt{3} = 1.732$,इसलिए:
$\tau_2 = 1.732 \times 10^{-5} \times \frac{1.732}{2} = 1.732 \times 10^{-5} \times 0.866 = 1.4999 \times 10^{-5} \approx 1.5 \times 10^{-5} \text{ Nm}$।

(B) क्यूरी-वाइस नियम के अनुसार,एक लौह-चुंबकीय पदार्थ के लिए क्यूरी तापमान $T_C$ के ऊपर चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\chi = \frac{C}{T - T_C}$,जहाँ $C$ क्यूरी स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
$T > T_C$ के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति परम तापमान और क्यूरी तापमान के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है। कई सरल संदर्भों में,यह कहा जाता है कि चुंबकीय प्रवृत्ति परम तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है क्योंकि पदार्थ अनुचुंबकीय (paramagnetic) रूप में व्यवहार करता है।

(B) चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ यह मापती है कि कोई पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में कितना चुम्बकित होगा।
प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) पदार्थों के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ छोटी और ऋणात्मक $(-1 \le \chi < 0)$ होती है।
अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थों के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ छोटी और धनात्मक $(\chi > 0)$ होती है।
लौहचुंबकीय (ferromagnetic) पदार्थों के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ बड़ी और धनात्मक $(\chi \gg 0)$ होती है।
अतः, ऋणात्मक चुंबकीय प्रवृत्ति वाले पदार्थ प्रतिचुंबकीय होते हैं।

(A) एक प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होता है।
जब एक प्रतिचुंबकीय पदार्थ की पतली छड़ को एक समान बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो यह एक टॉर्क का अनुभव करती है जो छड़ को न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा की स्थिति में संरेखित करने की प्रवृत्ति रखता है।
एक प्रतिचुंबकीय छड़ के लिए,स्थितिज ऊर्जा तब न्यूनतम होती है जब छड़ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के लंबवत होती है।
इसलिए,छड़ अपनी चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा को कम करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत संरेखित हो जाएगी।

(B) घन का आयतन $V = L^3 = (1 \mu m)^3 = (10^{-6} \ m)^3 = 10^{-18} \ m^3$ है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{total}$ परमाणुओं की संख्या और प्रति परमाणु द्विध्रुव आघूर्ण का गुणनफल है:
$M_{total} = (8 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} \ A \cdot m^2) = 72 \times 10^{-14} \ A \cdot m^2 = 7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2$.
चुम्बकन $I$ (या $M$) को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$I = \frac{M_{total}}{V} = \frac{7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2}{10^{-18} \ m^3} = 7.2 \times 10^5 \ A/m$.

(C) किसी पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ यह मापती है कि बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर वह कितनी आसानी से चुंबकित हो सकता है।
अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए, परमाणुओं या अणुओं में स्थायी चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण होता है।
जब इन्हें बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो ये द्विध्रुव क्षेत्र की दिशा में दुर्बल रूप से संरेखित हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप, अनुचुंबकीय पदार्थ छोटी और धनात्मक चुंबकीय प्रवृत्ति ($0 < \chi < \epsilon$, जहाँ $\epsilon$ एक छोटा धनात्मक मान है) प्रदर्शित करते हैं।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) पदार्थों के चुंबकीय गुण परमाणुओं में मौजूद इलेक्ट्रॉनों से जुड़े चुंबकीय आघूर्ण (magnetic moments) से उत्पन्न होते हैं।
ये चुंबकीय आघूर्ण मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉनों की दो प्रकार की गतियों के कारण होते हैं:
$1$. नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति,जो एक कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण बनाती है।
$2$. इलेक्ट्रॉन की अपनी धुरी पर आंतरिक चक्रण (स्पिन) गति,जो एक चक्रण चुंबकीय आघूर्ण बनाती है।
इसलिए,एक परमाणु का कुल चुंबकीय आघूर्ण उसके सभी इलेक्ट्रॉनों के कक्षीय और चक्रण चुंबकीय आघूर्णों का सदिश योग होता है।

(A) टंगस्टन एक अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थ है। क्यूरी के नियम के अनुसार,किसी अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\chi \propto \frac{1}{T}$।
इसलिए,$\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2$।
दिया गया है: $\chi_1 = 6.8 \times 10^{-5}$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 400 \ K$।
मान रखने पर: $(6.8 \times 10^{-5}) \times 300 = \chi_2 \times 400$।
$\chi_2 = \frac{6.8 \times 10^{-5} \times 300}{400} = 6.8 \times 10^{-5} \times 0.75 = 5.1 \times 10^{-5}$।

(C) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times 2l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $2l$ चुंबक की लंबाई है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l$ हो जाती है और ध्रुव प्राबल्य $m$ समान रहता है।
अतः,प्रत्येक भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times l = \frac{M}{2}$ होता है।
मान लीजिए कि मूल चुंबक के ध्रुव $A$ (उत्तर) और $B$ (दक्षिण) हैं। काटने के बाद,पहले भाग में $A$ और $C_1$ ध्रुव हैं,और दूसरे भाग में $C_2$ और $B$ ध्रुव हैं।
जब दूसरे भाग को पहले भाग के ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि $C_2$,$C_1$ के ऊपर हो,तो $C_1$ और $C_2$ ध्रुवों की ध्रुवता विपरीत होगी। यदि $C_1$ दक्षिण है,तो $C_2$ उत्तर होगा।
इस विन्यास में,दोनों भागों के चुंबकीय आघूर्ण विपरीत दिशाओं में होते हैं।
अतः,संयोजन का कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{net} = M' - M' = 0$ होगा।

(A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं। एक छड़ चुंबक के बाहर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $N$-ध्रुव से निकलती हैं और $S$-ध्रुव में प्रवेश करती हैं। छड़ चुंबक के अंदर,बंद लूप को पूरा करने के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $S$-ध्रुव से $N$-ध्रुव की दिशा में चलती हैं। इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) चुंबकन $(M)$ को पदार्थ के प्रति इकाई आयतन $(V)$ में कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(m_{net})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $M = \frac{m_{net}}{V}$।
यह दर्शाता है कि जब किसी पदार्थ को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो वह किस हद तक चुंबकित होता है।

(D) चुंबक का आयतन $V = \text{लंबाई} \times \text{क्षेत्रफल} = 5 \ cm \times 4 \ cm^{2} = 20 \ cm^{3}$.
$SI$ इकाइयों में परिवर्तित करने पर: $V = 20 \times 10^{-6} \ m^{3} = 2 \times 10^{-5} \ m^{3}$.
चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है: $M = \frac{m}{V} = \frac{2 \ Am^{2}}{2 \times 10^{-5} \ m^{3}} = 10^{5} \ A/m$.
चुंबकन $M$,चुंबकीय तीव्रता $H$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध $M = \chi H$ है।
अतः,$H = \frac{M}{\chi} = \frac{10^{5}}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{11} \ A/m = 2 \times 10^{10} \ A/m$.

(C) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_r = 1 + \chi$.
दिया गया है कि सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 5500$ है।
इसलिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi = \mu_r - 1$ होगी।
मान रखने पर: $\chi = 5500 - 1 = 5499$।
अतः,लोहे की चुंबकीय प्रवृत्ति $5499$ है।

(D) नमूने का आयतन $V$, द्रव्यमान और घनत्व के अनुपात द्वारा प्राप्त किया जाता है: $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
आयतन को $SI$ इकाइयों में बदलने पर: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण $m$ के रूप में परिभाषित किया जाता है: $M = \frac{m}{V}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ A/m}$.

(D) $r$ दूरी पर एक छोटे छड़ चुंबक का अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दूरी '$r$' पर निरक्षीय बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$ होता है।
जैसे-जैसे बिंदु '$r$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर अक्षीय स्थिति से निरक्षीय स्थिति की ओर बढ़ता है,चुंबकीय आघूर्ण सदिश के साथ कोण $\theta$ $0^\circ$ से $90^\circ$ तक बदलता है।
किसी भी बिंदु $(r, \theta)$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सामान्य सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} \sqrt{1 + 3\cos^2\theta}$ है।
जैसे-जैसे $\theta$ $0^\circ$ से $90^\circ$ तक बढ़ता है,$\cos^2\theta$ $1$ से $0$ तक घटता है,और इसलिए चुंबकीय क्षेत्र '$B$' का मान घटता जाएगा।

(B) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले एक छोटे छड़ चुंबक के लिए,$r$ दूरी पर अक्षीय (अनुदैर्ध्य) स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}$ होता है।
उसी दूरी $r$ पर निरक्षीय (अनुप्रस्थ) स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}$ होता है।
अनुदैर्ध्य स्थिति और अनुप्रस्थ स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_{axial}}{B_{equatorial}} = \frac{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}}{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(A) किसी पदार्थ के भीतर कुल चुंबकीय क्षेत्र $(B)$,बाहरी धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_{0} = \mu_{0}H)$ और चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_{m} = \mu_{0}M)$ के योग के बराबर होता है।
अतः,$B = \mu_{0}(H + M)$.
हम जानते हैं कि चुंबकन $(M)$ और चुंबकीय तीव्रता $(H)$ के बीच का संबंध संवेदनशीलता $(\chi)$ द्वारा $M = \chi H$ के रूप में दिया जाता है।
इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$B = \mu_{0}(H + \chi H) = \mu_{0}H(1 + \chi)$.
अनुपात $\frac{B}{H}$ प्राप्त करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{B}{H} = \mu_{0}(1 + \chi)$.

(C) चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ को चुंबकीय प्रेरण $B$ और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\mu = \frac{B}{H}$ है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ होता है,इसलिए $B = \frac{\phi}{A}$ होगा।
इस मान को पारगम्यता के सूत्र में रखने पर: $\mu = \frac{\phi}{A \cdot H}$।
दिए गए मान:
$\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
$A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$H = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$
$\mu$ की गणना करने पर:
$\mu = \frac{6 \times 10^{-4}}{(3 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^3)} = \frac{6 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-1}} = 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$।

(C) क्यूरी के नियम के अनुसार,एक अनुचुंबकीय पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ उसके परम ताप $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\chi \propto \frac{1}{T}$।
इसलिए,$\frac{\chi_1}{\chi_2} = \frac{T_2}{T_1}$।
दिया गया है:
$T_1 = -73^{\circ} C = 273 - 73 = 200 \ K$
$T_2 = -173^{\circ} C = 273 - 173 = 100 \ K$
$\chi_1 = 0.0075$
मान रखने पर:
$\chi_2 = \chi_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 0.0075 \times \frac{200}{100} = 0.0075 \times 2 = 0.0150$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सोना एक प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) पदार्थ है।
प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
इसलिए,जब सोने के गोले को एक शक्तिशाली चुंबक के पास लाया जाता है,तो वह एक दुर्बल प्रतिकर्षण बल का अनुभव करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण (युग्म) $T = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,और $\theta$ चुंबक और क्षेत्र के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,चुंबक क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ है।
प्रारंभिक बल आघूर्ण $T = MB \sin(90^{\circ}) = MB$ है।
हम नए बल आघूर्ण $T'$ को प्रारंभिक बल आघूर्ण का आधा करना चाहते हैं,इसलिए $T' = \frac{T}{2} = \frac{MB}{2}$ है।
मान लीजिए नया कोण $\theta'$ है। तब $T' = MB \sin \theta' = \frac{MB}{2}$ होगा।
दोनों पक्षों को $MB$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin \theta' = \frac{1}{2} = 0.5$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण $\theta' = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ है।

(D) चुंबकन की तीव्रता $(I)$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(H)$ से $I = \chi H$ संबंध द्वारा संबंधित है,जहाँ $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility) है।
प्रतिचुंबकीय पदार्थों के लिए,$\chi$ छोटा और ऋणात्मक होता है,इसलिए धनात्मक $H$ के लिए $I$ ऋणात्मक होता है। यह रेखा $OX$ के अनुरूप है।
अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए,$\chi$ छोटा और धनात्मक होता है,इसलिए दिए गए $H$ के लिए $I$ धनात्मक और छोटा होता है। यह रेखा $OZ$ के अनुरूप है।
लौहचुंबकीय पदार्थों के लिए,$\chi$ बड़ा और धनात्मक होता है,इसलिए दिए गए $H$ के लिए $I$ धनात्मक और बड़ा होता है। यह रेखा $OY$ के अनुरूप है।
अतः,$X$ प्रतिचुंबकीय है,$Y$ लौहचुंबकीय है,और $Z$ अनुचुंबकीय है।

(B) किसी पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ उसके चुंबकीय व्यवहार को परिभाषित करती है।
प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) पदार्थों के लिए, $\chi$ ऋणात्मक और छोटी होती है $(-1 \le \chi < 0)$।
अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थों के लिए, $\chi$ धनात्मक और छोटी होती है $(\chi > 0)$।
लौहचुंबकीय (ferromagnetic) पदार्थों के लिए, $\chi$ धनात्मक और बहुत बड़ी होती है $(\chi \gg 1)$।
चूंकि दिए गए पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति धनात्मक और छोटी है, इसलिए यह अनुचुंबकीय (paramagnetic) है।

(C) आवेशित चालक की सतह पर लगने वाला स्थिर वैद्युत दाब (प्रतिबल) $P = \frac{\sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi (1)^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi} \ C/m^{2}$ है।
दाब के सूत्र में $\sigma$ का मान रखने पर: $P = \frac{1}{2 \epsilon_{0}} \left( \frac{10^{-2}}{4 \pi} \right)^{2} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}}$.
आयतन विकृति को $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{B}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $B$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक है।
दिया गया है कि $B = \frac{10^{11}}{4 \pi^{2}}$.
अतः,$\text{strain} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}} \times \frac{4 \pi^{2}}{10^{11}} = \frac{10^{-4}}{8 \epsilon_{0} \times 10^{11}} = \frac{10^{-15}}{8 \epsilon_{0}}$.

(B) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार का आकार बदला जा रहा है,इसलिए इसका आयतन $V = A \times L$ स्थिर रहता है।
हम क्षेत्रफल $A$ को व्यास $D$ के संदर्भ में $A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर: $R = \rho \frac{L}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi D^2}$.
चूंकि आयतन $V = A \times L = \frac{\pi D^2 L}{4}$ स्थिर है,इसलिए $L = \frac{4V}{\pi D^2}$ होगा।
इस मान को प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{4 \rho}{\pi D^2} \times \left(\frac{4V}{\pi D^2}\right) = \frac{16 \rho V}{\pi^2 D^4}$.
$R$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $D$ को अधिकतम करना होगा। चूंकि आयतन स्थिर है,$D$ बढ़ाने से $L$ कम हो जाएगा। इसलिए,हमें $L$ घटाना चाहिए और $D$ बढ़ाना चाहिए।

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को सूत्र $A = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ अविघटित परमाणुओं की संख्या है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
दो रेडियोधर्मी तत्वों के लिए,उनकी सक्रियता इस प्रकार है:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
उनकी सक्रियता का अनुपात है:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$

(C) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,क्षय की दर को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ समय $t$ पर मौजूद सक्रिय नाभिकों की संख्या है।
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
यह समीकरण क्षय दर $(R = -\frac{dN}{dt})$ और सक्रिय नाभिकों की संख्या $(N)$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ ढाल ऋणात्मक $(-\lambda)$ है।
इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \frac{dN}{dt}$ और $x = N$,ढाल $m = -\lambda$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dN}{dt}$ बनाम $N$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल ऋणात्मक है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $A$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को ऋणात्मक ढाल के साथ दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ है।
सक्रियता के परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = -\lambda A_0 e^{-\lambda t} = -\lambda A$ है।
सक्रियता के परिवर्तन की दर का परिमाण $|\frac{dA}{dt}| = \lambda A$ है।
चूंकि $A = \lambda N$,इसलिए $\frac{dA}{dt} = -\lambda (\lambda N) = -\lambda^2 N$ होता है।
यहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ रखने पर,$\frac{dA}{dt} \propto \lambda^2 \propto (\frac{1}{T})^2 = T^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सक्रियता के परिवर्तन की दर $T^{-2}$ के समानुपाती होती है।

(B) माना प्रारंभिक नाभिक $^A_Z X$ है।
एक $\alpha$ कण $(^4_2 He)$ के उत्सर्जन से द्रव्यमान संख्या $4$ कम हो जाती है और परमाणु क्रमांक $2$ कम हो जाता है।
$4 \alpha$ कणों के उत्सर्जन के बाद: $A' = A - (4 \times 4) = A - 16$ और $Z' = Z - (4 \times 2) = Z - 8$.
एक $\beta$ कण $(^0_{-1} e)$ के उत्सर्जन से परमाणु क्रमांक $1$ बढ़ जाता है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
$7 \beta$ कणों के उत्सर्जन के बाद: $A_{final} = A - 16$ और $Z_{final} = Z - 8 + 7 = Z - 1$.
अंतिम नाभिक में प्रोटॉन की संख्या $P = Z_{final} = Z - 1$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $N = A_{final} - Z_{final} = (A - 16) - (Z - 1) = A - Z - 15$ है।
न्यूट्रॉन और प्रोटॉन का अनुपात $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 15}{Z - 1}$ है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि पथ $(r)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $\frac{\sqrt{2m_{\alpha}K_{\alpha}}}{q_{\alpha}B} = \frac{\sqrt{2m_{p}K_{p}}}{q_{p}B}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{2m_{\alpha}K_{\alpha}}{q_{\alpha}^2} = \frac{2m_{p}K_{p}}{q_{p}^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $K_{p} = K_{\alpha} \cdot \left(\frac{m_{\alpha}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{q_{\alpha}}\right)^2$।
दिया गया है $m_{\alpha} = 4m_{p}$ और $q_{\alpha} = 2q_{p}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{p} = 10 \ eV \cdot \left(\frac{4m_{p}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{2q_{p}}\right)^2 = 10 \ eV \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} = 10 \ eV$।

(A) उभयोत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता का सूत्र है: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$।
यहाँ $n = 1.5$,$R_{1} = 20 \ cm$,और $R_{2} = -20 \ cm$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{20} \right) = 0.5 \times 0.1 = 0.05$।
अतः,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$।
अवतल दर्पण की फोकस दूरी लेंस की फोकस दूरी के बराबर है,इसलिए $f_{mirror} = 20 \ cm$।
अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f = -20 \ cm$।
वक्रता त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = 2f$ है,इसलिए $R = 2(-20 \ cm) = -40 \ cm$।

(A) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार,लेंस की फोकस दूरी $f$ को $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
उभयोत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ है,इसलिए $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = \frac{2(\mu - 1)}{R}$।
जब लेंस को $AB$ अक्ष के अनुदिश (मुख्य अक्ष के लंबवत) काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे भाग के लिए वक्रता त्रिज्या समान रहती है।
प्रत्येक आधे भाग के लिए,लेंस एक समतल-उत्तल लेंस बन जाता है जहाँ एक सतह की त्रिज्या $R$ है और दूसरी सतह समतल है (अनंत त्रिज्या,$R' = \infty$)।
एक आधे भाग के लिए सूत्र लागू करने पर: $\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$।
इसे मूल फोकस दूरी के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \times \frac{2(\mu - 1)}{R} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{f}$।
अतः,$f' = 2f$।

(A) जब प्रकाश $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से $n_2$ अपवर्तनांक वाले कम सघन माध्यम में जाता है,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए क्रांतिक कोण $c$ का सूत्र है: $\sin c = \frac{n_2}{n_1}$,जहाँ $n_1 > n_2$ है।
अनुपात $\frac{n_2}{n_1}$ जितना छोटा होगा,$\sin c$ उतना ही छोटा होगा,और इसलिए क्रांतिक कोण $c$ भी उतना ही छोटा होगा।
विकल्पों में से,$TIR$ के लिए केवल वही स्थितियाँ मान्य हैं जिनमें पहले माध्यम का अपवर्तनांक दूसरे से अधिक है।
कांच से हवा के लिए $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{air}} \approx 1.0)$: $\sin c = \frac{1.0}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$,जिससे $c \approx 41.8^{\circ}$ प्राप्त होता है।
कांच से पानी के लिए $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{water}} \approx 1.33)$: $\sin c = \frac{1.33}{1.5} \approx 0.887$,जिससे $c \approx 62.5^{\circ}$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि कांच से हवा में जाने पर क्रांतिक कोण छोटा होता है।
अतः,जब प्रकाश कांच से हवा में यात्रा करता है तो क्रांतिक कोण न्यूनतम होता है।

(D) कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = \frac{3}{2}$ है और जल का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{4}{3}$ है।
जब प्रकाश सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (जल) में जाता है,तो क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ होगा।

(A) माध्यम का अपवर्तनांक उस माध्यम में प्रकाश की गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई गति $v_{A} = 1.8 \times 10^{8} \ m/s$ और $v_{B} = 2.7 \times 10^{8} \ m/s$ है।
माध्यम $B$ के सापेक्ष माध्यम $A$ का अपवर्तनांक ${}_{B}\mu_{A} = \frac{\mu_{A}}{\mu_{B}} = \frac{v_{B}}{v_{A}}$ होता है।
मान रखने पर: ${}_{B}\mu_{A} = \frac{2.7 \times 10^{8}}{1.8 \times 10^{8}} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}$.
क्रांतिक कोण $C$ के लिए सूत्र $\sin C = \frac{1}{{}_{B}\mu_{A}}$ है।
इसलिए,$\sin C = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ है।

(A) प्रतिबिंब वास्तविक है और इसलिए उल्टा है।
अतः,आवर्धन $m = \frac{v}{u} = -n$,जिसका अर्थ है $u = -\frac{v}{n}$।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$u$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v} - (-\frac{n}{v}) = \frac{1}{f}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1+n}{v} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब की दूरी $v = f(n+1)$ है।

(D) गोलीय दर्पण के लिए,चिह्न परिपाटी के अनुसार आपतित प्रकाश की दिशा को धनात्मक लिया जाता है।
जब प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही बनता है,तो प्रतिबिंब दूरी $v$ ऋणात्मक होती है,जो वास्तविक प्रतिबिंब को दर्शाती है।
जब प्रतिबिंब वस्तु की विपरीत दिशा में (दर्पण के पीछे) बनता है,तो प्रतिबिंब दूरी $v$ धनात्मक होती है,जो आभासी प्रतिबिंब को दर्शाती है।
अतः,वस्तु की ओर बनने वाले प्रतिबिंब वास्तविक होते हैं और विपरीत दिशा में बनने वाले प्रतिबिंब आभासी होते हैं।

(C) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र है: $m = \frac{f_o}{f_e}$,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
यदि नेत्रिका की फोकस दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो नई फोकस दूरी $f_e' = 2f_e$ हो जाएगी।
नई आवर्धन क्षमता $(m')$ होगी: $m' = \frac{f_o}{f_e'} = \frac{f_o}{2f_e} = \frac{1}{2} \left( \frac{f_o}{f_e} \right) = \frac{m}{2}$.
अतः,आवर्धन क्षमता मूल मान की आधी हो जाएगी।

(C) जब प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D = 25 \ cm)$ पर बनता है,तो एक सरल सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र है:
$M = 1 + \frac{D}{f}$
यहाँ,फोकस दूरी $f = 5 \ cm$ और $D = 25 \ cm$ दी गई है।
मान रखने पर:
$M = 1 + \frac{25}{5}$
$M = 1 + 5 = 6$
अतः,आवर्धन क्षमता $6$ है।

(B) एक सरल सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र $M = 1 + \frac{D}{f}$ है, जहाँ $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है और $f$ लेंस की फोकस दूरी है。
कॉची के सूत्र के अनुसार, पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है, जहाँ $\mu \propto \frac{1}{\lambda^2}$। चूंकि लाल प्रकाश का तरंगदैर्घ्य $(\lambda_r)$ नीले प्रकाश के तरंगदैर्घ्य $(\lambda_b)$ से अधिक होता है, इसलिए लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक नीले प्रकाश की तुलना में कम होता है $(\mu_r < \mu_b)$。
लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ से, हम देख सकते हैं कि $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$। चूंकि $\mu_r < \mu_b$, इसलिए $f_r > f_b$ होता है。
चूंकि आवर्धन क्षमता $M = 1 + \frac{D}{f}$ है, फोकस दूरी $(f)$ में वृद्धि होने से आवर्धन क्षमता में कमी आती है। इसलिए, नीले प्रकाश से लाल प्रकाश में बदलने पर आवर्धन क्षमता घट जाती है।

(C) सूक्ष्मदर्शी के अभिदृश्यक (objective) का संख्यात्मक द्वारक $(NA)$ सूत्र $NA = \mu \sin \alpha$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है,और $\alpha$ वस्तु से अभिदृश्यक लेंस में प्रवेश करने वाले प्रकाश के शंकु का अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण (semi-vertical angle) है। अतः,सही निरूपण $\mu \sin \alpha$ है।

(A) खगोलीय टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र $M = \frac{f_o}{f_e}$ है,जहाँ $f_o$ ऑब्जेक्टिव लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ आईपीस लेंस की फोकस दूरी है।
उच्च आवर्धन क्षमता प्राप्त करने के लिए,अंश $(f_o)$ बड़ा होना चाहिए और हर $(f_e)$ छोटा होना चाहिए।
इसलिए,ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी बड़ी और आईपीस की फोकस दूरी छोटी होनी चाहिए।

(C) टेलीस्कोप के लिए,लंबाई $L = f_{o} + f_{e} = 10 \ cm$ होती है।
आवर्धन क्षमता $M = \frac{f_{o}}{f_{e}} = 4$ है।
दूसरे समीकरण से,$f_{o} = 4f_{e}$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $4f_{e} + f_{e} = 10 \ cm$,जिससे $5f_{e} = 10 \ cm$ मिलता है,अतः $f_{e} = 2 \ cm$।
तब,$f_{o} = 4 \times 2 \ cm = 8 \ cm$।
इस प्रकार,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $8 \ cm$ $(L_{4})$ है और नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $2 \ cm$ $(L_{1})$ है।
अतः,अभिदृश्यक और नेत्रिका लेंस क्रमशः $L_{4}$ और $L_{1}$ हैं।

(D) किसी प्रकाशिक यंत्र की विभेदन क्षमता $(RP)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
दिया गया है: $\lambda_A = 4500 \, \text{Å}$ और $\lambda_B = 6000 \, \text{Å}$।
$A$ और $B$ की विभेदन क्षमता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{RP_A}{RP_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{6000 \, \text{Å}}{4500 \, \text{Å}} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3}$।
अतः, अनुपात $4:3$ है।

(D) सामान्य समायोजन (normal adjustment) में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,ट्यूब की लंबाई $L$,अभिदृश्यक लेंस $(f_o)$ और नेत्रिका $(f_e)$ की फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है:
$L = f_o + f_e$.
यहाँ $L = 50 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $f_o + f_e = 50 \ cm$.
खगोलीय दूरदर्शी में,अभिदृश्यक और नेत्रिका दोनों उत्तल लेंस होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी फोकस दूरियाँ धनात्मक होती हैं।
इसके अतिरिक्त,उच्च आवर्धन के लिए,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o$ आमतौर पर नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e$ से काफी बड़ी होती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$f_o = 45 \ cm$ और $f_e = 5 \ cm$ समीकरण $f_o + f_e = 50 \ cm$ को संतुष्ट करते हैं और दोनों धनात्मक हैं।

(A) खगोलीय दूरदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र है: $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$,जहाँ $a$ अभिदृश्यक लेंस का द्वारक (व्यास) है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
$1$. प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ स्रोत पर निर्भर करती है और यह लेंस के द्वारक से स्वतंत्र है। अतः,यह प्रभावित नहीं होती है।
$2$. अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f)$ उसकी वक्रता और अपवर्तनांक द्वारा निर्धारित होती है,जो केवल द्वारक (व्यास) बढ़ाने से नहीं बदलती है। अतः,यह प्रभावित नहीं होती है।
$3$. सूत्र $RP \propto a$ से स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता द्वारक $a$ के सीधे समानुपाती होती है। इसलिए,द्वारक बढ़ाने पर विभेदन क्षमता बढ़ती है।
अतः,सही क्रम है: प्रभावित नहीं होता,प्रभावित नहीं होता,बढ़ता है।

(A) एक सरल सूक्ष्मदर्शी कम फोकस दूरी $(f)$ वाले उत्तल लेंस से बना होता है।
आवर्धित,आभासी और सीधा प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,वस्तु को उत्तल लेंस के प्रकाशिक केंद्र $(O)$ और मुख्य फोकस $(F)$ के बीच रखा जाना चाहिए।
जब प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D)$ पर बनता है,तो आवर्धन $m = 1 + D/f$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,वस्तु के लिए सही स्थिति मुख्य फोकस और प्रकाशिक केंद्र के बीच है।

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = A(n - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,कुल विचलन शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि पहले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन दूसरे प्रिज्म द्वारा विपरीत दिशा में उत्पन्न विचलन के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$\delta_{1} = \delta_{2}$।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A_{1}(n_{1} - 1) = A_{2}(n_{2} - 1)$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A_{1} = 4^{\circ}$,$n_{1} = 1.54$,और $n_{2} = 1.72$ दिया गया है।
$4(1.54 - 1) = A_{2}(1.72 - 1)$।
$4 \times 0.54 = A_{2} \times 0.72$।
$A_{2} = \frac{4 \times 0.54}{0.72} = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$।