MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तार समान हैं,इसलिए दोनों के लिए $\mu$ समान है।
पहले तार के लिए: $N = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$
दूसरे तार के लिए: $1.5N = \frac{1}{2(2\ell)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{N}{1.5N} = \frac{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}}{\frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}}$
$\frac{1}{1.5} = \frac{4\ell}{2\ell} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\frac{1}{1.5} = 2 \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \frac{1}{1.5 \times 2} = \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{9}$.

(C) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$,जहाँ $T$ तनाव है,$\ell$ लंबाई है और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,$n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
जब तनाव को $8 \ N$ से बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 8$ हो जाता है। नई आवृत्ति $3n$ है।
अतः,$3n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T+8}{m}}$.
दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{3n}{n} = \frac{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T+8}{m}}}{\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}}$
$3 = \sqrt{\frac{T+8}{T}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = \frac{T+8}{T}$
$9T = T + 8$
$8T = 8$
$T = 1 \ N$.

(A) सोनोमीटर के तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है। चूँकि $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होगा।
हवा में,तनाव $T_1 = mg = V \varrho g$ है,जहाँ $V$ भार का आयतन है और $\varrho$ इसका विशिष्ट गुरुत्व है।
जब भार को पानी में डुबोया जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल (buoyant force) कार्य करता है। प्रभावी तनाव $T_2 = V(\varrho - 1)g$ हो जाता है (चूँकि पानी का घनत्व $1 \text{ g/cm}^3$ है)।
आवृत्तियों का अनुपात लेने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{V(\varrho - 1)g}{V \varrho g}} = \sqrt{\frac{\varrho - 1}{\varrho}}$.
अतः,नई आवृत्ति $n_2 = n \sqrt{\frac{\varrho - 1}{\varrho}}$ होगी।

(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{L}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ है और नई लंबाई $L_2 = L + 0.25L = 1.25L$ है।
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 50 \ Hz$ है।
नई मूल आवृत्ति $n_2$ के लिए,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2 = 0.8 \times 50 \ Hz = 40 \ Hz$ है।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $2n$ है। प्रारंभ में,$2n_1 = 2 \times 50 = 100 \ Hz$। अंत में,$2n_2 = 2 \times 40 = 80 \ Hz$।
आवृत्ति में परिवर्तन $100 \ Hz - 80 \ Hz = 20 \ Hz$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{20}{100} \times 100 \% = 20 \%$ है।

(D) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $l$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T$ है और अंतिम तनाव $T + 3$ है।
दिया गया है कि आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,इसलिए $n_2 = 2n_1$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T}{T+3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{T}{T+3}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $T + 3 = 4T$.
$3 = 3T$,जिससे $T = 1 \ kg$ प्राप्त होता है।

(B) एक दृढ़ छड़ से जुड़े द्रव्यमान के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
निचले बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ है (निचले बिंदु को संदर्भ स्तर के रूप में लेते हुए)।
शीर्ष बिंदु पर,ऊँचाई $h = 2L$ है और वेग $v_{top} = 0$ हो सकता है क्योंकि छड़ सहारा प्रदान करती है (डोरी के विपरीत)।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$E_{bottom} = E_{top}$
$\frac{1}{2} mv^2 = mg(2L) + \frac{1}{2} m(v_{top})^2$
न्यूनतम वेग के लिए,हम $v_{top} = 0$ रखते हैं:
$\frac{1}{2} mv^2 = 2mgL$
$v^2 = 4gL$
$v = 2 \sqrt{gL}$

(B) शंकु लोलक (कोनिकल पेंडुलम) के लिए, गोलक पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. ऊर्ध्वाधर घटक $T \cos \phi$ गोलक के भार को संतुलित करता है: $T \cos \phi = mg$.
$2$. क्षैतिज घटक $T \sin \phi$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \phi = \frac{mv^{2}}{R}$.
दिया है:
द्रव्यमान $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$
तनाव $T = 10 \,N$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^{2}$
ऊर्ध्वाधर संतुलन समीकरण से:
$\cos \phi = \frac{mg}{T}$
$\cos \phi = \frac{0.1 \,kg \times 10 \,m/s^{2}}{10 \,N}$
$\cos \phi = \frac{1}{10} = 0.1$
अतः, कोण $\phi = \cos^{-1}(0.1)$.

(A) $F$ बल द्वारा खींची गई स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $W = \frac{F^{2}}{2k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
$K$ नियतांक वाली पहली स्प्रिंग के लिए,संचित ऊर्जा $W_{1} = \frac{F^{2}}{2K}$ है।
$2K$ नियतांक वाली दूसरी स्प्रिंग के लिए,संचित ऊर्जा $W_{2} = \frac{F^{2}}{2(2K)} = \frac{F^{2}}{4K}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $W_{1} = \frac{F^{2}}{2K}$ और $W_{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{F^{2}}{2K} \right) = \frac{W_{1}}{2}$ है।
अतः,$W_{1} = 2W_{2}$।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E.$
चूंकि पिंड विराम अवस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
$W = K.E._{final} - 0 = K.E._{final}$
एक नियत बल $F$ द्वारा $d$ दूरी तय करने में किया गया कार्य $W = F \cdot d$ होता है।
अतः,$K.E. = F \cdot d$।
चूंकि बल $F$ और दूरी $d$ नियत हैं,इसलिए प्राप्त गतिज ऊर्जा पिंड के द्रव्यमान $M$ से स्वतंत्र है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों द्रव्यमानों की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_1 = K_2$ होगा।
गतिज ऊर्जा का सूत्र रखने पर,हमें $\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ प्राप्त होता है।
संवेगों के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,संवेगों का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होता है।
यहाँ $m_1 = 1 \ g$ और $m_2 = 4 \ g$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,उनके संवेगों का अनुपात $1: 2$ है।

(C) चिकने नत समतल पर फिसलने वाली वस्तु के लिए,स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$v = \sqrt{2gh}$।
खुरदरे नत समतल पर लुढ़कने वाले गोले के लिए,स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित हो जाती है। नीचे वेग $v_{CM} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \sqrt{2gh}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{CM} = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$ प्राप्त होता है।
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ होता है।
यह मान रखने पर,$v_{CM} = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{2}{5}}} = \frac{v}{\sqrt{\frac{7}{5}}} = \sqrt{\frac{5}{7}} v$।

(D) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$K = \frac{p^2}{2m}$
संवेग के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p = \sqrt{2mK}$
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए संवेग $p$ द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है:
$p \propto \sqrt{m}$
चूंकि भारी पिंड का द्रव्यमान $m$ हल्के पिंड की तुलना में अधिक होता है,इसलिए इसका संवेग $p$ भी अधिक होगा।

(C) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
इस स्थिति में,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर कार्य करता है,जो क्षैतिज सतह के लंबवत है।
ब्लॉक का विस्थापन $s$ क्षैतिज सतह के अनुदिश है।
अतः,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और विस्थापन $s$ के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
चूँकि $\cos 90^\circ = 0$ होता है,इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया द्वारा किया गया कार्य $W = Ns \cos 90^\circ = 0$ होगा।

(C) एक स्थिर बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
सबसे पहले,विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ की गणना करें।
$\vec{d} = (6 - 3) \hat{\imath} + (-1 - 2) \hat{\jmath} + (4 - (-1)) \hat{k} = 3 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k} \text{ m}$.
अब,किए गए कार्य की गणना करें:
$W = (5 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}) \cdot (3 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath} + 5 \hat{k})$.
$W = (5 \times 3) + (-2 \times -3) + (3 \times 5) = 15 + 6 + 15 = 36 \text{ J}$.