MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) गैस के अणुओं के वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग का सूत्र $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $C \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक वेग $C = 200 \,m/s$ है, जहाँ तापमान $T$ और आणविक भार $M$ है।
नई शर्तों के अनुसार: $T' = \frac{T}{2}$ और $M' = 2M$.
नया $RMS$ वेग $C'$ अनुपात द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$\frac{C'}{C} = \sqrt{\frac{T'}{T} \times \frac{M}{M'}} = \sqrt{\frac{T/2}{T} \times \frac{M}{2M}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः, $C' = \frac{C}{2} = \frac{200}{2} = 100 \,m/s$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \text{ kg}$, स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.5$, गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.4$, आरोपित बल $F = 4 \text{ N}$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$.
सबसे पहले, अधिकतम स्थैतिक घर्षण (सीमांत घर्षण) $f_{s, \text{max}} = \mu_s N$ की गणना करें, जहाँ $N = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$ है।
$f_{s, \text{max}} = 0.5 \times 40 = 20 \text{ N}$.
चूँकि आरोपित बल $F = 4 \text{ N}$ सीमांत घर्षण $f_{s, \text{max}} = 20 \text{ N}$ से कम है, इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
स्थैतिक घर्षण के नियमों के अनुसार, यदि आरोपित बल सीमांत घर्षण से कम है, तो स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ आरोपित बल $F$ के बराबर होता है।
अतः, $f_s = F = 4 \text{ N}$.

(A) सतह ब्लॉक पर दो बल लगाती है: अभिलंब बल $(N)$ जो लंबवत ऊपर की ओर कार्य करता है और गतिज घर्षण बल $(f_{k})$ जो गति की दिशा के विपरीत क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
$1$. अभिलंब बल $N = mg$ है।
$2$. गतिज घर्षण बल $f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$ है।
$3$. सतह द्वारा लगाया गया कुल बल $(F_{net})$ अभिलंब बल और घर्षण बल का सदिश योग है:
$F_{net} = \sqrt{N^{2} + f_{k}^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (\mu_{k} mg)^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} (1 + \mu_{k}^{2})}$
$F_{net} = mg \sqrt{1 + \mu_{k}^{2}}$
$F_{net} = mg(1 + \mu_{k}^{2})^{1/2}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) ब्लॉक का प्रारंभिक संवेग $P = Mu$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है। अतः,$u = \frac{P}{M}$.
चूँकि सतह खुरदरी है,ब्लॉक पर घर्षण बल $f = \mu N = \mu Mg$ कार्य करता है।
मंदक त्वरण (deceleration) $a = \frac{f}{M} = \frac{\mu Mg}{M} = \mu g$ है।
गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} - 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = 0$ (रुकने पर अंतिम वेग):
$0 = u^{2} - 2as$
$2as = u^{2}$
$s = \frac{u^{2}}{2a}$
$u = \frac{P}{M}$ और $a = \mu g$ का मान रखने पर:
$s = \frac{(\frac{P}{M})^{2}}{2 \mu g} = \frac{P^{2}}{M^{2} \cdot 2 \mu g} = \frac{P^{2}}{2 \mu M^{2} g}$.

(D) बेलनाकार दीवार के अंदर एक क्षैतिज वृत्त में गति कर रहे मोटरसाइकिल सवार पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $(mg)$।
$2$. केंद्र की ओर क्षैतिज रूप से कार्य करने वाला अभिलंब बल $(N)$,जो आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $N = \frac{mv^2}{r}$।
$3$. ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $(f)$,जो फिसलने से रोकने के लिए भार को संतुलित करता है: $f = mg$।
मोटरसाइकिल सवार के फिसलने से बचने के लिए,घर्षण बल सीमांत घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $f \le \mu N$।
मान रखने पर: $mg \le \mu \left(\frac{mv^2}{r}\right)$।
$g \le \frac{\mu v^2}{r}$।
$v^2 \ge \frac{rg}{\mu}$।
अतः,न्यूनतम गति $v_{min} = \sqrt{\frac{rg}{\mu}}$ है।

(C) बच्चा स्थिर अवस्था से अचर स्पर्शरेखीय त्वरण $a$ के साथ दौड़ना शुरू करता है। $t$ समय बाद,स्पर्शरेखीय वेग $v = at$ होता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{(at)^2}{r} = \frac{a^2 t^2}{r}$ है।
बच्चे द्वारा अनुभव किया गया कुल त्वरण $a_{net}$ स्पर्शरेखीय और त्रिज्यीय त्वरण का सदिश योग है: $a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a^2 t^2}{r}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}}$.
फिसलना तब शुरू होता है जब आवश्यक घर्षण बल सीमांत घर्षण के बराबर हो जाता है,अर्थात $F_{net} = m a_{net} = \mu m g$.
अतः,$\mu g = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}} = \sqrt{\frac{a^2 r^2 + a^4 t^4}{r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{a^2 r^2 + a^4 t^4}$.
इसलिए,$\mu = \frac{[a^4 t^4 + a^2 r^2]^{1/2}}{r g}$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 4 \,m/s$, अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$, गतिज घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$ है।
पिंड पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, मंदन $a = -f/m = -\mu g$ होता है।
मान रखने पर: $a = -(0.2) \times 10 = -2 \,m/s^2$।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (4)^2 + 2(-2)s$
$0 = 16 - 4s$
$4s = 16$
$s = 4 \,m$।
अतः, विराम अवस्था में आने से पहले पिंड द्वारा तय की गई दूरी $4 \,m$ है।

(C) गैस द्वारा पटाखे पर लगाया गया बल गैस के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
गैस की द्रव्यमान दर,$\frac{dm}{dt} = 25 \text{ g/s} = 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$.
गैस का वेग,$v = 400 \text{ m/s}$.
बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$F = v \times \frac{dm}{dt}$
$F = 400 \text{ m/s} \times 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$
$F = 400 \times 0.025 \text{ N}$
$F = 10 \text{ N}$.

(D) दिया गया है कि पिंड शुरुआत में विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m}$ है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,समय $t$ पर वेग $v = u + at = 0 + \left(\frac{F}{m}\right)t = \frac{Ft}{m}$ है।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ है।
$v$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{Ft}{m}\right)^{2}$।
$K = \frac{1}{2}m \frac{F^{2}t^{2}}{m^{2}} = \frac{F^{2}t^{2}}{2m}$।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,किसी भी बिंदु पर डोरी में तनाव $T$ का मान $T = \frac{mv^2}{r} + mg cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ नीचे की ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ बना कोण है।
सबसे निचले बिंदु पर,$\theta = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$। तनाव $T_{low} = \frac{mv^2}{r} + mg$ होता है।
सबसे उच्चतम बिंदु पर,$\theta = 180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 180^{\circ} = -1$। तनाव $T_{high} = \frac{mv^2}{r} - mg$ होता है।
चूंकि तनाव वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर अधिकतम होता है,इसलिए इस स्थिति में तार के टूटने की संभावना सबसे अधिक होती है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) क्षैतिज वृत्ताकार गति में,डोरी में तनाव $T$ गेंद की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$m$ द्रव्यमान की गेंद जो $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग के साथ गति कर रही है,उसके लिए अभिकेंद्री बल $F_c = m r \omega^2$ होता है।
यहाँ,डोरी की लंबाई $\ell$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या के रूप में कार्य करती है $(r = \ell)$।
अतः,तनाव $T$ अभिकेंद्री बल के बराबर है:
$T = m \ell \omega^2$
$\omega$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\omega^2 = \frac{T}{m \ell}$
$\omega = \sqrt{\frac{T}{m \ell}}$

(A) बैंक्ड ट्रैक के लिए,बैंकिंग का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ द्वारा दिया जाता है।
ट्रैक की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{h}{\ell}$ होता है।
चूंकि बैंकिंग का कोण $\theta$ छोटा है,हम $\tan \theta \approx \sin \theta$ मान सकते हैं।
इसलिए,$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{\ell}$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = rg \left(\frac{h}{\ell}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,सुरक्षित गति सीमा $v = \sqrt{rg \left(\frac{h}{\ell}\right)}$ है।

(C) स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \alpha r$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = \frac{V^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण और त्रिज्यीय त्वरण का अनुपात $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{V^2 / r}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r^2}{V^2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना स्प्रिंग नियतांक $k$ है। जब $m$ द्रव्यमान को लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग में विस्तार $x_0 = L - \ell$ होता है।
साम्यावस्था में,स्प्रिंग बल भार को संतुलित करता है: $k(L - \ell) = mg$,जिसका अर्थ है $k/m = g / (L - \ell)$।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए गति का समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ है,जहाँ $\omega^2 = k/m$ है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\frac{d^2x}{dt^2} + P^2 x = 0$ से करने पर,हमें $P^2 = \omega^2 = k/m$ प्राप्त होता है।
$k/m$ का मान रखने पर,हमें $P^2 = \frac{g}{L - \ell}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = \sqrt{\frac{g}{L - \ell}}$।

(B) मान लीजिए कि सदिशों $\overrightarrow{P}$ और $\overrightarrow{Q}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
सदिश योग के नियम के अनुसार,परिणामी $R_{1}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$R_{1}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta$ --- $(1)$
जब $\overrightarrow{Q}$ की दिशा उलट दी जाती है,तो नया सदिश $-\overrightarrow{Q}$ प्राप्त होता है। $\overrightarrow{P}$ और $-\overrightarrow{Q}$ के बीच का कोण $(\pi - \theta)$ हो जाता है।
नए परिणामी $R_{2}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos(\pi - \theta)$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = (P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta) + (P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta)$
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = 2(P^{2} + Q^{2})$

(C) दिया गया है कि तीनों सदिशों का परिमाण समान है,$A = B = C$।
प्रथम स्थिति में,$\vec{A}$ और $\vec{C}$ के बीच का कोण $\alpha$ दिया गया है। चूंकि प्रथम स्थिति के लिए कोई विशिष्ट शर्त नहीं दी गई है,हम मानते हैं कि सदिश इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि वे एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
दूसरी स्थिति में,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ है। इसका अर्थ है कि जब सदिशों को एक-दूसरे के पीछे रखा जाता है,तो वे एक बंद समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
समबाहु त्रिभुज के आंतरिक कोण $60^{\circ}$ होते हैं।
हालाँकि,दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{C}$ के बीच का कोण उनकी पूंछों के बीच का कोण होता है।
यदि $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ है,तो $\vec{A} + \vec{C} = -\vec{B}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{A} + \vec{C}|^2 = |-\vec{B}|^2$।
$A^2 + C^2 + 2AC \cos(\beta) = B^2$।
चूंकि $A = B = C$ है,इसलिए $A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$।
$2A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$।
$2A^2 \cos(\beta) = -A^2$।
$\cos(\beta) = -1/2$।
अतः,$\beta = 120^{\circ}$।
प्रारंभिक स्थिति $\alpha$ सदिशों के बीच के कोण को दर्शाती है,जिसे सामान्यतः $60^{\circ}$ माना जाता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{60^{\circ}}{120^{\circ}} = \frac{1}{2}$।

(D) दिए गए सदिश $\vec{A}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$,$\vec{B}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}$,और $\vec{C}=2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश योग संबंध की जाँच करें:
$\vec{B}+\vec{C} = (\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}) + (2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}) = 3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k} = \vec{A}$.
इस प्रकार,$\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ संतुष्ट होता है।
अब,परिमाण के वर्गों की गणना करें:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$.
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$.
मानों को देखने पर,$B^2 = 35$ और $A^2 + C^2 = 14 + 21 = 35$.
इसलिए,$B^2 = A^2 + C^2$ संतुष्ट होता है।
अतः,सही विकल्प $\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ और $B^2=A^2+C^2$ है।

(A) माना सदिशों के परिमाण $A$ और $B$ हैं। दिया गया है कि $A + B = 8$,इसलिए $B = 8 - A$ है।
माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है,जिसका परिमाण $R = 4$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R}$,$\vec{A}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{A}$ और $\vec{R}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,हमें संबंध $B^2 = A^2 + R^2$ प्राप्त होता है।
$B = 8 - A$ और $R = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(8 - A)^2 = A^2 + 4^2$
$64 - 16A + A^2 = A^2 + 16$
$64 - 16 = 16A$
$48 = 16A$
$A = 3$।
अतः $B = 8 - 3 = 5$।
इस प्रकार,सदिशों के परिमाण $3$ और $5$ हैं।

(B) समान परिमाण $A$ वाले दो सदिशों के बीच $\theta$ कोण होने पर उनके परिणामी सदिश $R$ का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$ है।
यहाँ $R = \frac{2A}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{2A}{3} = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{4A^2}{9} = 2A^2(1 + \cos \theta)$.
दोनों पक्षों को $2A^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{9} = 1 + \cos \theta$.
$\cos \theta$ के लिए हल करने पर:
$\cos \theta = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2-9}{9} = -\frac{7}{9}$.
अतः,कोण $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{9}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दिए गए सदिश $\vec{B} = (\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+2 \hat{k})$ और $\vec{C} = (-2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-\hat{k})$ हैं।
इन सदिशों का योग $\vec{B} + \vec{C} = (1-2)\hat{\imath} + (-2+1)\hat{\jmath} + (2-1)\hat{k} = -\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = \hat{\jmath}$ ($y$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश)।
योग का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{A} + (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath}$।
$\vec{A}$ के लिए हल करने पर: $\vec{A} = \hat{\jmath} - (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath} + \hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k} = \hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - \hat{k}$।
$\vec{A}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F_1}$ और $\vec{F_2}$ हैं,जहाँ $|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = R$ है। परिणामी बल का परिमाण $|\vec{R_{res}}| = \sqrt{R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\vec{R_{res}}| = \frac{R}{2}$,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$\frac{R^2}{4} = 2R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$R^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{4} = 2 + 2 \cos \theta$.
$\frac{1}{4} - 2 = 2 \cos \theta$.
$-\frac{7}{4} = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{7}{8}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)$.

(D) दिया गया है कि $\hat{a}_{1}$ और $\hat{a}_{2}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}_{1}| = 1$ और $|\hat{a}_{2}| = 1$.
दिया गया है $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}| = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
$(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) = 3 \implies |\hat{a}_{1}|^2 + |\hat{a}_{2}|^2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3$.
$1 + 1 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies 2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies \hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2} = -1/2$.
अब,हमें $(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (2\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2})$ का मान ज्ञात करना है।
$= 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{1}) - (\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) - 2(\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{1}) + (\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{2})$.
$= 2(1) - 3(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) + 1$.
$= 3 - 3(-1/2) = 3 + 3/2 = 9/2 = 4.5$.

(D) दिया गया सदिश $\vec{B} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
$y$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{j} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{B}$ और $y$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{B} \cdot \hat{j}}{|\vec{B}| |\hat{j}|}$ है।
सबसे पहले,$\vec{B}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$।
$\hat{j}$ का परिमाण $1$ है।
डॉट गुणनफल $\vec{B} \cdot \hat{j} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 2$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \times 1} = \frac{2}{\sqrt{29}}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)$।

(A) दी गई शर्त $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ से।
डॉट और क्रॉस गुणन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$AB \cos \theta = AB \sin \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $AB$ से विभाजित करने पर,$\cos \theta = \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 1$।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$ रेडियन है।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos 45^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \times \frac{1}{\sqrt{2}}}$।
सरल करने पर,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + \sqrt{2} AB}$ प्राप्त होता है।

(D) यदि दो सदिश एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,तो उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होता है।
दिए गए सदिश $A = 2i + 2j + 3k$ और $B = 3i + 6j + nk$ हैं।
अदिश गुणनफल $A \cdot B = (2)(3) + (2)(6) + (3)(n) = 0$ होगा।
पदों की गणना करने पर: $6 + 12 + 3n = 0$.
$18 + 3n = 0$.
$3n = -18$.
$n = -6$.
अतः,$n$ का मान $-6$ है।

(D) दो सदिश $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
दिया है $\overrightarrow{A} = a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}$ और $\overrightarrow{B} = b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}) \cdot (b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$.
इसका अर्थ है $a_{1}b_{1} = -a_{2}b_{2}$.
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{a_{1}}{b_{2}} = -\frac{a_{2}}{b_{1}}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना प्रत्येक सदिश का परिमाण $A$ है। परिणामी सदिश $R$ भी $A$ के बराबर है।
दो सदिशों के परिणामी का सूत्र उपयोग करने पर: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos \theta}$.
चूंकि $R = A$ दिया गया है,इसलिए $A = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$.
$A^2$ से भाग देने पर: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
$\cos \theta = -1/2$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(-0.5) = 120^{\circ}$.

(C) परिणामी बल ज्ञात करने के लिए,हम सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हैं:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
दिया गया है: $F_1 = 1 \ N$,$F_2 = 1 \ N$,और $\theta = 60^{\circ}$.
मान रखने पर:
$F_{\text{net}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$
$F_{\text{net}} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$:
$a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ m/s^2$.
मान की गणना करने पर:
$a = \frac{1.732}{2} = 0.866 \ m/s^2$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\sqrt{0.75} \approx 0.866$.
अतः,सही विकल्प $\sqrt{0.75}$ है।

(C) मान लीजिए सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं। परिणामी सदिश $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
$\vec{C}$ का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल लेने पर,हमें $C^2 = A^2 + B^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}$ प्राप्त होता है।
जब $\vec{B}$ का परिमाण दोगुना किया जाता है,तो नया परिणामी सदिश $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि $\vec{C}'$,$\vec{A}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{A} \cdot \vec{C}' = 0$ होगा।
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$।
इसका अर्थ है कि $2\vec{A} \cdot \vec{B} = -A^2$।
इस मान को $C^2$ के समीकरण में रखने पर:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$।
अतः,$\vec{C}$ का परिमाण $B$ है।

(B) दिया गया है कि सदिश $\vec{P}$ के घटक $P_x = 1$ और $P_y = 3$ हैं। अतः,$\vec{P} = 1\hat{i} + 3\hat{j}$ है।
माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ है। $\vec{R}$ के घटक $R_x = 5$ और $R_y = 6$ दिए गए हैं। अतः,$\vec{R} = 5\hat{i} + 6\hat{j}$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{Q} = \vec{R} - \vec{P}$ होता है।
मान रखने पर: $\vec{Q} = (5\hat{i} + 6\hat{j}) - (1\hat{i} + 3\hat{j}) = (5-1)\hat{i} + (6-3)\hat{j} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$।
$\vec{Q}$ का परिमाण $|\vec{Q}| = \sqrt{Q_x^2 + Q_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए कि सदिशों $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
सदिश योग के नियम के अनुसार,परिणामी $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ है।
परिमाण का वर्ग $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ है ... $(1)$
जब $\vec{Q}$ की दिशा उलट दी जाती है,तो नया सदिश $-\vec{Q}$ हो जाता है। नया परिणामी $\vec{S} = \vec{P} - \vec{Q}$ है।
परिमाण का वर्ग $S^2 = P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta$ है ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$R^2 + S^2 = (P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta) + (P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta)$
$R^2 + S^2 = 2(P^2 + Q^2)$
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) सदिश $\vec{A} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 12 \hat{k}$ दिया गया है।
सदिश $\vec{A}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
$x$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{i} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{A}$ और $x$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ डॉट प्रोडक्ट सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \hat{i}}{|\vec{A}| |\hat{i}|}$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\vec{A} \cdot \hat{i} = (4 \times 1) + (3 \times 0) + (12 \times 0) = 4$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{4}{13 \times 1} = \frac{4}{13}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{4}{13})$.

(C) मान लीजिए $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ एक समतल में दो सदिश हैं। उनका योग $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ एक सदिश है जो उसी समतल में स्थित है जिसमें $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ स्थित हैं।
सदिश गुणन (cross product) की परिभाषा के अनुसार,$\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ एक ऐसा सदिश है जो $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों को समाहित करने वाले समतल के लंबवत होता है।
चूंकि सदिश $(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ समतल में स्थित है और सदिश $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ समतल के लंबवत है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ है।
गणितीय रूप से,इन दो सदिशों का अदिश गुणन (dot product) है:
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) + \overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुण का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ और $\overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ होता है।
अतः,$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$,जो यह पुष्टि करता है कि सदिश परस्पर लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,जिनके परिमाण क्रमशः $A$ और $B$ हैं।
उनके योग का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta}$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
उनके अंतर का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta}$.
दिया गया है कि $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta = A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta$.
दोनों पक्षों से $A^{2}+B^{2}$ घटाने पर:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
$4AB \cos \theta = 0$.
चूँकि $A$ और $B$ सदिशों के परिमाण हैं,$A \neq 0$ और $B \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$.
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(D) द्रव्यमान पर कार्य करने वाला परिणामी बल $F_{net}$ सदिश योग के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F_{net} = \sqrt{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} \cos \theta}$.
यहाँ $F_{1} = 1 \,N$, $F_{2} = 1 \,N$, और $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
$F_{net} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$, इसलिए $F_{net} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \,N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $F = ma$, इसलिए त्वरण $a = F_{net} / m$.
यहाँ द्रव्यमान $m = 2 \sqrt{3} \,kg$ दिया गया है।
$a = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 0.5 \,m / s^{2}$.

(C) मान लीजिए $\vec{B} = B\hat{i}$ और $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$ है। दिया गया है $|\vec{A}| = 6$,इसलिए $A_x^2 + A_y^2 = 36$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B)\hat{i} + A_y\hat{j}$ $y$-अक्ष पर है,इसलिए इसका $x$-घटक शून्य होना चाहिए: $A_x + B = 0$,अतः $A_x = -B$ है।
$A_x = -B$ को परिमाण समीकरण में रखने पर: $(-B)^2 + A_y^2 = 36$,जिससे $A_y^2 = 36 - B^2$ प्राप्त होता है।
परिणामी सदिश $\vec{R} = A_y\hat{j}$ है,इसलिए इसका परिमाण $|\vec{R}| = |A_y| = \sqrt{36 - B^2}$ है।
दिया गया है $|\vec{R}| = 3B$,इसलिए $\sqrt{36 - B^2} = 3B$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $36 - B^2 = 9B^2$,जो सरल होकर $10B^2 = 36$ हो जाता है।
अतः,$B^2 = 3.6$,इसलिए $B = \sqrt{3.6}$ इकाई है।

(D) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{l^3}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम के अनुसार,घनत्व में सापेक्ष त्रुटि:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3 \frac{\Delta l}{l}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
यहाँ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1.5 \%$ और $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2.5 \%$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = 1.5 \% + 3 \times (2.5 \%)$
$= 1.5 \% + 7.5 \% = 9 \%$.

(C) घनत्व $(\rho)$ को द्रव्यमान $(M)$ और आयतन $(V)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। $L$ भुजा वाले घन के लिए,आयतन $V = L^3$ होता है।
इसलिए,$\rho = \frac{M}{L^3}$.
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$.
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3 \times (3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
अतः,घनत्व के मापन में अधिकतम त्रुटि $13 \%$ होगी।

(C) पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2}mv^2$।
गुणन और घात के लिए त्रुटि प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$KE$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta KE}{KE} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta KE}{KE} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$।
चूंकि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 2 \%$ और गति में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 3 \%$ दी गई है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$KE$ में प्रतिशत त्रुटि $= 2 \% + 2(3 \%) = 2 \% + 6 \% = 8 \%$।

(D) इकाई सदिश का परिमाण $1$ होता है।
दिया गया है $\overrightarrow{u} = 0.4 \hat{i} + 0.7 \hat{j} + c \hat{k}$।
परिमाण का सूत्र $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{(0.4)^2 + (0.7)^2 + c^2} = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $0.16 + 0.49 + c^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$0.65 + c^2 = 1$।
$c^2 = 1 - 0.65 = 0.35$।
अतः,$c = \sqrt{0.35}$।

(C) मान लीजिए कि केंद्र $O$ से समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबवत दूरी $r$ है।
बल $F$ के कारण बलाघूर्ण $\tau = F \cdot r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ घूर्णन अक्ष से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी है।
चित्र में बलों की दिशाओं को देखने पर,बल $\overrightarrow{F}_{1}$ और $\overrightarrow{F}_{2}$ बिंदु $O$ के परितः समान घूर्णन दिशा (जैसे दक्षिणावर्त) में बलाघूर्ण उत्पन्न करते हैं,जबकि $\overrightarrow{F}_{3}$ विपरीत दिशा (जैसे वामावर्त) में बलाघूर्ण उत्पन्न करता है।
बिंदु $O$ पर कुल बलाघूर्ण शून्य होने के लिए,बलाघूर्णों का योग शून्य होना चाहिए:
$\tau_{1} + \tau_{2} - \tau_{3} = 0$
$rF_{1} + rF_{2} - rF_{3} = 0$
$r$ से भाग देने पर (चूंकि $r \neq 0$):
$F_{1} + F_{2} - F_{3} = 0$
$F_{3} = F_{1} + F_{2}$

(D) माना इकाई सदिश $\hat{n} = a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}$ है और दिया गया सदिश $\vec{r} = \hat{\imath} + \hat{\jmath}$ है।
चूंकि $\hat{n}$,$\vec{r}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\hat{n} \cdot \vec{r} = 0$.
$(a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}) \cdot (\hat{\imath} + \hat{\jmath}) = a + b = 0$,जिसका अर्थ है $b = -a$.
चूंकि $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है: $\sqrt{a^2 + b^2} = 1$.
$b = -a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{a^2 + (-a)^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\sqrt{2a^2} = 1$ या $|a|\sqrt{2} = 1$ में सरल हो जाता है।
अतः,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यदि $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
यदि $a = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ विकल्प $D$ में उपलब्ध है।

(B) दिया गया है कि $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{A}$,सदिश $\vec{B}$ के लंबवत है।
दिया गया है कि $\vec{A} \cdot \vec{C} = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{A}$,सदिश $\vec{C}$ के लंबवत है।
चूंकि सदिश $\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए इसे $\vec{B}$ और $\vec{C}$ के सदिश गुणनफल (cross product) की दिशा के समांतर होना चाहिए।
सदिश गुणनफल $\vec{B} \times \vec{C}$ एक ऐसा सदिश प्रदान करता है जो $\vec{B}$ और $\vec{C}$ दोनों वाले तल के लंबवत होता है।
अतः,$\vec{A}$,$\vec{B} \times \vec{C}$ के समांतर है।

(D) एक सदिश $\vec{A}$ का दूसरे सदिश $\vec{B}$ की दिशा में घटक,$\vec{B}$ की दिशा में इकाई सदिश पर $\vec{A}$ के प्रक्षेप द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\hat{b}$,$\vec{B}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
$\vec{B}$ की दिशा में $\vec{A}$ का घटक $\vec{A} \cdot \hat{b}$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि $\hat{b} = \frac{\vec{B}}{|B|}$,इसे $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|B|}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया सदिश $\vec{P} = P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}$ है।
दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य हो,अर्थात $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$।
आइए विकल्प $B$ की जाँच करें: $\vec{Q} = Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j}$।
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}) \cdot (Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j})$
$= (P \sin \theta)(Q \cos \theta) + (-P \cos \theta)(Q \sin \theta)$
$= PQ \sin \theta \cos \theta - PQ \sin \theta \cos \theta = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश लंबवत हैं।

(C) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
'$h$' गहराई पर छेद '$A$' के लिए,वेग $V_A = \sqrt{2gh}$ है।
'$4h$' गहराई पर छेद '$B$' के लिए,वेग $V_B = \sqrt{2g(4h)} = 2\sqrt{2gh} = 2V_A$ है।
आयतन प्रवाह दर $(Q)$ $Q = A \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ '$A$' छेद का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों छेदों के लिए प्रवाह दर समान है: $Q_A = Q_B$।
$A_A \cdot V_A = A_B \cdot V_B$।
चूंकि छेद '$A$' '$L$' भुजा वाला एक वर्ग है,$A_A = L^2$।
चूंकि छेद '$B$' '$R$' त्रिज्या वाला एक वृत्त है,$A_B = \pi R^2$।
मान रखने पर: $L^2 \cdot V_A = (\pi R^2) \cdot (2V_A)$।
$L^2 = 2\pi R^2$।
$L = \sqrt{2\pi} \cdot R$।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
माना वर्गाकार छेद का क्षेत्रफल $A_1$ है और वृत्ताकार छेद का क्षेत्रफल $A_2$ है।
$A_1 = a^2$ और $A_2 = \pi r^2$ है।
आयतन प्रवाह दर $Q = A \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों छेदों के लिए आयतन प्रवाह दर समान है:
$A_1 \sqrt{2gy} = A_2 \sqrt{2g(16y)}$
$a^2 \sqrt{y} = (\pi r^2) \sqrt{16y}$
$a^2 \sqrt{y} = \pi r^2 (4 \sqrt{y})$
$a^2 = 4 \pi r^2$
$r^2 = \frac{a^2}{4 \pi}$
$r = \sqrt{\frac{a^2}{4 \pi}} = \frac{a}{2 \sqrt{\pi}}$

(C) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,असंपीड्य द्रव के लिए पाइप के किसी भी बिंदु पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और प्रवाह का वेग का गुणनफल स्थिर रहता है: $A_1 V_1 = A_2 V_2$।
यहाँ,$A_1$ पाइप का क्षेत्रफल है,$V$ पाइप में वेग है,$A_2$ नोजल का क्षेत्रफल है और $V_1$ नोजल पर वेग है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi (d/2)^2$ होता है,इसलिए $A \propto d^2$ होगा।
इसे सांतत्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $d^2 V = d_2^2 V_1$।
नोजल के व्यास $d_2$ के लिए हल करने पर: $d_2^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $d_2 = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$।

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$ होता है।
चूंकि प्रवाह की दर स्थिर है,यदि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ घटता है,तो वेग $V$ बढ़ जाता है।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,$P + \frac{1}{2}\rho V^{2} = \text{constant}$ होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि जैसे-जैसे वेग $V$ बढ़ता है,दबाव $P$ कम हो जाता है।
इसलिए,पाइप के सबसे संकरे हिस्से में,वेग अधिकतम होता है और दबाव न्यूनतम होता है।

(B) गतिमान तरल के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
पाइप के अंदर तरल के लिए,जब वेग शून्य होता है तो प्रारंभिक दबाव $P_{1}$ होता है।
जब वाल्व खोला जाता है,तो दबाव घटकर $P_{2}$ हो जाता है और तरल $v$ वेग प्राप्त कर लेता है।
पाइप के अंदर और निकास बिंदु के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_{1} + 0 = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v^{2} = \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}$
$v = \sqrt{\frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $n$ संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं,प्रत्येक की धारिता $C = 2 \mu F$ है। इस समांतर समूह की तुल्य धारिता $C_p = nC = 2n \mu F$ है।
माना ऐसे $m$ समूह श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। संधारित्रों की कुल संख्या $N = n \times m = 7$ है।
श्रेणीक्रम में ऐसे $m$ समूहों की तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{m}{C_p}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$C_{eq} = \frac{C_p}{m} = \frac{2n}{m}$.
दिया है $C_{eq} = \frac{10}{11} \mu F$,इसलिए $\frac{2n}{m} = \frac{10}{11}$,जो सरल होकर $\frac{n}{m} = \frac{5}{11}$ हो जाता है।
इसका अर्थ है $11n = 5m$। चूंकि कुल संधारित्रों की संख्या $7$ है,विकल्पों की जांच करने पर,$5$ श्रेणीक्रम और $2$ समांतर क्रम का संयोजन सबसे उपयुक्त परिणाम देता है।

(D) परिपथ आरेख से,संधारित्र $C_{1}$,$C_{2}$ और $C_{3}$ एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन संधारित्र $C_{4}$ के साथ समांतर क्रम में है।
दिया गया है: $C_{1} = C$,$C_{2} = 2C$,$C_{3} = 3C$,और $C_{4} = 4C$।
$C_{1}$,$C_{2}$ और $C_{3}$ के श्रेणीक्रम संयोजन की तुल्य धारिता इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
$\Rightarrow C_{eq} = \frac{6}{11}C$
श्रेणीक्रम संयोजन पर आवेश (जो प्रत्येक संधारित्र $C_{1}$,$C_{2}$ और $C_{3}$ के लिए समान है) है:
$Q_{series} = C_{eq} V = \frac{6}{11}CV$
चूंकि $C_{2}$ इस श्रेणी शाखा में है,इसलिए $C_{2}$ पर आवेश $Q_{2} = \frac{6}{11}CV$ है।
संधारित्र $C_{4}$ पर आवेश (जो बैटरी के साथ समांतर क्रम में है) है:
$Q_{4} = C_{4} V = (4C)V = 4CV$
$C_{2}$ और $C_{4}$ पर आवेशों का अनुपात है:
$\frac{Q_{2}}{Q_{4}} = \frac{\frac{6}{11}CV}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$

(B) $1$. सबसे पहले, $C$ और $2C$ के समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता ज्ञात करें। समानांतर क्रम में होने के कारण, $C_p = C + 2C = 3C$ होगा।
$2$. अब, यह संयोजन $(C_p = 3C)$ $3C$ धारिता वाले तीसरे संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है।
$3$. श्रेणी संयोजन की कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{3C} = \frac{2}{3C}$, इसलिए $C_{eq} = \frac{3C}{2}$।
$4$. स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = \frac{3CV}{2}$ है।
$5$. श्रेणी परिपथ में, प्रत्येक शाखा पर आवेश समान होता है। अतः, $3C$ संधारित्र पर आवेश $\frac{3CV}{2}$ है और समानांतर संयोजन $(C_p = 3C)$ पर भी आवेश $\frac{3CV}{2}$ है।
$6$. समानांतर संयोजन के लिए, दोनों संधारित्रों ($C$ और $2C$) पर वोल्टेज समान होता है। मान लीजिए यह वोल्टेज $V'$ है। $V' = \frac{Q_{parallel}}{C_p} = \frac{3CV/2}{3C} = \frac{V}{2}$।
$7$. $C$ धारिता वाले संधारित्र पर आवेश $q = C \times V' = C \times \frac{V}{2} = \frac{CV}{2}$ होगा।

(C) दिया गया है,परिणामी धारिता,$C_{eq} = 2 \mu F$।
चित्र से स्पष्ट है कि सभी पाँच संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों की तुल्य धारिता का सूत्र है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{5}{C}$
$C_{eq}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2 \mu F} = \frac{5}{C}$
$C = 5 \times 2 \mu F = 10 \mu F$
अतः,प्रत्येक संधारित्र की धारिता $10 \mu F$ है।

(A) माना $C_1 = 2 \mu F$,$C_2 = 4 \mu F$,और $C_3 = 6 \mu F$ है।
$C_1$ और $C_2$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6 \mu F$ है।
अब,$C_p$ और $C_3$ श्रेणी क्रम में हैं। पूरे परिपथ की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_p \times C_3}{C_p + C_3} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \mu F$ है।
बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$ है।
चूंकि $C_p$ और $C_3$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए समानांतर संयोजन $(C_p)$ पर भी आवेश $36 \mu C$ होगा।
यह आवेश $Q$,$C_1$ और $C_2$ के बीच उनकी धारिता के अनुपात में विभाजित होगा:
$Q_1 = Q \times \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) = 36 \mu C \times \left( \frac{2}{2 + 4} \right) = 36 \times \frac{2}{6} = 12 \mu C$.
अतः,$2 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $12 \mu C$ है।

(A) यह परिपथ एक $3 \mu F$ के संधारित्र से बना है जो दो $1.5 \mu F$ के संधारित्रों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,जो फिर एक अन्य $3 \mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
$1$. सबसे पहले,समानांतर में जुड़े दो $1.5 \mu F$ संधारित्रों की समतुल्य धारिता की गणना करें: $C_p = 1.5 \mu F + 1.5 \mu F = 3 \mu F$.
$2$. अब,परिपथ तीन $3 \mu F$ के संधारित्रों का श्रेणीक्रम संयोजन बन जाता है।
$3$. श्रेणीक्रम संयोजन के लिए समतुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$.
$4$. मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \mu F^{-1}$.
$5$. अतः,$C_{eq} = 1 \mu F$.

(C) रिपीटर एक रिसीवर और एक ट्रांसमीटर का संयोजन होता है।
यह ट्रांसमीटर से सिग्नल प्राप्त करता है,उसे प्रवर्धित (amplify) करता है और फिर गंतव्य तक पुनः प्रसारित करता है।
यह प्रक्रिया लंबी दूरी पर होने वाले सिग्नल के नुकसान (अटेन्युएशन) की भरपाई करती है,जिससे संचार प्रणाली की सीमा बढ़ जाती है।

(A) डिजिटल संकेत वे संकेत हैं जो डेटा को किसी भी समय असतत (discrete) मानों के अनुक्रम के रूप में दर्शाते हैं। एनालॉग संकेतों के विपरीत,जो निरंतर होते हैं,डिजिटल संकेतों में असतत चरणबद्ध मान होते हैं,जिन्हें आमतौर पर बाइनरी अंकों ($0$ और $1$) द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए,वे असतत चरणबद्ध मानों द्वारा पहचाने जाते हैं।

(B) एक मानक सुपरहेटरोडाइन रिसीवर ब्लॉक आरेख में,रिसीविंग एंटीना से आने वाला सिग्नल सबसे पहले कमजोर सिग्नल को बढ़ाने के लिए एक एम्पलीफायर (आमतौर पर $RF$ एम्पलीफायर) से गुजरता है।
इसके बाद,यह इंटरमीडिएट फ्रीक्वेंसी $(IF)$ स्टेज में जाता है,जहाँ फ्रीक्वेंसी को एक निचली,निश्चित इंटरमीडिएट फ्रीक्वेंसी में परिवर्तित किया जाता है।
$IF$ स्टेज के बाद,मूल संदेश सिग्नल को निकालने के लिए सिग्नल एक डिटेक्टर (डिमोड्यूलेटर) से गुजरता है।
अंत में,आउटपुट डिवाइस के लिए इसकी शक्ति बढ़ाने के लिए सिग्नल को ऑडियो एम्पलीफायर से गुजारा जाता है।
दिए गए आरेख को देखने पर:
- पहला बॉक्स '$Y$' एक एम्पलीफायर ($RF$ एम्पलीफायर) को दर्शाता है।
- दूसरा बॉक्स '$X$' $IF$ स्टेज को दर्शाता है।
- तीसरा बॉक्स डिटेक्टर है।
- चौथा बॉक्स '$Y$' एक एम्पलीफायर (ऑडियो एम्पलीफायर) को दर्शाता है।
इसलिए,'$X$' $IF$ स्टेज को दर्शाता है और '$Y$' एम्पलीफायर को दर्शाता है।

(B) रिपीटर एक ऐसा उपकरण है जो सिग्नल प्राप्त करता है,उसे एम्पलीफाई करता है और फिर संचार की सीमा को बढ़ाने के लिए उसे पुनः प्रसारित (retransmit) करता है। इसलिए,इसमें अनिवार्य रूप से सिग्नल प्राप्त करने के लिए एक रिसीवर और उसे आगे भेजने के लिए एक ट्रांसमीटर होता है। अतः,यह एक रिसीवर और एक ट्रांसमीटर का संयोजन है।

(B) दिया गया है:
मॉड्युलेटिंग सिग्नल की आवृत्ति,$f_m = 3 \text{ kHz} = 0.003 \text{ MHz}$.
वाहक तरंग की आवृत्ति,$f_c = 2.5 \text{ MHz} = 2500 \text{ kHz}$.
ऊपरी साइडबैंड आवृत्ति $(f_{USB})$ का सूत्र $f_c + f_m = 2500 \text{ kHz} + 3 \text{ kHz} = 2503 \text{ kHz}$ है।
निचली साइडबैंड आवृत्ति $(f_{LSB})$ का सूत्र $f_c - f_m = 2500 \text{ kHz} - 3 \text{ kHz} = 2497 \text{ kHz}$ है।
अतः,साइडबैंड आवृत्तियाँ $2503 \text{ kHz}$ और $2497 \text{ kHz}$ हैं।

(D) लाइन-ऑफ-साइट प्रसार के लिए रेंज $d$ का सूत्र $d = \sqrt{2Rh}$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ एंटीना की ऊंचाई है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $d \propto \sqrt{h}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक रेंज $d_1 = \sqrt{2Rh}$ है और प्रारंभिक ऊंचाई $h_1 = h$ है।
मान लीजिए नई ऊंचाई $h_2 = 2h$ है।
नई रेंज $d_2 = \sqrt{2Rh_2} = \sqrt{2R(2h)}$ होगी।
$d_2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2Rh} = \sqrt{2} d_1$.
अतः,यदि ऊंचाई को दोगुना कर दिया जाए,तो नई रेंज $\sqrt{2} d$ हो जाती है।

(D) आयाम मॉडुलन में,वाहक तरंग का आयाम मॉडुलन संकेत (सूचना संकेत) के तात्कालिक मान के अनुसार बदलता है,जबकि वाहक तरंग की आवृत्ति और कला (phase) स्थिर रहती है।

(D) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $(m_a)$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के पीक वोल्टेज $(V_m)$ और वाहक तरंग के पीक वोल्टेज $(V_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $m_a = \frac{V_m}{V_c}$
दिया गया है:
वाहक तरंग का पीक वोल्टेज $(V_c)$ = $16 \text{ V}$
मॉड्यूलेशन इंडेक्स $(m_a)$ = $75 \% = 0.75$
गणना:
$V_m = m_a \times V_c$
$V_m = 0.75 \times 16 \text{ V}$
$V_m = 12 \text{ V}$
अतः, मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का पीक वोल्टेज $12 \text{ V}$ है।

(C) कम आवृत्ति वाले ऑडियो सिग्नलों को लंबी दूरी तक सीधे प्रसारित नहीं किया जा सकता है क्योंकि इसके लिए अव्यावहारिक आकार के एंटेना की आवश्यकता होती है और उनमें सिग्नल का क्षय (attenuation) अधिक होता है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए,कम आवृत्ति वाले ऑडियो सिग्नल (बेसबैंड सिग्नल) को एक उच्च आवृत्ति वाली तरंग पर अध्यारोपित किया जाता है,जिसे वाहक तरंग (carrier wave) कहा जाता है। इस प्रक्रिया को मॉड्यूलेशन कहते हैं।

(A) एम्प्लीट्यूड मॉड्यूलेशन में,मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के आयाम और कैरियर तरंग के आयाम के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि $\mu > 1$ है,तो यह ओवर-मॉड्यूलेशन की ओर ले जाता है,जिससे सिग्नल में गंभीर विरूपण (distortion) उत्पन्न होता है। इसलिए,विरूपण से बचने के लिए,मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ को हमेशा $1$ से कम या उसके बराबर रखा जाता है (अर्थात,$\mu \le 1$)। अतः,यह कथन कि $\mu$ को एक से अधिक रखा जाता है,गलत है।

(A) $l$ लंबाई के एक रैखिक एंटीना के लिए (जहाँ $l \ll \lambda$),विकिरित शक्ति $P$ को संबंध $P \propto \frac{1}{\lambda^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका तात्पर्य यह है कि विकिरित शक्ति तरंगदैर्ध्य के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,विकिरित शक्ति कम हो जाती है।
अतः,सही आनुपातिकता $\lambda^{-2}$ है।

(A) मॉडेम का अर्थ है मॉड्यूलेटर-डीमॉड्यूलेटर।
अंतरिक्ष संचार की प्रक्रिया में,ट्रांसमिटिंग (प्रेषण) छोर पर,मॉडेम डिजिटल संकेतों को एनालॉग संकेतों में बदलने के लिए मॉड्यूलेटर के रूप में कार्य करता है।
रिसीविंग (प्राप्ति) छोर पर,मॉडेम प्राप्त एनालॉग संकेतों को वापस डिजिटल संकेतों में बदलने के लिए डीमॉड्यूलेटर के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,मॉडेम ट्रांसमिशन के दौरान मॉड्यूलेटर के रूप में और रिसेप्शन के दौरान डीमॉड्यूलेटर के रूप में कार्य करता है।

(B) दिए गए परिपथ में,दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं लेकिन विपरीत ध्रुवता के साथ।
परिपथ के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर,हम $200 \ V$ सेल से शुरू करते हैं और धारा की दिशा में चलते हैं:
$200 - I(38) - 10 = 0$
$190 - 38I = 0$
$38I = 190$
$I = \frac{190}{38} = 5 \ A$
अतः,परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $5 \ A$ है।

(B) $3 \mu F$ और $6 \mu F$ के संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ है।
यह $C_p$,$4.5 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। परिपथ की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{4.5 \times 9}{4.5 + 9} = \frac{40.5}{13.5} = 3 \mu F$ है।
$12 \text{ V}$ की बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$ है।
चूंकि $4.5 \mu F$ संधारित्र इस संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए इस पर आवेश कुल आवेश $Q = 36 \mu C$ के बराबर होगा।
अतः,$4.5 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_{4.5} = \frac{Q}{C} = \frac{36 \mu C}{4.5 \mu F} = 8 \text{ V}$ है।

(D) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 20 \ \Omega + 10 \ \Omega = 30 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{3 \ V}{30 \ \Omega} = 0.1 \ A$ है।
तार के सिरों के बीच विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.1 \ A \times 20 \ \Omega = 2 \ V$ है।
तार के अनुदिश विभव प्रवणता को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Potential gradient} = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2 \ V}{10 \ m} = 0.2 \ V/m$.

(D) जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करने पर:
दाएं जंक्शन पर: $I_{1} + I_{2} = I_{4}$
दिया गया है $I_{1} = -0.4 \text{ A}$ और $I_{4} = 1 \text{ A}$,इसलिए:
$-0.4 + I_{2} = 1 \implies I_{2} = 1.4 \text{ A}$
बाएं-नीचे के जंक्शन पर: $I_{5} = I_{3} + I_{4}$
दिया गया है $I_{5} = 0.4 \text{ A}$ और $I_{4} = 1 \text{ A}$,इसलिए:
$0.4 = I_{3} + 1 \implies I_{3} = -0.6 \text{ A}$
ऊपरी जंक्शन पर $KCL$ के अनुसार: $I_{6} = I_{1} + I_{2} + I_{3}$
मान रखने पर: $I_{6} = -0.4 + 1.4 + (-0.6) = 0.4 \text{ A}$
अतः,$I_{2} = 1.4 \text{ A}$,$I_{3} = -0.6 \text{ A}$,और $I_{6} = 0.4 \text{ A}$.

(C) धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $I = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q$ आवेश है और $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ कक्षीय वेग से गति करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,एक परिक्रमण में तय की गई दूरी परिधि $2 \pi r$ होती है।
अतः,आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2 \pi r}{v}$ होता है।
इस मान को धारा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{e}{T} = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
चूँकि $2 \pi$ एक नियतांक है,इसलिए $I \propto e^{1} v^{1} r^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ और पूर्ण-स्केल विक्षेपण वोल्टेज $V_g$ है। पूर्ण-स्केल धारा $I_g$ का मान $I_g = \frac{V_g}{G}$ होता है।
गैल्वेनोमीटर को $V$ रेंज के वोल्टमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R + G$ हो जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,नई रेंज $V$ के लिए,धारा $I_g$ समान रहती है:
$V = I_g(R + G)$
समीकरण में $I_g = \frac{V_g}{G}$ रखने पर:
$V = \left(\frac{V_g}{G}\right)(R + G)$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R+G}{G}$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R}{G} + 1$
$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$
$R = G\left(\frac{V}{V_g} - 1\right)$

(D) माना गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली प्रारंभिक धारा $I$ है। विक्षेप धारा के समानुपाती होता है,इसलिए गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली नई धारा $I' = I/2$ होगी।
समांतर परिपथ में धारा विभाजन के सिद्धांत के अनुसार,कुल धारा $I_{total}$ गैल्वेनोमीटर $G$ और शंट $X$ के बीच विभाजित होती है।
चूंकि $I_G = I/2$,शेष धारा शंट से प्रवाहित होगी: $I_X = I_{total} - I_G = I - I/2 = I/2$.
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समांतर में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा: $I_G \cdot G = I_X \cdot X$.
मान रखने पर: $(I/2) \cdot G = (I/2) \cdot X$.
अतः,$G = X$ या $X = G$.

(C) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर में,एक स्थायी चुंबक के अवतल आकार के ध्रुव टुकड़ों का उपयोग करके एक मजबूत रेडियल चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न किया जाता है। यह आंतरिक चुंबकीय क्षेत्र किसी भी बाहरी आवारा (stray) चुंबकीय क्षेत्र की तुलना में काफी अधिक शक्तिशाली होता है। इस उच्च तीव्रता के कारण,बाहरी आवारा चुंबकीय क्षेत्रों का प्रभाव नगण्य हो जाता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि कॉइल का विक्षेपण केवल उसमें बहने वाली विद्युत धारा पर निर्भर करता है।

(D) विभवमापी की सुग्राहिता को उस न्यूनतम विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे इसके द्वारा मापा जा सकता है।
सुग्राहिता विभव प्रवणता $(k = V/L)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
कम विभव प्रवणता का अर्थ है उच्च सुग्राहिता।
अतः, सुग्राहिता को कम करने के लिए, हमें तार के अनुदिश विभव प्रवणता को बढ़ाना होगा।
चूंकि विभव प्रवणता $k = I \cdot R/L$ होती है, इसलिए तार से बहने वाली धारा $(I)$ को बढ़ाने से विभव प्रवणता बढ़ जाती है, जिससे सुग्राहिता कम हो जाती है।

(B) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 100 \Omega$, शंट प्रतिरोध $S = 1 \Omega$, पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g = 10 \mu A = 10 \times 10^{-6} A$।
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए, शंट प्रतिरोध $S$ को समानांतर में जोड़ा जाता है।
पूर्ण-स्केल विक्षेप के लिए आवश्यक कुल धारा $I$ का सूत्र है: $I = I_g \left( \frac{G+S}{S} \right)$।
मान रखने पर: $I = 10 \mu A \left( \frac{100 + 1}{1} \right)$।
$I = 10 \mu A \times 101 = 1010 \mu A$।
मिलीएम्पियर में बदलने पर: $I = 1.01 \text{ mA}$।

(D) मान लीजिए कि तार के सिरों पर विभवांतर $V$ है। विभव प्रवणता $k = \frac{V}{L_{total}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति में,संतुलन लंबाई $l_1 = \frac{L}{5}$ है। e.m.f. $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$ है।
जब तार की लंबाई में $\frac{L}{2}$ की वृद्धि की जाती है,तो नई कुल लंबाई $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ हो जाती है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ है।
मान लीजिए कि नई संतुलन लंबाई $l_2$ है। अतः $E = k_2 l_2$।
$E$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{V}{5} = \frac{2V}{3L} \cdot l_2$।
$l_2$ के लिए हल करने पर: $l_2 = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$।

(D) विभवमापी में,संतुलन लंबाई $\ell$ सेल के टर्मिनल विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है।
ओपन सर्किट के लिए,संतुलन लंबाई $\ell_{1}$ सेल के e.m.f. $E$ के अनुरूप है: $E \propto \ell_{1}$.
जब सेल को बाहरी प्रतिरोध $R$ के साथ शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I = \frac{E}{R+r}$ है।
अतः,$V = E - \left(\frac{E}{R+r}\right)r = E\left(1 - \frac{r}{R+r}\right) = E\left(\frac{R}{R+r}\right)$.
नई संतुलन लंबाई $\ell_{2}$ टर्मिनल विभवांतर $V$ के अनुरूप है: $V \propto \ell_{2}$.
दिया गया है कि $\ell_{2} = \frac{\ell_{1}}{2}$,इसलिए $\frac{V}{E} = \frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{1}{2}$.
$V/E$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R}{R+r} = \frac{1}{2}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $2R = R + r$,जिससे $r = R$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $I$ कुल धारा है और $I_g$ गैल्वेनोमीटर (एमीटर कुंडली) से गुजरने वाली धारा है।
दिया गया है कि $I_g = 2 \% \text{ of } I = \frac{2}{100} I = \frac{1}{50} I$.
शंट परिपथ में धारा विभाजन का सूत्र $\frac{I_g}{I} = \frac{S}{S+R}$ है,जहाँ $S$ शंट प्रतिरोध है और $R$ कुंडली का प्रतिरोध है।
मान रखने पर: $\frac{1}{50} = \frac{S}{S+R}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $S + R = 50S$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $R = 50S - S = 49S$.
अतः,शंट प्रतिरोध $S = \frac{R}{49}$ है।

(D) सेल के आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ को ज्ञात करने के लिए पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,सेल $E_1$ को एक प्रतिरोध बॉक्स $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है।
जब परिपथ खुला होता है,तो संतुलन लंबाई $l_1$,$EMF$ $(E_1)$ के समानुपाती होती है: $E_1 = k l_1$।
जब परिपथ बंद होता है (प्रतिरोध $R$ जुड़ा होता है),तो संतुलन लंबाई $l_2$,टर्मिनल विभवांतर $(V)$ के समानुपाती होती है: $V = k l_2$।
आंतरिक प्रतिरोध का सूत्र इस प्रकार है: $r = R \left( \frac{E_1}{V} - 1 \right)$।
यहाँ,$E_1$ सेल का $EMF$ है,$V$ टर्मिनल विभवांतर है,और $R$ बाह्य प्रतिरोध है।

(D) तार का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ तार की लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर की कुंडली एक निश्चित लंबाई के तार से बनी होती है,इसलिए कुल लंबाई $L$ फेरों की संख्या $N$ के सीधे समानुपाती होती है $(L \propto N)$।
यदि फेरों की संख्या $N$ कम कर दी जाती है,तो कुंडली में उपयोग किए गए तार की कुल लंबाई $L$ कम हो जाती है।
चूंकि $R \propto L$,इसलिए लंबाई $L$ में कमी होने से गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R$ घट जाता है।

(D) माना कि $k$ विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल e.m.f. $(E_{1} + E_{2})$ होता है। संतुलन की स्थिति $(E_{1} + E_{2}) = k \ell_{1}$ है,जहाँ $\ell_{1} = 64 \ cm$ है।
जब $E_{2}$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो कुल e.m.f. $(E_{1} - E_{2})$ होता है। संतुलन की स्थिति $(E_{1} - E_{2}) = k \ell_{2}$ है,जहाँ $\ell_{2} = 32 \ cm$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{64}{32} = 2$.
$E_{1} + E_{2} = 2(E_{1} - E_{2})$.
$E_{1} + E_{2} = 2E_{1} - 2E_{2}$.
$3E_{2} = E_{1}$.
अतः,$\frac{E_{1}}{E_{2}} = 3: 1$.

(A) मान लीजिए कि $I_g$ गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा है।
प्रथम स्थिति के लिए,कुल प्रतिरोध $(200 + G)$ है,इसलिए वोल्टेज रेंज $V = I_g(200 + G)$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,रेंज तीन गुना हो जाती है,इसलिए $V' = 3V = I_g(2000 + G)$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{3V}{V} = \frac{I_g(2000 + G)}{I_g(200 + G)}$.
$3 = \frac{2000 + G}{200 + G}$.
$3(200 + G) = 2000 + G$.
$600 + 3G = 2000 + G$.
$2G = 1400$.
$G = 700 \Omega$.

(B) दिया गया है:
धारा सुग्राहिता,$S_I = \frac{d\theta}{dI} = 10 \text{ div./mA} = 10 \times 10^3 \text{ div./A}$.
वोल्टेज सुग्राहिता,$S_V = \frac{d\theta}{dV} = 4 \text{ div./mV} = 4 \times 10^3 \text{ div./V}$.
हम जानते हैं कि $V = IR$,इसलिए $dV = dI \times R$,जिसका अर्थ है $R = \frac{dV}{dI}$.
साथ ही,$S_V = \frac{d\theta}{dV} = \frac{d\theta}{dI \cdot R} = \frac{S_I}{R}$.
अतः,$R = \frac{S_I}{S_V} = \frac{10 \text{ div./mA}}{4 \text{ div./mV}} = \frac{10 \times 10^{-3} \text{ A}^{-1}}{4 \times 10^{-3} \text{ V}^{-1}} = \frac{10}{4} \Omega = 2.5 \Omega$.

(B) कुल प्रतिरोध $R_{total} = 495 \, \Omega + 5 \, \Omega = 500 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{500 \, \Omega} = 8 \times 10^{-3} \, A$ है।
पोटेंशियोमीटर तार के सिरों के बीच विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = 8 \times 10^{-3} \, A \times 5 \, \Omega = 40 \times 10^{-3} \, V$ है।
विभव प्रवणता $k$ को प्रति इकाई लंबाई विभव पतन के रूप में परिभाषित किया गया है: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{40 \times 10^{-3} \, V}{4 \, m} = 10 \times 10^{-3} \, V/m = 0.01 \, V/m$।

(D) चल कुंडली धारामापी की कुंडली पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = nABi \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ होता है। प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau_r = C \theta$ है,जहाँ $C$ निलंबन तार का मरोड़ी नियतांक है।
बल आघूर्णों को बराबर करने पर: $C \theta = nABi$।
धारा सुग्राहिता $S_i$ को प्रति इकाई धारा विक्षेप के रूप में परिभाषित किया जाता है: $S_i = \frac{\theta}{i} = \frac{nAB}{C}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि सुग्राहिता $S_i$ निलंबन तार के मरोड़ी नियतांक $C$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(D) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$ को $k = V/L$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
जब तार की लंबाई दोगुनी $(L' = 2L)$ की जाती है,तो विभव प्रवणता $k' = V/(2L) = k/2$ हो जाती है।
अज्ञात e.m.f. $E$ के लिए संतुलन की स्थिति $E = k \cdot l$ है,जहाँ $l$ संतुलन लंबाई है।
चूंकि $E$ स्थिर रहता है,इसलिए $k \cdot l = k' \cdot l'$.
$k' = k/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k \cdot l = (k/2) \cdot l'$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $l' = 2l$ मिलता है।
प्रारंभिक संतुलन लंबाई $l = 1.5 \,m$ दी गई है,इसलिए नई संतुलन लंबाई $l' = 2 \times 1.5 \,m = 3 \,m$ होगी।

(C) और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB} = E_{1}$ है। शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई $L_{AB} = 0.9 \ m$ है।
चूंकि $V \propto L$,हमारे पास $E_{1} = k \times 0.9$ है,जहां $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
$A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{AC} = E_{1} - E_{2}$ है। शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई $L_{AC} = 0.3 \ m$ है।
अतः,$E_{1} - E_{2} = k \times 0.3$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_{1}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{0.9}{0.3} = 3$।
$E_{1} = 3(E_{1} - E_{2})$
$E_{1} = 3E_{1} - 3E_{2}$
$3E_{2} = 2E_{1}$
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{2}{3}$।

(B) गैल्वेनोमीटर की संवेदनशीलता को प्रति इकाई धारा उत्पन्न विक्षेप के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $S = \frac{\theta}{I}$।
यह दिया गया है कि दोनों गैल्वेनोमीटर समान विक्षेप $\theta$ उत्पन्न करते हैं,इसलिए संवेदनशीलता आवश्यक धारा के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $S \propto \frac{1}{I}$।
$G_{1}$ के लिए,$I_{1} = 2 \ mA$,इसलिए $S_{1} = \frac{\theta}{2 \ mA}$।
$G_{2}$ के लिए,$I_{2} = 3 \ mA$,इसलिए $S_{2} = \frac{\theta}{3 \ mA}$।
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $I_{1} < I_{2}$,इसलिए $S_{1} > S_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$G_{1}$,$G_{2}$ की तुलना में अधिक संवेदनशील है।

(A) एमीटर का प्रतिरोध $G = 20 \Omega$ है और पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $i_g = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$ है।
$16 \Omega$ के चार प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हैं। तुल्य शंट प्रतिरोध $S$ इस प्रकार है: $\frac{1}{S} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \Omega^{-1}$।
अतः,$S = 4 \Omega$।
एमीटर के लिए,शंट प्रतिरोध $S$ को गैल्वेनोमीटर $G$ के समानांतर जोड़ा जाता है। मापी जाने वाली कुल धारा $i$,गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली $i_g$ और शंट से गुजरने वाली $i_s$ में विभाजित हो जाती है।
समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $i_s S = i_g G$ होता है।
$(i - i_g) S = i_g G$।
$(i - 10^{-3}) \times 4 = 10^{-3} \times 20$।
$i - 10^{-3} = \frac{20 \times 10^{-3}}{4} = 5 \times 10^{-3}$।
$i = 5 \times 10^{-3} + 1 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-3} \text{ A} = 6 \text{ mA}$।

(C) विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$, कुल विभवांतर $V$ और तार की कुल लंबाई $L$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
हमें दिया गया है कि सेल $l = 100 \,cm = 1 \,m$ की लंबाई पर संतुलित होता है।
सेल का विद्युत वाहक बल $E$, संतुलन लंबाई $l$ पर विभव पतन के बराबर होता है, जो $E = k \times l$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(C) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर $(G)$ के साथ समानांतर क्रम में एक छोटा प्रतिरोध जिसे शंट $(S)$ कहा जाता है,जोड़ा जाता है।
एमीटर का तुल्य प्रतिरोध $(R)$,$G$ और $S$ का समानांतर संयोजन है।
समानांतर प्रतिरोध के लिए सूत्र:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{G} + \frac{1}{S}$
लघुत्तम समापवर्त्य (common denominator) लेने पर:
$\frac{1}{R} = \frac{S + G}{GS}$
अतः,एमीटर का प्रतिरोध है:
$R = \frac{GS}{G + S}$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक $\frac{SG}{S+G}$ है,जो विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।

(D) एक प्रत्यक्ष पठन उपकरण मापी जाने वाली राशि का मान बिना किसी गणना या संतुलन प्रक्रिया के सीधे स्केल या डिस्प्ले पर प्रदान करता है।
$A$,$B$,और $C$ प्रत्यक्ष पठन उपकरण हैं क्योंकि वे परिणाम तुरंत दिखाते हैं।
पोटेंशियोमीटर एक नल-टाइप (null-type) उपकरण है। इसमें विभवांतर या $EMF$ को मापने के लिए एक संतुलन प्रक्रिया (नल पॉइंट खोजना) की आवश्यकता होती है,और अंतिम मान संतुलन लंबाई के आधार पर गणना करके प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,पोटेंशियोमीटर एक प्रत्यक्ष पठन उपकरण नहीं है।
सही विकल्प $D$ है।

(C) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r_{internal} = 3 \ \Omega + 8 \ \Omega + 1 \ \Omega = 12 \ \Omega$ है।
विभवमापी तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \ V}{12 \ \Omega} = \frac{1}{3} \ A$ है।
विभवमापी तार के सिरों पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{wire} = \frac{1}{3} \ A \times 3 \ \Omega = 1 \ V$ है।
तार की विभव प्रवणता (potential gradient) $K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{1 \ V}{100 \ cm} = 0.01 \ V/cm$ है।
$50 \ cm$ लंबाई पर संतुलित सेल का विद्युत वाहक बल $E = K \times \ell = 0.01 \ V/cm \times 50 \ cm = 0.50 \ V$ है।

(D) धारा सुग्राहिता $I_{s} = \frac{NBA}{k}$ है।
वोल्टेज सुग्राहिता $V_{s} = \frac{I_{s}}{R} = \frac{NBA}{kR}$ है।
यहाँ $k_{1} = k_{2} = k$ दिया गया है।
धारा सुग्राहिता का अनुपात $\frac{I_{s2}}{I_{s1}} = \frac{N_{2}B_{2}A_{2}}{N_{1}B_{1}A_{1}} = \frac{42 \times 0.50 \times 1.8 \times 10^{-2}}{30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}} = \frac{37.8 \times 10^{-2}}{27 \times 10^{-3}} = 1.4$ है।
वोल्टेज सुग्राहिता का अनुपात $\frac{V_{s2}}{V_{s1}} = \frac{I_{s2}}{I_{s1}} \times \frac{R_{1}}{R_{2}} = 1.4 \times \frac{10}{14} = 1.4 \times \frac{1}{1.4} = 1$ है।
अतः,अनुपात $1.4: 1$ और $1: 1$ है।

(D) पोटेंशियोमीटर सर्किट में,जब दो सेल एक-दूसरे की सहायता करने के लिए जुड़े होते हैं,तो संतुलन लंबाई $\ell_{1}$,$(E_{1} + E_{2})$ के समानुपाती होती है। अतः,$E_{1} + E_{2} = k \ell_{1}$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब वे एक-दूसरे का विरोध करने के लिए जुड़े होते हैं,तो संतुलन लंबाई $\ell_{2}$,$(E_{1} - E_{2})$ के समानुपाती होती है। अतः,$E_{1} - E_{2} = k \ell_{2}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}$.
दिए गए मान $\ell_{1} = 490 \ cm$ और $\ell_{2} = 90 \ cm$ का उपयोग करने पर:
$\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{490}{90} = \frac{49}{9}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{49 + 9}{49 - 9} = \frac{58}{40} = 1.45$.

(A) गैल्वेनोमीटर की संवेदनशीलता $S$ को प्रति इकाई धारा विक्षेप के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $S = \frac{\theta}{I}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि दोनों गैल्वेनोमीटर समान विक्षेप $\theta = 20$ विभाजन उत्पन्न करते हैं।
गैल्वेनोमीटर $A$ के लिए,$S_{A} = \frac{\theta}{I_{A}} = \frac{20}{4 \ mA} = 5 \ \text{div/mA}$.
गैल्वेनोमीटर $B$ के लिए,$S_{B} = \frac{\theta}{I_{B}} = \frac{20}{7 \ mA} \approx 2.86 \ \text{div/mA}$.
दोनों की तुलना करने पर,$S_{A} > S_{B}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,स्थिर विक्षेप के लिए $S \propto \frac{1}{I}$ होने के कारण,$\frac{S_{A}}{S_{B}} = \frac{I_{B}}{I_{A}} = \frac{7}{4} = 1.75$.
अतः,$S_{A} = 1.75 S_{B}$,जिसका अर्थ है कि $S_{A} > S_{B}$।

(A) मिलीएमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,उसके साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाना चाहिए।
दिया गया है:
मिलीएमीटर का प्रतिरोध,$G = 40 \Omega$
पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा,$I_g = 30 \text{ mA} = 30 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.03 \text{ A}$
वांछित वोल्टेज रेंज,$V = 15 \text{ V}$
श्रेणी प्रतिरोध $R$ के लिए सूत्र:
$R = \frac{V}{I_g} - G$
मान रखने पर:
$R = \frac{15}{30 \times 10^{-3}} - 40$
$R = \frac{15}{0.03} - 40$
$R = 500 - 40$
$R = 460 \Omega$
अतः,श्रेणीक्रम में $460 \Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाना चाहिए।