MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{F}{m} = \frac{G M}{r^2}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{G}{g}$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$\frac{G}{g} = \frac{G}{\frac{G M}{r^2}} = \frac{r^2}{M}$.
$r$ का मात्रक $m$ (मीटर) है और $M$ का मात्रक $kg$ (किलोग्राम) है।
इस प्रकार,$\frac{G}{g}$ का $SI$ मात्रक $\frac{m^2}{kg}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x = \pi R \left( \frac{P^2 - Q^2}{2} \right)$ है।
यहाँ,$P, Q$ और $R$ लंबाइयाँ हैं,इसलिए उनकी विमा $[L]$ है।
पद $(P^2 - Q^2)$ की विमा $[L^2] - [L^2] = [L^2]$ होती है।
स्थिरांक $\pi$ और गुणांक $1/2$ विमाहीन हैं।
अतः,$x$ की विमा $[L] \times [L^2] = [L^3]$ है।
$[L^3]$ विमा वाली भौतिक राशि आयतन (volume) को दर्शाती है।

(C) कलांतर $\Delta \phi$ और समयांतराल $\Delta t$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \omega \Delta t = (2\pi f) \Delta t$
दी गई आवृत्ति $f = 50 \,Hz$ और समयांतराल $\Delta t = 0.01 \,s$ है।
मान रखने पर:
$\Delta \phi = 2 \times \pi \times 50 \times 0.01$
$\Delta \phi = 100 \pi \times 0.01$
$\Delta \phi = \pi \,rad$.

(C) दिया गया है: डोरी का द्रव्यमान $m = 0.1 \, kg$, तनाव $T = 1.6 \, N$, लंबाई $\ell = 1 \, m$।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1}{1} = 0.1 \, kg/m$।
डोरी में अनुप्रस्थ तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v = \sqrt{\frac{1.6}{0.1}} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$।
दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{\ell}{v} = \frac{1}{4} = 0.25 \, s$।

(B) एक तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
हुक के नियम के अनुसार,$T = kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
चूंकि डोरी का द्रव्यमान स्थिर रहता है,$\mu = \frac{m}{L}$। जब डोरी को बढ़ाया जाता है,तो इसकी लंबाई $L$ बढ़ जाती है। हालांकि,छोटे विस्तार के लिए,$\mu$ में परिवर्तन तनाव $T$ में परिवर्तन की तुलना में नगण्य है।
अतः,$V \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{x}$।
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = x$ और अंतिम विस्तार $x_2 = x + 0.5x = 1.5x$ है।
गति का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$ है।
मान की गणना करने पर,$\sqrt{1.5} \approx 1.2247$।
इसलिए,नई गति $V_2 \approx 1.22 V$ होगी।

(B) दिया गया है: तरंग की गति $v = 960 \,m/s$.
तरंगों की संख्या $n = 900$.
समय $t = 0.5 \,min = 30 \,s$.
आवृत्ति $f$ को प्रति इकाई समय में एक बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$f = \frac{n}{t} = \frac{900}{30} = 30 \,Hz$.
तरंग की गति, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $v = f \lambda$ है।
इसलिए, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{960}{30} = 32 \,m$.

(B) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
साथ ही,द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times L) \times \rho$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A\rho$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $V = \sqrt{\frac{T}{A\rho}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^{2} = \frac{T}{A\rho}$।
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{T}{V^{2}\rho}$।

(C) खींचे गए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हुक के नियम के अनुसार,तार में तनाव $T$ विस्तार $x$ के समानुपाती होता है,अर्थात $T = kx$।
प्रारंभ में,$T_1 = kx$,इसलिए $V_1 = \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = V$।
जब विस्तार को बढ़ाकर $4x$ कर दिया जाता है,तो नया तनाव $T_2 = k(4x) = 4kx$ होता है।
ध्वनि की नई गति $V_2$ को $V_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{4kx}{\mu}}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,$V_2 = 2 \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = 2V$।

(B) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{M}{L}$ है।
चूँकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times L) \times \rho$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A \rho$ है।
इसे तरंग गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^{2} = \frac{T}{A \rho}$।
क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $A = \frac{T}{v^{2} \rho}$।

(B) तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(\omega t)$ है।
पहली तरंग के लिए,$Y_1 = 0.25 \sin(316t)$,सामान्य समीकरण से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,आवृत्ति $f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ होगी।
दूसरी तरंग के लिए,$Y_2 = 0.25 \sin(310t)$,सामान्य समीकरण से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवृत्ति $f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ होगी।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
$f_{beat} = \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
चूंकि तार समान हैं,$\ell$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक आवृत्ति $n_1$ और प्रारंभिक तनाव $T_1$ है। तनाव में $2 \%$ की वृद्धि करने पर,नया तनाव $T_2 = T_1 + 0.02 T_1 = 1.02 T_1$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n_2$ के लिए,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{1.02} = 1.01$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2 = 1.01 n_1$ होता है।
बीट आवृत्ति $n_2 - n_1 = 5 \ Hz$ दी गई है।
$n_2$ का मान रखने पर,$1.01 n_1 - n_1 = 5$ प्राप्त होता है।
$0.01 n_1 = 5$.
इसलिए,$n_1 = \frac{5}{0.01} = 500 \ Hz$।

(B) माना ट्यूनिंग फोर्क $C$ की आवृत्ति $f_C$ है।
दिया गया है कि $A$ की आवृत्ति $f_C$ से $1.5 \%$ अधिक है:
$f_A = f_C + 0.015 f_C = 1.015 f_C$.
दिया गया है कि $B$ की आवृत्ति $f_C$ से $2.5 \%$ कम है:
$f_B = f_C - 0.025 f_C = 0.975 f_C$.
जब $A$ और $B$ को एक साथ बजाया जाता है, तो विस्पंद आवृत्ति $12 \text{ Hz}$ है:
$|f_A - f_B| = 12$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1.015 f_C - 0.975 f_C = 12$.
$0.040 f_C = 12$.
$f_C = \frac{12}{0.040} = 300 \text{ Hz}$.

(B) दीवार (जो एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है) द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v = 335 \,m/s$ और $v_s = 5 \,m/s$ है।
$f' = 165 \left( \frac{335}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{335}{330} \right) = 165 \times \frac{335}{330} = \frac{335}{2} = 167.5 \,Hz$.
अब, दीवार एक स्रोत के रूप में कार्य करती है जो इस ध्वनि को बस की ओर परावर्तित करती है (जो एक गतिशील प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है)। यात्रियों द्वारा सुनी जाने वाली आवृत्ति $f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है, जहाँ $v_o = 5 \,m/s$ है।
$f'' = 167.5 \left( \frac{335 + 5}{335} \right) = 167.5 \left( \frac{340}{335} \right) = 167.5 \times \frac{340}{335} = 167.5 \times 1.0149 \approx 170 \,Hz$.
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है: $f_{beats} = f'' - f = 170 \,Hz - 165 \,Hz = 5 \,Hz$.

(A) मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $f_A$ है और ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $f_B = 480 \ Hz$ है।
बीट आवृत्ति $|f_A - f_B| = 5 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $f_A = 480 \pm 5$,इसलिए $f_A$ या तो $485 \ Hz$ है या $475 \ Hz$ है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $A$ पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_A$ कम हो जाती है।
मोम जोड़ने के बाद,नई बीट आवृत्ति $|f_A' - 480| = 2 \ Hz$ है,जहाँ $f_A' < f_A$ है।
यदि $f_A = 475 \ Hz$ है,तो मोम जोड़ने से आवृत्ति और कम हो जाएगी (जैसे $473 \ Hz$),जिससे बीट आवृत्ति $|473 - 480| = 7 \ Hz$ हो जाएगी,जो कि $2 \ Hz$ नहीं है।
यदि $f_A = 485 \ Hz$ है,तो मोम जोड़ने से आवृत्ति $480 \ Hz$ की ओर कम हो जाएगी,जिससे बीट आवृत्ति $|482 - 480| = 2 \ Hz$ हो जाएगी।
अतः,ट्यूनिंग फोर्क $A$ की प्रारंभिक आवृत्ति $485 \ Hz$ थी।

(D) जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$ होता है,जहाँ $n^{\prime}$ प्रेक्षित आवृत्ति है,$n$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की चाल है,और $v_{o}$ प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति की दोगुनी है,इसलिए $n^{\prime} = 2n$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $2n = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर: $2 = \frac{v + v_{o}}{v}$।
$v$ से गुणा करने पर: $2v = v + v_{o}$।
$v_{o}$ के लिए हल करने पर: $v_{o} = v$।
अतः,प्रेक्षक को ध्वनि की चाल के बराबर वेग से स्रोत की ओर गति करनी चाहिए।

(B) मान लीजिए $v$ ध्वनि की गति है और $V$ ट्रेन/प्रेक्षक की गति है। प्राकृतिक आवृत्ति $n$ है।
पहले मामले में,स्रोत (ट्रेन) स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा है:
$n' = n \left( \frac{v}{v + V} \right)$
दिया गया है $\frac{n}{n'} = 1.2$,इसलिए $\frac{v + V}{v} = 1.2 \implies 1 + \frac{V}{v} = 1.2 \implies \frac{V}{v} = 0.2$.
दूसरे मामले में,स्रोत स्थिर है और प्रेक्षक उससे दूर जा रहा है:
$n'' = n \left( \frac{v - V}{v} \right) = n \left( 1 - \frac{V}{v} \right)$
प्राकृतिक आवृत्ति और आभासी आवृत्ति का अनुपात $\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - \frac{V}{v}}$ है।
$\frac{V}{v} = 0.2$ का मान रखने पर:
$\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - 0.2} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
अतः,अनुपात $1.25: 1$ है।

(D) माना कि स्रोत की मूल आवृत्ति $F_{o}$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब प्रेक्षक एक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_{1}$ इस प्रकार दी जाती है:
$F_{1} = F_{o} \left[ \frac{V + V_{1}}{V} \right]$ ...$(1)$
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत से दूर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_{2}$ इस प्रकार दी जाती है:
$F_{2} = F_{o} \left[ \frac{V - V_{1}}{V} \right]$ ...$(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
दिया गया है कि $\frac{F_{1}}{F_{2}} = 2$,इसलिए:
$2 = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
$2(V - V_{1}) = V + V_{1}$
$2V - 2V_{1} = V + V_{1}$
$V = 3V_{1}$
अतः,$\frac{V}{V_{1}} = 3$.

(A) जब कोई अवरोध स्थिर स्रोत की ओर $v$ वेग से गति करता है,तो परावर्तित ध्वनि तरंग की आवृत्ति $f_{r}$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र के अनुसार $f_{r} = f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)$ होती है।
चूंकि परावर्तन के बाद माध्यम समान रहने पर ध्वनि की गति $c$ स्थिर रहती है,इसलिए हम $c = f \lambda$ संबंध का उपयोग करते हैं।
परावर्तित तरंग के लिए,$c = f_{r} \lambda_{r}$,जिसका अर्थ है $\lambda_{r} = \frac{c}{f_{r}}$।
$f_{r}$ का मान रखने पर:
$\lambda_{r} = \frac{c}{f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)} = \frac{c}{f} \left(\frac{c-v}{c+v}\right)$।
चूंकि $\frac{c}{f} = \lambda$ है,इसलिए हमें $\lambda_{r} = \left(\frac{c-v}{c+v}\right) \lambda$ प्राप्त होता है।

(D) $\text{दिया गया है: स्रोत का वेग } V_s = 30 \,m/s, \text{स्रोत की आवृत्ति } n_0 = 256 \,Hz, \text{और ध्वनि की गति } V = 330 \,m/s \text{ है।}
\text{जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक के पास आ रहा होता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति } n_1 = n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right) \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{जब स्रोत प्रेक्षक को पार करने के बाद दूर जा रहा होता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति } n_2 = n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right) \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{आवृत्तियों का अनुपात } \frac{n_1}{n_2} = \frac{n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right)}{n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right)} = \frac{V + V_s}{V - V_s} \text{ है।}
\text{मान रखने पर: } \frac{n_1}{n_2} = \frac{330 + 30}{330 - 30} = \frac{360}{300} = \frac{6}{5}$।

(C) डॉप्लर प्रभाव स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश उनके सापेक्ष वेग पर निर्भर करता है।
इस स्थिति में,इंजन एक वृत्ताकार पथ पर चल रहा है और प्रेक्षक केंद्र पर है।
इंजन का वेग सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
प्रेक्षक (केंद्र पर) और स्रोत (परिधि पर) को जोड़ने वाली रेखा वृत्त की त्रिज्या है।
चूंकि वृत्त की स्पर्शरेखा हमेशा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए स्रोत का वेग हमेशा स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होता है।
इसलिए,दृष्टि रेखा के अनुदिश स्रोत के वेग का घटक $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कोई सापेक्ष वेग नहीं है,इसलिए कोई डॉप्लर विस्थापन (Doppler shift) नहीं होता है।
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति के बराबर रहती है,जो $250 \,Hz$ है।

(B) माना प्रत्येक तरंग का आयाम $A$ है। तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I \propto A^2$। माना प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I_0 = kA^2$ है।
स्थिति $1$: जब तरंगें समान कला में पहुँचती हैं,तो कलांतर $\phi = 0$ होता है। परिणामी आयाम $A_R = A + A = 2A$ होता है। परिणामी तीव्रता $I_1 = k(2A)^2 = 4kA^2 = 4I_0$ होती है।
स्थिति $2$: जब तरंगें $90^{\circ}$ ($\pi/2$ रेडियन) के कलांतर पर पहुँचती हैं,तो परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos(90^{\circ})} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$ होता है। परिणामी तीव्रता $I_2 = k(A\sqrt{2})^2 = 2kA^2 = 2I_0$ होती है।
परिणामी तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ है।

(C) दी गई प्रगामी तरंगें $Y_{1} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} - \frac{x}{4})$ और $Y_{2} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} + \frac{x}{4})$ हैं।
इनकी तुलना मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin 2\pi(\frac{t}{T} \pm \frac{x}{\lambda})$ से करने पर,हमें तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4 \ m$ और आवर्तकाल $T = 0.4 \ s$ प्राप्त होता है।
जब समान आयाम और आवृत्ति वाली दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करते हुए अध्यारोपित होती हैं,तो वे $Y = Y_{1} + Y_{2} = 2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda}) \sin(\frac{2\pi t}{T})$ द्वारा दी गई एक अप्रगामी तरंग बनाती हैं।
यहाँ,किसी भी स्थिति $x$ पर अप्रगामी तरंग का आयाम $A_{res} = |2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda})|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 1$,$\lambda = 4 \ m$,और $x = 0.5 \ m$ मान रखने पर:
$A_{res} = 2 \times 1 \times |\cos(\frac{2\pi \times 0.5}{4})|$
$A_{res} = 2 \cos(\frac{\pi}{4})$
चूंकि $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $A_{res} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$ प्राप्त होता है।

(A) खुली ऑर्गन पाइप में $m^{\text{वें}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_m = \frac{m v}{2 L}$ द्वारा दी जाती है।
मूल आवृत्ति $(m=1)$ के लिए, $f_1 = \frac{v}{2 L}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप में $n^{\text{वें}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n^{\prime} = \frac{n v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ एक विषम संख्या है।
बंद ऑर्गन पाइप में $3^{\text{रे}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_3^{\prime} = \frac{3 v}{4 L}$ है।
प्रश्न के अनुसार, $f_3^{\prime} - f_1 = 50 \,Hz$ है।
व्यंजक रखने पर: $\frac{3 v}{4 L} - \frac{v}{2 L} = 50$.
$\frac{3 v - 2 v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{L} = 200$.
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2 L} = \frac{200}{2} = 100 \,Hz$ है।

(B) दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए, अनुनाद आवृत्तियों का सूत्र $f_n = \frac{n v}{2L}$ है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है, $v$ ध्वनि की गति है और $L$ पाइप की लंबाई है।
दिया गया है: $v = 340 \,m/s$ और $L = 1 \,m$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $f_n = \frac{n \times 340}{2 \times 1} = n \times 170 \,Hz$।
इसका अर्थ है कि पाइप $170 \,Hz$ के पूर्णांक गुणजों (जैसे $170 \,Hz, 340 \,Hz, 510 \,Hz, \dots$) पर अनुनादित हो सकती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, $85 \,Hz$, $170 \,Hz$ का गुणज नहीं है, इसलिए वायु स्तंभ इस आवृत्ति पर अनुनादित नहीं हो सकता है।

(A) $\ell$ लंबाई वाले बंद ऑर्गन पाइप के प्रथम ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{3V}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है।
$\ell^{\prime}$ लंबाई वाले खुले ऑर्गन पाइप के प्रथम ओवरटोन की आवृत्ति $f^{\prime} = \frac{2V}{2\ell^{\prime}} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $f = f^{\prime}$ रखने पर:
$\frac{3V}{4\ell} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$.
लंबाई का अनुपात $\frac{\ell}{\ell^{\prime}}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\ell}{\ell^{\prime}} = \frac{3}{4}$.
अतः,उनकी लंबाई का अनुपात $3: 4$ है।

(B) एक खुले ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{V}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है और $\ell$ पाइप की लंबाई है।
पहले पाइप के लिए: $\ell_{1} = \frac{V}{2n_{1}}$.
दूसरे पाइप के लिए: $\ell_{2} = \frac{V}{2n_{2}}$.
जब इन्हें श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो नए पाइप की कुल लंबाई $\ell = \ell_{1} + \ell_{2}$ होती है।
नए पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{V}{2\ell}$ है।
$\ell$ के समीकरण में $\ell_{1}$ और $\ell_{2}$ के मान रखने पर:
$\frac{V}{2n} = \frac{V}{2n_{1}} + \frac{V}{2n_{2}}$.
दोनों पक्षों को $\frac{V}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}$.
$n$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{n} = \frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}$,जो हमें $n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ देता है।

(B) एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप में,अप्रगामी तरंग (standing wave) के पैटर्न में हमेशा बंद सिरे पर एक नोड और खुले सिरे पर एक एंटीनोड होता है।
मूलभूत विधा (fundamental mode) के लिए,$1$ नोड और $1$ एंटीनोड होता है।
प्रथम ओवरटोन के लिए,$2$ नोड और $2$ एंटीनोड होते हैं।
चूंकि प्रश्न में $2$ नोड और $2$ एंटीनोड दिए गए हैं,इसलिए यह प्रथम ओवरटोन है।

(C) एक बंद पाइप के मूलभूत मोड में,पाइप की लंबाई $L$ तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई के बराबर होती है,अर्थात $L = \frac{\lambda}{4}$।
यह दिया गया है कि ध्वनि तरंग को $L$ लंबाई तय करने में लगा समय $t$ है,इसलिए $t = \frac{L}{v}$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
चूंकि $L = \frac{\lambda}{4}$,हम लिख सकते हैं $t = \frac{\lambda}{4v}$।
तरंग का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{\lambda}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$t$ के व्यंजक में $\lambda = vT$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $t = \frac{vT}{4v} = \frac{T}{4}$।
अतः,आवर्तकाल $T = 4t$ है।
आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम है,इसलिए $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4t}$।

(C) दिया गया है: नली की लंबाई $L = 0.8 \ m$,आवृत्ति $f = 500 \ Hz$,ध्वनि की गति $v = 340 \ m/s$.
सबसे पहले,ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{500} = 0.68 \ m$.
एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद की स्थिति $L_n = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$.
हमें $n$ के उन मानों को खोजना है जिनके लिए $L_n \le 0.8 \ m$ हो।
$n=1$ के लिए: $L_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{0.68}{4} = 0.17 \ m$.
$n=2$ के लिए: $L_2 = \frac{3\lambda}{4} = 3 \times 0.17 = 0.51 \ m$.
$n=3$ के लिए: $L_3 = \frac{5\lambda}{4} = 5 \times 0.17 = 0.85 \ m$.
चूंकि $L_3 = 0.85 \ m > 0.8 \ m$,इसलिए तीसरा अनुनाद नली की लंबाई के भीतर नहीं बन पाएगा।
अतः,केवल $2$ अनुनाद ही सुनाई देंगे।

(C) $1$. एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_p = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 320 \ m/s$ और $L = 0.8 \ m$ है।
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \ Hz$.
$2$. डोरी अपने दूसरे हार्मोनिक में कंपन कर रही है। दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_s = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $n=2$,$l = 0.5 \ m$,$T = 50 \ N$,और $\mu = \frac{m}{l}$ है।
$3$. चूंकि डोरी पाइप के साथ अनुनाद करती है,इसलिए $f_s = f_p = 100 \ Hz$.
$100 = \frac{2}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{50}{m/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{25}{m}} = 2 \times 5 \sqrt{\frac{1}{m}} = \frac{10}{\sqrt{m}}$.
$4$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $100 = \frac{100}{m}$,जिससे $m = 0.01 \ kg = 10 \ g$ प्राप्त होता है।

(A) $L_c$ लंबाई के बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन संख्या है।
$3^{\text{rd}}$ ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,$f_c = \frac{(2(3)+1)v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$.
$L_o$ लंबाई के खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = \frac{(n+1)v}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है।
$3^{\text{rd}}$ ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,$f_o = \frac{(3+1)v}{2L_o} = \frac{4v}{2L_o} = \frac{2v}{L_o}$.
चूंकि आवृत्तियाँ एकसमान हैं,$f_c = f_o$:
$\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_o}$.
अनुपात $\frac{L_c}{L_o}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए पाइप की लंबाई $\ell$ है और ध्वनि की गति $v$ है।
खुली पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ है। खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $3f_0 = \frac{3v}{2\ell}$ होता है।
बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4\ell}$ है। बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन $7f_c = \frac{7v}{4\ell}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार, बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन खुली पाइप के दूसरे ओवरटोन से $150 \,Hz$ अधिक है:
$\frac{7v}{4\ell} = \frac{3v}{2\ell} + 150$
$\frac{7v}{4\ell} - \frac{6v}{4\ell} = 150$
$\frac{v}{4\ell} = 150$
चूंकि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ है, हम लिख सकते हैं:
$f_0 = 2 \times \left(\frac{v}{4\ell}\right) = 2 \times 150 = 300 \,Hz$.

(D) $\ell_c$ लंबाई वाली बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{V}{4\ell_c}$ है। प्रथम ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक होता है,इसलिए $f_{c,1} = 3f_c = \frac{3V}{4\ell_c}$ होगा।
$\ell_o$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_o = \frac{V}{2\ell_o}$ है। प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक होता है,इसलिए $f_{o,1} = 2f_o = \frac{2V}{2\ell_o} = \frac{V}{\ell_o}$ होगा।
यह दिया गया है कि प्रथम ओवरटोन की आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $\frac{3V}{4\ell_c} = \frac{V}{\ell_o}$ होगा।
$\frac{\ell_o}{\ell_c}$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\ell_o}{\ell_c} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) एक बंद पाइप में,कंपन की मूलभूत विधा तब होती है जब पाइप की लंबाई $\ell$,ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के एक-चौथाई के बराबर होती है।
सूत्र: $\ell = \frac{\lambda}{4}$
दिया गया है: $\lambda = 62 \,cm$
गणना: $\ell = \frac{62}{4} = 15.5 \,cm$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) खिंचे हुए तार की कंपन आवृत्ति $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए कि तनाव $T$ तार से लटके द्रव्यमान $M$ द्वारा प्रदान किया जाता है,तो $T = Mg$ और $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
मान लीजिए कि $\ell_1$ और $g_1$ ध्रुवों पर लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण हैं,और $\ell_2$ और $g_2$ भूमध्य रेखा पर लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण हैं।
चूंकि समान ट्यूनिंग फोर्क के लिए आवृत्ति $n$ समान रहती है,इसलिए $\frac{1}{2\ell_1} \sqrt{\frac{Mg_1}{m}} = \frac{1}{2\ell_2} \sqrt{\frac{Mg_2}{m}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{\sqrt{g_1}}{\ell_1} = \frac{\sqrt{g_2}}{\ell_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$.
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण ध्रुवों पर भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है $(g_1 > g_2)$,इसलिए $\ell_1 > \ell_2$ होता है।
अतः,भूमध्य रेखा पर अनुनाद बनाए रखने के लिए तार की कंपन लंबाई को घटाया जाना चाहिए।

(B) $L$ लंबाई वाले बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L} = 400 \,Hz$ है।
इससे हमें $v = 1600L$ प्राप्त होता है।
जब पाइप का $1/3$ भाग पानी से भर जाता है,तो वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
वायु स्तंभ की नई मूल आवृत्ति $f'_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ है।
$v = 1600L$ रखने पर,हमें $f'_1 = \frac{3(1600L)}{8L} = 3 \times 200 = 600 \,Hz$ प्राप्त होता है।
एक बंद पाइप में,हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति के विषम गुणज $(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots)$ होते हैं। हालाँकि,प्रश्न पाइप की नई स्थिति में $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक के बारे में पूछता है। बंद पाइप का $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक (प्रथम ओवरटोन) $3f'_1$ होता है।
अतः,$2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $3 \times 600 \,Hz = 1800 \,Hz$ होगी।

(B) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
$L$ लंबाई के बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4L}$ है।
चूंकि दोनों की प्रारंभिक आवृत्ति समान है, इसलिए $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{4L}$।
जब तनाव को $16 \,N$ बढ़ाया जाता है, तो नई आवृत्ति $n' = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+16}{\mu}}$ होती है।
यह नई आवृत्ति बंद पाइप के दूसरे हार्मोनिक के साथ अनुनाद करती है। बंद पाइप के हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति के विषम गुणज $(n, 3n, 5n, \dots)$ होते हैं। यहाँ दूसरा हार्मोनिक $3n$ है।
अतः, $n' = 3n$.
$\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+16}{\mu}} = 3 \left( \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T+16}{T} = 9$.
$T+16 = 9T \implies 8T = 16 \implies T = 2 \,N$.

(B) दिया गया है: नली की लंबाई $L = 0.8 \,m$, आवृत्ति $f = 375 \,Hz$, ध्वनि की गति $v = 330 \,m/s$।
अनुनाद नली (एक सिरे पर बंद) में मूल आवृत्ति के लिए, वायु स्तंभ की लंबाई $\ell$ का सूत्र है: $\ell = \frac{v}{4f}$।
मान रखने पर: $\ell = \frac{330}{4 \times 375} = \frac{330}{1500} = 0.22 \,m$।
यह $\ell$ ऊपर से वायु स्तंभ की लंबाई को दर्शाता है।
नीचे से जल स्तर नली की कुल लंबाई में से वायु स्तंभ की लंबाई को घटाने पर प्राप्त होता है: $h = L - \ell$।
$h = 0.8 \,m - 0.22 \,m = 0.58 \,m$।

(D) ओपन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2 \ell}$ द्वारा दी जाती है।
बंद पाइप के लिए, हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति $n_0 = \frac{v}{4 \ell}$ के विषम गुणज होते हैं।
बंद पाइप का $2^{nd}$ हार्मोनिक वास्तव में $1^{st}$ ओवरटोन है, जो $3^{rd}$ हार्मोनिक है, जिसे $3 n_0 = \frac{3v}{4 \ell}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार, बंद पाइप के $2^{nd}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $n$ से $200 \,Hz$ अधिक है:
$\frac{3v}{4 \ell} - n = 200$
चूंकि $n = \frac{v}{2 \ell}$, इसलिए $\frac{v}{4 \ell} = \frac{n}{2}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $3(\frac{n}{2}) - n = 200$.
$1.5n - n = 200 \implies 0.5n = 200$.
$n = 400 \,Hz$.

(C) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos (20 \pi t)$ है।
इसे अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $y = 2A \sin (kx) \cos (\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें संचरण नियतांक $k = \frac{\pi}{4} \ cm^{-1}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि संचरण नियतांक $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 8 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,जो कि $\frac{\lambda}{2}$ है।
अतः,दूरी $\frac{8 \ cm}{2} = 4 \ cm$ है।

(C) एक अप्रगामी तरंग का निर्माण समान आवृत्ति और आयाम वाली तथा विपरीत दिशाओं में गति करने वाली दो समान प्रगामी तरंगों के अध्यारोपण से होता है।
एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) या दो क्रमागत प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अप्रगामी तरंग की तरंगदैर्ध्य को समान कला में स्थित दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो घटक प्रगामी तरंगों की तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।
अतः,अप्रगामी तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है।

(D) मेल्डे के प्रयोग में,कंपन करती हुई डोरी की आवृत्ति $f = \frac{P}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ लूप्स की संख्या है,$T$ तनाव है,$L$ लंबाई है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि आवृत्ति $f$ और लंबाई $L$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $P \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$,जिसका अर्थ है $T P^{2} = \text{स्थिरांक}$।
माना प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और अंतिम तनाव $T_2 = T_1 - 0.009 \ kg-wt$ है।
दिया गया है $P_1 = 4$ और $P_2 = 5$।
संबंध $T_1 P_1^{2} = T_2 P_2^{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_1 (4)^{2} = (T_1 - 0.009) (5)^{2}$
$16 T_1 = 25 T_1 - 0.009 \times 25$
$25 T_1 - 16 T_1 = 0.225$
$9 T_1 = 0.225$
$T_1 = \frac{0.225}{9} = 0.025 \ kg-wt$.

(C) एक अप्रगामी तरंग में, दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\lambda / 2$ होती है।
$4$ निस्पंदों के लिए, उनके बीच $\lambda / 2$ लंबाई के $3$ खंड होते हैं।
डोरी की कुल लंबाई $L = 120 \,cm$ दी गई है।
इसलिए, $3 \times (\lambda / 2) = 120 \,cm$.
$3 \lambda / 2 = 120 \,cm$.
$\lambda = (120 \times 2) / 3 \,cm$.
$\lambda = 240 / 3 \,cm$.
$\lambda = 80 \,cm$.

(A) एक अप्रगामी तरंग में,माध्यम के कण अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग आयामों के साथ दोलन करते हैं।
निस्पंद (nodes) वे बिंदु हैं जहाँ कंपन का आयाम शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि विस्थापन हमेशा शून्य होता है।
प्रस्पंद (antinodes) वे बिंदु हैं जहाँ कंपन का आयाम अधिकतम होता है।
इसलिए,निस्पंद पर विस्थापन शून्य होता है और प्रस्पंद पर विस्थापन अधिकतम होता है।

(B) दिया गया है:
तरंगों का वेग,$v = 50 \,m/s$
तरंगों की आवृत्ति,$f = 200 \,Hz$
सबसे पहले,हम प्रगामी तरंगों की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करते हैं:
$v = f \lambda$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$
जब दो समान प्रगामी तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक अप्रगामी तरंग (standing wave) बनाती हैं।
अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी $(\frac{\lambda}{2})$ होती है।
दूरी $= \frac{\lambda}{2} = \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक सिरे पर खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_p = \frac{v}{4L_p}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v = 320 \,m/s$ और $L_p = 0.8 \,m$ है।
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \,Hz$.
$L_s = 0.5 \,m$ लंबाई की डोरी के लिए जो अपने $1^{\text{st}}$ ओवरटोन में कंपन कर रही है, आवृत्ति $f_s = 2 \times \left( \frac{1}{2L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right) = \frac{1}{L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $\mu = \frac{M}{L_s}$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि डोरी पाइप के साथ अनुनाद करती है, $f_s = f_p = 100 \,Hz$.
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{M/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{50 \times 0.5}{M}} = 2 \sqrt{\frac{25}{M}} = \frac{2 \times 5}{\sqrt{M}} = \frac{10}{\sqrt{M}}$.
$\sqrt{M} = \frac{10}{100} = 0.1$.
$M = (0.1)^2 = 0.01 \,kg = 10 \,g$.

(C) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2) \rho$.
आवृत्ति के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi R^2 \rho}} = \frac{1}{2LR} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
चूंकि पदार्थ समान है,$\rho$ स्थिर है। तनाव $T$ भी समान है,इसलिए $f \propto \frac{1}{LR}$ प्राप्त होता है।
पहले तार के लिए: $L_1 = L$,$R_1 = 2r$. अतः,$f_1 \propto \frac{1}{L \cdot 2r} = \frac{1}{2Lr}$.
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 2L$,$R_2 = r$. अतः,$f_2 \propto \frac{1}{2L \cdot r} = \frac{1}{2Lr}$.
उनकी आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{1/2Lr}{1/2Lr} = 1:1$ है।

(A) सोनोमीटर के तार की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $p$ लूप्स की संख्या (एंटीनोड्स),$L$ लंबाई,$T$ तनाव $(T = Mg)$ और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि आवृत्ति $n$,लंबाई $L$ और $\mu$ स्थिर हैं,इसलिए $p \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{M}$ होगा।
प्रथम स्थिति के लिए: $p_1 = 5$ और $M_1 = 9 \ kg$।
द्वितीय स्थिति के लिए: $p_2 = 3$ और $M_2 = m$।
अनुपात लेने पर: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{5}{3} = \sqrt{\frac{9}{m}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{9} = \frac{9}{m}$।
अतः,$m = 25 \ kg$।

(A) दोनों सिरों पर बंधे तार के लिए $p$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = (p+1) \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,घनत्व $\rho$ स्थिर है। तनाव $T$ भी स्थिर है।
पहले तार के लिए,पहला ओवरटोन $(p=1)$ $f_1 = 2 \cdot \frac{1}{2 \ell_1} \sqrt{\frac{T}{\pi r_1^2 \rho}} = \frac{1}{\ell_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दूसरे तार के लिए,दूसरा ओवरटोन $(p=2)$ $f_2 = 3 \cdot \frac{1}{2 \ell_2} \sqrt{\frac{T}{\pi r_2^2 \rho}} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ है।
दिया गया है $f_1 = f_2$,इसलिए $\frac{1}{\ell_1 r_1} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$।
दिया गया है $r_1 = 2 r_2$,इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{\ell_1 (2 r_2)} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$।
सरल करने पर,$\frac{1}{2 \ell_1} = \frac{3}{2 \ell_2}$,जिससे $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) $5^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए, दोनों सिरों पर बंधी $L$ लंबाई की डोरी $5$ लूप में कंपन करती है।
लंबाई $L$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $L = \frac{5\lambda}{2}$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 3 \sin(0.4x) \cos(200\pi t)$ की तुलना मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ से करने पर, हमें तरंग संख्या $k = 0.4 \text{ rad/cm}$ प्राप्त होती है।
चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, इसलिए $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \text{ cm}$।
$\lambda$ का मान लंबाई के समीकरण में रखने पर: $L = \frac{5 \times 5\pi}{2} = \frac{25\pi}{2} = 12.5\pi \text{ cm}$।

(B) दिया गया है: स्लिट की चौड़ाई $a = 0.3 \text{ mm} = 0.3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
पर्दे की दूरी $D = 3 \text{ m}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से पहले निम्निष्ठ की दूरी $x = 5.5 \text{ mm} = 5.5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
एकल स्लिट विवर्तन के लिए, पहले निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = \lambda$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
अतः, $a \left( \frac{x}{D} \right) = \lambda$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{ax}{D} = \frac{(0.3 \times 10^{-3} \text{ m}) \times (5.5 \times 10^{-3} \text{ m})}{3 \text{ m}}$.
$\lambda = 0.1 \times 10^{-3} \times 5.5 \times 10^{-3} \text{ m} = 0.55 \times 10^{-6} \text{ m} = 5.5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 5500 \times 10^{-10} \text{ m} = 5500 \text{ Å}$.

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$-वें निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
यहाँ,$a = 10^{-3} \ mm = 10^{-6} \ m$,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$,और प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin \theta = \frac{n \lambda}{a} = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7} \ m}{10^{-6} \ m}$
$\sin \theta = \frac{5 \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-7}} = 0.5 = \frac{1}{2}$
अतः,विवर्तन का कोण $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ है।

(C) व्यतिकरण प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $Z$ का सूत्र $Z = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोत और स्क्रीन (या आईपीस) के बीच की दूरी है,और $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
चूंकि $\lambda$ और $D$ स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्रोतों के बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $Z \propto \frac{1}{d}$।
इसलिए,हम अनुपात को $\frac{Z_{A}}{Z_{B}} = \frac{d_{B}}{d_{A}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2 \lambda D}{d}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,मुख्य उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $\beta = d$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $d = \frac{2 \lambda D}{d}$ प्राप्त होता है।
$D$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$D = \frac{d^{2}}{2 \lambda}$ प्राप्त होता है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2 \lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूँकि कोणीय चौड़ाई केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट की चौड़ाई $d$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D$ से स्वतंत्र है।
अतः,जब दूरी $D$ को दोगुना किया जाता है,तो फ्रिंजों के बीच का कोणीय पृथक्करण समान रहता है।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^{2}$।
इसका अर्थ है कि आयाम $a$ तीव्रता के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $a \propto \sqrt{I}$।
मान लीजिए कि दो कला-सम्बद्ध स्रोतों के आयाम $a_{1}$ और $a_{2}$ हैं,जहाँ $a_{1} \propto \sqrt{I_{1}}$ और $a_{2} \propto \sqrt{I_{2}}$।
व्यतिकरण प्रतिरूप में,अधिकतम तीव्रता $(I_{\max})$ संपोषी व्यतिकरण के बिंदुओं पर होती है,जहाँ कलांतर $\pi$ का सम गुणज $(2n\pi)$ होता है।
इन बिंदुओं पर,परिणामी आयाम व्यक्तिगत आयामों का योग होता है: $A_{\max} = a_{1} + a_{2}$।
चूँकि $I_{\max} \propto A_{\max}^{2}$,इसलिए $I_{\max} \propto (a_{1} + a_{2})^{2}$।
$a_{1}$ और $a_{2}$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{\max} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) व्यतिकरण में परिणामी तरंग की तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है और $I_0$ प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत की तीव्रता है।
कलांतर $\phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पथ अंतर $\Delta x = 0$ के लिए,कलांतर $\phi = 0$ होता है। अतः,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda/2$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$ होता है। अतः,$I_2 = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 4I_0 \cdot 0 = 0$।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{0} = \infty$ है।
अतः,अनुपात $\infty:1$ है।

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में, तीव्रता $I$ का मान $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए, कलांतर $\phi = (2n+1)\pi$ होता है, इसलिए $\cos \phi = -1$ होता है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होती है।
यदि आयाम अलग-अलग हैं, तो $I_1 \neq I_2$, जिसका अर्थ है कि $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$।
अतः, $I_{min} \neq 0$।
इसका मतलब यह है कि विनाशी व्यतिकरण के क्षेत्र में, पूर्ण अंधकार के बजाय प्रकाश की कुछ अवशिष्ट तीव्रता मौजूद रहती है।

(A) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5 \times 10^{-7} \,m$,फ्रिंज चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \beta_{2} - \beta_{1} = 12.5 \times 10^{-5} \,m$.
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
फ्रिंज चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta D = D_{2} - D_{1}$ पर्दे की स्थिति में विस्थापन है।
$\Delta D$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\Delta D = \frac{d \cdot \Delta \beta}{\lambda}$.
मान रखने पर: $\Delta D = \frac{10^{-3} \times 12.5 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-7}}$.
$\Delta D = \frac{12.5 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-7}} = 2.5 \times 10^{-1} \,m = 0.25 \,m = 25 \,cm$.
अतः,पर्दे को स्लिट से दूर या पास $25 \,cm$ स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(D) विनाशी व्यतिकरण होने के लिए,दो प्रकाश तरंगों को एक बिंदु पर ऐसे कलांतर के साथ पहुँचना चाहिए कि उनके आयाम एक-दूसरे को निरस्त कर दें।
यह तब होता है जब तरंगें विपरीत कला में होती हैं,जिसका अर्थ है कि जब एक तरंग श्रृंग पर होती है तो दूसरी गर्त पर होती है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए कलांतर की शर्त $\Delta \phi = (2n + 1)\pi$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \ldots$ है।
$n$ के मान रखने पर,हमें $\Delta \phi = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$ प्राप्त होता है।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \tan i_p$ होता है,जहाँ $i_p$ ध्रुवण कोण है।
यहाँ $\mu = 1.73$ और $\tan 60^{\circ} = 1.73$ दिया गया है,इसलिए $\tan i_p = \tan 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $i_p = 60^{\circ}$ है।
जब प्रकाश ध्रुवण कोण पर आपतित होता है,तो परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,अर्थात $i_p + r = 90^{\circ}$ होता है।
$i_p$ का मान रखने पर,हमें $60^{\circ} + r = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।

(C) जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है, तो यह $I_0 = I_{in} / 2$ तीव्रता के साथ रैखिक रूप से ध्रुवित हो जाता है।
जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड पर पड़ता है, तो प्रेषित तीव्रता मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I = I_0 \cos^2 \theta$।
चूंकि पोलेरॉइड्स क्रॉस्ड हैं, इसलिए उनके संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = I_0 \cos^2(90^{\circ}) = I_0 \times 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड द्वारा पूरी तरह से अवरुद्ध हो जाता है।

(C) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,एक पारदर्शी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ ध्रुवण कोण है।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$ निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(V)$ का अनुपात है:
$\mu = \frac{c}{V}$
$\mu$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\tan \theta = \frac{c}{V}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\cot \theta = \frac{V}{c}$
अतः,$\theta$ और $V$ के बीच का संबंध है:
$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{V}{c}\right)$

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण, $i_p$) की स्पर्शज्या (tangent) माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ के बराबर होती है, जिसे सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tan(i_p) = \mu$
चूंकि एक पारदर्शी माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है (परिक्षेपण के कारण), इसलिए अपवर्तनांक प्रकाश के विभिन्न रंगों के लिए अलग-अलग होता है।
परिणामस्वरूप, ब्रूस्टर कोण $(i_p = \arctan(\mu))$ भी प्रकाश के विभिन्न रंगों के लिए अलग-अलग होगा।
अतः, सही कथन यह है कि ब्रूस्टर कोण विभिन्न रंगों के प्रकाश के लिए अलग-अलग होता है।

(C) माना आपतित तरंगाग्र की चौड़ाई $w_i$ है और अपवर्तित तरंगाग्र की चौड़ाई $w_r$ है।
तरंगाग्र की ज्यामिति से,तरंगाग्र की चौड़ाई $w = L \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ इंटरफ़ेस पर तरंगाग्र का खंड है।
आपतित तरंगाग्र के लिए,$w_i = L \cos i$,जहाँ $i = 60^{\circ}$ है।
अपवर्तित तरंगाग्र के लिए,$w_r = L \cos r$,जहाँ $r = 45^{\circ}$ है।
आपतित तरंगाग्र और अपवर्तित तरंगाग्र की चौड़ाई का अनुपात $\frac{w_i}{w_r} = \frac{\cos i}{\cos r}$ है।
मान रखने पर: $\frac{w_i}{w_r} = \frac{\cos 60^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(C) मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में तरंगों की संख्या $N = \frac{d}{\lambda_m}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य है।
अतः,$N = \frac{d \cdot \mu}{\lambda_0}$.
चूंकि दोनों माध्यमों के लिए तरंगों की संख्या समान है,इसलिए:
$\frac{d_g \cdot \mu_g}{\lambda_0} = \frac{d_w \cdot \mu_w}{\lambda_0}$
$d_g \cdot \mu_g = d_w \cdot \mu_w$
यहाँ $d_g = 4 \,cm$,$\mu_g = \frac{5}{3}$,और $\mu_w = \frac{4}{3}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $4 \times \frac{5}{3} = x \times \frac{4}{3}$
$\frac{20}{3} = \frac{4x}{3}$
$4x = 20$
$x = 5 \,cm$.

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक तरंग की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ है।
दी गई तीव्रता $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
नई तीव्रता $I'$ का मान $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ है।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I' = 4I_0 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ है।
चूँकि $K = 4I_0$,इसलिए $2I_0 = \frac{K}{2}$ होगा।
अतः,तीव्रता $\frac{K}{2}$ होगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $6^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $d_1 = \frac{6 \lambda_1 D}{d}$ है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $4^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $d_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$ है।
$d_1$ और $d_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{6 \lambda_1 D / d}{4 \lambda_2 D / d} = \frac{6 \lambda_1}{4 \lambda_2} = \frac{3}{2} \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(B) $\text{1.33}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda_w D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, पानी में तरंगदैर्ध्य $\lambda_w = \frac{\lambda_{air}}{\mu} = \frac{6300 \times 10^{-10} \,m}{1.33}$ है।
दिया गया है: $D = 1.33 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, और $\mu = 1.33$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में परिणामी तीव्रता $I_R = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
स्थिति $1$: जब $\Delta x = \lambda$,तो $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$। तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(-1)^2 = 4I_0$।
स्थिति $2$: जब $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,तो $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$।
नई तीव्रता $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$।
चूंकि $I = 4I_0$,इसलिए $I_0 = \frac{I}{4}$।
$I'$ के व्यंजक में $I_0$ का मान रखने पर,हमें $I' = 2(\frac{I}{4}) = \frac{I}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
फ्रिंजों को एक-दूसरे के अधिक निकट लाने के लिए,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को कम करना होगा।
सूत्र से,$\beta \propto \lambda$ और $\beta \propto \frac{1}{d}$ है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य हरे प्रकाश की तुलना में कम होती है $(\lambda_{blue} < \lambda_{green})$,इसलिए नीले प्रकाश का उपयोग करने से फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ कम हो जाएगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो झिरियों के बीच की दूरी है।
जब प्रयोग पानी में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है,जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है $(\mu > 1)$।
चूँकि $\mu > 1$ है,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ हवा में मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से छोटी होती है।
परिणामस्वरूप,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ हो जाती है।
चूँकि $\mu > 1$ है,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta'$ घट जाती है।

(C) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज-चौड़ाई $(z)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन (या आई-पीस) के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि $\lambda$ और $d$ को स्थिर रखा गया है,इसलिए $z \propto D$ है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध दर्शाता है,जो एक सीधी रेखा का ग्राफ है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $(C)$ एक सीधा रैखिक संबंध $(z \propto D)$ दर्शाता है।
अतः,सही ग्राफ $(C)$ है।

(D) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$,स्क्रीन की दूरी $D = 2 \,m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 480 \,nm = 480 \times 10^{-9} \,m$ और $\lambda_2 = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$.
$n^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पहली तरंगदैर्ध्य के लिए $5^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज: $y_5^{(1)} = 5 \frac{\lambda_1 D}{d}$.
दूसरी तरंगदैर्ध्य के लिए $5^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज: $y_5^{(2)} = 5 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
इन फ्रिंजों के बीच का पृथक्करण $\Delta y = y_5^{(2)} - y_5^{(1)} = \frac{5D}{d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ है।
मान रखने पर: $\Delta y = \frac{5 \times 2}{3 \times 10^{-3}} \times (600 - 480) \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta y = \frac{10}{3 \times 10^{-3}} \times 120 \times 10^{-9} \,m = \frac{1200}{3} \times 10^{-6} \,m = 400 \times 10^{-6} \,m = 4 \times 10^{-4} \,m$.

(C) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ होगा।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ होती है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{3 + 2}{3 - 2} \right)^2 = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = \frac{25}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $25: 1$ है।

(A) स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x_1 = 0$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = 0$ है। अतः,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$।
पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता $I_2 = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ या $2:1$ है।