मान लीजिए $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a > b$, एक दीर्घवृत है जिसकी नाभियाँ $F_1$ एवं $F_2$ हैं। $A O$ इसकी अर्धलघु $(semi-minor)$ अक्ष है, और $O$ दीर्घवृत का केंद्र है। रेखाएँ $A F_1$ एवं $A F_2$ को बढ़ाने पर वो दीर्घवृत को पुन: क्रमशः $B$ एवं $C$ बिन्दुओं पर काटती हैं। मान लीजिए कि $A B C$ एक समबाहु त्रिभुज है, तब दीर्घवृत की उत्केन्द्रता निम्न है :

माना परवलय $y ^{2}=4 x -20$ के बिन्दु $(6,2)$ पर स्पर्श रेखा $L$ है। यदि $L$, दीर्घवत्त $\frac{ x ^{2}}{2}+\frac{ y ^{2}}{ b }=1$ की भी एक स्पर्श रेखा है, तो $b$ का मान बराबर है

दीर्घवृत (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर विचार कीजिये। माना कि $S(p, q)$ प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में एक इस प्रकार का बिंदु है कि $\frac{p^2}{9}+\frac{q^2}{4}>1$ है । बिंदु $S$ से दीर्घवृत के लिए दो स्पर्श रेखाएं (tangents) खींची गयी हैं, जिनमें से एक रेखा, दीर्घवृत पर लघु अक्ष (minor axis) के एक अंत्य बिंदु (end point) पर मिलती है तथा दूसरी रेखा चौथे चतुर्थांश (fourth quadrant) में दीर्घवृत के एक बिंदु $T$ पर मिलती है। माना कि $R$ दीर्घवृत का वह शीर्ष (vertex) है जिसका $x$-निर्देशांक ( $x$-coordinate) धनात्मक (positive) है, और दीर्घवृत का केंद्र $O$ है। यदि त्रिभुज $\triangle O R T$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}$ है, तब निम्नलिखित विकल्पों में से कौन सा सही है?

प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए

दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm 3,0),$ लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(0,±2)$

मूल अक्षों के सापेक्ष दीर्घवृत्त जिसकी नाभिलम्ब $8$ है और जिसकी उत्केन्द्रता $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$है, का समीकरण होगा

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ एव लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए