बिंदुओं (x, y) के समुच्चय A_n पर विचार करें ज | vedclass

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Question

(A) समुच्चय $A_n$ में $(n+1)^2$ बिंदु हैं। कम से कम दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं की कुल संख्या $S_n$,$O(n^4)$ के रूप में बढ़ती है।दो बिंदुओं $(x_1

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(A) समुच्चय $A_n$ में $(n+1)^2$ बिंदु हैं। कम से कम दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं की कुल संख्या $S_n$,$O(n^4)$ के रूप में बढ़ती है।दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $ax+by+c=0$ है,जहाँ $a, b, c$ पूर्णांक हैं।मूल बिंदु से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=R^2$ है,जहाँ $R^2 = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ है।एक रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा होती है यदि $d^2 = R^2$,जिसका अर्थ है $\frac{c^2}{a^2+b^2} = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$।चूंकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं,$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ एक परिमेय संख्या है। हालाँकि,अधिकांश $n$ के लिए,$R^2$ अपरिमेय है। यहाँ तक कि जब $R^2$ परिमेय होता है,तब भी इस शर्त को पूरा करने वाली रेखाओं की संख्या $S_n$ में रेखाओं की कुल संख्या की तुलना में नगण्य है जैसे-जैसे $n \rightarrow \infty$।अतः,प्रायिकता $P_n$ कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है,$n \rightarrow \infty$ होने पर $0$ की ओर प्रवृत्त होती है।

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