$p(0)=0$,सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x) > x^2$ और $p^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{2}$ को संतुष्ट करने वाले बहुपदों $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ की संख्या क्या है?

यदि $f(x) = \begin{cases} ax+b, & \text{यदि } x \leq 1 \\ ax^2+c, & \text{यदि } 1 < x \leq 2 \\ \frac{dx^2+1}{x}, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है,तो $ad-bc = $

स्तंभ $I$ के फलनों को स्तंभ $II$ के उनके गुणों से सुमेलित कीजिए। निम्नलिखित में $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$A$. $x|x|$	$I$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और सतत
$B$. $\sqrt{|x|}$	$II$. $(-1,1)$ में सतत लेकिन अवकलनीय नहीं
$C$. $x+[x]$	$III$. $(-1,1)$ में अवकलनीय
$D$. $|x-1|+|x+1|+|x|$	$IV$. $(-1,0) \cup (0,1)$ में अवकलनीय
	$V$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और अवकलनीय नहीं

सही मिलान है

निम्नलिखित कथनों के लिए $T$ या $F$ के प्रारंभिक अक्षरों का सही क्रम दें। यदि कथन सत्य है तो $T$ और यदि असत्य है तो $F$ का उपयोग करें।
कथन-$1$: यदि $f: R \rightarrow R$ और $c \in R$ इस प्रकार हैं कि $f$,$(c - \delta, c)$ में वर्धमान है और $(c, c + \delta)$ में ह्रासमान है,तो $f$ का $c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है। जहाँ $\delta$ एक पर्याप्त छोटी धनात्मक राशि है।
कथन-$2$: मान लीजिए $f: (a, b) \rightarrow R, c \in (a, b)$ है। तो $f$ के पास $x = c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ और नति परिवर्तन बिंदु (inflection point) दोनों नहीं हो सकते हैं।
कथन-$3$: फलन $f(x) = x^2 |x|$,$x = 0$ पर दो बार अवकलनीय है।
कथन-$4$: मान लीजिए $f: [c - 1, c + 1] \rightarrow [a, b]$ एकैकी-आच्छादक (bijective) मानचित्र है,इस प्रकार कि $f$,$c$ पर अवकलनीय है और $f'(c) \neq 0$,तो $f^{-1}$ भी $f(c)$ पर अवकलनीय है।

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+|x-1|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x^5+5x^4+10x^3+10x^2+3x+1, & x < 0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}x^3-4x^2+7x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x < 3 \\ (x-2)\log_e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{cases}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $f^{\prime}$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(2)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(3)$ $f$,$(-\infty, 0)$ पर वर्धमान है
$(4)$ $f^{\prime}$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है