बहुपदों p: R rightarrow R, जिसके लिए p(0)=0, | vedclass

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Question

(a)

We have,

$p(x) > x^2, p(0)=0, p^{\prime \prime}(0)=\frac{1}{2}$

Let $g(x)=p(x)-x^2$

$g(x) > 0, \forall x 
eq 0$

$	ext { and

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$0$

Vedclass · Answer

(a)

We have,

$p(x) > x^2, p(0)=0, p^{\prime \prime}(0)=\frac{1}{2}$

Let $g(x)=p(x)-x^2$

$g(x) > 0, \forall x 
eq 0$

$	ext { and } \quad g(0)=p(0)-0=0$

$\Rightarrow x=0 	ext { should be minima. }$

$\because g^{\prime \prime}(x) 	ext { should be } \geq 0 	ext { at } x=0$

$	ext { Now, } \quad g^{\prime}(x)=p^{\prime}(x)-2 x$

$\quad g^{\prime \prime}(x)^2=p^{\prime \prime}(x)-2$

$g^{\prime \prime}(0)=p^{\prime \prime}(0)-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$

But $g^{\prime \prime}(0) \geq 0$

$\because$ No polynomial exists.

बहुपदों $p: R \rightarrow R$, जिसके लिए $p(0)=0$, सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x)>x^2$ तथा $p^{\prime \prime}(0)=$ $\frac{1}{2}$ है, की संख्या होगी :

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