एक triangle PQR पर विचार करें जिसमें संबंध QR | vedclass

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Question

(C) $	riangle PQR$ में,मान लीजिए शीर्ष $P, Q, R$ हैं। $M$,$QR$ का मध्यबिंदु है और $N$,$PR$ का मध्यबिंदु है। माध्यिकाएं $PM$ और $QN$ केंद्रक $G$ पर प्

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एक समकोण

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(C) $	riangle PQR$ में,मान लीजिए शीर्ष $P, Q, R$ हैं। $M$,$QR$ का मध्यबिंदु है और $N$,$PR$ का मध्यबिंदु है। माध्यिकाएं $PM$ और $QN$ केंद्रक $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।माध्यिकाओं के गुण का उपयोग करते हुए,$QG = \frac{2}{3}QN$ और $GM = \frac{1}{3}PM$.$	riangle QGM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,यदि $\angle QGM = 90^{\circ}$ है,तो $QG^2 + GM^2 = QM^2$.हम जानते हैं कि $QM = \frac{1}{2}QR$,इसलिए $QM^2 = \frac{1}{4}QR^2$.माध्यिकाओं के लिए अपोलोनियस प्रमेय का उपयोग करते हुए:$QN^2 = \frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}$ और $PM^2 = \frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}$.तब $QG^2 + GM^2 = \left(\frac{2}{3}QNight)^2 + \left(\frac{1}{3}PMight)^2 = \frac{4}{9}QN^2 + \frac{1}{9}PM^2$.$QN^2$ और $PM^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:$= \frac{4}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}ight) + \frac{1}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}ight)$$= \frac{1}{9} \left( \frac{8PQ^2 + 8QR^2 - 4PR^2 + 2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4} ight)$$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2PR^2}{4} ight)$.दिया गया है कि $PR^2 = 5PQ^2 - QR^2$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2(5PQ^2 - QR^2)}{4} ight)$$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 10PQ^2 + 2QR^2}{4} ight) = \frac{1}{9} \left( \frac{9QR^2}{4} ight) = \frac{1}{4}QR^2 = QM^2$.चूंकि $QG^2 + GM^2 = QM^2$,$	riangle QGM$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle QGM = 90^{\circ}$ है।

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