मान लीजिए f(x) = x |sin x|,x in R है। तो, | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x |\sin x|$.$x = n\pi$ (जहाँ $n \in Z$) पर,हम अवकलनीयता की परिभाषा का उपयोग करके जाँच करते हैं:$f'(n\pi) = \lim_{x 	o n\pi} \

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$f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है,सिवाय $x = n\pi, n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ पर।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = x |\sin x|$.$x = n\pi$ (जहाँ $n \in Z$) पर,हम अवकलनीयता की परिभाषा का उपयोग करके जाँच करते हैं:$f'(n\pi) = \lim_{x 	o n\pi} \frac{f(x) - f(n\pi)}{x - n\pi} = \lim_{x 	o n\pi} \frac{x |\sin x| - 0}{x - n\pi} = \lim_{x 	o n\pi} \frac{x |\sin x|}{x - n\pi}$.मान लीजिए $x = n\pi + h$,जहाँ $h 	o 0$.तब $f'(n\pi) = \lim_{h 	o 0} \frac{(n\pi + h) |\sin(n\pi + h)|}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{(n\pi + h) |(-1)^n \sin h|}{h} = \lim_{h 	o 0} (n\pi + h) \frac{|\sin h|}{|h|} \cdot |h| \cdot \frac{(-1)^n}{h}$.चूँकि $h 	o 0$ होने पर $\frac{|\sin h|}{h} 	o 1$,सीमा $\lim_{h 	o 0} (n\pi + h) \cdot 1 \cdot \frac{|h|}{h} \cdot (-1)^n$ बन जाती है।$n = 0$ के लिए,$f'(0) = \lim_{h 	o 0} h \cdot \frac{|h|}{h} = \lim_{h 	o 0} |h| = 0$। अतः,$f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।$n 
eq 0$ के लिए,सीमा $\lim_{h 	o 0} n\pi \cdot (-1)^n \cdot \frac{|h|}{h}$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा $-n\pi(-1)^n$ है और दाएँ हाथ की सीमा $n\pi(-1)^n$ है।इसलिए,$f(x)$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है सिवाय $x = n\pi$ जहाँ $n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ है।

मान लीजिए $f(x) = x |\sin x|$,$x \in R$ है। तो,

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यदि $\alpha$ और $\beta$ इस प्रकार हैं कि फलन $f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 - \beta, & |x| < 1 \\ \frac{-1}{|x|}, & |x| \ge 1 \end{cases}$ हर जगह अवकलनीय है,तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) =$

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ . . . . पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & ; |x| \geq 1 \\ ax^2 + b & ; |x| < 1 \end{cases}$ अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

$x$ के उन सभी मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f(x) = ||x| - 1|$ अवकलनीय है।

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