मान लीजिए x_k वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि 1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) मान लीजिए $n = 2018$ है। हमें $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।असमानता $I$ के लिए,हम कोशी-श्वार्ट्ज असमानता का उपयोग करते हैं

Vedclass · Accepted Answer

$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $n = 2018$ है। हमें $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।असमानता $I$ के लिए,हम कोशी-श्वार्ट्ज असमानता का उपयोग करते हैं: $(\sum a_k b_k)^2 \leq (\sum a_k^2)(\sum b_k^2)$।मान लीजिए $a_k = \sqrt{k}$ और $b_k = \sqrt{k} x_k$ है। तब:$\left(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \cdot \sqrt{k} x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k})^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k} x_k)^2\right)$$\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) \left(\sum_{k=1}^{n} k x_k^2\right) = N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।अतः,$I$ सत्य है।असमानता $II$ के लिए,हम देखते हैं कि चूंकि $k \geq 1$ है,इसलिए सभी $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ के लिए $k^2 \geq k$ है।इसलिए,$\sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2 \geq \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।चूंकि $I$ सत्य है,हमारे पास $\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2$ है।अतः,$II$ भी सत्य है।इसलिए,$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

Similar Questions

यदि $A, B$ और $C$ तीन समुच्चय इस प्रकार हैं कि $A \cap B = A \cap C$ और $A \cup B = A \cup C$,तो:

माना $A = \{x \in (0, \pi) - \{\frac{\pi}{2}\} : \log_{(2/\pi)}|\sin x| + \log_{(2/\pi)}|\cos x| = 2\}$ और $B = \{x \geq 0 : \sqrt{x}(\sqrt{x} - 4) - 3|\sqrt{x} - 2| + 6 = 0\}$ है। तब $n(A \cup B)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $A, B,$ और $C$ तीन समुच्चय इस प्रकार हैं कि $A \cup B = A \cup C$ तथा $A \cap B = A \cap C$,तब

यदि $A=\{x \in R: \sqrt{x^2-8x+15} \in R\}$ और $B=\{x \in R: \frac{x-3}{2x-5} < \frac{x-6}{2x-11}\}$,तो $A \cap B=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module