मान लीजिए A एक 3 times 3 आव्यूह है जिसके अवयव | vedclass

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Question

(A) आव्यूह $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ समुच्चय से हैं। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2001$ है। संभावि

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$P < \frac{1}{10^{18}}$

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(A) आव्यूह $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ समुच्चय से हैं। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2001$ है। संभावित आव्यूहों $A$ की कुल संख्या $(2001)^9$ है। स्थिति $1$: $A^2 = -I$. यदि $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ द्वारा दिया जाता है। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A$ अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि $A^2 = -I$ है,तो न्यूनतम बहुपद $x^2 + 1$ को विभाजित करता है। चूंकि न्यूनतम बहुपद की घात को आयाम $3$ को विभाजित करना चाहिए,और $x^2+1$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए वास्तविक (पूर्णांक) अवयवों वाले $3 	imes 3$ आव्यूह के लिए यह असंभव है। अतः,ऐसे आव्यूहों की संख्या $0$ है। स्थिति $2$: $A$ एक विकर्ण आव्यूह है। मान लीजिए $A = 	ext{diag}(a, b, c)$ है। ऐसे आव्यूहों की संख्या $(2001)^3$ है। अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $(2001)^3$ है। प्रायिकता $P = \frac{(2001)^3}{(2001)^9} = \frac{1}{(2001)^6}$ द्वारा दी जाती है। हमारे पास $P = \frac{1}{(2001)^6} = \frac{1}{(2000 + 1)^6} = \frac{1}{2000^6 (1 + \frac{1}{2000})^6} = \frac{1}{64 	imes 10^{18} (1 + \frac{1}{2000})^6}$ है। चूंकि $(1 + \frac{1}{2000})^6 > 1$,इसलिए $P अतः,$P < \frac{1}{10^{18}}$।

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