KVPY 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ટેબલને ઉથલતું અટકાવવા માટે,તે બે નજીકના પાયાને જોડતી રેખાની આસપાસ ફરશે. ધારો કે ટેબલનું કેન્દ્ર $C$ છે અને જ્યાં દળ $m$ કિનારી પર મૂકવામાં આવ્યું છે તે બિંદુ $A$ છે. બે નજીકના પાયાને જોડતી રેખા ધરી (pivot axis) તરીકે કામ કરે છે,જે બિંદુ $B$ માંથી પસાર થાય છે.
નિર્ણાયક સ્થિતિમાં,ધરીની આસપાસ દળ $m$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક,ટેબલના વજન $(M)$ ને કારણે લાગતા ટોર્ક દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ધારો કે $R$ એ ટેબલની ત્રિજ્યા છે. કેન્દ્ર $C$ થી ધરી $B$ સુધીનું અંતર $BC = R \cos 45^{\circ} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ છે.
કિનારી $A$ થી ધરી $B$ સુધીનું અંતર $AB = R - BC = R - \frac{R}{\sqrt{2}} = R(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
ધરીની આસપાસ ટોર્કને સંતુલિત કરતા:
$m g (AB) = M g (BC)$
$m (R(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})) = M (\frac{R}{\sqrt{2}})$
$m = M \frac{1/\sqrt{2}}{1 - 1/\sqrt{2}} = M \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$
અહીં $M = 20 \,kg$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ આપેલ છે:
$m = \frac{20}{1.414 - 1} = \frac{20}{0.414} \approx 48.3 \,kg$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની કિંમત $47 \,kg$ છે.

(D) જ્યારે ગતિશીલ દબાણને કારણે લાગતું બળ પાઇપની પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણના બળ કરતાં વધી જાય ત્યારે પરપોટો પડમાંથી અલગ થાય છે.
ગતિશીલ દબાણને કારણે લાગતું બળ $F_{\text{dynamic}} = P_{\text{dynamic}} \times A = (\frac{1}{2} \rho v^2) \times (\pi R^2)$ છે.
પૃષ્ઠતાણનું બળ પાઇપના પરિઘ પર લાગે છે. સાબુના પડને બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠતાણ બળ $F_{\text{surface tension}} = 2 \times (T \times 2 \pi R) = 4 \pi R T$ થાય છે.
પરપોટો અલગ થવા માટે,ગતિશીલ બળ ઓછામાં ઓછું પૃષ્ઠતાણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{1}{2} \rho v^2 \times \pi R^2 = 4 \pi R T$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} \rho v^2 R = 4 T$
$v^2 = \frac{8 T}{\rho R}$
$v = \sqrt{\frac{8 T}{\rho R}}$
આમ,પરપોટો બનવા માટેની લઘુત્તમ ઝડપ $v = \sqrt{\frac{8 T}{\rho R}}$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{V} = \frac{dU}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$U = \frac{f}{2}RT + C$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આપેલ છે કે $U = \frac{5}{2}pV + C$. $1$ મોલ માટે $pV = RT$ હોવાથી,$U = \frac{5}{2}RT + C$ થાય.
આને $U = \frac{f}{2}RT + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{f}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = 5$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ દ્વારા મળે છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટેનું સમીકરણ $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$\gamma = \frac{7}{5}$ મૂકતા,આપણને $pV^{7/5} = \text{અચળ}$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ ઘાત લેતા,આપણને $p^{5}V^{7} = \text{અચળ}$ મળે છે.

(A,C) સાચા વિકલ્પો $(a)$ અને $(c)$ છે.
$1$. આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે. બંને માર્ગો $1$ અને $2$ અવસ્થા $I$ થી શરૂ થાય છે અને અવસ્થા $F$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ બંને માર્ગો માટે સમાન છે.
$2$. બંને પ્રક્રિયાઓમાં કદમાં વધારો (વિસ્તરણ) થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી,$\Delta W > 0$. બંને માર્ગોમાં ઉષ્માનું શોષણ થાય છે,તેથી વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે.
$3$. $p-V$ આલેખ પર સમતાપી રેખાઓ $(pV = nRT)$ દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે માર્ગ $2$ અંતિમ અવસ્થા પર પાછા ફરતા પહેલા ઉચ્ચ તાપમાનની સમતાપી રેખાઓને ઓળંગે છે. આમ,માર્ગ $2$ પર તાપમાન પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે. વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
$4$. વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $p-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. માર્ગ $2$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ માર્ગ $1$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા સ્પષ્ટપણે મોટું છે. તેથી,માર્ગ $2$ માં થયેલ કાર્ય વધારે છે,જે વિકલ્પ $(d)$ ને ખોટો સાબિત કરે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n \cdot \frac{f}{2} \cdot R \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્ર સખત હોવાથી,કદ $V$ અચળ રહે છે. આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT$ પરથી,આપણને $V \Delta p = nR \Delta T$ મળે છે.
આ કિંમતને આંતરિક ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\Delta U = \frac{f}{2} (V \Delta p)$ મળે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આપેલ છે: $V = 1 \,L = 10^{-3} \,m^{3}$ અને $\Delta p = 10^{5} \,Pa$.
ગણતરી કરતા: $\Delta U = \frac{5}{2} \times 10^{-3} \times 10^{5} = 2.5 \times 10^{2} = 250 \,J$.

(C) અદબનીય,શ્યાનતા રહિત પ્રવાહીના સુરેખ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho g h = \text{અચળ}$
આપેલ આડી પાઇપમાં,ઊંચાઈ $h$ તમામ વિભાગો માટે અચળ છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} = \text{અચળ}$
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$. પાઇપનો વચ્ચેનો ભાગ સાંકડો હોવાથી ($A$ નાનું છે),પ્રવાહનો દર જાળવી રાખવા માટે તે વિભાગમાં પ્રવાહીનો વેગ $(v)$ વધવો જોઈએ.
જેમ સાંકડા વિભાગમાં વેગ $v$ વધે છે,તેમ સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $p$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,વચ્ચેની ઊભી પાઇપમાં પાણીનું સ્તર ડાબી અને જમણી બાજુના પહોળા વિભાગોમાં રહેલા પાણીના સ્તર કરતા નીચું હશે. સાચું નિરૂપણ ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(B) પાટિયાના ફ્રેમમાં બ્લોક પર લાગતા બળો સ્યુડો ફોર્સ $ma$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર પાછળની તરફ),વજન $mg$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર નીચેની તરફ),સ્થિત ઘર્ષણ $f$ (તળિયે) અને લંબબળ $N$ (તળિયે કેન્દ્ર રેખાથી $x$ અંતરે) છે.
બ્લોક રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સ્યુડો ફોર્સ $ma$ અને વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક શૂન્ય છે કારણ કે તેમની કાર્યરેખા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ઘર્ષણ $f$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_f = f \cdot (l/2)$ છે.
લંબબળ $N$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_N = N \cdot x$ છે.
$\tau_N = \tau_f$ લેતા,આપણને $N \cdot x = f \cdot (l/2)$ મળે છે.
$N = mg$ અને $f = ma$ હોવાથી,$mg \cdot x = ma \cdot (l/2)$ મળે.
આમ,$x = (a/g) \cdot (l/2)$.
$a = g/10$ આપેલ હોવાથી,$x = (1/10) \cdot (l/2) = l/20$ મળે.
સ્યુડો ફોર્સ ધન $x$-દિશામાં લાગે છે (બ્લોકની ફ્રેમની સાપેક્ષમાં તે પાછળની તરફ લાગે છે),તેથી ટોર્કને સંતુલિત કરવા માટે લંબબળ ઋણ $x$-દિશામાં ખસવું જોઈએ. તેથી,તે બિંદુ $(-l/20, 0)$ છે.

(A) વિસ્તરણના વક્રો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ $\frac{dp}{dV} = -\gamma \left(\frac{p}{V}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\gamma_{\text{diatomic}} = \frac{7}{5} = 1.4$ અને $\gamma_{\text{monoatomic}} = \frac{5}{3} \approx 1.67$ છે,તેથી $\gamma_{\text{diatomic}} < \gamma_{\text{monoatomic}}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે સમોષ્મી વિસ્તરણ વક્ર દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ કરતા વધુ ઢાળવાળો છે. બંને વાયુઓ સમાન પ્રારંભિક અવસ્થાથી શરૂ થાય છે અને સમાન અંતિમ અવસ્થા સુધી પહોંચે છે,તેથી $p-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કાર્ય દર્શાવે છે. વિસ્તરણ પ્રક્રિયા દરમિયાન દ્વિપરમાણ્વીય વાયુનો વક્ર એકપરમાણ્વીય વાયુના વક્રની ઉપર રહેતો હોવાથી,દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એકપરમાણ્વીય વાયુના વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે.
તેથી,દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એકપરમાણ્વીય વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય કરતા વધારે છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછું આવે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,એટલે કે $\Delta U = 0$ થાય.
$P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ધન હોય છે,અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિ જોતા,ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ઋણ છે,એટલે કે $\Delta W < 0$ થાય.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ થાય. કારણ કે $\Delta U = 0$ અને $\Delta W < 0$ છે,તેથી $\Delta Q = 0 + \Delta W < 0$ મળે. આમ,વાયુને આપેલી ઉષ્મા પણ ઋણ છે,એટલે કે $Q < 0$ થાય.
તેથી,ચિહ્નો $\Delta W < 0$,$\Delta U = 0$,અને $Q < 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ક્ષિતિજ સમાંતર દિશામાં કણની ગતિનો વિરોધ કરતું એકમાત્ર બળ ડ્રેગ બળ છે,જે $F = -kv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma_x$,જ્યાં $a_x$ એ $x$-દિશામાં પ્રવેગ છે.
તેથી,$ma_x = -kv$,જેનો અર્થ છે કે $a_x = -\frac{kv}{m}$.
આ દર્શાવે છે કે $x$-દિશામાં પ્રતિપ્રવેગ એ દડાના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
કારણ કે હલકો દડો $(M)$ ભારે દડા $(2M)$ કરતા વધુ પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે,તેથી તેનો ક્ષિતિજ સમાંતર વેગ વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
પરિણામે,ભારે દડો હલકા દડાની સરખામણીમાં જમીન પર પડતા પહેલા વધુ ક્ષિતિજ સમાંતર અંતર કાપશે.

(A) આપેલ છે કે,ડ્રેગ બળ $F_d$ એ હવાની ઘનતા $\sigma$,બોલનો વેગ $v$ અને બોલના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખે છે.
$F_d \propto \sigma^a v^b A^c$
પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા: $[MLT^{-2}] = [ML^{-3}]^a [LT^{-1}]^b [L^2]^c$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $a=1$,$-3a+b+2c=1$,અને $-b=-2 \Rightarrow b=2$.
$a=1, b=2$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $-3(1)+2+2c=1 \Rightarrow 2c=2 \Rightarrow c=1$.
આમ,$F_d = k \sigma v^2 A$.
ટર્મિનલ વેગ $v_T$ પર,$mg = F_d = k \sigma v_T^2 A$.
કારણ કે $A = \pi R^2$ અને $m = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{ball}$,તેથી $R^2 \propto m^{2/3}$.
$A \propto m^{2/3}$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $mg \propto v_T^2 m^{2/3} \Rightarrow v_T^2 \propto m^{1/3} \Rightarrow v_T \propto m^{1/6}$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right)^{1/6} = \left(\frac{250}{125}\right)^{1/6} = 2^{1/6}$ થાય.

(B) સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $R$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાન $V$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે $E = -\frac{dV}{dR}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ સામ્યતા મુજબ,ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા $j$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ને સમતુલ્ય છે,અને તાપમાન $T$ એ સ્થિતિમાન $V$ ને સમતુલ્ય છે.
આમ,સ્ત્રોતથી $R$ અંતરે ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા $j$ એ $\frac{1}{R^2}$ ના પ્રમાણમાં છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટીમાંથી વહેતી કુલ ઉષ્માનો દર $\dot{Q}$ એ ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા $j$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi R^2$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\dot{Q} = j \cdot A \propto \left( \frac{1}{R^2} \right) \cdot R^2 = R^0$.
જોકે,અનંત અંતરની સાપેક્ષે અચળ તાપમાનના તફાવતે રાખેલા ગોળા માટે,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\dot{Q}$ એ ગોળાની કેપેસીટન્સના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $R$ ના પ્રમાણમાં છે.
ચોક્કસ રીતે,$\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{th}}$,જ્યાં $R_{th} = \frac{1}{4\pi k R}$.
આમ,$\dot{Q} = 4\pi k R \Delta T \propto R^1$.
તેથી,$n = 1$.

(B) શરૂઆતમાં,તંત્ર સંતુલનમાં છે. દળ $M$ માટે,સ્પ્રિંગ બળ $F_s = Mg$. ગરગડી દળરહિત હોવાથી અને દોરી સળંગ હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ એ સ્પ્રિંગ બળ જેટલું જ હોય,તેથી $T = Mg$.
દળ $m$ માટે,બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ છે. $m$ ને જમીન સાથે જોડતી દોરી કાપ્યા પછી,દોરીમાં તણાવ $T = Mg$ થાય છે.
$m$ પર લાગતું પરિણામી બળ ઉપરની તરફ $T - mg = Mg - mg$ છે. તેથી,$m$ નો પ્રવેગ $a_m = (Mg - mg)/m = (M-m)g/m$ ઉપરની તરફ છે.
$M$ પર લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $Mg$ અને તેનું વજન $Mg$ એકબીજાને સંતુલિત કરે છે,તેથી $M$ નો પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(B) ધારો કે કાદવનું એક ટીપું પૈડાના પરિઘ પરથી $u$ જેટલી પ્રારંભિક ઝડપ સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $\theta$ ખૂણે છૂટું પડે છે.
પૈડાના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં કાદવનું ટીપું જે ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચી શકે છે તે છે:
$h = \text{પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ} + \text{કેન્દ્રથી મુક્ત થતા બિંદુની ઊંચાઈ}$
$h = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta}{2 g} + R \sin \theta$
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dh}{d\theta} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{d}{d\theta} \left( \frac{u^{2} \sin^{2} \theta}{2 g} + R \sin \theta \right) = 0$
$\frac{u^{2}}{2 g} (2 \sin \theta \cos \theta) + R \cos \theta = 0$
$\frac{u^{2}}{g} \sin \theta \cos \theta + R \cos \theta = 0$
$\cos \theta \left( \frac{u^{2}}{g} \sin \theta + R \right) = 0$
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે $\cos \theta \neq 0$ હોવાથી,આપણને $\sin \theta = -\frac{Rg}{u^{2}}$ મળે છે.
ભૌમિતિક રીતે,કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{max} = \frac{u^{2}}{2g} + \frac{gR^{2}}{2u^{2}}$ થાય છે.

(C) તંત્રનું તાપમાન $T$ એ સંબંધ $\frac{1}{T} = \frac{dS}{dU}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે એન્ટ્રોપી વિરુદ્ધ ઉર્જા આલેખનો ઢાળ છે.
આપેલા આલેખો પરથી,પ્રારંભિક અવસ્થાઓ $U_{1, i}$ અને $U_{2, i}$ પર,તંત્ર $1$ માટેના આલેખનો ઢાળ તંત્ર $2$ માટેના આલેખના ઢાળ કરતા વધારે છે. તેથી,$\left( \frac{dS}{dU} \right)_1 > \left( \frac{dS}{dU} \right)_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{T_1} > \frac{1}{T_2}$,અથવા $T_1 < T_2$.
તંત્ર $2$ એ તંત્ર $1$ કરતા ઊંચા તાપમાને હોવાથી,ઉષ્મા તંત્ર $2$ થી તંત્ર $1$ તરફ વહેશે જ્યાં સુધી તેઓ ઉષ્મીય સંતુલન પ્રાપ્ત ન કરે. પરિણામે,તંત્ર $1$ ની આંતરિક ઉર્જા $U_1$ વધે છે અને તંત્ર $2$ ની આંતરિક ઉર્જા $U_2$ ઘટે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,અલગ કરેલા તંત્ર (સંયુક્ત તંત્ર $1+2$ અલગ કરેલું છે) માં કોઈપણ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા માટે,કુલ એન્ટ્રોપી સંતુલન સ્થિતિ સુધી વધવી જોઈએ. આમ,કુલ એન્ટ્રોપી વધે છે.

(D) સમાન સપાટી દળ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અતિ પાતળી ડિસ્ક માટે,અક્ષ પર કેન્દ્રથી $z$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g = 2\pi G \sigma \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$z \ll R$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \frac{z}{R(1 + z^2/R^2)^{1/2}} \approx \frac{z}{R}(1 - \frac{z^2}{2R^2}) \approx \frac{z}{R}$.
આમ,$g \approx 2\pi G \sigma (1 - \frac{z}{R}) \approx 2\pi G \sigma$.
આનો અર્થ એ છે કે નાના $z$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર લગભગ અચળ છે,$g = g_0 = 2\pi G \sigma$.
$z$ ઊંચાઈએ તારા માટે ગતિનું સમીકરણ $\ddot{z} = -g_0 \text{sgn}(z)$ છે.
આ ડિસ્ક તરફ અચળ પ્રવેગ સાથેની ગતિ દર્શાવે છે. $z_0$ થી $0$ સુધી મુસાફરી કરવા માટેનો સમય $t = \sqrt{2z_0/g_0}$ છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન ( $z_0$ થી $-z_0$ અને પાછા) માટેનો કુલ આવર્તકાળ $T = 4t = 4\sqrt{\frac{2z_0}{g_0}}$ છે.
તેથી,$T \propto \sqrt{z_0}$.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B} = \sqrt{\frac{2z_0}{z_0}} = \sqrt{2} = 2^{1/2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે બળ $F \propto t^{n} \Rightarrow F = k t^{n} \quad \dots(i)$ મુજબ બદલાય છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈએ છીએ કે $t = 2 \, s$ પર $F = 2 \, N$ અને $t = 4 \, s$ પર $F = 16 \, N$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$16 = k(4)^{n}$ અને $2 = k(2)^{n}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{16}{2} = \frac{k(4)^{n}}{k(2)^{n}} \Rightarrow 8 = (2)^{n} \Rightarrow n = 3$.
હવે,$2 = k(2)^{3} \Rightarrow 2 = 8k \Rightarrow k = 0.25 = \frac{1}{4}$.
તેથી,બળ $F = \frac{t^{3}}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$F = \frac{dp}{dt} \Rightarrow dp = F dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{0}^{v} m dv = \int_{0}^{t} \frac{t^{3}}{4} dt \Rightarrow mv = \frac{t^{4}}{16}$.
$t = 3 \, s$ પર,$v = 2 \, m/s$: $m(2) = \frac{3^{4}}{16} = \frac{81}{16} \Rightarrow m = \frac{81}{32} \, kg$.
$t = 4 \, s$ પર,ધારો કે ઝડપ $v'$ છે:
$m(v') = \frac{4^{4}}{16} = \frac{256}{16} = 16$.
$m = \frac{81}{32}$ મૂકતા:
$(\frac{81}{32}) v' = 16 \Rightarrow v' = \frac{16 \times 32}{81} = \frac{512}{81} \approx 6.32 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઝડપ આશરે $6.5 \, m/s$ છે.

(A) તરતા બ્લોક માટે,બ્લોકનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $Mg = V_{sub} \rho_{water} g$,જ્યાં $V_{sub}$ એ ડૂબેલા ભાગનું કદ છે.
બ્લોકનું કુલ કદ $V = V_{sub} + V_0$ અચળ હોવાથી (લાકડાના ઉષ્મીય પ્રસરણને અવગણતા),આપણને મળે છે $V_0 = V - V_{sub} = V - \frac{M}{\rho_{water}}$.
જેમ પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $10^{\circ} C$ સુધી વધે છે,તેમ પાણીની ઘનતા $\rho_{water}$ શરૂઆતમાં વધે છે,જે $4^{\circ} C$ પર મહત્તમ થાય છે,અને ત્યારબાદ ઘટે છે.
$V_0 = V - \frac{M}{\rho_{water}}$ હોવાથી,જેમ $\rho_{water}$ વધે છે,તેમ પદ $\frac{M}{\rho_{water}}$ ઘટે છે,જેના કારણે $V_0$ એ $4^{\circ} C$ સુધી વધે છે.
$4^{\circ} C$ પછી,જેમ $\rho_{water}$ ઘટે છે,તેમ પદ $\frac{M}{\rho_{water}}$ વધે છે,જેના કારણે $V_0$ ઘટે છે.
તેથી,પાણીની ઉપર રહેલા બ્લોકનું કદ $V_0$ એ $4^{\circ} C$ સુધી વધે છે અને ત્યારબાદ $4^{\circ} C$ થી $10^{\circ} C$ સુધી ઘટે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલા બરફના બ્લોકની જાડાઈનો અંશ $x = 1 - (\rho_{\text{ice}} / \rho_{\text{water}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બરફની ઘનતા $\rho_{\text{ice}} \approx 0.9 \, \text{g/cm}^3$ અને પાણીની ઘનતા $\rho_{\text{water}} = 1 \, \text{g/cm}^3$ લેતા,આપણને $x = 1 - 0.9 = 0.1$ મળે છે.
બરફના બ્લોકની જાડાઈ $H = 8 \, m$ છે.
પાણીની સપાટીથી ઉપર બરફના બ્લોકની ઊંચાઈ $h = H \times x = 8 \times 0.1 = 0.8 \, m$ છે.
વ્યક્તિ બરફ પર ઉભી હોવાથી,પાણીની સપાટી સુધીનું અંતર એ પાણીની ઉપર રહેલા બરફની ઊંચાઈ જેટલું હોય છે.
તેથી,જરૂરી દોરડાની લઘુત્તમ લંબાઈ આશરે $0.8 \, m$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $0.9 \, m$ છે.

(D) જ્યારે છિદ્રવાળું બોક્સ મુક્ત પતન (free fall) કરે છે,ત્યારે અંદરનું પાણી અને બોક્સ બંને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન પ્રવેગ $g$ અનુભવે છે,જે નીચેની તરફ હોય છે.
બોક્સ અને પાણી બંને સમાન દરે પ્રવેગિત થતા હોવાથી,તેમની વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ પ્રવેગ હોતો નથી.
પરિણામે,છિદ્ર પાસે દબાણનો તફાવત શૂન્ય થઈ જાય છે અને બોક્સના મુક્ત પતન દરમિયાન છિદ્રમાંથી પાણી બહાર આવતું નથી.

(C) બે કલાકમાં બાષ્પીભવન પામેલા પાણીનું દળ,$m = 2 \,h \times 20 \,g/h = 40 \,g = 40 \times 10^{-3} \,kg$.
બાષ્પીભવન દરમિયાન પાણી દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = m L$ છે,જ્યાં $L$ એ બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
ધારો કે આ ઉષ્મા સંપૂર્ણપણે માટીની માટલીમાં રહેલા પાણીમાંથી લેવામાં આવે છે,તો પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = M s \Delta T$ છે,જ્યાં $M = 4 \,kg$ એ પાણીનું દળ છે અને $s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
શોષાયેલી ઉષ્મા અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $m L = M s \Delta T$.
તેથી,$\Delta T = \frac{m}{M} \times \frac{L}{s}$.
આપેલ છે કે $\frac{L}{s} = 540^{\circ} C$,તેથી $\Delta T = \frac{40 \times 10^{-3}}{4} \times 540$.
$\Delta T = 0.01 \times 540 = 5.4^{\circ} C$.

(A) થર્મોમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ તાપમાન અને લોઅર ફિક્સ્ડ પોઈન્ટ $(LFP)$ વચ્ચેના તફાવતનો,અપર ફિક્સ્ડ પોઈન્ટ $(UFP)$ અને $LFP$ વચ્ચેના તફાવત સાથેનો ગુણોત્તર તમામ સ્કેલ માટે સમાન રહે છે.
ધારો કે સેલ્સિયસ સ્કેલ પર તાપમાન $C$ છે અને નવા સ્કેલ પર તાપમાન $L$ છે.
સેલ્સિયસ સ્કેલ માટે: $LFP = 0^{\circ} C$,$UFP = 100^{\circ} C$.
નવા પ્રવાહી સ્કેલ માટે: $LFP = -50^{\circ} C$ (જે $0^{\circ} L$ ને અનુરૂપ છે),$UFP = 150^{\circ} C$ (જે $100^{\circ} L$ ને અનુરૂપ છે).
રૂપાંતરણ સૂત્ર: $\frac{L - 0}{100 - 0} = \frac{C - (-50)}{150 - (-50)}$.
$\frac{L}{100} = \frac{C + 50}{200}$.
$L = \frac{C + 50}{2} \Rightarrow 2L = C + 50 \Rightarrow C = 2L - 50$.
પાણીના ગલનબિંદુ માટે $(C = 0^{\circ} C)$:
$0 = 2L - 50 \Rightarrow 2L = 50 \Rightarrow L = 25^{\circ} L$.
પાણીના ઉત્કલનબિંદુ માટે $(C = 100^{\circ} C)$:
$100 = 2L - 50 \Rightarrow 2L = 150 \Rightarrow L = 75^{\circ} L$.
આમ,આ સ્કેલ પર પાણીના ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ $25^{\circ} L$ અને $75^{\circ} L$ છે.

(D) તારાની સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થતા વિકિરણની તીવ્રતા તેના પ્રક્ષેપિત ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $I \propto A$,જ્યાં $A$ એ તારાની ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ છે.
જો $I_0$ એ પિતૃ તારાની તીવ્રતા હોય,તો $I_0 = k \pi (100 R)^2 = k \pi R^2 \times 10000$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
જ્યારે એક્ઝોપ્લેનેટ તારાની સામે હોય,ત્યારે અવલોકિત તીવ્રતા લઘુત્તમ $(I_{\min })$ હોય છે. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે એક્ઝોપ્લેનેટ તેના પોતાના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $\pi R^2$ જેટલો તારાની ડિસ્કનો ભાગ રોકે છે.
આમ,$I_{\min } = k [\pi (100 R)^2 - \pi R^2]$
$I_{\min } = k \pi R^2 (10000 - 1) = k \pi R^2 \times 9999$
લઘુત્તમ તીવ્રતા અને મૂળ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{I_{\min }}{I_0} = \frac{k \pi R^2 \times 9999}{k \pi R^2 \times 10000} = \frac{9999}{10000} = 0.9999$
તેથી,$I_{\min } = 0.9999 \,I_0$.

(A) દડા માટે,આપણી પાસે પ્રારંભિક વેગ $u = 45 \,m/s$ અને પ્રવેગ $g = -10 \,m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v^2 = u^2 + 2gh$
$v^2 = (45)^2 + 2(-10)h$
$v^2 = 2025 - 20h$
$v = \sqrt{2025 - 20h}$
આ સમીકરણ $v-h$ સમતલમાં ડાબી તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
જ્યારે $h = 0$ હોય,ત્યારે $v = 45 \,m/s$ મળે છે.
જ્યારે $v = 0$ હોય,ત્યારે $h = 2025 / 20 = 101.25 \,m \approx 101 \,m$ મળે છે.
સંબંધ $v^2 = 2025 - 20h$ હોવાથી,$v$ વિરુદ્ધ $h$ નો આલેખ પરવલયનો એક ભાગ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ વક્ર આ પરવલય સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જેમાં ઊંચાઈ વધવાની સાથે વેગ ઘટે છે.

(B) ધારો કે મિશ્રણને $25^{\circ} C$ થી $70^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવા માટે $m$ ગ્રામ વરાળનું સંઘનન થાય છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = મિશ્રણ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = (વરાળની સંઘનન ઉષ્મા) + (સંઘનિત પાણી $100^{\circ} C$ થી $70^{\circ} C$ સુધી ઠંડું પડતા મુક્ત થતી ઉષ્મા).
મિશ્રણ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = (મિશ્રણનું દળ) $\times$ (પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા) $\times$ (તાપમાનમાં ફેરફાર).
$m L + m s_w (100 - 70) = M s_w (70 - 25)$.
અહીં $L/s_w = 540^{\circ} C$,$M = 500 \, g$,અને $\Delta T = 45^{\circ} C$ આપેલ છે.
$m(540 + 30) = 500 \times 45$.
$m = (500 \times 45) / 570 \approx 39.47 \, g$.
વરાળનો પુરવઠા દર = $50 \, g/min = 50/60 \, g/s = 5/6 \, g/s$.
સમય $t_0 = m / \text{દર} = 39.47 / (5/6) \approx 47.36 \, s$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $45 \, s$ છે.

(C) જેহেতু ડ્રમ વગાડનારને કોઈ પડઘો સંભળાતો નથી,તેનો અર્થ એ છે કે બે ક્રમિક ડ્રમ બીટ્સ વચ્ચેનો સમયગાળો એ ધ્વનિને પર્વત સુધી જઈને પાછા આવવા માટે લાગતા સમય જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે પર્વતથી પ્રારંભિક અંતર $x$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં બે બીટ્સ વચ્ચેનો સમયગાળો $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \, s$ છે.
ધ્વનિને પર્વત સુધી જઈને પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $\frac{2x}{v}$ છે.
તેથી,$\frac{2x}{v} = 1.5 \implies 2x = 1.5v \quad \dots(i)$
બીજા કિસ્સામાં,અંતર $(x - 90) \, m$ થાય છે અને દર મિનિટે $60$ બીટ્સ છે.
બે બીટ્સ વચ્ચેનો સમયગાળો $T_2 = \frac{60}{60} = 1.0 \, s$ છે.
તેથી,$\frac{2(x - 90)}{v} = 1.0 \implies 2x - 180 = v \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $2x = 1.5v$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$1.5v - 180 = v$
$0.5v = 180$
$v = \frac{180}{0.5} = 360 \, ms^{-1}$.

(B) પોટેન્શિયલ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V(x) = \begin{cases} \frac{k(x+a)^2}{2}, & x < 0 \\ \frac{k(x-a)^2}{2}, & x > 0 \end{cases}$
આ $x = 0$ પર જોડાયેલા બે અડધા પેરાબોલા દર્શાવે છે. પોટેન્શિયલ ઉર્જા $U(x) = mV(x)$ છે.
$E$ ઉર્જા ધરાવતા કણ માટે,ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ $U(x) = E$ દ્વારા મળે છે.
જો $E$ નાનું હોય,તો કણ બેમાંથી એક વેલમાં (કાં તો $x < 0$ અથવા $x > 0$) દોલન કરે છે. આ કિસ્સામાં,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m/k}$ છે,જે $E$ થી સ્વતંત્ર છે.
જેમ $E$ વધે છે,કણ $x = 0$ પરના અવરોધને ઓળંગે છે. $E > V(0) = ka^2/2$ માટે,કણ બંને પ્રદેશોમાં દોલન કરે છે. કુલ આવર્તકાળ $T$ એ દરેક પ્રદેશમાં વિતાવેલા સમયનો સરવાળો છે. જેમ $E$ વધુ વધે છે,કણ પોટેન્શિયલના સપાટ ભાગોમાં વધુ સમય વિતાવે છે,જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ એ $E$ સાથે વધે છે. આમ,આલેખ ઓછા $E$ માટે અચળ $T$ દર્શાવે છે,ત્યારબાદ એક કૂદકો અને ઉચ્ચ $E$ માટે વધતો $T$ દર્શાવે છે,જે આલેખ $(b)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે $A_{1}$ અને $A_{2}$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો $\phi$ કળા તફાવત સાથે વ્યતિકરણ પામે ત્યારે પરિણામી તીવ્રતા $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા $I \propto A^{2}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $I = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2} \cos \phi$.
અહીં $A_{1} = A$ અને $A_{2} = 2A$ આપેલ છે,તેથી પરિણામી તીવ્રતા:
$I = A^{2} + (2A)^{2} + 2(A)(2A) \cos \phi = A^{2}(1 + 4 + 4 \cos \phi) = A^{2}(5 + 4 \cos \phi) \quad \dots (i)$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{0}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos \phi = 1$ હોય:
$I_{0} = A^{2}(5 + 4(1)) = 9A^{2} \implies A^{2} = \frac{I_{0}}{9} \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{I_{0}}{9}(5 + 4 \cos \phi)$.

(B) હાઇઝનબર્ગનો અનિશ્ચિતતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$. $\Delta x$ જેટલા વિસ્તારમાં બંધાયેલા કણની લઘુત્તમ ઉર્જા $\frac{1}{m(\Delta x)^2}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$(IV)$ નેનોટ્યુબમાં રહેલ $H_{2}$ અણુ પ્રમાણમાં મોટા વિસ્તારમાં (નેનોમીટર સ્કેલ) બંધાયેલ છે અને તેનું દળ વધારે છે,તેથી તેની ઉર્જા સૌથી ઓછી છે.
$(II)$ $H_{2}$ અણુમાં રહેલ હાઇડ્રોજન પરમાણુ આંતર-પરમાણ્વીય બળો દ્વારા બંધાયેલ છે,જે નેનોટ્યુબ કરતા નાનો વિસ્તાર ધરાવે છે,તેથી તેની ઉર્જા $(IV)$ કરતા વધારે છે.
$(I)$ $H_{2}$ અણુમાં રહેલ ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુ કરતા ઘણો હલકો છે,અને મોલેક્યુલર ઓર્બિટલમાં તેની મર્યાદિત સ્થિતિને કારણે તેની ગતિજ ઉર્જા પરમાણુ કરતા વધારે હોય છે.
$(III)$ કાર્બન ન્યુક્લિયસમાં રહેલ પ્રોટોન પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળો દ્વારા અત્યંત નાના વિસ્તારમાં (ફેમટોમીટર સ્કેલ) બંધાયેલ છે,તેથી અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ તેની ઉર્જા સૌથી વધુ છે.
તેથી,લઘુત્તમ ઉર્જાનો સાચો વધતો ક્રમ $IV < II < I < III$ છે.

(C) ચોરસ લૂપ $A B C D$ ને કારણે ઘનના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ આપેલું છે.
$D A E F G C D$ માર્ગને $xy$,$yz$ અને $zx$ સમતલમાં ગોઠવાયેલા ત્રણ ચોરસ લૂપ્સના સુપરપોઝિશન તરીકે જોઈ શકાય છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ ત્રણ લૂપ્સ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $\vec{B}_1 = B \hat{i}$,$\vec{B}_2 = B \hat{j}$,અને $\vec{B}_3 = -B \hat{k}$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{net} = B \hat{i} + B \hat{j} - B \hat{k}$ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{B}_{net}| = \sqrt{B^2 + B^2 + (-B)^2} = \sqrt{3B^2} = \sqrt{3} B$ થશે.

(B) જ્યારે ધાતુની તકતી ફરે છે,ત્યારે તકતીની અંદરના મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ અનુભવે છે,જે $F_c = m\omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય વેગ છે,અને $r$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી અંતર છે.
આ કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રથી તકતીની કિનારી તરફ સ્થળાંતર કરે છે.
પરિણામે,તકતીની કિનારી પર ચોખ્ખો ઋણ વીજભાર જમા થાય છે,જ્યારે કેન્દ્ર ધન વીજભારિત બને છે.
સ્થિતિમાન $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $E = -dV/dr$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન કેન્દ્રથી ઋણ કિનારી તરફ હોય છે,તેથી જેમ આપણે કેન્દ્રથી કિનારી તરફ જઈએ છીએ તેમ સ્થિતિમાન ઘટે છે.
તેથી,તકતીની કિનારી પરનો બિંદુ તેના કેન્દ્ર કરતા નીચા સ્થિતિમાન પર હોય છે.

(B) ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ $x=0, x=a$ અને $y=0, y=b$ સમતલો દ્વારા બંધાયેલ છે. $y=0$ આગળ $\theta$ ખૂણે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં લંબ સાથે $r$ ખૂણે વક્રીભવન પામે છે.
કિરણ $y=b$ સુધી પહોંચે તે માટે,તેણે $x=a$ સીમા પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ અનુભવવું આવશ્યક છે. $x=a$ સીમા પર આપાતકોણ $(90^{\circ}-r)$ છે.
$x=a$ પર $TIR$ થવા માટે,આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = 1/n$ છે. તેથી,$\sin(90^{\circ}-r) \geq 1/n$,જેનું સાદું રૂપ $\cos r \geq 1/n$ અથવા $n \geq 1/\cos r$ થાય છે.
$y=0$ સીમા પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n = \sin \theta / \sin r$. કારણ કે $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી હોઈ શકે છે,તેથી સીમાંત કિસ્સો $\theta = 90^{\circ}$ પર મળે છે,જે $n = 1/\sin r$ અથવા $\sin r = 1/n$ આપે છે.
નિત્યસમ $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(1/n)^2 + (1/n)^2 = 1$ મળે છે,જે $2/n^2 = 1$ અથવા $n^2 = 2$ તરફ દોરી જાય છે. તેથી,ન્યૂનતમ વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{2}$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R$ એ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને $\log R = \log R_0 - \lambda t \log e$ મળે છે.
જો લઘુગણકનો આધાર $e$ હોય,તો $\log R = \log R_0 - \lambda t$ થાય.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આપેલા આલેખ પરથી,આપણે બે બિંદુઓ $(t_1, \log R_1) = (8, 8)$ અને $(t_2, \log R_2) = (16, 6)$ લઈ શકીએ છીએ.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{\log R_2 - \log R_1}{t_2 - t_1} = \frac{6 - 8}{16 - 8} = \frac{-2}{8} = -0.25$ છે.
કારણ કે ઢાળ $m = -\lambda$ છે,તેથી $-\lambda = -0.25$,જે ક્ષય અચળાંક $\lambda = 0.25 \text{ min}^{-1}$ આપે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.25} = 2.772 \text{ મિનિટ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $T_{1/2} \approx 3.0 \text{ મિનિટ}$ મળે છે.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y < 0$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમતલની બહારની તરફ (ધન $z$-દિશા) છે અને વેગ $\vec{v}$ એ $-y$-દિશામાં છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $\vec{F}$ એ $-x$-દિશામાં લાગે છે. આમ,પ્રોટોન ડાબી તરફ અર્ધ-વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
જ્યારે પ્રોટોન $y = 0$ ને ઓળંગીને $y > 0$ વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમતલની અંદરની તરફ (ઋણ $z$-દિશા) હોય છે. હવે વેગ $\vec{v}$ એ $+y$-દિશામાં છે. $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $\vec{F}$ એ $-x$-દિશામાં લાગે છે. આમ,પ્રોટોન તે જ દિશામાં વળાંક લેવાનું ચાલુ રાખે છે,અને $xy$-સમતલમાં એક સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર માર્ગ પૂર્ણ કરે છે.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,ગતિપથ એક સંપૂર્ણ વર્તુળ છે,જે આપેલ ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ દ્રશ્ય રજૂઆત સાથે મેળ ખાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયનો માટે રીડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ઉત્સર્જન રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^{2} \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$
આપેલ છે:
રીડબર્ગ અચળાંક $R \approx 1.1 \times 10^{7} \, m^{-1}$
આયર્નનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 26$
પ્રારંભિક અવસ્થા $n_{i} = 2$
અંતિમ અવસ્થા $n_{f} = 1$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = (1.1 \times 10^{7}) \times (26)^{2} \times \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.1 \times 10^{7} \times 676 \times 0.75$
$\frac{1}{\lambda} \approx 5.577 \times 10^{9} \, m^{-1}$
$\lambda$ ની ગણતરી કરતા:
$\lambda \approx 1.79 \times 10^{-10} \, m = 1.79 \, \mathring A$
આમ,તરંગલંબાઇ $2 \, \mathring A$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માંથી અર્ધ-શિરોલંબ ખૂણા $\theta$ વાળા શંકુમાં ઉદ્ભવતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $q_{1}$ માંથી ઉદ્ભવતી ક્ષેત્ર રેખાઓ $\alpha$ ખૂણાવાળા શંકુમાં $q_{2}$ પર $\beta$ ખૂણાવાળા શંકુમાં સમાપ્ત થાય છે,તેથી ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{q_{1}}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \alpha) = \frac{q_{2}}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \beta)$
આપેલ છે કે $q_{2} = \frac{3}{2} q_{1}$,તેથી:
$q_{1}(1 - \cos \alpha) = \frac{3}{2} q_{1}(1 - \cos \beta)$
$1 - \cos 30^{\circ} = \frac{3}{2}(1 - \cos \beta)$
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}(1 - \cos \beta)$
$1 - 0.866 = 1.5(1 - \cos \beta)$
$0.134 = 1.5(1 - \cos \beta)$
$1 - \cos \beta = \frac{0.134}{1.5} \approx 0.0893$
$\cos \beta = 1 - 0.0893 = 0.9107$
કારણ કે $\cos 30^{\circ} \approx 0.866$ અને $\cos \beta \approx 0.9107$ છે,તેથી આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $\beta < 30^{\circ}$.
આમ,$0^{\circ} < \beta < 30^{\circ}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) દ્વારા મળે છે: $E = -\frac{dV}{dr}$.
$V(r) = \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = -\frac{d}{dr} \left( \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \right) = -\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{r(-\alpha e^{-\alpha r}) - e^{-\alpha r}}{r^2} \right) = \frac{q e^{-\alpha r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2} (1 + \alpha r)$.
$r = 1/\alpha$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E(1/\alpha) = \frac{q e^{-1}}{4 \pi \varepsilon_{0} (1/\alpha)^2} (1 + \alpha(1/\alpha)) = \frac{q}{e} \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} (1/\alpha^2)} \cdot 2 = \frac{2q \alpha^2}{4 \pi \varepsilon_{0} e}$.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યાના ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}}$ છે.
$r = 1/\alpha$ પર $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$\phi = \left( \frac{2q \alpha^2}{4 \pi \varepsilon_{0} e} \right) \cdot 4 \pi (1/\alpha)^2 = \frac{2q}{e \varepsilon_{0}}$.
આને $\frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $q_{\text{enclosed}} = 2q/e$ મળે છે.

(A) જ્યારે બે અલગ-અલગ ધાતુઓ વચ્ચેના જંકશનમાંથી સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે તેમની વાહકતામાં તફાવતને કારણે સંપર્ક સપાટી પર વિદ્યુતભાર જમા થાય છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ એ $J = \sigma E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ વાહકતા છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે. બંને સળિયા માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J = I/A$ અચળ રહે છે.
જંકશન પર,વિદ્યુતપ્રવાહની સાતત્યતા માટે વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતાનો લંબ ઘટક સતત હોવો જરૂરી છે. જો કે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = J/\sigma$ બદલાવવું જોઈએ કારણ કે તાંબાની વાહકતા $\sigma$ એ લોખંડની વાહકતા કરતા વધારે છે $(\sigma_{Cu} > \sigma_{Fe})$.
ગોસના નિયમ મુજબ,સંપર્ક સપાટી પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho_s$ એ $\rho_s = \epsilon_0 (E_{Fe} - E_{Cu})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\sigma_{Cu} > \sigma_{Fe}$,તેથી $E_{Fe} > E_{Cu}$ થાય છે. આમ,$\rho_s$ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ જાળવી રાખવા માટે તાંબાની બાજુ પર ધન વિદ્યુતભાર અને લોખંડની બાજુ પર ઋણ વિદ્યુતભાર જમા થાય છે.
તેથી,સાચું નિરૂપણ વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) તરંગો સમતલ અરીસા તરીકે કાર્ય કરે છે જે પ્રકાશનું પરાવર્તન કરીને $\delta$ કોણીય વિસ્તાર ધરાવતી છબી બનાવે છે.
આપેલ છે કે $O$ અને $E$ સમાન ઊંચાઈ પર છે,તેથી $O E B C$ એ $O E \parallel B C$ સાથેનું સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.
ધારો કે બિંદુ $B$ પર આપાતકોણ $\beta$ છે અને બિંદુ $C$ પર આપાતકોણ $\gamma$ છે.
પરાવર્તનની ભૂમિતિ પરથી,સમક્ષિતિજ સાથે પરાવર્તિત કિરણનો ખૂણો અરીસાની સપાટીના નમન $\alpha$ દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે.
પરાવર્તનના નિયમ અને આકૃતિમાં દર્શાવેલ ખૂણાઓના ભૌમિતિક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle 1 = 90^{\circ} - \beta - \alpha$
$\angle 2 = 90^{\circ} - \gamma - \alpha$
$O$ અને $E$ સમાન ઊંચાઈ પર હોવાથી,સંમિતિ મુજબ $\beta = \gamma$ થાય છે.
કોણીય વિસ્તાર $\delta$ એ નિરીક્ષક $E$ પર પરાવર્તિત કિરણો દ્વારા બનતો ખૂણો છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,નમેલા અરીસાઓ દ્વારા થતું કુલ વિચલન $\delta = 2 \alpha$ પરિણમે છે.

(D) આપેલ ગોઠવણીને ધ્યાનમાં લો.
પ્રથમ અનંત લંબાઈના વાહક દ્વારા $R$ લંબ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{1} = \frac{2k\lambda_{1}}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા વાહક પરના નાના ખંડ $dl$ ને ધ્યાનમાં લો જે પ્રથમ વાહકથી સૌથી નજીકના બિંદુથી $l$ અંતરે છે. પ્રથમ વાહકથી આ ખંડનું અંતર $R = \sqrt{r^{2} + l^{2}}$ છે.
વિદ્યુતભાર ખંડ $dq = \lambda_{2} dl$ પર લાગતું બળ $dF = E_{1} dq = \frac{2k\lambda_{1}}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} \lambda_{2} dl$ છે.
સંમિતિને કારણે,બીજા વાહકને લંબ બળના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામી બળ $F$ એ બીજા વાહકની દિશામાંના ઘટકોનું સંકલન છે: $F = \int_{-\infty}^{\infty} dF \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{r}{R} = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2k\lambda_{1}\lambda_{2}}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^{2} + l^{2}}} dl = 2k\lambda_{1}\lambda_{2}r \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dl}{r^{2} + l^{2}}$.
$l = r \tan \theta$ અને $dl = r \sec^{2} \theta d\theta$ આદેશ લેતા,સંકલન $2k\lambda_{1}\lambda_{2}r \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{r \sec^{2} \theta d\theta}{r^{2} \sec^{2} \theta} = 2k\lambda_{1}\lambda_{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = 2k\lambda_{1}\lambda_{2} [\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 2\pi k\lambda_{1}\lambda_{2}$ બને છે.
પરિણામ $r$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,બળ $r^{0}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $\theta$ ખૂણે નમેલા બે સમતલ અરીસાઓ પરથી બે ક્રમિક પરાવર્તન અનુભવે છે,ત્યારે ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન $\delta$ એ સૂત્ર $\delta = 360^{\circ} - 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,નિર્ગમન કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ વિચલન $\delta = 180^{\circ}$ છે.
આ મૂલ્યને સૂત્રમાં મૂકતા:
$180^{\circ} = 360^{\circ} - 2\theta$
$\theta$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$2\theta = 360^{\circ} - 180^{\circ}$
$2\theta = 180^{\circ}$
$\theta = 90^{\circ}$
તેથી,પરાવર્તિત કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર રહે તે માટે અરીસાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(B) આલ્ફા-વોલ્ટ $(\alpha-V)$ ને એવી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે એક $\alpha$-કણ (વીજભાર $2e$ એકમ) $1 \,V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય ત્યારે મેળવે છે.
$\alpha$-કણનો વીજભાર $q = +2e$ છે,જ્યાં $e$ એ પ્રાથમિક વીજભાર છે.
કોઈપણ વીજભારિત કણ જ્યારે $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થાય ત્યારે તેને મળતી ઉર્જા $E = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$-કણ માટે કિંમતો મૂકતા:
$E = (2e) \times (1 \,V) = 2 \,eV$.
તેથી,$1 \alpha-V = 2 \,eV$ થાય છે.

(D) પ્રવાહ $I$,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \rho A v$ છે.
આપેલ છે:
$I = 500 \,\mu A = 500 \times 10^{-6} \,A$
$v = 3 \times 10^7 \,m/s$
$A = 1.50 \,mm^2 = 1.50 \times 10^{-6} \,m^2$
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\rho = \frac{I}{A v}$
કિંમતો મૂકતા:
$\rho = \frac{500 \times 10^{-6}}{(1.50 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^7)}$
$\rho = \frac{500}{1.50 \times 3 \times 10^7}$
$\rho = \frac{500}{4.5 \times 10^7} \approx 1.11 \times 10^{-5} \,C/m^3$.
આમ,આ મૂલ્ય $10^{-5} \,C/m^3$ ની નજીક છે.

(A) ચંદ્રગ્રહણ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પૃથ્વી સૂર્ય અને ચંદ્રની વચ્ચે હોય છે,જે ફક્ત પૂનમના દિવસે જ શક્ય છે.
વિકલ્પ $(A)$ જણાવે છે કે ચંદ્રગ્રહણ અમાસ અને પૂનમના દિવસે થઈ શકે છે,જે ખોટું છે કારણ કે અમાસ ત્યારે થાય છે જ્યારે ચંદ્ર પૃથ્વી અને સૂર્યની વચ્ચે હોય છે.
વિકલ્પ $(B)$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વી અને ચંદ્રની કક્ષાઓ લગભગ $5^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે. જો તેઓ એક જ સમતલમાં હોત,તો આ ગોઠવણી દર મહિને થાત.
વિકલ્પ $(C)$ સાચું છે કારણ કે પૃથ્વીનું વાતાવરણ ટૂંકી તરંગલંબાઇ (વાદળી) ને વિખેરી નાખે છે અને લાંબી તરંગલંબાઇ (લાલ) ને પસાર થવા દે છે,જે ચંદ્રને પ્રકાશિત કરે છે.
વિકલ્પ $(D)$ સાચું છે કારણ કે તે ચંદ્રગ્રહણ માટે જરૂરી તબક્કાને યોગ્ય રીતે ઓળખે છે.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે $(A)$ છે.

(B) જ્યારે પ્રવાહ $I$ બદલાતા આડછેદ ધરાવતા વાહકમાંથી વહે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારના સાતત્યને કારણે દરેક આડછેદમાંથી વહેતો પ્રવાહ અચળ રહે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = jA$,જ્યાં $j$ એ પ્રવાહ ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનો વિસ્તાર છે,તેથી $j_1 A_1 = j_2 A_2$ થાય.
જેમ વિસ્તાર ઘટે છે $(A_2 < A_1)$,તેમ પ્રવાહ ઘનતા વધવી જોઈએ $(j_2 > j_1)$.
વળી,પ્રવાહ ઘનતા અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $j = n e v_d$ છે. અહીં $n$ અને $e$ અચળ હોવાથી,જેમ વિસ્તાર ઘટે છે તેમ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વધે છે.
ઓમના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપ મુજબ,$j = \frac{E}{\rho}$,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે અને $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે.
જેમ $j$ વધે છે અને આપેલ દ્રવ્ય માટે $\rho$ અચળ છે,તેથી સાંકડા વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય વધવું જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) સાચું વિધાન $(b)$ છે.
$1$. મોડી બપોરે,જ્યારે પશ્ચિમમાં રહેલા સૂર્યના પ્રકાશનું પાણીના ટીપાંના સ્તર દ્વારા પરાવર્તન અને વક્રીભવન થાય છે,ત્યારે પૂર્વ દિશામાં મેઘધનુષ દેખાય છે.
$2$. મેઘધનુષ ગોળાકાર હોય છે કારણ કે અવલોકનકારની આંખ સુધી પહોંચતા પરાવર્તિત કિરણોનો બિંદુપથ એક વર્તુળ બનાવે છે. તેનો આકાર પૃથ્વીની ગોળાઈને કારણે નથી.
$3$. વાતાવરણના અભાવને કારણે ચંદ્ર પર મેઘધનુષ જોવા મળતું નથી.
$4$. પ્રાથમિક મેઘધનુષમાં,જાંબલી રંગ અંદરની તરફ અને લાલ રંગ ચાપની બહારની તરફ હોય છે.
$5$. દ્વિતીય મેઘધનુષમાં,લાલ રંગ અંદરની તરફ અને જાંબલી રંગ ચાપની બહારની તરફ હોય છે.
$6$. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે કારણ કે તે દ્વિતીય મેઘધનુષની રંગ ગોઠવણીનું સચોટ વર્ણન કરે છે.

(C) ધારો કે ઉપગ્રહની ઊંચાઈ $h = 500 \, km = 500 \times 10^3 \, m = 5 \times 10^5 \, m$ છે.
કેમેરા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 50 \, cm = 0.5 \, m$ છે.
ધારો કે $d_1$ એ કેમેરા સ્ક્રીનનો વ્યાસ છે અને $d_2$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર અવલોકન કરેલ વિસ્તારનો વ્યાસ છે.
લેન્સની ભૂમિતિ પરથી,સ્ક્રીન અને પાર્થિવ વિસ્તાર બંને માટે કોણીય દ્રષ્ટિકોણ સમાન છે,તેથી $\theta_1 = \theta_2$.
સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{d_1}{f} = \frac{d_2}{h}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d_2}{d_1} = \frac{h}{f}$.
પાર્થિવ ક્ષેત્રફળ $A_0$ અને સ્ક્રીન ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર તેમના રેખીય પરિમાણોના ગુણોત્તરના વર્ગ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{A_0}{A} = \frac{(\pi d_2^2 / 4)}{(\pi d_1^2 / 4)} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 = \left( \frac{h}{f} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{A_0}{A} = \left( \frac{500 \times 10^3 \, m}{50 \times 10^{-2} \, m} \right)^2 = \left( \frac{5 \times 10^5}{5 \times 10^{-1}} \right)^2 = (10^6)^2 = 10^{12}$.
આમ,અવલોકન કરેલ પાર્થિવ ક્ષેત્રફળ $10^{12} A$ છે.

(D) પાણીથી ભરેલો નળાકાર ગ્લાસ નળાકાર લેન્સ તરીકે કામ કરે છે.
નળાકાર લેન્સમાં માત્ર એક જ દિશામાં (આડી) વક્રતા હોય છે.
તેથી,તે છબીનું પાર્શ્વ ઉલટન (lateral inversion) કરે છે પરંતુ છબીને ઉભી ઉલટાવતું નથી.
પરિણામે,અક્ષરો $A$ અને $C$ (જે ઉભા ગોઠવાયેલા છે) તેમની મૂળ ઉભી સ્થિતિમાં રહે છે,જ્યારે અક્ષરો $B$ અને $D$ (જે આડા ગોઠવાયેલા છે) આડા બદલાઈ જાય છે.
આમ,સાચો દેખાવ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવ્યા મુજબનો છે.

(B) એક કરતા વધુ માધ્યમો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે આભાસી ઊંડાઈ $d$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{d_1}{\mu_1} + \frac{d_2}{\mu_2}$
જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ માધ્યમોની જાડાઈ છે અને $\mu_1$ અને $\mu_2$ એ તેમના અનુક્રમે વક્રીભવનાંક છે.
અહીં,પાણી માટે: $d_1 = 5 \,cm$ અને $\mu_1 = 1.33$.
કાચના સ્લેબ માટે: $d_2 = 2 \,cm$ અને $\mu_2 = 1.5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{5}{1.33} + \frac{2}{1.5}$
$d \approx 3.759 + 1.333$
$d \approx 5.092 \,cm$.
નજીકના મૂલ્યમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $d \approx 5.1 \,cm$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રોટોનનું દળ $m_1 = m$ અને તેનો વિદ્યુતભાર $q_1 = e$ છે. ધારો કે $\alpha$-કણનું દળ $m_2 = 4m$ અને તેનો વિદ્યુતભાર $q_2 = 2e$ છે.
$\alpha$-કણ ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોવાથી,આપણે સિસ્ટમને સેન્ટર-ઓફ-માસ ફ્રેમમાં વિચારીએ છીએ. સિસ્ટમનું રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot 4m}{m + 4m} = \frac{4m}{5}$ છે.
સેન્ટર-ઓફ-માસ ફ્રેમમાં સિસ્ટમની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{2} (\frac{4m}{5}) v^2 = \frac{2}{5} mv^2$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર $r$ પર,કણોનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ $r$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} mv^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e \cdot 2e}{r}$
$\frac{2}{5} mv^2 = \frac{2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{5 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m v^2}$.