$\ln x e$ आधार के सापेक्ष $x$ के लघुगणक को इंगित करता है। मान लीजिए $S \subset R$ उन सभी बिन्दुओं का समुच्चय है, जहाँ फलन $\ln \left(x^2-1\right)$ पूर्णतः परिभाषित है । तब फलनों $f: S \rightarrow R$ की संख्या, जो अवकलनीय हैं एवं $f^{\prime}(x)=\ln \left(x^2-1\right)$ को सभी $x \in S$ तथा $f(2)=0$ को संतुष्ट करते है :

$x \in R$ के लिए, मान लें कि $f(x)=|\sin x|$ एवं $g(x)=\int_0^x f(t) d t$ है। मान लें कि $p(x)=$ $g(x)-\frac{2}{\pi} x$ । तब

माना फलन $y=f(x)$ अंतराल $(-5,5)$ तीन बार अवकलनीय है। माना वक्र $y=f(x)$ के बिंदुओं $(1, f(1))$ तथा $(3, f(3))$ पर स्पर्श रेखाएँ धनात्मक $\mathrm{x}$-अक्ष से क्रमशः $\frac{\pi}{6}$ तथा $\frac{\pi}{4}$ के कोण बनाती हैं। यदि $27 \int_1^3\left(\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{t})\right)^2+1\right) \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\alpha+\beta \sqrt{3}$ है, जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं, तो $\alpha+\beta$ का मान बराबर है

दिये गए अऋणात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, मान ले कि $I_n=\int_0^{\pi / 2} x^n \cos x d x$. दी गयी अनंत श्रेणी $\sum \limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{I_n}{n !}+\frac{I_{n-2}}{(n-2) !}\right)$ का मान निम्न होगा

यदि फलन $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ निम्न प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है: $f(0) = - 1,$ $f'(\log 2) = 31$ तथा $\int_0^{\log 4} {(f(x) - Rx)\,dx = \frac{{39}}{2}} $ तो $P, Q, R$ के मान हैं

यदि $b _{ n }=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^2 nx }{\sin x } dx , n \in N$ है तब