MathematicsQ1–50 of 50 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $C_0$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. $n \geq 1$ માટે,ધારો કે $C_n$ એવું વર્તુળ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $C_{n-1}$ માં અંતર્ગત ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. તો,$\sum_{i=0}^{\infty} \text{Area}(C_i)$ બરાબર શું થાય?
A
$\pi^2$
B
$\frac{\pi-2}{\pi^2}$
C
$\frac{1}{\pi^2}$
D
$\frac{\pi^2}{\pi-2}$
Solution
(D) ધારો કે $r_n$ એ વર્તુળ $C_n$ ની ત્રિજ્યા છે. આપેલ છે કે $r_0 = 1$,તેથી $\text{Area}(C_0) = \pi r_0^2 = \pi$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસનો વિકર્ણ તેના વ્યાસ $2r$ જેટલો હોય છે. જો ચોરસની બાજુ $a$ હોય,તો $a^2 + a^2 = (2r)^2$,જેનો અર્થ છે કે $2a^2 = 4r^2$,તેથી $a^2 = 2r^2$.
$C_{n-1}$ માં અંતર્ગત ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2r_{n-1}^2$ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$\text{Area}(C_n) = \pi r_n^2 = 2r_{n-1}^2$.
આમ,$r_n^2 = \frac{2}{\pi} r_{n-1}^2$. આ ક્ષેત્રફળો $A_n = \text{Area}(C_n)$ માટે એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A_0 = \pi$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $k = \frac{2}{\pi}$ છે.
ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $\sum_{i=0}^{\infty} A_i = A_0 + A_0 k + A_0 k^2 + \dots = \frac{A_0}{1-k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sum_{i=0}^{\infty} \text{Area}(C_i) = \frac{\pi}{1 - \frac{2}{\pi}} = \frac{\pi}{\frac{\pi-2}{\pi}} = \frac{\pi^2}{\pi-2}$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસનો વિકર્ણ તેના વ્યાસ $2r$ જેટલો હોય છે. જો ચોરસની બાજુ $a$ હોય,તો $a^2 + a^2 = (2r)^2$,જેનો અર્થ છે કે $2a^2 = 4r^2$,તેથી $a^2 = 2r^2$.
$C_{n-1}$ માં અંતર્ગત ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2r_{n-1}^2$ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$\text{Area}(C_n) = \pi r_n^2 = 2r_{n-1}^2$.
આમ,$r_n^2 = \frac{2}{\pi} r_{n-1}^2$. આ ક્ષેત્રફળો $A_n = \text{Area}(C_n)$ માટે એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A_0 = \pi$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $k = \frac{2}{\pi}$ છે.
ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $\sum_{i=0}^{\infty} A_i = A_0 + A_0 k + A_0 k^2 + \dots = \frac{A_0}{1-k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sum_{i=0}^{\infty} \text{Area}(C_i) = \frac{\pi}{1 - \frac{2}{\pi}} = \frac{\pi}{\frac{\pi-2}{\pi}} = \frac{\pi^2}{\pi-2}$.
0 likesView Solution
2
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
વાસ્તવિક સંખ્યા $r$ માટે,આપણે $[r]$ ને $r$ થી નાની અથવા તેના જેટલી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા તરીકે દર્શાવીએ છીએ. જો $x, y$ એ $x, y \geq 1$ હોય તેવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન હંમેશા સાચું છે?
A
$[x+y] \leq [x] + [y]$
B
$[xy] \leq [x][y]$
C
$[2^x] \leq 2^{[x]}$
D
$[x/y] \leq [x]/[y]$
Solution
(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
$(a)$ $[x+y] \leq [x] + [y]$: ધારો કે $x = 0.6, y = 0.5$. તો $[0.6+0.5] = [1.1] = 1$,જ્યારે $[0.6] + [0.5] = 0 + 0 = 0$. $1 \not\leq 0$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(b)$ $[xy] \leq [x][y]$: ધારો કે $x = 1.5, y = 1.6$. તો $[1.5 \times 1.6] = [2.4] = 2$,જ્યારે $[1.5][1.6] = 1 \times 1 = 1$. $2 \not\leq 1$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(c)$ $[2^x] \leq 2^{[x]}$: ધારો કે $x = 2.5$. તો $[2^{2.5}] = [4\sqrt{2}] \approx [5.65] = 5$,જ્યારે $2^{[2.5]} = 2^2 = 4$. $5 \not\leq 4$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(d)$ $[x/y] \leq [x]/[y]$: $x, y \geq 1$ માટે,જો $x < y$ હોય,તો $[x/y] = 0$,અને $[x] \geq 1$ અને $[y] \geq 1$ હોવાથી,$[x]/[y] \geq 0$,તેથી $0 \leq [x]/[y]$ સાચું છે. જો $x \geq y$ હોય,તો $x, y \geq 1$ માટે $[x/y] \leq [x]/[y]$ ગુણધર્મ સાચો રહે છે.
$(a)$ $[x+y] \leq [x] + [y]$: ધારો કે $x = 0.6, y = 0.5$. તો $[0.6+0.5] = [1.1] = 1$,જ્યારે $[0.6] + [0.5] = 0 + 0 = 0$. $1 \not\leq 0$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(b)$ $[xy] \leq [x][y]$: ધારો કે $x = 1.5, y = 1.6$. તો $[1.5 \times 1.6] = [2.4] = 2$,જ્યારે $[1.5][1.6] = 1 \times 1 = 1$. $2 \not\leq 1$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(c)$ $[2^x] \leq 2^{[x]}$: ધારો કે $x = 2.5$. તો $[2^{2.5}] = [4\sqrt{2}] \approx [5.65] = 5$,જ્યારે $2^{[2.5]} = 2^2 = 4$. $5 \not\leq 4$ હોવાથી,આ ખોટું છે.
$(d)$ $[x/y] \leq [x]/[y]$: $x, y \geq 1$ માટે,જો $x < y$ હોય,તો $[x/y] = 0$,અને $[x] \geq 1$ અને $[y] \geq 1$ હોવાથી,$[x]/[y] \geq 0$,તેથી $0 \leq [x]/[y]$ સાચું છે. જો $x \geq y$ હોય,તો $x, y \geq 1$ માટે $[x/y] \leq [x]/[y]$ ગુણધર્મ સાચો રહે છે.
0 likesView Solution
3
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,ધારો કે $A_n = \max \left\{ \binom{n}{r} \mid 0 \leq r \leq n \right\}$. તો,$n \in \{1, 2, \ldots, 20\}$ ના એવા કેટલા ઘટકો છે જેના માટે $1.9 \leq \frac{A_n}{A_{n-1}} \leq 2$ થાય?
A
$9$
B
$10$
C
$11$
D
$12$
Solution
(C) આપણી પાસે $A_n = \max \left\{ \binom{n}{r} \mid 0 \leq r \leq n \right\}$ છે.
કિસ્સો $I$: જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે $A_n = \binom{n}{n/2}$.
તેથી $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{\binom{n}{n/2}}{\binom{n-1}{(n-2)/2}} = 2$.
$1.9 \leq 2 \leq 2$ હોવાથી,$n$ ના તમામ બેકી મૂલ્યો શરતનું પાલન કરે છે. આવા $10$ મૂલ્યો છે $(n = 2, 4, \ldots, 20)$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $n$ એકી હોય,ત્યારે $A_n = \binom{n}{(n-1)/2}$.
તેથી $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{2n}{n+1}$.
શરત $1.9 \leq \frac{2n}{n+1} \leq 2$ માટે,$n \geq 19$ મળે છે.
$n \in \{1, 3, \ldots, 19\}$ માંથી,માત્ર $n = 19$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
કુલ મૂલ્યો $10 + 1 = 11$ છે.
કિસ્સો $I$: જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે $A_n = \binom{n}{n/2}$.
તેથી $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{\binom{n}{n/2}}{\binom{n-1}{(n-2)/2}} = 2$.
$1.9 \leq 2 \leq 2$ હોવાથી,$n$ ના તમામ બેકી મૂલ્યો શરતનું પાલન કરે છે. આવા $10$ મૂલ્યો છે $(n = 2, 4, \ldots, 20)$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $n$ એકી હોય,ત્યારે $A_n = \binom{n}{(n-1)/2}$.
તેથી $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{2n}{n+1}$.
શરત $1.9 \leq \frac{2n}{n+1} \leq 2$ માટે,$n \geq 19$ મળે છે.
$n \in \{1, 3, \ldots, 19\}$ માંથી,માત્ર $n = 19$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
કુલ મૂલ્યો $10 + 1 = 11$ છે.
0 likesView Solution
4
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $b, d > 0$. બધા બિંદુઓ $P(r, \theta)$ નો બિંદુગણ (locus) શોધો જેના માટે રેખા $OP$ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે) એ રેખા $r \sin \theta = b$ ને $Q$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $PQ = d$ થાય.
A
$(r - d) \sin \theta = b$
B
$(r \pm d) \sin \theta = b$
C
$(r - d) \cos \theta = b$
D
$(r \pm d) \cos \theta = b$
Solution
(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(r, \theta)$ છે. કાર્તેઝિયન યામમાં,$P = (r \cos \theta, r \sin \theta)$.
રેખા $OP$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનું સમીકરણ $y = x \tan \theta$ છે.
રેખા $r \sin \theta = b$ એ કાર્તેઝિયન યામમાં $y = b$ ને સમાન છે.
ધારો કે $Q$ એ રેખા $OP$ અને રેખા $y = b$ નું છેદબિંદુ છે.
$Q$ એ $y = b$ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $b$ છે. $Q$ એ $OP$ પર હોવાથી,ઉગમબિંદુથી તેનું ધ્રુવીય અંતર $OQ$ એ $OQ \sin \theta = b$ નું પાલન કરે છે,તેથી $OQ = \frac{b}{\sin \theta}$.
$PQ = d$ આપેલ હોવાથી,અંતર $OP = OQ \pm d = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$.
આમ,$r = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$.
$\sin \theta$ વડે ગુણતા,આપણને $r \sin \theta = b \pm d \sin \theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(r \mp d) \sin \theta = b$ થાય છે.
$d$ અચળ હોવાથી,બિંદુગણ $(r \pm d) \sin \theta = b$ છે.
રેખા $OP$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનું સમીકરણ $y = x \tan \theta$ છે.
રેખા $r \sin \theta = b$ એ કાર્તેઝિયન યામમાં $y = b$ ને સમાન છે.
ધારો કે $Q$ એ રેખા $OP$ અને રેખા $y = b$ નું છેદબિંદુ છે.
$Q$ એ $y = b$ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $b$ છે. $Q$ એ $OP$ પર હોવાથી,ઉગમબિંદુથી તેનું ધ્રુવીય અંતર $OQ$ એ $OQ \sin \theta = b$ નું પાલન કરે છે,તેથી $OQ = \frac{b}{\sin \theta}$.
$PQ = d$ આપેલ હોવાથી,અંતર $OP = OQ \pm d = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$.
આમ,$r = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$.
$\sin \theta$ વડે ગુણતા,આપણને $r \sin \theta = b \pm d \sin \theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(r \mp d) \sin \theta = b$ થાય છે.
$d$ અચળ હોવાથી,બિંદુગણ $(r \pm d) \sin \theta = b$ છે.
0 likesView Solution
5
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $C$ એ $XY$-સમતલમાં વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે. દરેક $t \geq 0$ માટે,ધારો કે $L_t$ એ $(0,1)$ અને $(t, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. નોંધો કે $L_t$ એ $C$ ને બે બિંદુઓમાં છેદે છે,જેમાંથી એક $(0,1)$ છે. ધારો કે $Q_t$ એ બીજું બિંદુ છે. જેમ $t$ એ $1$ અને $1+\sqrt{2}$ ની વચ્ચે બદલાય છે,તેમ બિંદુઓ $Q_t$ નો સમૂહ $C$ પર એક ચાપ બનાવે છે. આ ચાપ દ્વારા $(0,0)$ આગળ આંતરાતો ખૂણો કેટલો છે?
A
$\frac{\pi}{8}$
B
$\frac{\pi}{4}$
C
$\frac{\pi}{3}$
D
$\frac{3\pi}{8}$
Solution
(B) વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે.
રેખા $L_t$ એ $(0,1)$ અને $(t,0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{t} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $y = 1 - \frac{x}{t}$ માં પરિણમે છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2 + (1 - \frac{x}{t})^2 = 1$.
$x^2 + 1 - \frac{2x}{t} + \frac{x^2}{t^2} = 1$.
$x^2(1 + \frac{1}{t^2}) = \frac{2x}{t}$.
$x^2(\frac{t^2+1}{t^2}) = \frac{2x}{t} \implies x = 0$ અથવા $x = \frac{2t}{1+t^2}$.
બિંદુ $(0,1)$ એ $x=0$ ને અનુરૂપ છે. બીજું બિંદુ $Q_t$ માટે $x = \frac{2t}{1+t^2}$ છે.
ત્યારબાદ $y = 1 - \frac{2}{1+t^2} = \frac{t^2-1}{t^2+1}$.
ધારો કે $t = \tan \theta$. તો $x = \sin 2\theta$ અને $y = -\cos 2\theta$.
$t \in [1, 1+\sqrt{2}]$ માટે,$\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}]$.
ખૂણો $2\theta$ એ $\frac{\pi}{2}$ થી $\frac{3\pi}{4}$ સુધી બદલાય છે.
ઉગમબિંદુ આગળ આંતરાતો ખૂણો: $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
રેખા $L_t$ એ $(0,1)$ અને $(t,0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{t} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $y = 1 - \frac{x}{t}$ માં પરિણમે છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2 + (1 - \frac{x}{t})^2 = 1$.
$x^2 + 1 - \frac{2x}{t} + \frac{x^2}{t^2} = 1$.
$x^2(1 + \frac{1}{t^2}) = \frac{2x}{t}$.
$x^2(\frac{t^2+1}{t^2}) = \frac{2x}{t} \implies x = 0$ અથવા $x = \frac{2t}{1+t^2}$.
બિંદુ $(0,1)$ એ $x=0$ ને અનુરૂપ છે. બીજું બિંદુ $Q_t$ માટે $x = \frac{2t}{1+t^2}$ છે.
ત્યારબાદ $y = 1 - \frac{2}{1+t^2} = \frac{t^2-1}{t^2+1}$.
ધારો કે $t = \tan \theta$. તો $x = \sin 2\theta$ અને $y = -\cos 2\theta$.
$t \in [1, 1+\sqrt{2}]$ માટે,$\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}]$.
ખૂણો $2\theta$ એ $\frac{\pi}{2}$ થી $\frac{3\pi}{4}$ સુધી બદલાય છે.
ઉગમબિંદુ આગળ આંતરાતો ખૂણો: $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
0 likesView Solution
6
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
એક ઉપવલયમાં,તેના નાભિઓ અને તેના મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ સમાન અંતરે આવેલા છે. જો તેના અર્ધ-ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2 \sqrt{2}$ હોય,તો તેના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.
A
$4$
B
$2 \sqrt{3}$
C
$\sqrt{10}$
D
$3$
Solution
(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $A'(-a, 0)$ અને $A(a, 0)$ છે.
નાભિઓ $S'(-ae, 0)$ અને $S(ae, 0)$ છે.
આપેલ છે કે નાભિઓ અને મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ સમાન અંતરે છે,તેથી $A'S'$,$S'S$,અને $SA$ ની લંબાઈ સમાન છે.
$A'S' = S'S = SA = k$ (ધારો).
મુખ્ય અક્ષની કુલ લંબાઈ $A'A = 2a$ છે.
તેથી,$k + k + k = 2a \implies 3k = 2a \implies k = \frac{2a}{3}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $S'S = 2ae = k = \frac{2a}{3}$ છે.
તેથી,$e = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
અહીં $b = 2\sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $b^2 = 8$.
$8 = a^2(1 - (\frac{1}{3})^2) = a^2(1 - \frac{1}{9}) = a^2(\frac{8}{9})$.
$8 = \frac{8a^2}{9} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $3$ છે.
મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $A'(-a, 0)$ અને $A(a, 0)$ છે.
નાભિઓ $S'(-ae, 0)$ અને $S(ae, 0)$ છે.
આપેલ છે કે નાભિઓ અને મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ સમાન અંતરે છે,તેથી $A'S'$,$S'S$,અને $SA$ ની લંબાઈ સમાન છે.
$A'S' = S'S = SA = k$ (ધારો).
મુખ્ય અક્ષની કુલ લંબાઈ $A'A = 2a$ છે.
તેથી,$k + k + k = 2a \implies 3k = 2a \implies k = \frac{2a}{3}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $S'S = 2ae = k = \frac{2a}{3}$ છે.
તેથી,$e = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
અહીં $b = 2\sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $b^2 = 8$.
$8 = a^2(1 - (\frac{1}{3})^2) = a^2(1 - \frac{1}{9}) = a^2(\frac{8}{9})$.
$8 = \frac{8a^2}{9} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $3$ છે.
0 likesView Solution
7
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેમાં $AB = BC$. ધારો કે $F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $X$ એ $BC$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $FX$ એ $AB$ ને લંબ હોય. જો $BX = 3XC$ હોય,તો ગુણોત્તર $BC / AC$ ની કિંમત શોધો.
A
$\sqrt{3}$
B
$\sqrt{2}$
C
$\sqrt{\frac{3}{2}}$
D
$1$
Solution
(C) ધારો કે $BC = 4x$. કારણ કે $BX = 3XC$ અને $BC = BX + XC$,તેથી $BX = 3x$ અને $XC = x$.
આપેલ છે કે $AB = BC$,તેથી $AB = 4x$.
$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BF = AF = 2x$.
$\triangle BFX$ માં,$\angle BFX = 90^\circ$. તેથી,$\cos B = \frac{BF}{BX} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.
$\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2(AB)(BC)}$
$\frac{2}{3} = \frac{(4x)^2 + (4x)^2 - AC^2}{2(4x)(4x)}$
$\frac{2}{3} = \frac{32x^2 - AC^2}{32x^2}$
$64x^2 = 3(32x^2 - AC^2)$
$64x^2 = 96x^2 - 3AC^2$
$3AC^2 = 32x^2$
$AC^2 = \frac{32x^2}{3}$
$AC = \sqrt{\frac{32}{3}}x = 4x \sqrt{\frac{2}{3}}$
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{4x}{4x \sqrt{\frac{2}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
આપેલ છે કે $AB = BC$,તેથી $AB = 4x$.
$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BF = AF = 2x$.
$\triangle BFX$ માં,$\angle BFX = 90^\circ$. તેથી,$\cos B = \frac{BF}{BX} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.
$\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2(AB)(BC)}$
$\frac{2}{3} = \frac{(4x)^2 + (4x)^2 - AC^2}{2(4x)(4x)}$
$\frac{2}{3} = \frac{32x^2 - AC^2}{32x^2}$
$64x^2 = 3(32x^2 - AC^2)$
$64x^2 = 96x^2 - 3AC^2$
$3AC^2 = 32x^2$
$AC^2 = \frac{32x^2}{3}$
$AC = \sqrt{\frac{32}{3}}x = 4x \sqrt{\frac{2}{3}}$
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{4x}{4x \sqrt{\frac{2}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
0 likesView Solution
8
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં સમીકરણ $\cos^4 x + \frac{1}{\cos^2 x} = \sin^4 x + \frac{1}{\sin^2 x}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$6$
B
$4$
C
$2$
D
$0$
Solution
(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos^4 x + \frac{1}{\cos^2 x} = \sin^4 x + \frac{1}{\sin^2 x}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ હોવાથી,આપણને મળે: $\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
આથી $(\cos^2 x - \sin^2 x) \left(1 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\right) = 0$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ મળે.
તેથી,$\cos 2x \left(1 - \frac{4}{\sin^2 2x}\right) = 0$
આનાથી $\cos 2x = 0$ અથવા $\sin^2 2x = 4$ મળે. $\sin^2 2x$ ની કિંમત $4$ ન હોઈ શકે,તેથી $\cos 2x = 0$ લેતા.
આમ,$2x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,એટલે કે $x = (2n+1)\frac{\pi}{4}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માટે,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ હોવાથી,આપણને મળે: $\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
આથી $(\cos^2 x - \sin^2 x) \left(1 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\right) = 0$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ મળે.
તેથી,$\cos 2x \left(1 - \frac{4}{\sin^2 2x}\right) = 0$
આનાથી $\cos 2x = 0$ અથવા $\sin^2 2x = 4$ મળે. $\sin^2 2x$ ની કિંમત $4$ ન હોઈ શકે,તેથી $\cos 2x = 0$ લેતા.
આમ,$2x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,એટલે કે $x = (2n+1)\frac{\pi}{4}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માટે,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.
0 likesView Solution
9
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $n \geq 3$. સંખ્યાઓની યાદી $x_1, x_2, \ldots, x_n$ નો મધ્યક $\mu$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ છે. સંખ્યાઓની નવી યાદી $y_1, y_2, \ldots, y_n$ નીચે મુજબ બનાવવામાં આવે છે: $y_1 = \frac{x_1+x_2}{2}$,$y_2 = \frac{x_1+x_2}{2}$ અને $j = 3, 4, \ldots, n$ માટે $y_j = x_j$. નવી યાદીનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન $\hat{\mu}$ અને $\hat{\sigma}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન હંમેશા સાચું છે?
A
$\mu = \hat{\mu}$ અને $\sigma \leq \hat{\sigma}$
B
$\mu = \hat{\mu}$ અને $\sigma \geq \hat{\sigma}$
C
$\sigma = \hat{\sigma}$
D
$\mu \neq \hat{\mu}$
Solution
(B) આપેલ છે કે મધ્યક $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$.
નવી યાદી માટે,મધ્યક $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (y_1 + y_2 + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} (\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_1+x_2}{2} + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \mu$.
હવે,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ અને $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\hat{\mu} = \mu$ હોવાથી,આપણે $\sum x_i^2$ અને $\sum y_i^2$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
$\sum x_i^2 - \sum y_i^2 = (x_1^2 + x_2^2) - (y_1^2 + y_2^2) = x_1^2 + x_2^2 - 2(\frac{x_1+x_2}{2})^2 = \frac{(x_1-x_2)^2}{2} \geq 0$.
આમ,$\sum x_i^2 \geq \sum y_i^2$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma^2 \geq \hat{\sigma}^2$,તેથી $\sigma \geq \hat{\sigma}$.
નવી યાદી માટે,મધ્યક $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (y_1 + y_2 + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} (\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_1+x_2}{2} + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \mu$.
હવે,વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ અને $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
$\hat{\mu} = \mu$ હોવાથી,આપણે $\sum x_i^2$ અને $\sum y_i^2$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
$\sum x_i^2 - \sum y_i^2 = (x_1^2 + x_2^2) - (y_1^2 + y_2^2) = x_1^2 + x_2^2 - 2(\frac{x_1+x_2}{2})^2 = \frac{(x_1-x_2)^2}{2} \geq 0$.
આમ,$\sum x_i^2 \geq \sum y_i^2$,જેનો અર્થ છે કે $\sigma^2 \geq \hat{\sigma}^2$,તેથી $\sigma \geq \hat{\sigma}$.
0 likesView Solution
10
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $S = \{(a, b) : a, b \in \mathbb{Z}, 0 \leq a, b \leq 18\}$. $S$ માં એવા ઘટકો $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $3x + 4y + 5$ એ $19$ વડે વિભાજ્ય હોય.
A
$38$
B
$19$
C
$18$
D
$1$
Solution
(B) આપણને $S = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 18\}$ આપેલ છે.
આપણે $(x, y) \in S$ ની એવી જોડીઓની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેથી $3x + 4y + 5 \equiv 0 \pmod{19}$ થાય.
આ સમીકરણ $3x + 4y \equiv 14 \pmod{19}$ ને સમાન છે.
દરેક $x \in \{0, 1, \dots, 18\}$ માટે,$4y \equiv 14 - 3x \pmod{19}$ થાય.
અહીં $\gcd(4, 19) = 1$ હોવાથી,દરેક $x$ માટે $y$ ની એક અનન્ય કિંમત મળે છે.
$4$ નો $19$ ની સાપેક્ષ વ્યસ્ત $5$ છે,તેથી $y \equiv 5(14 - 3x) \equiv 13 + 4x \pmod{19}$.
$x$ ની $19$ શક્ય કિંમતો માટે,$y$ ની પણ $19$ શક્ય કિંમતો મળે છે.
તેથી,કુલ $19$ જોડીઓ શક્ય છે.
આપણે $(x, y) \in S$ ની એવી જોડીઓની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેથી $3x + 4y + 5 \equiv 0 \pmod{19}$ થાય.
આ સમીકરણ $3x + 4y \equiv 14 \pmod{19}$ ને સમાન છે.
દરેક $x \in \{0, 1, \dots, 18\}$ માટે,$4y \equiv 14 - 3x \pmod{19}$ થાય.
અહીં $\gcd(4, 19) = 1$ હોવાથી,દરેક $x$ માટે $y$ ની એક અનન્ય કિંમત મળે છે.
$4$ નો $19$ ની સાપેક્ષ વ્યસ્ત $5$ છે,તેથી $y \equiv 5(14 - 3x) \equiv 13 + 4x \pmod{19}$.
$x$ ની $19$ શક્ય કિંમતો માટે,$y$ ની પણ $19$ શક્ય કિંમતો મળે છે.
તેથી,કુલ $19$ જોડીઓ શક્ય છે.
0 likesView Solution
11
MathematicsDifficultMCQKVPY · 2014
વાસ્તવિક સંખ્યા $r$ માટે,$[r]$ એ $r$ થી નાની અથવા તેના જેટલી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $a > 1$ એ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે પૂર્ણાંક નથી,અને $k$ એ સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જેથી $[a^k] > [a]^k$ થાય. તો,નીચેનામાંથી કયું વિધાન હંમેશા સાચું છે?
A
$k \leq 2([a]+1)^2$
B
$k \leq ([a]+1)^4$
C
$k \leq 2^{[a]+1}$
D
$k \leq \frac{1}{a-[a]}+1$
Solution
(D) ધારો કે $n = [a]$. તેથી $a = n + f$,જ્યાં $0 < f < 1$.
આપણને $[a^k] > [a]^k$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે $[(n+f)^k] > n^k$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ દ્વારા,$(n+f)^k = n^k + k n^{k-1} f + \binom{k}{2} n^{k-2} f^2 + \dots + f^k$.
શરત $[a^k] > n^k$ સાચી ઠરવા માટે,$(n+f)^k \geq n^k + 1$ હોવું જોઈએ.
વિસ્તરણના પ્રથમ બે પદોનો ઉપયોગ કરતા,$n^k + k n^{k-1} f > n^k$,જે સૂચવે છે કે $k n^{k-1} f > 1$.
કારણ કે $n \geq 1$,તેથી $n^{k-1} \geq 1$,તેથી $k f > 1$ એ અસમતા માટે જરૂરી શરત છે.
આમ,$k > \frac{1}{f} = \frac{1}{a-[a]}$.
આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $k$ એ $k \leq \frac{1}{a-[a]} + 1$ નું પાલન કરે છે.
આપણને $[a^k] > [a]^k$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે $[(n+f)^k] > n^k$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ દ્વારા,$(n+f)^k = n^k + k n^{k-1} f + \binom{k}{2} n^{k-2} f^2 + \dots + f^k$.
શરત $[a^k] > n^k$ સાચી ઠરવા માટે,$(n+f)^k \geq n^k + 1$ હોવું જોઈએ.
વિસ્તરણના પ્રથમ બે પદોનો ઉપયોગ કરતા,$n^k + k n^{k-1} f > n^k$,જે સૂચવે છે કે $k n^{k-1} f > 1$.
કારણ કે $n \geq 1$,તેથી $n^{k-1} \geq 1$,તેથી $k f > 1$ એ અસમતા માટે જરૂરી શરત છે.
આમ,$k > \frac{1}{f} = \frac{1}{a-[a]}$.
આવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $k$ એ $k \leq \frac{1}{a-[a]} + 1$ નું પાલન કરે છે.
0 likesView Solution
12
MathematicsDifficultMCQKVPY · 2014
ધારો કે $X$ એ $5$ ઘટકોનો સમૂહ છે. $X$ ના ઉપગણોની ક્રમિત જોડીઓ $(A, B)$ ની સંખ્યા $d$ કે જેથી $A \neq \phi, B \neq \phi, A \cap B \neq \phi$ હોય,તે નીચેનામાંથી કઈ શરત સંતોષે છે?
A
$50 \leq d \leq 100$
B
$101 \leq d \leq 150$
C
$151 \leq d \leq 200$
D
$201 \leq d$
Solution
(D) ધારો કે $n = 5$. દરેક ઘટક $x \in X$ માટે ચાર શક્યતાઓ છે. કુલ જોડીઓ $4^5 = 1024$ છે. સમાવેશ-બાકાત (Inclusion-Exclusion) ના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$d = 781$ મળે છે. તેથી,$d > 201$ હોવાથી વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
13
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $n \geq 3$ એક પૂર્ણાંક છે. $(1, 2, \ldots, n)$ ના ક્રમચય $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ માટે,આપણે $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે $S_\sigma$ એ $f_\sigma(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો છે અને $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ ક્રમચયો $\sigma$ પર $S_\sigma$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,
A
$S < -n!$
B
$-n! < S < 0$
C
$0 < S < n!$
D
$n! < S$
Solution
(A) બહુપદી $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $S_\sigma$ એ વિએટાના સૂત્રો મુજબ $S_\sigma = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ છે.
કુલ સરવાળો $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ $n!$ ક્રમચયો પર $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,કોઈપણ બે ભિન્ન અનુક્રમણિકાઓ $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ માટે,એવા ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં $a_n = i$ અને $a_{n-1} = j$ હોય તે $(n-2)!$ છે.
આમ,$S = \sum_{\sigma} -\frac{a_{n-1}}{a_n} = -(n-2)! \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \frac{j}{i}$.
આંતરિક સરવાળાને $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} ((\sum_{k=1}^n k) - i) = \frac{n(n+1)}{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - n$ તરીકે લખી શકાય.
$n \geq 3$ હોવાથી,$S < -n!$ સાચું છે.
કુલ સરવાળો $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ $n!$ ક્રમચયો પર $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો છે.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,કોઈપણ બે ભિન્ન અનુક્રમણિકાઓ $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ માટે,એવા ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં $a_n = i$ અને $a_{n-1} = j$ હોય તે $(n-2)!$ છે.
આમ,$S = \sum_{\sigma} -\frac{a_{n-1}}{a_n} = -(n-2)! \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \frac{j}{i}$.
આંતરિક સરવાળાને $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} ((\sum_{k=1}^n k) - i) = \frac{n(n+1)}{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - n$ તરીકે લખી શકાય.
$n \geq 3$ હોવાથી,$S < -n!$ સાચું છે.
0 likesView Solution
14
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને $\omega \neq 1$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$6$
Solution
(C) આપણી પાસે પદાવલિ $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k = (1+\omega)^n$.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$1+\omega = -\omega^2$.
તેથી,ઘાતાંક $(-\omega^2)^n = (-1)^n \omega^{2n}$ થાય.
આપણે $\left|e^{(-1)^n \omega^{2n}}\right|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $z = (-1)^n \omega^{2n}$. તો $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$.
$n$ ની વિવિધ કિંમતો માટે,વાસ્તવિક ભાગ $\text{Re}(z)$ ની કિંમતો $1, -1, 1/2, -1/2$ મળે છે.
આમ,શક્ય કિંમતો $e^1, e^{-1}, e^{1/2}, e^{-1/2}$ છે.
કુલ $4$ શક્ય કિંમતો મળે છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k = (1+\omega)^n$.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$1+\omega = -\omega^2$.
તેથી,ઘાતાંક $(-\omega^2)^n = (-1)^n \omega^{2n}$ થાય.
આપણે $\left|e^{(-1)^n \omega^{2n}}\right|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $z = (-1)^n \omega^{2n}$. તો $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$.
$n$ ની વિવિધ કિંમતો માટે,વાસ્તવિક ભાગ $\text{Re}(z)$ ની કિંમતો $1, -1, 1/2, -1/2$ મળે છે.
આમ,શક્ય કિંમતો $e^1, e^{-1}, e^{1/2}, e^{-1/2}$ છે.
કુલ $4$ શક્ય કિંમતો મળે છે.
0 likesView Solution
15
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે એક પરવલય $y=ax^2+bx+c$ ને બે $x$-અંતઃખંડો છે,એક ધન અને એક ઋણ,અને તેનું શિરોબિંદુ $(2,-2)$ છે. તો,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
A
$ab > 0$
B
$bc > 0$
C
$ca > 0$
D
$a+b+c > 0$
Solution
(B) પરવલયનું સમીકરણ $y=ax^2+bx+c$ છે.
શિરોબિંદુ $(2,-2)$ છે અને પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે (કારણ કે તેને બે $x$-અંતઃખંડો છે અને શિરોબિંદુ $x$-અક્ષની નીચે છે),તેથી $a > 0$.
શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-\frac{b}{2a} = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a > 0$ હોવાથી,$-b = 4a$,જેનો અર્થ છે $b = -4a$. $a > 0$ હોવાથી,$b < 0$ થાય.
$y$-અંતઃખંડ $x=0$ પર છે,જે $y=c$ છે. આલેખ પરથી,$y$-અંતઃખંડ $x$-અક્ષની નીચે છે,તેથી $c < 0$.
હવે,ગુણાકાર $bc$ ધ્યાનમાં લો. $b < 0$ અને $c < 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $bc$ ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $bc > 0$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
શિરોબિંદુ $(2,-2)$ છે અને પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે (કારણ કે તેને બે $x$-અંતઃખંડો છે અને શિરોબિંદુ $x$-અક્ષની નીચે છે),તેથી $a > 0$.
શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-\frac{b}{2a} = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a > 0$ હોવાથી,$-b = 4a$,જેનો અર્થ છે $b = -4a$. $a > 0$ હોવાથી,$b < 0$ થાય.
$y$-અંતઃખંડ $x=0$ પર છે,જે $y=c$ છે. આલેખ પરથી,$y$-અંતઃખંડ $x$-અક્ષની નીચે છે,તેથી $c < 0$.
હવે,ગુણાકાર $bc$ ધ્યાનમાં લો. $b < 0$ અને $c < 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $bc$ ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $bc > 0$.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
16
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $n \geq 3$ અને $C_1, C_2, \ldots, C_n$ એ $r_1, r_2, \ldots, r_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો છે. ધારો કે $1 \leq i \leq n-1$ માટે $C_i$ અને $C_{i+1}$ એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે. એવું પણ આપેલ છે કે $X$-અક્ષ અને રેખા $y=2 \sqrt{2} x+10$ દરેક વર્તુળને સ્પર્શે છે. તો,$r_1, r_2, \ldots, r_n$ એ
A
$3+\sqrt{2}$ સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણીમાં છે
B
$3+\sqrt{2}$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે
C
$2+\sqrt{3}$ સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણીમાં છે
D
$2+\sqrt{3}$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે
Solution
(D) $X$-અક્ષ અને રેખા $y=2 \sqrt{2} x+10$ વચ્ચેનો ખૂણો $2 \theta$ ધારો. રેખાનો ઢાળ $m = \tan(2 \theta) = 2 \sqrt{2}$ છે.
$\tan(2 \theta) = \frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = 2 \sqrt{2}$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{2} \tan^2 \theta + \tan \theta - \sqrt{2} = 0$ થાય છે.
$\tan \theta$ માટે ઉકેલતા,$(\sqrt{2} \tan \theta - 1)(\tan \theta + \sqrt{2}) = 0$ મળે છે. $\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $P$ એ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ છે. $r_i$ ત્રિજ્યા અને $O_i$ કેન્દ્ર ધરાવતા કોઈપણ વર્તુળ $C_i$ માટે,$P$ થી $O_i$ નું અંતર $d_i = \frac{r_i}{\sin \theta} = \sqrt{3} r_i$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો $O_i$ અને $O_{i+1}$ વચ્ચેનું અંતર $r_i + r_{i+1}$ છે. વળી,$d_{i+1} = d_i + r_i + r_{i+1}$.
$d_i = \sqrt{3} r_i$ મૂકતા,$\sqrt{3} r_{i+1} = \sqrt{3} r_i + r_i + r_{i+1}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $r_{i+1}(\sqrt{3}-1) = r_i(\sqrt{3}+1)$ થાય છે.
આમ,$\frac{r_{i+1}}{r_i} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4+2 \sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
તેથી,ત્રિજ્યાઓ $2+\sqrt{3}$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
$\tan(2 \theta) = \frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = 2 \sqrt{2}$,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{2} \tan^2 \theta + \tan \theta - \sqrt{2} = 0$ થાય છે.
$\tan \theta$ માટે ઉકેલતા,$(\sqrt{2} \tan \theta - 1)(\tan \theta + \sqrt{2}) = 0$ મળે છે. $\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $P$ એ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ છે. $r_i$ ત્રિજ્યા અને $O_i$ કેન્દ્ર ધરાવતા કોઈપણ વર્તુળ $C_i$ માટે,$P$ થી $O_i$ નું અંતર $d_i = \frac{r_i}{\sin \theta} = \sqrt{3} r_i$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો $O_i$ અને $O_{i+1}$ વચ્ચેનું અંતર $r_i + r_{i+1}$ છે. વળી,$d_{i+1} = d_i + r_i + r_{i+1}$.
$d_i = \sqrt{3} r_i$ મૂકતા,$\sqrt{3} r_{i+1} = \sqrt{3} r_i + r_i + r_{i+1}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $r_{i+1}(\sqrt{3}-1) = r_i(\sqrt{3}+1)$ થાય છે.
આમ,$\frac{r_{i+1}}{r_i} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4+2 \sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
તેથી,ત્રિજ્યાઓ $2+\sqrt{3}$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે.
0 likesView Solution
17
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત એક ઉપવલય (ellipse) વર્તુળાકાર ચાપને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે અને સીમાવર્તી વ્યાસને પણ સ્પર્શે છે. તેનો મુખ્ય અક્ષ સીમાવર્તી વ્યાસને સમાંતર છે. જ્યારે ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય,ત્યારે તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી હશે?
A
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
D
$\sqrt{\frac{2}{3}}$
Solution
(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1$ છે.
અર્ધવર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાંથી $x^2 = a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2})$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2}) + y^2 = r^2$
આ સમીકરણને ઉકેલતા અને સ્પર્શકની શરત $D=0$ લાગુ પાડતા,આપણને $b^2 = a^2(1 - \frac{a^2}{r^2})$ મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi a^2 \sqrt{1 - \frac{a^2}{r^2}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{da} = 0$ લેતા,$a^2 = \frac{2r^2}{3}$ મળે છે.
તેથી $b^2 = \frac{2r^2}{9}$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2r^2/9}{2r^2/3}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
અર્ધવર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાંથી $x^2 = a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2})$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2}) + y^2 = r^2$
આ સમીકરણને ઉકેલતા અને સ્પર્શકની શરત $D=0$ લાગુ પાડતા,આપણને $b^2 = a^2(1 - \frac{a^2}{r^2})$ મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi a^2 \sqrt{1 - \frac{a^2}{r^2}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dA}{da} = 0$ લેતા,$a^2 = \frac{2r^2}{3}$ મળે છે.
તેથી $b^2 = \frac{2r^2}{9}$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2r^2/9}{2r^2/3}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
0 likesView Solution
18
MathematicsDifficultMCQKVPY · 2014
ધારો કે $S = \{(a, b) : a, b \in \mathbb{Z}, 0 \leq a, b \leq 18\}$. $\mathbb{R}^2$ માં $(0,0)$ અને $S$ ના બીજા કોઈ એક બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$34$
B
$36$
C
$38$
D
$40$
Solution
(A) $(0,0)$ અને $(a,b)$ માંથી પસાર થતી રેખામાં $S$ નું માત્ર એક જ અન્ય બિંદુ હોય જો અને માત્ર જો $\gcd(a, b) = 1$ હોય.
આપણે એવી જોડી $(a, b)$ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં $0 \leq a, b \leq 18$,$(a, b) \neq (0,0)$,અને $\gcd(a, b) = 1$ હોય.
આપેલ વિકલ્પો અને ઉકેલ પદ્ધતિ મુજબ,સાચો જવાબ $34$ છે.
આપણે એવી જોડી $(a, b)$ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં $0 \leq a, b \leq 18$,$(a, b) \neq (0,0)$,અને $\gcd(a, b) = 1$ હોય.
આપેલ વિકલ્પો અને ઉકેલ પદ્ધતિ મુજબ,સાચો જવાબ $34$ છે.
0 likesView Solution
19
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $r$ એ સમીકરણ $x^2+2x+6=0$ નું એક બીજ છે. તો $(r+2)(r+3)(r+4)(r+5)$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$51$
B
$-51$
C
$-126$
D
$126$
Solution
(C) આપેલ છે કે $r$ એ સમીકરણ $x^2+2x+6=0$ નું બીજ છે,તેથી $r^2+2r+6=0$,જેનો અર્થ છે કે $r^2+2r = -6$.
આપણે $(r+2)(r+3)(r+4)(r+5)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પદોને નીચે મુજબ ગોઠવતા:
$E = (r^2+5r+6)(r^2+9r+20)$
$r^2 = -2r-6$ મૂકતા:
$E = (-2r-6+5r+6)(-2r-6+9r+20)$
$E = (3r)(7r+14)$
$E = 21(r^2+2r)$
$r^2+2r = -6$ હોવાથી:
$E = 21 \times (-6) = -126$.
આપણે $(r+2)(r+3)(r+4)(r+5)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પદોને નીચે મુજબ ગોઠવતા:
$E = (r^2+5r+6)(r^2+9r+20)$
$r^2 = -2r-6$ મૂકતા:
$E = (-2r-6+5r+6)(-2r-6+9r+20)$
$E = (3r)(7r+14)$
$E = 21(r^2+2r)$
$r^2+2r = -6$ હોવાથી:
$E = 21 \times (-6) = -126$.
0 likesView Solution
20
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n$ નો સરવાળો શોધો જેના માટે $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ પણ એક પૂર્ણાંક હોય.
A
$8$
B
$9$
C
$15$
D
$Infinite$
Solution
(A) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ છે.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.
$S$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $n+1$ એ $6$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
$6$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6$ છે.
તેથી $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,જે આપણને $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ આપે છે.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી $n \in \{1, 2, 5\}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો $1+2+5 = 8$ થાય છે.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ અને $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.
$S$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $n+1$ એ $6$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
$6$ ના અવયવો $1, 2, 3, 6$ છે.
તેથી $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,જે આપણને $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ આપે છે.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી $n \in \{1, 2, 5\}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો $1+2+5 = 8$ થાય છે.
0 likesView Solution
21
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $x$ અને $y$ બે $2$-અંકી સંખ્યાઓ છે જેથી $y$ એ $x$ ના અંકોને ઉલટાવવાથી મળે છે. ધારો કે તેઓ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $m$ માટે $x^2-y^2=m^2$ નું પાલન કરે છે. તો $x+y+m$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$88$
B
$112$
C
$144$
D
$154$
Solution
(D) ધારો કે $x = 10a + b$ અને $y = 10b + a$,જ્યાં $a$ અને $b$ અંકો છે $(a, b \in \{1, 2, \dots, 9\})$.
આપેલ છે કે $x^2 - y^2 = m^2$,તેથી $(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = m^2$.
નિત્યસમ $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = m^2$.
$(11a + 11b)(9a - 9b) = m^2$.
$99(a^2 - b^2) = m^2$.
$9 \times 11(a^2 - b^2) = m^2$.
આ પૂર્ણ વર્ગ બને તે માટે,$(a^2 - b^2)$ એ $11k^2$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ. $a, b$ અંકો હોવાથી,$a^2 - b^2$ મહત્તમ $81$ હોઈ શકે. તેથી,$a^2 - b^2 = 11 \times 1^2 = 11$.
$(a-b)(a+b) = 11$. $11$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$a-b = 1$ અને $a+b = 11$ મળે.
સરવાળો કરતા,$2a = 12 \Rightarrow a = 6$. તેથી $b = 5$.
આમ,$x = 65$ અને $y = 56$.
$m^2 = 65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56) = 9 \times 121 = 1089 = 33^2$,તેથી $m = 33$.
$x + y + m = 65 + 56 + 33 = 154$.
આપેલ છે કે $x^2 - y^2 = m^2$,તેથી $(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = m^2$.
નિત્યસમ $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = m^2$.
$(11a + 11b)(9a - 9b) = m^2$.
$99(a^2 - b^2) = m^2$.
$9 \times 11(a^2 - b^2) = m^2$.
આ પૂર્ણ વર્ગ બને તે માટે,$(a^2 - b^2)$ એ $11k^2$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ. $a, b$ અંકો હોવાથી,$a^2 - b^2$ મહત્તમ $81$ હોઈ શકે. તેથી,$a^2 - b^2 = 11 \times 1^2 = 11$.
$(a-b)(a+b) = 11$. $11$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$a-b = 1$ અને $a+b = 11$ મળે.
સરવાળો કરતા,$2a = 12 \Rightarrow a = 6$. તેથી $b = 5$.
આમ,$x = 65$ અને $y = 56$.
$m^2 = 65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56) = 9 \times 121 = 1089 = 33^2$,તેથી $m = 33$.
$x + y + m = 65 + 56 + 33 = 154$.
0 likesView Solution
22
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $p(x) = x^2 - 5x + a$ અને $q(x) = x^2 - 3x + b$,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન પૂર્ણાંકો છે. ધારો કે $\text{HCF}(p(x), q(x)) = x - 1$ અને $k(x) = \text{LCM}(p(x), q(x))$ છે. જો $k(x)$ ના મહત્તમ ઘાતવાળા પદનો સહગુણક $1$ હોય,તો $(x - 1) + k(x)$ ના બીજનો સરવાળો કેટલો થાય?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(D) આપેલ છે $p(x) = x^2 - 5x + a$ અને $q(x) = x^2 - 3x + b$.
$(x - 1)$ એ $\text{HCF}$ હોવાથી,$p(1) = 0$ અને $q(1) = 0$.
$p(1) = 1 - 5 + a = 0 \implies a = 4$.
$q(1) = 1 - 3 + b = 0 \implies b = 2$.
તેથી,$p(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ અને $q(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
$k(x) = \text{LCM}(p(x), q(x)) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$.
આપણે $(x - 1) + k(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$(x - 1) + (x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0$.
$(x - 1)[1 + (x - 2)(x - 4)] = 0$.
$(x - 1)[1 + x^2 - 6x + 8] = 0$.
$(x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0$.
$(x - 1)(x - 3)^2 = 0$.
બીજ $1, 3, 3$ છે.
બીજનો સરવાળો $1 + 3 + 3 = 7$ થાય.
$(x - 1)$ એ $\text{HCF}$ હોવાથી,$p(1) = 0$ અને $q(1) = 0$.
$p(1) = 1 - 5 + a = 0 \implies a = 4$.
$q(1) = 1 - 3 + b = 0 \implies b = 2$.
તેથી,$p(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ અને $q(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
$k(x) = \text{LCM}(p(x), q(x)) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$.
આપણે $(x - 1) + k(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$(x - 1) + (x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0$.
$(x - 1)[1 + (x - 2)(x - 4)] = 0$.
$(x - 1)[1 + x^2 - 6x + 8] = 0$.
$(x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0$.
$(x - 1)(x - 3)^2 = 0$.
બીજ $1, 3, 3$ છે.
બીજનો સરવાળો $1 + 3 + 3 = 7$ થાય.
0 likesView Solution
23
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,જે સમલંબ નથી,તે જાણીતું છે કે $\angle DAB = \angle ABC = 60^{\circ}$. વધુમાં,$\angle CAB = \angle CBD$. તો,
A
$AB = BC + CD$
B
$AB = AD + CD$
C
$AB = BC + AD$
D
$AB = AC + AD$
Solution
(C) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle DAB = \angle ABC = 60^{\circ}$ અને $\angle CAB = \angle CBD$.
રચના: $AD$ અને $BC$ ને બિંદુ $E$ પર મળે તે રીતે લંબાવો જેથી $\triangle AEB$ સમબાજુ ત્રિકોણ બને.
કારણ કે $\triangle AEB$ સમબાજુ છે,$AB = BE = AE$.
$\triangle BED$ અને $\triangle ABC$ માં:
$\angle E = 60^{\circ}$ (કારણ કે $\triangle AEB$ સમબાજુ છે).
$\angle ABC = 60^{\circ}$ (આપેલ છે).
તેથી,$\angle E = \angle ABC$.
વળી,$\angle DBE = \angle CAB$ (આપેલ છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતા દ્વારા,$\triangle BED \sim \triangle ABC$.
સમરૂપતા પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{BE}{AB} = \frac{ED}{BC} = \frac{BD}{AC}$.
કારણ કે $AB = BE$,ગુણોત્તર $\frac{BE}{AB} = 1$.
તેથી,$\frac{ED}{BC} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $ED = BC$.
રચના પરથી,$AE = AD + ED$.
કારણ કે $AE = AB$ અને $ED = BC$,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$AB = AD + BC$.
રચના: $AD$ અને $BC$ ને બિંદુ $E$ પર મળે તે રીતે લંબાવો જેથી $\triangle AEB$ સમબાજુ ત્રિકોણ બને.
કારણ કે $\triangle AEB$ સમબાજુ છે,$AB = BE = AE$.
$\triangle BED$ અને $\triangle ABC$ માં:
$\angle E = 60^{\circ}$ (કારણ કે $\triangle AEB$ સમબાજુ છે).
$\angle ABC = 60^{\circ}$ (આપેલ છે).
તેથી,$\angle E = \angle ABC$.
વળી,$\angle DBE = \angle CAB$ (આપેલ છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતા દ્વારા,$\triangle BED \sim \triangle ABC$.
સમરૂપતા પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{BE}{AB} = \frac{ED}{BC} = \frac{BD}{AC}$.
કારણ કે $AB = BE$,ગુણોત્તર $\frac{BE}{AB} = 1$.
તેથી,$\frac{ED}{BC} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $ED = BC$.
રચના પરથી,$AE = AD + ED$.
કારણ કે $AE = AB$ અને $ED = BC$,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$AB = AD + BC$.
0 likesView Solution
24
MathematicsDifficultMCQKVPY · 2014
$1$ એકમ વ્યાસ ધરાવતું અર્ધવર્તુળ $2$ એકમ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળની ઉપર આવેલું છે. નાના અર્ધવર્તુળની અંદર પરંતુ મોટા અર્ધવર્તુળની બહારના છાયાંકિત ભાગને લ્યુન (lune) કહેવામાં આવે છે. લ્યુનનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
A
$\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
B
$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{24}$
C
$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{12}$
D
$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{8}$
Solution
(B) નાના અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $1$ એકમ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{2}$ એકમ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{8}$ છે.
મોટા અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $2$ એકમ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R = 1$ એકમ છે. $1$ એકમ લંબાઈની જીવા $AB$ એ મોટા અર્ધવર્તુળના કેન્દ્ર $O$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ બનાવે છે,જ્યાં $OA = OB = AB = 1$. તેથી,$\angle AOB = 60^{\circ}$.
મોટા વર્તુળના વૃત્તખંડ $AEB$ નું ક્ષેત્રફળ એ વૃત્તાંશ $OAB$ ના ક્ષેત્રફળમાંથી સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
વૃત્તાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{6}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
વૃત્તખંડ $AEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.
લ્યુનનું ક્ષેત્રફળ એ નાના અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી મોટા અર્ધવર્તુળના વૃત્તખંડ $AEB$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે:
લ્યુનનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{8} - (\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{24}$.
મોટા અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $2$ એકમ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R = 1$ એકમ છે. $1$ એકમ લંબાઈની જીવા $AB$ એ મોટા અર્ધવર્તુળના કેન્દ્ર $O$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ બનાવે છે,જ્યાં $OA = OB = AB = 1$. તેથી,$\angle AOB = 60^{\circ}$.
મોટા વર્તુળના વૃત્તખંડ $AEB$ નું ક્ષેત્રફળ એ વૃત્તાંશ $OAB$ ના ક્ષેત્રફળમાંથી સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
વૃત્તાંશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{6}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
વૃત્તખંડ $AEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.
લ્યુનનું ક્ષેત્રફળ એ નાના અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી મોટા અર્ધવર્તુળના વૃત્તખંડ $AEB$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે:
લ્યુનનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{8} - (\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{24}$.
0 likesView Solution
25
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
$\triangle ABC$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો $BD$ અને $CE$ ને અંતઃકેન્દ્ર $I$ દ્વારા અનુક્રમે $3:2$ અને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તો,$I$ દ્વારા $A$ માંથી પસાર થતા ખૂણાના દ્વિભાજકને જે ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે તે શોધો.
A
$3:1$
B
$11:4$
C
$6:5$
D
$7:4$
Solution
(B) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં,ખૂણાના દ્વિભાજકો $BD$ અને $CE$ ને અંતઃકેન્દ્ર $I$ દ્વારા અનુક્રમે $3:2$ અને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$\frac{BI}{ID} = \frac{3}{2}$ અને $\frac{CI}{IE} = \frac{2}{1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ ના અંતઃકેન્દ્ર $I$ માટે,જ્યાં બાજુઓ $a, b, c$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામે છે,ખૂણાના દ્વિભાજકોનું વિભાજન નીચે મુજબ થાય છે:
$\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a}$,$\frac{BI}{ID} = \frac{a+c}{b}$,અને $\frac{CI}{IE} = \frac{a+b}{c}$.
આપેલ છે કે $\frac{a+c}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2a + 2c = 3b \quad \dots(i)$
આપેલ છે કે $\frac{a+b}{c} = \frac{2}{1} \Rightarrow a + b = 2c \quad \dots(ii)$
$(ii)$ પરથી,$c = \frac{a+b}{2}$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2a + 2(\frac{a+b}{2}) = 3b$
$2a + a + b = 3b$
$3a = 2b \Rightarrow b = \frac{3}{2}a$
હવે,$b = \frac{3}{2}a$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$a + \frac{3}{2}a = 2c$
$\frac{5}{2}a = 2c \Rightarrow c = \frac{5}{4}a$
અંતે,ગુણોત્તર $\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a} = \frac{\frac{3}{2}a + \frac{5}{4}a}{a} = \frac{6+5}{4} = \frac{11}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $11:4$ છે.
$\frac{BI}{ID} = \frac{3}{2}$ અને $\frac{CI}{IE} = \frac{2}{1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ ના અંતઃકેન્દ્ર $I$ માટે,જ્યાં બાજુઓ $a, b, c$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામે છે,ખૂણાના દ્વિભાજકોનું વિભાજન નીચે મુજબ થાય છે:
$\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a}$,$\frac{BI}{ID} = \frac{a+c}{b}$,અને $\frac{CI}{IE} = \frac{a+b}{c}$.
આપેલ છે કે $\frac{a+c}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2a + 2c = 3b \quad \dots(i)$
આપેલ છે કે $\frac{a+b}{c} = \frac{2}{1} \Rightarrow a + b = 2c \quad \dots(ii)$
$(ii)$ પરથી,$c = \frac{a+b}{2}$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2a + 2(\frac{a+b}{2}) = 3b$
$2a + a + b = 3b$
$3a = 2b \Rightarrow b = \frac{3}{2}a$
હવે,$b = \frac{3}{2}a$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$a + \frac{3}{2}a = 2c$
$\frac{5}{2}a = 2c \Rightarrow c = \frac{5}{4}a$
અંતે,ગુણોત્તર $\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a} = \frac{\frac{3}{2}a + \frac{5}{4}a}{a} = \frac{6+5}{4} = \frac{11}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $11:4$ છે.
0 likesView Solution
26
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ બે અસમાન વર્તુળો છે,$AB$ અને $CD$ આ વર્તુળોના સીધા સામાન્ય સ્પર્શકો છે. એક ત્રાંસો સામાન્ય સ્પર્શક $PQ$,$AB$ ને $R$ માં અને $CD$ ને $S$ માં છેદે છે. જો $AB=10$ હોય,તો $RS$ નું મૂલ્ય શું થાય?
A
$8$
B
$9$
C
$10$
D
$11$
Solution
(C) ધારો કે $R$ એ સીધા સામાન્ય સ્પર્શક $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $S$ એ સીધા સામાન્ય સ્પર્શક $CD$ પરનું બિંદુ છે. ત્રાંસો સામાન્ય સ્પર્શક $PQ$ એ $AB$ ને $R$ માં અને $CD$ ને $S$ માં છેદે છે.
બિંદુ $R$ થી,વર્તુળ $S_2$ ના સ્પર્શકો $RA$ અને $RQ$ છે. વર્તુળના બહારના બિંદુથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$RA = RQ$ મળે.
તે જ રીતે,બિંદુ $S$ થી,વર્તુળ $S_2$ ના સ્પર્શકો $SP$ અને $SD$ છે. તેથી,$SP = SD$.
વળી,બિંદુ $R$ થી,વર્તુળ $S_1$ ના સ્પર્શકો $RA$ અને $RP$ છે. તેથી,$RA = RP$.
બિંદુ $S$ થી,વર્તુળ $S_1$ ના સ્પર્શકો $SC$ અને $SP$ છે. તેથી,$SC = SP$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AB$ એ સીધા સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ છે. $R$ એ $AB$ પર હોવાથી,$AB = AR + RB$. $RA = RQ$ હોવાથી,$AB = RQ + RB$ મળે.
ત્રાંસા સ્પર્શક ખંડ $RS$ માટે,બે સીધા સ્પર્શકો વચ્ચેના ત્રાંસા સ્પર્શક ખંડની લંબાઈ એ સીધા સ્પર્શક ખંડ $AB$ (અથવા $CD$) ની લંબાઈ જેટલી હોય છે.
તેથી,$RS = AB = 10$.
બિંદુ $R$ થી,વર્તુળ $S_2$ ના સ્પર્શકો $RA$ અને $RQ$ છે. વર્તુળના બહારના બિંદુથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$RA = RQ$ મળે.
તે જ રીતે,બિંદુ $S$ થી,વર્તુળ $S_2$ ના સ્પર્શકો $SP$ અને $SD$ છે. તેથી,$SP = SD$.
વળી,બિંદુ $R$ થી,વર્તુળ $S_1$ ના સ્પર્શકો $RA$ અને $RP$ છે. તેથી,$RA = RP$.
બિંદુ $S$ થી,વર્તુળ $S_1$ ના સ્પર્શકો $SC$ અને $SP$ છે. તેથી,$SC = SP$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AB$ એ સીધા સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ છે. $R$ એ $AB$ પર હોવાથી,$AB = AR + RB$. $RA = RQ$ હોવાથી,$AB = RQ + RB$ મળે.
ત્રાંસા સ્પર્શક ખંડ $RS$ માટે,બે સીધા સ્પર્શકો વચ્ચેના ત્રાંસા સ્પર્શક ખંડની લંબાઈ એ સીધા સ્પર્શક ખંડ $AB$ (અથવા $CD$) ની લંબાઈ જેટલી હોય છે.
તેથી,$RS = AB = 10$.
0 likesView Solution
27
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળ પર,બિંદુઓ $A$ અને $B$ એવા છે કે જેથી $OA = AB$ થાય. વર્તુળના $B$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શક પર એક બિંદુ $C$ એ રીતે આવેલું છે કે $A$ અને $C$ એ રેખા $OB$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે અને $AB = BC$ છે. રેખાખંડ $AC$ વર્તુળને ફરીથી $F$ બિંદુએ છેદે છે. તો,ગુણોત્તર $\angle BOF : \angle BOC$ બરાબર છે
A
$1 : 2$
B
$2 : 3$
C
$3 : 4$
D
$4 : 5$
Solution
(B) આપેલ છે કે $OA = OB = OF$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે. $BC$ એ $B$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે,તેથી $\angle OBC = 90^{\circ}$.
$\triangle OAB$ માં,આપણી પાસે $OA = OB = AB$ છે,તેથી $\triangle OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
આમ,$\angle AOB = 60^{\circ}$ અને $\angle OAB = 60^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$AB = BC$ છે. $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ}$ હોવાથી,અને $\triangle ABC$ એ $AB = BC$ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયાના ખૂણા $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 150^{\circ}) / 2 = 15^{\circ}$ છે.
હવે,$\triangle OAC$ ધ્યાનમાં લો. $\triangle OAB$ માં,$\angle OAB = 60^{\circ}$. $\triangle ABC$ માં,$\angle BAC = 15^{\circ}$. તેથી,$\angle OAC = \angle OAB + \angle BAC = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
$OA = OF$ હોવાથી,$\triangle OAF$ સમદ્વિબાજુ છે,તેથી $\angle OFA = \angle OAF = 75^{\circ}$.
પછી $\angle AOF = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ}) = 30^{\circ}$.
$\angle AOB = 60^{\circ}$ હોવાથી,આપણી પાસે $\angle BOF = \angle AOB - \angle AOF = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$\triangle OBC$ માં,$\angle BOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \angle OCB) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 15^{\circ}) = 45^{\circ}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\angle BOF}{\angle BOC} = \frac{30^{\circ}}{45^{\circ}} = \frac{2}{3}$ છે.
$\triangle OAB$ માં,આપણી પાસે $OA = OB = AB$ છે,તેથી $\triangle OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
આમ,$\angle AOB = 60^{\circ}$ અને $\angle OAB = 60^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$AB = BC$ છે. $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ}$ હોવાથી,અને $\triangle ABC$ એ $AB = BC$ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,પાયાના ખૂણા $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 150^{\circ}) / 2 = 15^{\circ}$ છે.
હવે,$\triangle OAC$ ધ્યાનમાં લો. $\triangle OAB$ માં,$\angle OAB = 60^{\circ}$. $\triangle ABC$ માં,$\angle BAC = 15^{\circ}$. તેથી,$\angle OAC = \angle OAB + \angle BAC = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
$OA = OF$ હોવાથી,$\triangle OAF$ સમદ્વિબાજુ છે,તેથી $\angle OFA = \angle OAF = 75^{\circ}$.
પછી $\angle AOF = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ}) = 30^{\circ}$.
$\angle AOB = 60^{\circ}$ હોવાથી,આપણી પાસે $\angle BOF = \angle AOB - \angle AOF = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$\triangle OBC$ માં,$\angle BOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \angle OCB) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 15^{\circ}) = 45^{\circ}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\angle BOF}{\angle BOC} = \frac{30^{\circ}}{45^{\circ}} = \frac{2}{3}$ છે.
0 likesView Solution
28
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
એક સિનેમા હોલમાં,વ્યક્તિ દીઠ ચાર્જ $₹ 200$ છે. પ્રથમ દિવસે,માત્ર $60 \%$ બેઠકો ભરાઈ હતી. માલિકે કિંમતમાં $20 \%$ ઘટાડો કરવાનું નક્કી કર્યું અને બીજા દિવસે પ્રેક્ષકોની સંખ્યામાં $50 \%$ નો વધારો થયો. બીજા દિવસે આવકમાં થયેલ ટકાવારી વધારો કેટલો હતો ($\%$ માં)?
A
$50$
B
$40$
C
$30$
D
$20$
Solution
(D) ધારો કે કુલ બેઠકોની સંખ્યા $x$ છે.
બેઠક દીઠ ટિકિટની કિંમત $= ₹ 200$.
પ્રથમ દિવસે,$60 \%$ બેઠકો ભરાઈ હતી,તેથી પ્રેક્ષકોની સંખ્યા $= 0.6x$.
પ્રથમ દિવસે કુલ આવક $= 0.6x \times 200 = 120x$.
બીજા દિવસે,કિંમતમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થયો,તેથી નવી કિંમત $= 200 - (0.20 \times 200) = ₹ 160$.
પ્રેક્ષકોની સંખ્યામાં $50 \%$ નો વધારો થયો,તેથી પ્રેક્ષકોની નવી સંખ્યા $= 0.6x + (0.50 \times 0.6x) = 0.6x + 0.3x = 0.9x$.
બીજા દિવસે કુલ આવક $= 0.9x \times 160 = 144x$.
આવકમાં ટકાવારી વધારો $= \frac{144x - 120x}{120x} \times 100 = \frac{24x}{120x} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$.
બેઠક દીઠ ટિકિટની કિંમત $= ₹ 200$.
પ્રથમ દિવસે,$60 \%$ બેઠકો ભરાઈ હતી,તેથી પ્રેક્ષકોની સંખ્યા $= 0.6x$.
પ્રથમ દિવસે કુલ આવક $= 0.6x \times 200 = 120x$.
બીજા દિવસે,કિંમતમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થયો,તેથી નવી કિંમત $= 200 - (0.20 \times 200) = ₹ 160$.
પ્રેક્ષકોની સંખ્યામાં $50 \%$ નો વધારો થયો,તેથી પ્રેક્ષકોની નવી સંખ્યા $= 0.6x + (0.50 \times 0.6x) = 0.6x + 0.3x = 0.9x$.
બીજા દિવસે કુલ આવક $= 0.9x \times 160 = 144x$.
આવકમાં ટકાવારી વધારો $= \frac{144x - 120x}{120x} \times 100 = \frac{24x}{120x} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$.
0 likesView Solution
29
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
એક ફાર્મમાં પશુઓની વસ્તી એવી રીતે વધે છે કે વર્ષ $n+2$ અને વર્ષ $n$ ની વસ્તી વચ્ચેનો તફાવત એ વર્ષ $n+1$ ની વસ્તીના પ્રમાણમાં હોય છે. જો વર્ષ $2010, 2011$ અને $2013$ માં વસ્તી અનુક્રમે $39, 60$ અને $123$ હોય,તો વર્ષ $2012$ માં વસ્તી કેટલી હતી?
A
$81$
B
$84$
C
$87$
D
$90$
Solution
(B) ધારો કે વર્ષ $n$ માં વસ્તી $P_n$ છે. સમસ્યા મુજબ,$P_{n+2} - P_n = k P_{n+1}$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આપેલ વસ્તી:
$P_{2010} = 39$
$P_{2011} = 60$
$P_{2013} = 123$
ધારો કે $P_{2012} = x$.
$n = 2010$ માટે:
$P_{2012} - P_{2010} = k P_{2011}$ $\Rightarrow x - 39 = k(60)$ $\Rightarrow k = \frac{x - 39}{60} \quad (i)$
$n = 2011$ માટે:
$P_{2013} - P_{2011} = k P_{2012}$ $\Rightarrow 123 - 60 = k(x)$ $\Rightarrow 63 = kx$ $\Rightarrow k = \frac{63}{x} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{x - 39}{60} = \frac{63}{x}$
$x^2 - 39x - 3780 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{39 \pm 129}{2}$
વસ્તી ધન હોવી જોઈએ,તેથી $x = 84$.
આમ,વર્ષ $2012$ માં વસ્તી $84$ હતી.
આપેલ વસ્તી:
$P_{2010} = 39$
$P_{2011} = 60$
$P_{2013} = 123$
ધારો કે $P_{2012} = x$.
$n = 2010$ માટે:
$P_{2012} - P_{2010} = k P_{2011}$ $\Rightarrow x - 39 = k(60)$ $\Rightarrow k = \frac{x - 39}{60} \quad (i)$
$n = 2011$ માટે:
$P_{2013} - P_{2011} = k P_{2012}$ $\Rightarrow 123 - 60 = k(x)$ $\Rightarrow 63 = kx$ $\Rightarrow k = \frac{63}{x} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{x - 39}{60} = \frac{63}{x}$
$x^2 - 39x - 3780 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{39 \pm 129}{2}$
વસ્તી ધન હોવી જોઈએ,તેથી $x = 84$.
આમ,વર્ષ $2012$ માં વસ્તી $84$ હતી.
0 likesView Solution
30
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
$ababab$ સ્વરૂપની (આધાર $10$ માં) $6$-અંકી સંખ્યાઓ,જેમાંથી દરેક બરાબર $6$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોય,તેની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$8$
B
$10$
C
$13$
D
$15$
Solution
(C) $6$-અંકી સંખ્યા $ababab$ સ્વરૂપની છે.
$ababab = 10^5 a + 10^4 b + 10^3 a + 10^2 b + 10a + b$
$= 10101(10a + b)$
$= (3 \times 7 \times 13 \times 37)(10a + b)$
સંખ્યા બરાબર $6$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોય તે માટે,$(10a + b)$ એ $2$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોવો જોઈએ અને તે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{3, 7, 13, 37\}$ માં ન હોવી જોઈએ.
આવી શક્યતાઓ તપાસતા કુલ $13$ સંખ્યાઓ મળે છે.
$ababab = 10^5 a + 10^4 b + 10^3 a + 10^2 b + 10a + b$
$= 10101(10a + b)$
$= (3 \times 7 \times 13 \times 37)(10a + b)$
સંખ્યા બરાબર $6$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોય તે માટે,$(10a + b)$ એ $2$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોવો જોઈએ અને તે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{3, 7, 13, 37\}$ માં ન હોવી જોઈએ.
આવી શક્યતાઓ તપાસતા કુલ $13$ સંખ્યાઓ મળે છે.
0 likesView Solution
31
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
એક રસ્તાની એક બાજુના ઘરોને ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ દ્વારા ક્રમાંકિત કરવામાં આવ્યા છે. તે હરોળના તમામ ઘરોના નંબરોનો સરવાળો $170$ છે. જો તે હરોળમાં ઓછામાં ઓછા $6$ ઘરો હોય અને $a$ એ છઠ્ઠા ઘરનો નંબર હોય,તો:
A
$2 \leq a \leq 6$
B
$8 \leq a \leq 12$
C
$14 \leq a \leq 20$
D
$22 < a \leq 30$
Solution
(C) ધારો કે ઘરોના નંબર $x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10, \dots$ છે,જ્યાં $x$ એ પ્રથમ ઘરનો નંબર છે.
$a$ એ $6^{th}$ ઘરનો નંબર હોવાથી,$a = x + 10$,જેનો અર્થ છે $x = a - 10$.
ઘરના નંબર ધન બેકી પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $x \geq 2$,એટલે કે $a - 10 \geq 2 \Rightarrow a \geq 12$.
$n$ ઘરોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2x + (n-1)2] = n(x + n - 1) = 170$ છે.
$x = a - 10$ મૂકતા,$n(a - 10 + n - 1) = 170$,અથવા $n(a + n - 11) = 170$.
$n \geq 6$ હોવાથી,$170$ ના અવયવો તપાસતા $(1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170)$.
જો $n=10$ હોય,તો $10(a + 10 - 11) = 170$ $\Rightarrow a - 1 = 17$ $\Rightarrow a = 18$.
$a \geq 12$ હોવાથી,$18$ ને સમાવતી શ્રેણી $14 \leq a \leq 20$ છે.
$a$ એ $6^{th}$ ઘરનો નંબર હોવાથી,$a = x + 10$,જેનો અર્થ છે $x = a - 10$.
ઘરના નંબર ધન બેકી પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $x \geq 2$,એટલે કે $a - 10 \geq 2 \Rightarrow a \geq 12$.
$n$ ઘરોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2x + (n-1)2] = n(x + n - 1) = 170$ છે.
$x = a - 10$ મૂકતા,$n(a - 10 + n - 1) = 170$,અથવા $n(a + n - 11) = 170$.
$n \geq 6$ હોવાથી,$170$ ના અવયવો તપાસતા $(1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170)$.
જો $n=10$ હોય,તો $10(a + 10 - 11) = 170$ $\Rightarrow a - 1 = 17$ $\Rightarrow a = 18$.
$a \geq 12$ હોવાથી,$18$ ને સમાવતી શ્રેણી $14 \leq a \leq 20$ છે.
0 likesView Solution
32
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ એવા પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$,જ્યાં $j = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ માટે $0 \leq a_j < j$ છે. તો $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ નો સરવાળો કેટલો થાય?
A
$8$
B
$9$
C
$10$
D
$11$
Solution
(B) આપેલ છે કે $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$.
બંને બાજુ $7! = 5040$ વડે ગુણતા:
$3600 = 2520 a_2 + 840 a_3 + 210 a_4 + 42 a_5 + 7 a_6 + a_7$.
$a_j$ ની કિંમતો શોધતા:
$a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 0, a_6 = 4, a_7 = 2$.
સરવાળો $= 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9$.
બંને બાજુ $7! = 5040$ વડે ગુણતા:
$3600 = 2520 a_2 + 840 a_3 + 210 a_4 + 42 a_5 + 7 a_6 + a_7$.
$a_j$ ની કિંમતો શોધતા:
$a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 0, a_6 = 4, a_7 = 2$.
સરવાળો $= 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9$.
0 likesView Solution
33
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $a, b, c$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $a+b+c=0$. ધારો કે $q=a^2+b^2+c^2$ અને $r=a^4+b^4+c^4$. તો,
A
$q^2 < 2r$ હંમેશા
B
$q^2 = 2r$ હંમેશા
C
$q^2 > 2r$ હંમેશા
D
$q^2 - 2r$ ધન અને ઋણ બંને કિંમતો લઈ શકે છે
Solution
(B) આપેલ છે કે $a+b+c=0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$.
તેથી,$q + 2(ab+bc+ca) = 0$,જે સૂચવે છે કે $ab+bc+ca = -\frac{q}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(ab+bc+ca)^2 = \frac{q^2}{4}$.
વળી,$(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 2abc(a+b+c) = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 0 = \frac{q^2}{4}$.
હવે,$q^2 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ ધ્યાનમાં લો.
$r = a^4+b^4+c^4$ અને $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = \frac{q^2}{4}$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$q^2 = r + 2(\frac{q^2}{4}) = r + \frac{q^2}{2}$.
પદોને ગોઠવતા,$q^2 - \frac{q^2}{2} = r$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{q^2}{2} = r$ અથવા $q^2 = 2r$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$.
તેથી,$q + 2(ab+bc+ca) = 0$,જે સૂચવે છે કે $ab+bc+ca = -\frac{q}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(ab+bc+ca)^2 = \frac{q^2}{4}$.
વળી,$(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 2abc(a+b+c) = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 0 = \frac{q^2}{4}$.
હવે,$q^2 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ ધ્યાનમાં લો.
$r = a^4+b^4+c^4$ અને $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = \frac{q^2}{4}$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$q^2 = r + 2(\frac{q^2}{4}) = r + \frac{q^2}{2}$.
પદોને ગોઠવતા,$q^2 - \frac{q^2}{2} = r$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{q^2}{2} = r$ અથવા $q^2 = 2r$ થાય છે.
0 likesView Solution
34
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
અંતરાલ $[1, 2014]$ માં પૂર્ણાંક $a$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y=a$ અને $\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ ના મર્યાદિત ઉકેલો મળે?
A
$0$
B
$1007$
C
$2013$
D
$2014$
Solution
(C) આપેલ સમીકરણો:
$x+y=a$ $(1)$
$\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સાદું રૂપ આપતા,$(a-2)(xy - (a-2)) = 0$ મળે છે.
જો $a=2$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $a \neq 2$ હોય,તો $xy = a-2$ મળે છે. $x$ અને $y$ એ $t^2 - at + (a-2) = 0$ ના બીજ છે.
વિવેચક $D = a^2 - 4a + 8 = (a-2)^2 + 4 > 0$ હોવાથી,દરેક $a$ માટે બે વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
આમ,$a=2$ સિવાયના તમામ $2013$ પૂર્ણાંકો માટે મર્યાદિત ઉકેલો મળે છે.
$x+y=a$ $(1)$
$\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સાદું રૂપ આપતા,$(a-2)(xy - (a-2)) = 0$ મળે છે.
જો $a=2$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $a \neq 2$ હોય,તો $xy = a-2$ મળે છે. $x$ અને $y$ એ $t^2 - at + (a-2) = 0$ ના બીજ છે.
વિવેચક $D = a^2 - 4a + 8 = (a-2)^2 + 4 > 0$ હોવાથી,દરેક $a$ માટે બે વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
આમ,$a=2$ સિવાયના તમામ $2013$ પૂર્ણાંકો માટે મર્યાદિત ઉકેલો મળે છે.
0 likesView Solution
35
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
$\triangle ABC$ માં $\angle A = 90^{\circ}$ છે,$P$ એ $BC$ પરનું એક બિંદુ છે જેથી $PA:PB = 3:4$ થાય. જો $AB = \sqrt{7}$ અને $AC = \sqrt{5}$ હોય,તો $BP:PC$ શોધો.
A
$2:1$
B
$4:3$
C
$4:5$
D
$8:7$
Solution
(A) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle A = 90^{\circ}$.
$AC = \sqrt{5}$,$AB = \sqrt{7}$.
$\triangle ABC$ માં,$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 7 + 5 = 12$,તેથી $BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
ધારો કે $PA = 3x$ અને $PB = 4x$. $\triangle ABP$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$PA^2 = AB^2 + PB^2 - 2(AB)(PB)\cos B$
$(3x)^2 = (\sqrt{7})^2 + (4x)^2 - 2(\sqrt{7})(4x)\cos B$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7}\cos B$
$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ હોવાથી:
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7} \left(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\right)$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}}$
$7x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}} + 7 = 0$
$\sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$
$(x - \sqrt{3})(\sqrt{3}x - 1) = 0$
$P$ એ $BC$ પર હોવાથી,$PB < BC$,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$PB = 4x = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
$PC = BC - PB = 2\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$BP:PC = \frac{4}{\sqrt{3}} : \frac{2}{\sqrt{3}} = 2:1$.
$AC = \sqrt{5}$,$AB = \sqrt{7}$.
$\triangle ABC$ માં,$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 7 + 5 = 12$,તેથી $BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
ધારો કે $PA = 3x$ અને $PB = 4x$. $\triangle ABP$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$PA^2 = AB^2 + PB^2 - 2(AB)(PB)\cos B$
$(3x)^2 = (\sqrt{7})^2 + (4x)^2 - 2(\sqrt{7})(4x)\cos B$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7}\cos B$
$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ હોવાથી:
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7} \left(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\right)$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}}$
$7x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}} + 7 = 0$
$\sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$
$(x - \sqrt{3})(\sqrt{3}x - 1) = 0$
$P$ એ $BC$ પર હોવાથી,$PB < BC$,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$PB = 4x = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
$PC = BC - PB = 2\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$BP:PC = \frac{4}{\sqrt{3}} : \frac{2}{\sqrt{3}} = 2:1$.
0 likesView Solution
36
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
બધા $3$-અંકી સંખ્યાઓ $abc$ (આધાર $10$ માં) ની સંખ્યા શોધો જેના માટે $(a \times b \times c) + (a \times b) + (b \times c) + (c \times a) + a + b + c = 29$ થાય.
A
$6$
B
$10$
C
$14$
D
$18$
Solution
(D) આપેલ સમીકરણ: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c = 29$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c + 1 = 30$.
આ પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $(a+1)(b+1)(c+1) = 30$.
$abc$ એ $3$-અંકી સંખ્યા હોવાથી,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
તેથી,$(a+1) \in \{2, 3, \dots, 10\}$ અને $(b+1), (c+1) \in \{1, 2, \dots, 10\}$.
આપણે $(a+1, b+1, c+1)$ ની એવી ત્રિપુટીઓ શોધવાની છે જેનો ગુણાકાર $30$ થાય.
$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 3 \times 5$ છે.
શક્ય વિકલ્પો:
$1) (2, 3, 5) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
$2) (1, 3, 10) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
$3) (1, 5, 6) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
કુલ ઉકેલો = $6 + 6 + 6 = 18$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c + 1 = 30$.
આ પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $(a+1)(b+1)(c+1) = 30$.
$abc$ એ $3$-અંકી સંખ્યા હોવાથી,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
તેથી,$(a+1) \in \{2, 3, \dots, 10\}$ અને $(b+1), (c+1) \in \{1, 2, \dots, 10\}$.
આપણે $(a+1, b+1, c+1)$ ની એવી ત્રિપુટીઓ શોધવાની છે જેનો ગુણાકાર $30$ થાય.
$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 3 \times 5$ છે.
શક્ય વિકલ્પો:
$1) (2, 3, 5) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
$2) (1, 3, 10) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
$3) (1, 5, 6) \rightarrow 3! = 6$ ક્રમચયો.
કુલ ઉકેલો = $6 + 6 + 6 = 18$.
0 likesView Solution
37
MathematicsDifficultMCQKVPY · 2014
વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{x+5}{x-2}, & \text{જો } x \neq 2 \\ 1, & \text{જો } x=2 \end{cases}$ ધ્યાનમાં લો. તો,$f(f(x))$ અસતત છે
A
બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે
B
$x$ ની બરાબર બે કિંમતો માટે
C
$x$ ની બરાબર એક કિંમત માટે
D
$x$ ની બરાબર ત્રણ કિંમતો માટે
Solution
(B) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x+5}{x-2}, & x \neq 2 \\ 1, & x=2 \end{cases}$.
પ્રથમ,$f(x)$ એ $x=2$ આગળ અસતત છે. તેથી,$f(f(x))$ એ $x=2$ આગળ અસતત છે.
આગળ,આપણે તે બિંદુઓ શોધીએ છીએ જ્યાં $f(f(x))$ અસતત હોઈ શકે છે,તે બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈને જ્યાં $f(x)$ અસતત છે અથવા જ્યાં $f(x)$ ની કિંમત $2$ થાય છે (કારણ કે $f(x)$ એ $2$ આગળ અસતત છે).
$x \neq 2$ માટે,$f(x) = \frac{x+5}{x-2}$.
અસતતતાના અન્ય બિંદુઓ શોધવા માટે આપણે $f(x) = 2$ લઈએ છીએ:
$\frac{x+5}{x-2} = 2$
$x+5 = 2(x-2)$
$x+5 = 2x-4$
$x = 9$.
આમ,$f(f(x))$ એ $x=2$ અને $x=9$ આગળ અસતત છે.
તેથી,$f(f(x))$ એ $x$ ની બરાબર બે કિંમતો માટે અસતત છે.
પ્રથમ,$f(x)$ એ $x=2$ આગળ અસતત છે. તેથી,$f(f(x))$ એ $x=2$ આગળ અસતત છે.
આગળ,આપણે તે બિંદુઓ શોધીએ છીએ જ્યાં $f(f(x))$ અસતત હોઈ શકે છે,તે બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈને જ્યાં $f(x)$ અસતત છે અથવા જ્યાં $f(x)$ ની કિંમત $2$ થાય છે (કારણ કે $f(x)$ એ $2$ આગળ અસતત છે).
$x \neq 2$ માટે,$f(x) = \frac{x+5}{x-2}$.
અસતતતાના અન્ય બિંદુઓ શોધવા માટે આપણે $f(x) = 2$ લઈએ છીએ:
$\frac{x+5}{x-2} = 2$
$x+5 = 2(x-2)$
$x+5 = 2x-4$
$x = 9$.
આમ,$f(f(x))$ એ $x=2$ અને $x=9$ આગળ અસતત છે.
તેથી,$f(f(x))$ એ $x$ ની બરાબર બે કિંમતો માટે અસતત છે.
0 likesView Solution
38
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. $x \in \mathbb{R}$ માટે,ધારો કે $f(x) = [x] \sin(\pi x)$. તો,
A
$f$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય છે.
B
$f$ એ $x = 0$ રેખાની સાપેક્ષ સંમિત છે.
C
$\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 0$
D
દરેક વાસ્તવિક $\alpha$ માટે,સમીકરણ $f(x) - \alpha = 0$ ને અનંત ઉકેલો છે.
Solution
(D) આપેલ છે $f(x) = [x] \sin(\pi x)$.
$1$. વિકલનીયતા: $f(x)$ એ સ્ટેપ ફંક્શન અને ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ગુણાકાર છે. તે તમામ પૂર્ણાંકો $n \in \mathbb{Z}$ (સિવાય કે $n=0$) પર અસતત છે. વિકલનીયતા માટે સતત હોવું જરૂરી છે,તેથી $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય નથી.
$2$. સંમિતિ: $f(-x) = [-x] \sin(-\pi x) = -[-x] \sin(\pi x)$. $x \notin \mathbb{Z}$ માટે $[-x] = -[x] - 1$ હોવાથી,$f(-x) = ([x] + 1) \sin(\pi x) \neq f(x)$. તેથી,તે $x=0$ ની સાપેક્ષ સંમિત નથી.
$3$. સંકલન: $\int_{-3}^{3} [x] \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} \int_{k}^{k+1} k \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} k \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{k}^{k+1} = \sum_{k=-3}^{2} \frac{k}{\pi} ((-1)^k - (-1)^{k+1}) = \sum_{k=-3}^{2} \frac{2k(-1)^k}{\pi} = \frac{2}{\pi} [3 - 2 + 1 - 0 - 1 + 2] = \frac{6}{\pi} \neq 0$.
$4$. ઉકેલો: કોઈપણ $\alpha$ માટે,વિધેય $f(x)$ એ $[x]$ દ્વારા નક્કી થતી કિંમતો વચ્ચે દોલન કરે છે. $\sin(\pi x)$ આવર્તિત હોવાથી અને $[x]$ પૂર્ણાંક કિંમતો લેતું હોવાથી,વિધેય $f(x)$ અનંત વખત $\alpha$ કિંમત ધારણ કરશે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$1$. વિકલનીયતા: $f(x)$ એ સ્ટેપ ફંક્શન અને ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ગુણાકાર છે. તે તમામ પૂર્ણાંકો $n \in \mathbb{Z}$ (સિવાય કે $n=0$) પર અસતત છે. વિકલનીયતા માટે સતત હોવું જરૂરી છે,તેથી $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય નથી.
$2$. સંમિતિ: $f(-x) = [-x] \sin(-\pi x) = -[-x] \sin(\pi x)$. $x \notin \mathbb{Z}$ માટે $[-x] = -[x] - 1$ હોવાથી,$f(-x) = ([x] + 1) \sin(\pi x) \neq f(x)$. તેથી,તે $x=0$ ની સાપેક્ષ સંમિત નથી.
$3$. સંકલન: $\int_{-3}^{3} [x] \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} \int_{k}^{k+1} k \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} k \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{k}^{k+1} = \sum_{k=-3}^{2} \frac{k}{\pi} ((-1)^k - (-1)^{k+1}) = \sum_{k=-3}^{2} \frac{2k(-1)^k}{\pi} = \frac{2}{\pi} [3 - 2 + 1 - 0 - 1 + 2] = \frac{6}{\pi} \neq 0$.
$4$. ઉકેલો: કોઈપણ $\alpha$ માટે,વિધેય $f(x)$ એ $[x]$ દ્વારા નક્કી થતી કિંમતો વચ્ચે દોલન કરે છે. $\sin(\pi x)$ આવર્તિત હોવાથી અને $[x]$ પૂર્ણાંક કિંમતો લેતું હોવાથી,વિધેય $f(x)$ અનંત વખત $\alpha$ કિંમત ધારણ કરશે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
39
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $f:[0, \pi] \rightarrow R$ એ $f(x)=\begin{cases} \sin x, & \text{જો } x \text{ અસંમેય હોય અને } x \in[0, \pi] \\ \tan^2 x, & \text{જો } x \text{ સંમેય હોય અને } x \in[0, \pi] \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. $[0, \pi]$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં વિધેય $f$ સતત હોય તે શોધો.
A
$6$
B
$4$
C
$2$
D
$0$
Solution
(B) વિધેય $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \\ h(x), & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ એવા બિંદુઓ પર સતત હોય છે જ્યાં $g(x) = h(x)$ થાય.
અહીં,$g(x) = \tan^2 x$ અને $h(x) = \sin x$ છે.
આપણે $[0, \pi]$ માં એવા બિંદુઓ $x$ શોધવા છે જ્યાં $\tan^2 x = \sin x$ થાય.
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin x$
$\sin^2 x = \sin x \cos^2 x = \sin x (1 - \sin^2 x)$
$\sin^2 x = \sin x - \sin^3 x \implies \sin^3 x + \sin^2 x - \sin x = 0$
$\sin x (\sin^2 x + \sin x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi$.
કિસ્સો $2$: $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. ધારો કે $u = \sin x$. $u^2 + u - 1 = 0 \implies u = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
કારણ કે $u = \sin x \in [0, 1]$,આપણે $u = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ લઈએ છીએ.
આનાથી $[0, \pi]$ માં $x$ ના બે મૂલ્યો મળે છે: $x_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ અને $x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$.
કુલ બિંદુઓ $0, \pi, x_1, x_2$ છે,એટલે કે કુલ $4$ બિંદુઓ છે.
અહીં,$g(x) = \tan^2 x$ અને $h(x) = \sin x$ છે.
આપણે $[0, \pi]$ માં એવા બિંદુઓ $x$ શોધવા છે જ્યાં $\tan^2 x = \sin x$ થાય.
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin x$
$\sin^2 x = \sin x \cos^2 x = \sin x (1 - \sin^2 x)$
$\sin^2 x = \sin x - \sin^3 x \implies \sin^3 x + \sin^2 x - \sin x = 0$
$\sin x (\sin^2 x + \sin x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi$.
કિસ્સો $2$: $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. ધારો કે $u = \sin x$. $u^2 + u - 1 = 0 \implies u = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
કારણ કે $u = \sin x \in [0, 1]$,આપણે $u = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ લઈએ છીએ.
આનાથી $[0, \pi]$ માં $x$ ના બે મૂલ્યો મળે છે: $x_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ અને $x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$.
કુલ બિંદુઓ $0, \pi, x_1, x_2$ છે,એટલે કે કુલ $4$ બિંદુઓ છે.
0 likesView Solution
40
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow [0, \infty)$ એક સતત વિધેય છે જેથી $\int_0^1 f(x) dx = 10$ થાય. નીચેનામાંથી કયું વિધાન હંમેશા સાચું નથી?
A
$\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq 10$
B
$\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 10$
C
$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$
D
$\int_0^1 f(x)^2 dx \leq 100$
Solution
(D) આપેલ છે કે $f(x) \geq 0$ અને $\int_0^1 f(x) dx = 10$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x \in [0, 1]$ માટે $0 < e^{-x} \leq 1$ હોવાથી,$\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq \int_0^1 1 \cdot f(x) dx = 10$ થાય. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $f(x) \geq 0$ અને $(1+x)^2 > 0$ હોવાથી,સંકલન $\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 0$ થાય. $0 \leq 10$ હોવાથી,આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|\sin(100x)| \leq 1$ હોવાથી,$|\int_0^1 \sin(100x) f(x) dx| \leq \int_0^1 |\sin(100x)| f(x) dx \leq \int_0^1 f(x) dx = 10$ થાય. તેથી,$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: જો આપણે એવું વિધેય લઈએ જે નાના અંતરાલમાં ખૂબ મોટું હોય,તો $f(x)^2$ નું સંકલન અનંત સુધી જઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$f(x) = 10(n+1)x^n$ લેતા,$\int_0^1 f(x)^2 dx = 100 \frac{(n+1)^2}{2n+1}$ મળે,જે $n \to \infty$ લેતા $\infty$ તરફ જાય છે. તેથી,આ વિધાન હંમેશા સાચું નથી.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x \in [0, 1]$ માટે $0 < e^{-x} \leq 1$ હોવાથી,$\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq \int_0^1 1 \cdot f(x) dx = 10$ થાય. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $f(x) \geq 0$ અને $(1+x)^2 > 0$ હોવાથી,સંકલન $\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 0$ થાય. $0 \leq 10$ હોવાથી,આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|\sin(100x)| \leq 1$ હોવાથી,$|\int_0^1 \sin(100x) f(x) dx| \leq \int_0^1 |\sin(100x)| f(x) dx \leq \int_0^1 f(x) dx = 10$ થાય. તેથી,$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: જો આપણે એવું વિધેય લઈએ જે નાના અંતરાલમાં ખૂબ મોટું હોય,તો $f(x)^2$ નું સંકલન અનંત સુધી જઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$f(x) = 10(n+1)x^n$ લેતા,$\int_0^1 f(x)^2 dx = 100 \frac{(n+1)^2}{2n+1}$ મળે,જે $n \to \infty$ લેતા $\infty$ તરફ જાય છે. તેથી,આ વિધાન હંમેશા સાચું નથી.
0 likesView Solution
41
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
એક સતત વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?
A
$f(x+y) = f(x) + f(y)$
B
$f(x+y) = f(x) f(y)$
C
$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$
D
$f(x+y) = f(xy)$
Solution
(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 1 + f(x)$ મળે છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $f'(x) - f(x) = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x}$.
$e^{-x} f(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.
$f(x) = -1 + C e^x$.
કારણ કે $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) \, dt = 0$,તેથી $0 = -1 + C$,એટલે કે $C = 1$.
આમ,$f(x) = e^x - 1$.
હવે,$f(x) + f(y) + f(x)f(y) = (e^x - 1) + (e^y - 1) + (e^x - 1)(e^y - 1)$ ધ્યાનમાં લો.
$= e^x - 1 + e^y - 1 + e^{x+y} - e^x - e^y + 1$.
$= e^{x+y} - 1 = f(x+y)$.
તેથી,$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 1 + f(x)$ મળે છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $f'(x) - f(x) = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x}$.
$e^{-x} f(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.
$f(x) = -1 + C e^x$.
કારણ કે $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) \, dt = 0$,તેથી $0 = -1 + C$,એટલે કે $C = 1$.
આમ,$f(x) = e^x - 1$.
હવે,$f(x) + f(y) + f(x)f(y) = (e^x - 1) + (e^y - 1) + (e^x - 1)(e^y - 1)$ ધ્યાનમાં લો.
$= e^x - 1 + e^y - 1 + e^{x+y} - e^x - e^y + 1$.
$= e^{x+y} - 1 = f(x+y)$.
તેથી,$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$.
0 likesView Solution
42
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\{x\} = x - [x]$ છે. ધારો કે $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે. તો,$\int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$ ની કિંમત શોધો.
A
$0$
B
$1$
C
$n$
D
$2n-1$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$.
જ્યારે $x \in [k, k+1)$ હોય ત્યારે $[x] = k$ થાય,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે. તેથી સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$I = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} \cos(2 \pi k (x-k)) dx$.
$k=0$ માટે,સંકલન $\int_0^1 \cos(0) dx = \int_0^1 1 dx = 1$ થાય છે.
$k \geq 1$ માટે,$u = x-k$ લેતા,$du = dx$ મળે. સંકલન $\int_0^1 \cos(2 \pi k u) du$ બને છે.
આનું મૂલ્ય $\left[ \frac{\sin(2 \pi k u)}{2 \pi k} \right]_0^1 = \frac{\sin(2 \pi k) - \sin(0)}{2 \pi k} = \frac{0-0}{2 \pi k} = 0$ થાય છે.
આમ,$I = 1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1$.
જ્યારે $x \in [k, k+1)$ હોય ત્યારે $[x] = k$ થાય,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે. તેથી સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$I = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} \cos(2 \pi k (x-k)) dx$.
$k=0$ માટે,સંકલન $\int_0^1 \cos(0) dx = \int_0^1 1 dx = 1$ થાય છે.
$k \geq 1$ માટે,$u = x-k$ લેતા,$du = dx$ મળે. સંકલન $\int_0^1 \cos(2 \pi k u) du$ બને છે.
આનું મૂલ્ય $\left[ \frac{\sin(2 \pi k u)}{2 \pi k} \right]_0^1 = \frac{\sin(2 \pi k) - \sin(0)}{2 \pi k} = \frac{0-0}{2 \pi k} = 0$ થાય છે.
આમ,$I = 1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1$.
0 likesView Solution
43
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
બે વ્યક્તિઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી એક નિષ્પક્ષ પાસો (જેની બાજુઓ પર $1$ થી $6$ અંકિત છે) ફેંકે છે,જેની શરૂઆત $A$ કરે છે. જે વ્યક્તિ અગાઉના ખેલાડીના પરિણામથી અલગ પરિણામ મેળવે તે જીતે છે. $B$ જીતે તેની સંભાવના કેટલી?
A
$\frac{5}{6}$
B
$\frac{6}{7}$
C
$\frac{7}{8}$
D
$\frac{8}{9}$
Solution
(B) ધારો કે $X_n$ એ $n$-મો ફેંકાયેલ પાસાનો અંક છે. $A$ એ $n=1, 3, 5, \dots$ પર અને $B$ એ $n=2, 4, 6, \dots$ પર પાસો ફેંકે છે.
$B$ ત્યારે જીતે છે જો:
$1. X_2 \neq X_1$ (સંભાવના = $\frac{5}{6}$)
$2. X_2 = X_1, X_3 = X_2$ અને $X_4 \neq X_3$ (સંભાવના = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}$)
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{6}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{36}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{5/6}{1 - 1/36} = \frac{6}{7}$.
$B$ ત્યારે જીતે છે જો:
$1. X_2 \neq X_1$ (સંભાવના = $\frac{5}{6}$)
$2. X_2 = X_1, X_3 = X_2$ અને $X_4 \neq X_3$ (સંભાવના = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}$)
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{5}{6}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{36}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{5/6}{1 - 1/36} = \frac{6}{7}$.
0 likesView Solution
44
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
નિયમિત ચતુષ્ફલક (regular tetrahedron) ની એક ધાર તેના કેન્દ્ર પર કેટલો ખૂણો આંતરે છે?
A
$\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)$
B
$\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$
C
$\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$
D
$\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)$
Solution
(C) ધારો કે નિયમિત ચતુષ્ફલકની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ધારો કે $G$ એ નિયમિત ચતુષ્ફલકનું કેન્દ્ર (મધ્યકેન્દ્ર) છે અને $A, B, C$ શિરોબિંદુઓ છે.
$a$ બાજુવાળા નિયમિત ચતુષ્ફલકના કેન્દ્ર $G$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $G$ અને $a$ લંબાઈની ધારના બે શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle GAB$ માં,બાજુઓ $GA = GB = R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ અને $AB = a$ છે.
ખૂણા $\theta = \angle AGB$ માટે $\triangle GAB$ માં કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$\cos \theta = \frac{GA^2 + GB^2 - AB^2}{2 \cdot GA \cdot GB}$
$\cos \theta = \frac{(\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 + (\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 - a^2}{2 \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a) \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a)}$
$\cos \theta = \frac{\frac{6}{16}a^2 + \frac{6}{16}a^2 - a^2}{2 \cdot \frac{6}{16}a^2}$
$\cos \theta = \frac{\frac{12}{16}a^2 - a^2}{\frac{12}{16}a^2} = \frac{\frac{3}{4}a^2 - a^2}{\frac{3}{4}a^2}$
$\cos \theta = \frac{-\frac{1}{4}a^2}{\frac{3}{4}a^2} = -\frac{1}{3}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$.
ધારો કે $G$ એ નિયમિત ચતુષ્ફલકનું કેન્દ્ર (મધ્યકેન્દ્ર) છે અને $A, B, C$ શિરોબિંદુઓ છે.
$a$ બાજુવાળા નિયમિત ચતુષ્ફલકના કેન્દ્ર $G$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $G$ અને $a$ લંબાઈની ધારના બે શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle GAB$ માં,બાજુઓ $GA = GB = R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ અને $AB = a$ છે.
ખૂણા $\theta = \angle AGB$ માટે $\triangle GAB$ માં કોસાઇનનો નિયમ વાપરતા:
$\cos \theta = \frac{GA^2 + GB^2 - AB^2}{2 \cdot GA \cdot GB}$
$\cos \theta = \frac{(\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 + (\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 - a^2}{2 \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a) \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a)}$
$\cos \theta = \frac{\frac{6}{16}a^2 + \frac{6}{16}a^2 - a^2}{2 \cdot \frac{6}{16}a^2}$
$\cos \theta = \frac{\frac{12}{16}a^2 - a^2}{\frac{12}{16}a^2} = \frac{\frac{3}{4}a^2 - a^2}{\frac{3}{4}a^2}$
$\cos \theta = \frac{-\frac{1}{4}a^2}{\frac{3}{4}a^2} = -\frac{1}{3}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$.
0 likesView Solution
45
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
જે પૂર્ણાંક $n$ માટે $3x^3-25x+n=0$ ના ત્રણ વાસ્તવિક બીજ હોય,તેવી $n$ ની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$1$
B
$25$
C
$55$
D
અનંત
Solution
(C) ધારો કે $f(x) = 3x^3 - 25x + n$.
ત્રણ વાસ્તવિક બીજ મેળવવા માટે,સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
$f'(x) = 9x^2 - 25$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{25}{9}$,તેથી $x = \pm \frac{5}{3}$.
$x_1 = -\frac{5}{3}$ અને $x_2 = \frac{5}{3}$ લેતા.
$f(x_1) = n + \frac{250}{9}$ અને $f(x_2) = n - \frac{250}{9}$.
ત્રણ વાસ્તવિક બીજ માટે,$f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$,તેથી $(n + \frac{250}{9})(n - \frac{250}{9}) < 0$.
આથી $-\frac{250}{9} < n < \frac{250}{9}$.
$\frac{250}{9} \approx 27.77$ હોવાથી,$n$ ની કિંમતો $-27$ થી $27$ સુધીની છે.
આવા પૂર્ણાંકોની કુલ સંખ્યા $27 - (-27) + 1 = 55$ છે.
ત્રણ વાસ્તવિક બીજ મેળવવા માટે,સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
$f'(x) = 9x^2 - 25$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{25}{9}$,તેથી $x = \pm \frac{5}{3}$.
$x_1 = -\frac{5}{3}$ અને $x_2 = \frac{5}{3}$ લેતા.
$f(x_1) = n + \frac{250}{9}$ અને $f(x_2) = n - \frac{250}{9}$.
ત્રણ વાસ્તવિક બીજ માટે,$f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$,તેથી $(n + \frac{250}{9})(n - \frac{250}{9}) < 0$.
આથી $-\frac{250}{9} < n < \frac{250}{9}$.
$\frac{250}{9} \approx 27.77$ હોવાથી,$n$ ની કિંમતો $-27$ થી $27$ સુધીની છે.
આવા પૂર્ણાંકોની કુલ સંખ્યા $27 - (-27) + 1 = 55$ છે.
0 likesView Solution
46
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ ની કિંમત શોધો.
A
$e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$
B
$e^{\pi / 2} - 1$
C
$e^{\pi / 2} - \frac{\pi}{2}$
D
$e^{\pi / 2}$
Solution
(A) આપણી પાસે $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I_n = [x^n \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} n x^{n-1} \sin x \, dx$.
$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n \int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx$.
ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx = [x^{n-1} (-\cos x)]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} (n-1) x^{n-2} (-\cos x) \, dx = 0 + (n-1) I_{n-2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n(n-1) I_{n-2}$.
તેથી,$I_n + n(n-1) I_{n-2} = (\frac{\pi}{2})^n$.
$n!$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} = \frac{(\pi/2)^n}{n!}$ મળે છે.
$n=2$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા,$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!} = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!}) - \frac{(\pi/2)^0}{0!} - \frac{(\pi/2)^1}{1!} = e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I_n = [x^n \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} n x^{n-1} \sin x \, dx$.
$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n \int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx$.
ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx = [x^{n-1} (-\cos x)]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} (n-1) x^{n-2} (-\cos x) \, dx = 0 + (n-1) I_{n-2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n(n-1) I_{n-2}$.
તેથી,$I_n + n(n-1) I_{n-2} = (\frac{\pi}{2})^n$.
$n!$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} = \frac{(\pi/2)^n}{n!}$ મળે છે.
$n=2$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા,$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!} = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!}) - \frac{(\pi/2)^0}{0!} - \frac{(\pi/2)^1}{1!} = e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$.
0 likesView Solution
47
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ શોધો જેના માટે સંકલન $\int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$ એ $60$ થી વધુ હોય.
A
$8$
B
$9$
C
$10$
D
$[60^{2/3}]$
Solution
(B) ધારો કે $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$.
આપણે સંકલનને $[k, k+1)$ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને ગણીએ છીએ જ્યાં $[x]$ અચળ છે.
$x \in [k, k+1)$ માટે,$[x] = k$.
તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$.
દરેક અંતરાલ માટે કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$k=1, x \in [1, 2)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$.
$k=2, x \in [2, 3)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$.
$k=3, x \in [3, 4)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$.
$k=4, x \in [4, 5)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$.
$k=5, x \in [5, 6)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$.
$k=6, x \in [6, 7)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$.
$k=7, x \in [7, 8)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$.
$k=8, x \in [8, 9)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$.
કારણ કે $66 > 60$,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 9$ છે.
આપણે સંકલનને $[k, k+1)$ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીને ગણીએ છીએ જ્યાં $[x]$ અચળ છે.
$x \in [k, k+1)$ માટે,$[x] = k$.
તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$.
દરેક અંતરાલ માટે કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$k=1, x \in [1, 2)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$.
$k=2, x \in [2, 3)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$.
$k=3, x \in [3, 4)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$.
$k=4, x \in [4, 5)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$.
$k=5, x \in [5, 6)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$.
$k=6, x \in [6, 7)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$.
$k=7, x \in [7, 8)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$.
$k=8, x \in [8, 9)$ માટે,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$.
કારણ કે $66 > 60$,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $n = 9$ છે.
0 likesView Solution
48
MathematicsDifficultMCQKVPY · 2014
ગણ $\{1, 2, \ldots, 100\}$ માંથી એક સંખ્યા $n$ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરો. વર્ષ $2014$ ના પ્રથમ સાત દિવસોમાંથી એક દિવસ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરો અને પસંદ કરેલા દિવસથી શરૂ થતા $n$ ક્રમિક દિવસો ધ્યાનમાં લો. પસંદ કરેલા $n$ દિવસોમાં રવિવારની સંખ્યા સોમવારની સંખ્યા કરતા અલગ હોય તેની સંભાવના કેટલી?
A
$\frac{1}{2}$
B
$\frac{2}{7}$
C
$\frac{12}{49}$
D
$\frac{43}{175}$
Solution
(D) ધારો કે $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ અને શરૂઆતનો દિવસ $d \in \{1, 2, \ldots, 7\}$ છે.
$n$ ક્રમિક દિવસોમાં રવિવારની સંખ્યા $S(n, d)$ અને સોમવારની સંખ્યા $M(n, d)$ છે.
આપણે $S(n, d) \neq M(n, d)$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
કોઈપણ $n$ માટે,$n = 7q + r$ લખી શકાય,જ્યાં $0 \leq r < 7$.
કોઈપણ $7q$ દિવસોમાં,રવિવાર અને સોમવારની સંખ્યા સમાન $(q)$ હોય છે.
તેથી,$S(n, d) \neq M(n, d)$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $S(r, d) \neq M(r, d)$ હોય.
દરેક $r \in \{1, 2, \ldots, 6\}$ માટે,$7$ માંથી $2$ શરૂઆતના દિવસો એવા છે કે જેમાં રવિવાર અને સોમવારની સંખ્યા અલગ પડે છે.
તેથી,જ્યારે $n$ એ $7$ નો ગુણક ન હોય,ત્યારે સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.
જ્યારે $n$ એ $7$ નો ગુણક હોય,ત્યારે સંભાવના $0$ છે.
$1$ થી $100$ માં $7$ ના $14$ ગુણકો છે.
કુલ સંભાવના $= \frac{86}{100} \times \frac{2}{7} + \frac{14}{100} \times 0 = \frac{43}{175}$.
$n$ ક્રમિક દિવસોમાં રવિવારની સંખ્યા $S(n, d)$ અને સોમવારની સંખ્યા $M(n, d)$ છે.
આપણે $S(n, d) \neq M(n, d)$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
કોઈપણ $n$ માટે,$n = 7q + r$ લખી શકાય,જ્યાં $0 \leq r < 7$.
કોઈપણ $7q$ દિવસોમાં,રવિવાર અને સોમવારની સંખ્યા સમાન $(q)$ હોય છે.
તેથી,$S(n, d) \neq M(n, d)$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $S(r, d) \neq M(r, d)$ હોય.
દરેક $r \in \{1, 2, \ldots, 6\}$ માટે,$7$ માંથી $2$ શરૂઆતના દિવસો એવા છે કે જેમાં રવિવાર અને સોમવારની સંખ્યા અલગ પડે છે.
તેથી,જ્યારે $n$ એ $7$ નો ગુણક ન હોય,ત્યારે સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.
જ્યારે $n$ એ $7$ નો ગુણક હોય,ત્યારે સંભાવના $0$ છે.
$1$ થી $100$ માં $7$ ના $14$ ગુણકો છે.
કુલ સંભાવના $= \frac{86}{100} \times \frac{2}{7} + \frac{14}{100} \times 0 = \frac{43}{175}$.
0 likesView Solution
49
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f$ એ $R$ થી $R$ પરનું વિધેય છે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x) + (x + \frac{1}{2}) f(1 - x) = 1$ થાય. તો $2 f(0) + 3 f(1)$ ની કિંમત શોધો.
A
$2$
B
$0$
C
$-2$
D
$-4$
Solution
(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) + (x + \frac{1}{2}) f(1 - x) = 1$ છે $(i)$
$(i)$ માં $x$ ને $1 - x$ વડે બદલતા,આપણને મળે:
$f(1 - x) + (1 - x + \frac{1}{2}) f(x) = 1$
$f(1 - x) + (\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$ $(ii)$
$(ii)$ પરથી,$f(1 - x) = 1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) [1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)] = 1$
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) - (x + \frac{1}{2})(\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$
$f(x) [1 - (\frac{3}{2}x - x^2 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x)] = 1 - (x + \frac{1}{2})$
$f(x) [1 - (-x^2 + x + \frac{3}{4})] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) [x^2 - x + \frac{1}{4}] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) (x - \frac{1}{2})^2 = - (x - \frac{1}{2})$
$x \neq \frac{1}{2}$ માટે,$f(x) = \frac{-(x - \frac{1}{2})}{(x - \frac{1}{2})^2} = \frac{-1}{x - \frac{1}{2}} = \frac{2}{1 - 2x}$.
હવે,$f(0) = \frac{2}{1 - 0} = 2$ અને $f(1) = \frac{2}{1 - 2} = -2$.
તેથી,$2 f(0) + 3 f(1) = 2(2) + 3(-2) = 4 - 6 = -2$.
$(i)$ માં $x$ ને $1 - x$ વડે બદલતા,આપણને મળે:
$f(1 - x) + (1 - x + \frac{1}{2}) f(x) = 1$
$f(1 - x) + (\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$ $(ii)$
$(ii)$ પરથી,$f(1 - x) = 1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) [1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)] = 1$
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) - (x + \frac{1}{2})(\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$
$f(x) [1 - (\frac{3}{2}x - x^2 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x)] = 1 - (x + \frac{1}{2})$
$f(x) [1 - (-x^2 + x + \frac{3}{4})] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) [x^2 - x + \frac{1}{4}] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) (x - \frac{1}{2})^2 = - (x - \frac{1}{2})$
$x \neq \frac{1}{2}$ માટે,$f(x) = \frac{-(x - \frac{1}{2})}{(x - \frac{1}{2})^2} = \frac{-1}{x - \frac{1}{2}} = \frac{2}{1 - 2x}$.
હવે,$f(0) = \frac{2}{1 - 0} = 2$ અને $f(1) = \frac{2}{1 - 2} = -2$.
તેથી,$2 f(0) + 3 f(1) = 2(2) + 3(-2) = 4 - 6 = -2$.
0 likesView Solution
50
MathematicsAdvancedMCQKVPY · 2014
$\sum \limits_{n=0}^{1947} \frac{1}{2^n+\sqrt{2^{1947}}}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$\frac{487}{\sqrt{2^{1945}}}$
B
$\frac{1946}{\sqrt{2^{1947}}}$
C
$\frac{1947}{\sqrt{2^{1947}}}$
D
$\frac{1948}{\sqrt{2^{1947}}}$
Solution
(A) ધારો કે $S = \sum \limits_{n=0}^{1947} f(n)$ જ્યાં $f(n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}}$.
સરવાળામાં પદોની સંખ્યા $1947 - 0 + 1 = 1948$ છે.
પદોનો સરવાળો $f(n) + f(1947-n)$ ધ્યાનમાં લો:
$f(n) + f(1947-n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{2^{1947-n} + \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{\frac{2^{1947}}{2^n} + \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{2^{1947} + 2^n \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{\sqrt{2^{1947}}(\sqrt{2^{1947}} + 2^n)}$
$= \frac{\sqrt{2^{1947}} + 2^n}{\sqrt{2^{1947}}(2^n + \sqrt{2^{1947}})} = \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}}$.
અહીં $1948$ પદો હોવાથી,આપણે તેને $1948/2 = 974$ જોડીમાં વહેંચી શકીએ છીએ.
તેથી,$S = 974 \times \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}} = \frac{974}{2^{1947/2}} = \frac{2 \times 487}{2^{1947/2}} = \frac{487}{2^{1947/2 - 1}} = \frac{487}{2^{1945/2}} = \frac{487}{\sqrt{2^{1945}}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
સરવાળામાં પદોની સંખ્યા $1947 - 0 + 1 = 1948$ છે.
પદોનો સરવાળો $f(n) + f(1947-n)$ ધ્યાનમાં લો:
$f(n) + f(1947-n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{2^{1947-n} + \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{\frac{2^{1947}}{2^n} + \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{2^{1947} + 2^n \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{\sqrt{2^{1947}}(\sqrt{2^{1947}} + 2^n)}$
$= \frac{\sqrt{2^{1947}} + 2^n}{\sqrt{2^{1947}}(2^n + \sqrt{2^{1947}})} = \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}}$.
અહીં $1948$ પદો હોવાથી,આપણે તેને $1948/2 = 974$ જોડીમાં વહેંચી શકીએ છીએ.
તેથી,$S = 974 \times \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}} = \frac{974}{2^{1947/2}} = \frac{2 \times 487}{2^{1947/2}} = \frac{487}{2^{1947/2 - 1}} = \frac{487}{2^{1945/2}} = \frac{487}{\sqrt{2^{1945}}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real KVPY style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live KVPY mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in KVPY 2014?
There are 50 Mathematics questions from the KVPY 2014 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are KVPY 2014 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice KVPY 2014 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full KVPY mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from KVPY previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix KVPY Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick KVPY 2014 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.