एक सतत फलन $f: R \rightarrow R$ समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

$x > 0$ के लिए अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x \cdot x^{-1/2} \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए:

$y' - y = 1, y(0) = -1$ का हल $y(x) = $ द्वारा दिया गया है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{\tan x}{2y}$,जहाँ $0 \le x < \frac{\pi}{2}$,और $y(0) = 1$ है,का हल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $y(0)=0$ है। यदि $y(1/2) = m/n$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\alpha$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(0)=2$ और $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1$ है। यदि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x)=\alpha f(x)+3$ है,तो $f(-\log _e 2)$ का मान . . . . . . . . . है।