अंतराल $[1, 2014]$ में उन पूर्णांकों $a$ की संख्या क्या है जिनके लिए समीकरण निकाय $x+y=a$ और $\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ के सीमित हल हैं?

मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - x + p = 0$ के मूल हैं और $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2 - 4x + q = 0$ के मूल हैं,जहाँ $p, q \in Z$ है। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं,तो $|p + q|$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x)=(x-a)(x-b)-\left(\frac{a+b}{2}\right)$ है। यदि $f(x)=0$ के दोनों मूल अ-ऋणात्मक (non-negative) हैं,तो $f(x)$ का न्यूनतम मान क्या है?

वक्र $y=x^2+9x+20$ और $y=x^2+bx+c$ $X$-अक्ष को $(\alpha_i, 0)$ बिंदुओं पर काटते हैं,जहाँ $i=1, 2, 3, 4$ है। यदि $\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 < \alpha_4$ इस प्रकार हैं कि $|\alpha_1-\alpha_3|=|\alpha_2-\alpha_4|=8$,तो $b$ और $c$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

मान लीजिए $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$ और $x^2 - x - 2 < 0$ ($x$ रेडियन में मापा गया है)। तो $x$ किस अंतराल में स्थित है?

यदि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ का न्यूनतम मान $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ के अधिकतम मान से अधिक है,तो: