मान लीजिए C_0 त्रिज्या 1 का एक वृत्त है। n ge | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $r_n$ वृत्त $C_n$ की त्रिज्या है। दिया गया है $r_0 = 1$,इसलिए $	ext{Area}(C_0) = \pi r_0^2 = \pi$.$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित वर्

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$\frac{\pi^2}{\pi-2}$

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(D) मान लीजिए $r_n$ वृत्त $C_n$ की त्रिज्या है। दिया गया है $r_0 = 1$,इसलिए $	ext{Area}(C_0) = \pi r_0^2 = \pi$.$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित वर्ग का विकर्ण उसके व्यास $2r$ के बराबर होता है। यदि वर्ग की भुजा $a$ है,तो $a^2 + a^2 = (2r)^2$,जिसका अर्थ है $2a^2 = 4r^2$,इसलिए $a^2 = 2r^2$.$C_{n-1}$ में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल $2r_{n-1}^2$ है। परिभाषा के अनुसार,$	ext{Area}(C_n) = \pi r_n^2 = 2r_{n-1}^2$.अतः,$r_n^2 = \frac{2}{\pi} r_{n-1}^2$। यह क्षेत्रफलों $A_n = 	ext{Area}(C_n)$ के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $A_0 = \pi$ और सार्व अनुपात $k = \frac{2}{\pi}$ है।क्षेत्रफलों का योग $\sum_{i=0}^{\infty} A_i = A_0 + A_0 k + A_0 k^2 + \dots = \frac{A_0}{1-k}$ है।मान रखने पर: $\sum_{i=0}^{\infty} 	ext{Area}(C_i) = \frac{\pi}{1 - \frac{2}{\pi}} = \frac{\pi}{\frac{\pi-2}{\pi}} = \frac{\pi^2}{\pi-2}$।

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