एक वास्तविक संख्या x के लिए,[x] उस महत्तम पूर | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$. हम समाकलन को $[k, k+1)$ अंतरालों में विभाजित करके हल करते हैं जहाँ $[x]$ स्थिर है। $x \in [k, k+1)$ क

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$9$

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(B) माना $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$. हम समाकलन को $[k, k+1)$ अंतरालों में विभाजित करके हल करते हैं जहाँ $[x]$ स्थिर है। $x \in [k, k+1)$ के लिए,$[x] = k$. अतः,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$. प्रत्येक अंतराल के लिए मानों की गणना करने पर: $k=1, x \in [1, 2)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$. $k=2, x \in [2, 3)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$. $k=3, x \in [3, 4)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$. $k=4, x \in [4, 5)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$. $k=5, x \in [5, 6)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$. $k=6, x \in [6, 7)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$. $k=7, x \in [7, 8)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$. $k=8, x \in [8, 9)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$. इन मानों का योग करने पर: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$. चूँकि $66 > 60$,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $n = 9$ है।

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