माना R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $f(x) + (x + \frac{1}{2}) f(1 - x) = 1$ है  $(i)$$(i)$ में $x$ को $1 - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f(1 - x) +

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$-2$

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(C) दिया गया समीकरण $f(x) + (x + \frac{1}{2}) f(1 - x) = 1$ है  $(i)$$(i)$ में $x$ को $1 - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f(1 - x) + (1 - x + \frac{1}{2}) f(x) = 1$$f(1 - x) + (\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$  $(ii)$$(ii)$ से,$f(1 - x) = 1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)$.इस मान को $(i)$ में रखने पर:$f(x) + (x + \frac{1}{2}) [1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)] = 1$$f(x) + (x + \frac{1}{2}) - (x + \frac{1}{2})(\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$$f(x) [1 - (\frac{3}{2}x - x^2 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x)] = 1 - (x + \frac{1}{2})$$f(x) [1 - (-x^2 + x + \frac{3}{4})] = \frac{1}{2} - x$$f(x) [x^2 - x + \frac{1}{4}] = \frac{1}{2} - x$$f(x) (x - \frac{1}{2})^2 = - (x - \frac{1}{2})$$x 
eq \frac{1}{2}$ के लिए,$f(x) = \frac{-(x - \frac{1}{2})}{(x - \frac{1}{2})^2} = \frac{-1}{x - \frac{1}{2}} = \frac{2}{1 - 2x}$.अब,$f(0) = \frac{2}{1 - 0} = 2$ और $f(1) = \frac{2}{1 - 2} = -2$.अतः,$2 f(0) + 3 f(1) = 2(2) + 3(-2) = 4 - 6 = -2$.

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यदि $f$ एक फलन है जो सभी $x, y \in N$ के लिए $f(x+y)=f(x) f(y)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=3$ और $\sum\limits_{x = 1}^n {f(x) = 120}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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