मान लीजिए f:[0,1] rightarrow [0, infty) एक सत | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x) \geq 0$ और $\int_0^1 f(x) dx = 10$ है।विकल्प $A$ के लिए: चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $0 < e^{-x} \leq 1$,इसलिए $\int_0^1 e^{-

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$\int_0^1 f(x)^2 dx \leq 100$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $f(x) \geq 0$ और $\int_0^1 f(x) dx = 10$ है।विकल्प $A$ के लिए: चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $0 विकल्प $B$ के लिए: चूंकि $f(x) \geq 0$ और $(1+x)^2 > 0$,इसलिए समाकलन $\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 0$ है। चूंकि $0 \leq 10$,यह सत्य है।विकल्प $C$ के लिए: चूंकि $|\sin(100x)| \leq 1$,इसलिए $|\int_0^1 \sin(100x) f(x) dx| \leq \int_0^1 |\sin(100x)| f(x) dx \leq \int_0^1 f(x) dx = 10$ है। अतः,$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$ है। यह सत्य है।विकल्प $D$ के लिए: यदि हम ऐसा फलन लें जो एक छोटे अंतराल में बहुत बड़ा हो,तो $f(x)^2$ का समाकलन स्वेच्छ रूप से बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए,$f(x) = 10(n+1)x^n$ लेने पर,$\int_0^1 f(x)^2 dx = 100 \frac{(n+1)^2}{2n+1}$ प्राप्त होता है,जो $n 	o \infty$ होने पर $\infty$ की ओर जाता है। अतः,यह कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow [0, \infty)$ एक सतत फलन है ताकि $\int_0^1 f(x) dx = 10$ हो। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है?

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