एक दीर्घवृत्त में,इसकी नाभियाँ और इसके दीर्घ | vedclass

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Question

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।दीर्घ अक्ष के सिरे $A'(-a, 0)$ और $A(a, 0)$ हैं।नाभियाँ $S'(-ae, 0)$ और

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$3$

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(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।दीर्घ अक्ष के सिरे $A'(-a, 0)$ और $A(a, 0)$ हैं।नाभियाँ $S'(-ae, 0)$ और $S(ae, 0)$ हैं।दिया गया है कि नाभियाँ और दीर्घ अक्ष के सिरे समान दूरी पर हैं,इसलिए $A'S'$,$S'S$,और $SA$ की लंबाई समान है।$A'S' = S'S = SA = k$ (माना)।दीर्घ अक्ष की कुल लंबाई $A'A = 2a$ है।अतः,$k + k + k = 2a \implies 3k = 2a \implies k = \frac{2a}{3}$।नाभियों के बीच की दूरी $S'S = 2ae = k = \frac{2a}{3}$ है।इसलिए,$e = \frac{1}{3}$।हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$।यहाँ $b = 2\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $b^2 = 8$।$8 = a^2(1 - (\frac{1}{3})^2) = a^2(1 - \frac{1}{9}) = a^2(\frac{8}{9})$।$8 = \frac{8a^2}{9} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$।अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $3$ है।

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