2 cos ^{-1} x = sin ^{-1} left( 2 x sqrt{1 - | vedclass

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Question

(D) माना $x = \cos 	heta$,जहाँ $	heta = \cos^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $	heta \in [0, \pi]$ है।दाएँ पक्ष में $x = \cos 	heta$ रखने प

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$\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$

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(D) माना $x = \cos 	heta$,जहाँ $	heta = \cos^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $	heta \in [0, \pi]$ है।दाएँ पक्ष में $x = \cos 	heta$ रखने पर:$\sin^{-1} (2 \cos 	heta \sqrt{1 - \cos^2 	heta}) = \sin^{-1} (2 \cos 	heta \sin 	heta) = \sin^{-1} (\sin 2 	heta)$.इसे $2 \cos^{-1} x = 2 	heta$ के बराबर होने के लिए,$\sin^{-1} (\sin 2 	heta) = 2 	heta$ होना चाहिए।यह तब मान्य है जब $2 	heta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,जिसका अर्थ है $	heta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$।चूँकि $	heta \in [0, \pi]$ है,इसलिए उभयनिष्ठ अंतराल $	heta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ है।चूँकि $	heta = \cos^{-1} x$,इसलिए $0 \leq \cos^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$।दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर (ध्यान दें कि कोसाइन इस अंतराल में एक घटता हुआ फलन है):$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$,जिससे $1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ प्राप्त होता है।

$2 \cos ^{-1} x = \sin ^{-1} \left( 2 x \sqrt{1 - x^2} \right)$,$x$ के किन मानों के लिए मान्य है?

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