KCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) शीर्षों के निर्देशांक $A(0, 0)$,$B(1, 0)$,और $C(1/2, \sqrt{3}/2)$ हैं।
द्रव्यमान $m_A = 1 \ kg$,$m_B = 2 \ kg$,और $m_C = 3 \ kg$ हैं।
कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B + m_C = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C}{M} = \frac{1(0) + 2(1) + 3(1/2)}{6} = \frac{0 + 2 + 1.5}{6} = \frac{3.5}{6} = \frac{7}{12}$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C}{M} = \frac{1(0) + 2(0) + 3(\sqrt{3}/2)}{6} = \frac{3\sqrt{3}/2}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{12}$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र $\left(\frac{7}{12}, \frac{3\sqrt{3}}{12}\right)$ है।

(C) $I$. एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है,जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अंतिम गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$II$. यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) में रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$III$. टक्कर के अंतराल $\Delta t$ के दौरान,पिंड विरूपित (deform) होते हैं और गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा अस्थायी रूप से प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए,टक्कर की प्रक्रिया के दौरान गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
$\therefore$ तीनों कथन सही हैं।

(B) केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है।
इसलिए,$L_p = L_a$।
उपसौर (perihelion) कक्षा में सूर्य के सबसे निकट का बिंदु है और अपसौर (aphelion) सूर्य से सबसे दूर का बिंदु है।
इसलिए,$r_p < r_a$।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr$ संरक्षित है,इसलिए हमारे पास $m v_p r_p = m v_a r_a$ है।
चूंकि $r_p < r_a$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $v_p > v_a$।
अतः,सही संबंध $r_p < r_a, v_p > v_a, L_a = L_p$ है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = -\frac{GMm}{2r}$
जहाँ:
- $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
- $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
- $m$ उपग्रह का द्रव्यमान है।
- $r = R + h$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
ऊर्जा के समीकरण में $r = R + h$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = -\frac{GMm}{2(R+h)}$
चूंकि $G, M, m,$ और $2$ नियतांक हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $E$ का मान $-\frac{1}{R+h}$ के समानुपाती है।
अतः,कुल ऊर्जा $-\frac{1}{R+h}$ के अनुसार परिवर्तित होती है।

(C) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम तापमान ($T$ केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होती है,जो सूत्र $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$E \propto T$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ दिया गया है।
आनुपातिकता अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
मान रखने पर: $E_2 = E_1 \times \frac{600}{300}$।
$E_2 = 2 E_1$।

(A) मान लीजिए कि क्षैतिज डोरी में तनाव $T_1$ है और $\theta$ कोण पर झुकी हुई डोरी में तनाव $T_2$ है।
$M$ द्रव्यमान के लटके हुए गुटके के लिए,ऊर्ध्वाधर संतुलन से $T_2 \sin \theta = Mg$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $O$ के लिए,क्षैतिज संतुलन से $T_1 = T_2 \cos \theta$ ... (ii) प्राप्त होता है।
फर्श पर रखे गुटके के लिए,क्षैतिज बल $T_1$ है और सीमांत घर्षण $f_s = \mu N = \mu Mg$ है।
संतुलन के लिए,$T_1 = f_s = \mu Mg$ ... (iii) होगा।
(ii) और (iii) से,$T_2 \cos \theta = \mu Mg$ ... (iv) प्राप्त होता है।
$(i)$ को (iv) से विभाजित करने पर,हमें $\frac{T_2 \sin \theta}{T_2 \cos \theta} = \frac{Mg}{\mu Mg}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\mu}$,जिसका अर्थ है कि $\mu = \cot \theta$।

(D) वेग-समय ग्राफ से,ब्लॉक का त्वरण $a$ रेखा का ढलान है:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{3} = \frac{20}{3} \text{ m/s}^2$
चूंकि ब्लॉक गति में है,इसलिए इस पर कार्य करने वाला घर्षण गतिज घर्षण है,$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
यहाँ $\mu_k = 0.25$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है,इसलिए गतिज घर्षण $f_k = 0.25 \times m \times 10 = 2.5m$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर,$F - f_k = ma$:
$20 - 2.5m = m \times \frac{20}{3}$
$20 = m \left( \frac{20}{3} + 2.5 \right)$
$20 = m \left( \frac{20 + 7.5}{3} \right) = m \left( \frac{27.5}{3} \right)$
$m = \frac{20 \times 3}{27.5} = \frac{60}{27.5} \approx 2.18 \text{ kg}$.
निकटतम मान लेने पर,द्रव्यमान $2.2 \text{ kg}$ है।

(C) सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_1 V_1 = A_2 V_2$।
दिया गया है $A_1 = 10 \text{ cm}^2$,$V_1 = 1 \text{ ms}^{-1}$,और $A_2 = 5 \text{ cm}^2$।
$V_2 = (A_1 V_1) / A_2 = (10 \times 1) / 5 = 2 \text{ ms}^{-1}$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए,$P_1 + 0.5 \rho V_1^2 = P_2 + 0.5 \rho V_2^2$।
$P_2 = P_1 + 0.5 \rho (V_1^2 - V_2^2)$।
$P_2 = 2000 + 0.5 \times 1000 \times (1^2 - 2^2)$।
$P_2 = 2000 + 500 \times (1 - 4) = 2000 - 1500 = 500 \text{ Pa}$।

(A) सबसे पहले,गेंद को डूबने में लगे औसत समय $t_{\text{avg}}$ की गणना करें: $t_{\text{avg}} = \frac{2.75 + 2.65 + 2.70}{3} = 2.7 \,s$.
सीमांत वेग $v_t = \frac{h}{t_{\text{avg}}} = \frac{0.9}{2.7} = \frac{1}{3} \,m/s$.
स्टोक्स के नियम के अनुसार,सीमांत वेग $v_t = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9\eta}$ होता है,जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है।
$\eta$ के लिए सूत्र: $\eta = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9v_t}$.
यहाँ $r = \sqrt{3} \times 10^{-3} \,m$,इसलिए $r^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$.
दिया गया है $(\rho_s - \rho_l) = 7000 \,kg/m^3$ और $g = 10 \,m/s^2$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-6}) \times 10 \times 7000}{9 \times (1/3)} = \frac{6 \times 10^{-5} \times 7000}{3} = 2 \times 10^{-5} \times 7000 = 0.14 \,Pa \cdot s$.

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ है,जहाँ $F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\ell$ मूल लंबाई है और $\Delta \ell$ लंबाई में परिवर्तन है।
$\Delta \ell$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ है,जहाँ $d$ व्यास है,इसलिए $\Delta \ell = \frac{4F \ell}{\pi d^2 Y}$ होता है।
चूंकि तार एक ही पदार्थ के बने हैं ($Y$ स्थिर है) और समान बल ($F$ स्थिर है) द्वारा खींचे जाते हैं,इसलिए लंबाई में परिवर्तन $\frac{\ell}{d^2}$ के समानुपाती होता है।
अतः,$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{\ell_A}{\ell_B} \right) \times \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
यहाँ $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{1}{3}$ और $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{2}$ (जिसका अर्थ है $\frac{d_B}{d_A} = 2$),इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{1}{3} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,उनकी लंबाइयों में वृद्धि का अनुपात $4: 3$ है।

(C) मान लीजिए कि पहला पत्थर $t_0$ समय तक गिरता है। उसके द्वारा तय की गई दूरी $S_1 = \frac{1}{2} g t_0^2$ है।
दूसरा पत्थर $\Delta t$ सेकंड बाद शुरू होता है,इसलिए वह $(t_0 - \Delta t)$ समय तक गिरता है। उसके द्वारा तय की गई दूरी $S_2 = \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$ है।
दोनों के बीच की दूरी $H = S_1 - S_2$ द्वारा दी गई है।
मान रखने पर: $H = \frac{1}{2} g t_0^2 - \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$.
पद का विस्तार करने पर: $H = \frac{1}{2} g [t_0^2 - (t_0^2 - 2 t_0 \Delta t + \Delta t^2)]$.
$H = \frac{1}{2} g [2 t_0 \Delta t - \Delta t^2]$.
$H = g t_0 \Delta t - \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$t_0$ के लिए हल करने पर: $g t_0 \Delta t = H + \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$g \Delta t$ से भाग देने पर: $t_0 = \frac{H}{g \Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$.

(B) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक $(v_x)$ समय और स्थिति के संदर्भ में स्थिर रहता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रक्षेप्य पर कोई क्षैतिज त्वरण $(a_x = 0)$ कार्य नहीं करता है,यदि हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के कारण बदलता रहता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से वेग का क्षैतिज घटक ही एकमात्र ऐसी राशि है जो पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।

(C) पथ का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 25$ है। यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(2, 0)$ और त्रिज्या $R = 5 \text{ m}$ है।
एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्रित होता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अभिकेंद्रित त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{R}$ है।
दिया गया है $v = 2 \text{ m/s}$ और $R = 5 \text{ m}$,इसलिए $a_c = \frac{2^2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ m/s}^2$ है।
कण अपना न्यूनतम $y$ निर्देशांक $(2, -5)$ बिंदु पर प्राप्त करता है।
इस बिंदु पर,वृत्त का केंद्र $(2, 0)$ कण के ठीक ऊपर (धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में) स्थित है।
इसलिए,अभिकेंद्रित त्वरण सदिश धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है,जो $0.8 hat{j} \text{ m/s}^2$ है।

(B) $SHM$ में,गतिज ऊर्जा $K(x)$ और स्थितिज ऊर्जा $U(x)$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$K(x) = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$
$U(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
बिंदु $x = x_0$ पर,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा बराबर हैं,अर्थात $K(x_0) = U(x_0)$।
$\frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x_0^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x_0^2$
$A^2 - x_0^2 = x_0^2$
$A^2 = 2x_0^2$
$x_0^2 = \frac{A^2}{2}$
$|x_0| = \frac{A}{\sqrt{2}}$

(A) दिया गया है: $I_1 = 4 \ kg \ m^2$,$r_1 = 0.2 \ m$,$I_2 = 20 \ kg \ m^2$,$r_2 = 0.3 \ m$,$\tau_1 = 10 \ Nm$.
चूंकि बेल्ट नॉन-स्लिपिंग है,रिम का रैखिक त्वरण समान होगा: $a = \alpha_1 r_1 = \alpha_2 r_2$.
छोटे पहिये के लिए: $\tau_1 = I_1 \alpha_1 \implies 10 = 4 \alpha_1 \implies \alpha_1 = 2.5 = 5/2 \ rad/s^2$.
बड़े पहिये के लिए: $\alpha_2 = \alpha_1 (r_1 / r_2) = (5/2) \times (0.2 / 0.3) = (5/2) \times (2/3) = 5/3 \ rad/s^2$.
बड़े पहिये पर टॉर्क: $\tau_2 = I_2 \alpha_2 = 20 \times (5/3) = 100/3 \ Nm$.
मिलान: $a \to 3, b \to 2, c \to 1$.

(A) माना कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है और जंक्शन का तापमान $T_X$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में प्रवेश करने वाली कुल ऊष्मा,जंक्शन से बाहर निकलने वाली कुल ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ,$90^{\circ} C$ पर स्थित दो छड़ों से ऊष्मा जंक्शन $X$ की ओर प्रवाहित होती है,और फिर जंक्शन $X$ से $0^{\circ} C$ पर स्थित छड़ की ओर प्रवाहित होती है।
माना $H_1$ और $H_2$ उन दो छड़ों से ऊष्मा धाराएँ हैं जो $90^{\circ} C$ पर हैं,और $H$ वह ऊष्मा धारा है जो $0^{\circ} C$ सिरे की ओर प्रवाहित हो रही है।
$H = H_1 + H_2$
ऊष्मा धारा के सूत्र $H = \frac{\Delta T}{R}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\frac{T_X - 0}{R} = \frac{90 - T_X}{R} + \frac{90 - T_X}{R}$
चूंकि छड़ें समान हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सभी के लिए समान है।
$T_X = (90 - T_X) + (90 - T_X)$
$T_X = 180 - 2T_X$
$3T_X = 180$
$T_X = 60^{\circ} C$
अतः,जंक्शन $X$ पर तापमान $60^{\circ} C$ है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = Q - W$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,यह केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करती है।
दोनों पथों $1$ और $2$ के लिए,निकाय अवस्था $A$ से अवस्था $B$ तक जाता है,इसलिए दोनों पथों के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान है: $\Delta U_1 = \Delta U_2$.
अतः,$Q_1 - W_1 = Q_2 - W_2$.

(C) विमीय विश्लेषण भौतिक समीकरणों की संगति की जाँच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है,लेकिन इसकी सीमाएँ हैं। यह विमाहीन स्थिरांकों (जैसे $6 \pi$) या त्रिकोणमितीय,घातांकीय या लघुगणकीय फलनों की उपस्थिति को निर्धारित नहीं कर सकता है क्योंकि उनके तर्क (arguments) विमाहीन होने चाहिए।
$1$. $x=A \cos (\omega t)$: विमीय रूप से सुसंगत होने के बावजूद,$\cos$ फलन की उपस्थिति को विमीय विश्लेषण का उपयोग करके व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
$2$. $N=N_0 e^{-\lambda t}$: विमीय रूप से सुसंगत होने के बावजूद,घातांकीय रूप को विमीय विश्लेषण का उपयोग करके व्युत्पन्न नहीं किया जा सकता है।
$3$. $F=6 \pi \eta r \nu$ (स्टोक्स का नियम): दाईं ओर के आयाम $[M L^{-1} T^{-1}] \cdot [L] \cdot [L T^{-1}] = [M L T^{-2}]$ हैं,जो बल का आयाम है। विमीय विश्लेषण द्वारा $F$ को $\eta$,$r$,और $\nu$ के साथ $F \propto \eta^a r^b \nu^c$ के रूप में संबंधित किया जा सकता है। आयामों की तुलना करके,हम $a=1, b=1, c=1$ प्राप्त कर सकते हैं,जिससे $F \propto \eta r \nu$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,कार्यात्मक निर्भरता को व्युत्पन्न किया जा सकता है।
अतः,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) अनुप्रस्थ तरंग में,माध्यम के कण तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।
चूंकि तरंग का वेग संचरण की दिशा में होता है और कण का वेग उसके लंबवत होता है,इसलिए उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ रेडियन होता है।
यह कण की सभी स्थितियों के लिए सत्य है,सिवाय माध्य स्थिति के,जहाँ कण का वेग क्षणिक रूप से शून्य होता है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{net}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
दिया गया द्रव्यमान $m = 0.25 \ kg$,गति $v = k x^{3/2}$ और $k = 2$ है।
$x = 0$ पर,$v_i = 2(0)^{3/2} = 0 \ m/s$,इसलिए $KE_i = 0 \ J$.
$x = 2 \ m$ पर,$v_f = 2(2)^{3/2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \ m/s$.
$KE_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 0.25 \times (4\sqrt{2})^2$
$KE_f = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \times 2 = 0.25 \times 16 = 4 \ J$.
अतः,$W_{\text{net}} = 4 \ J - 0 \ J = 4 \ J$.

(A) दिया गया है: $X_L = 24 \ \Omega$,$X_C = 16 \ \Omega$,$R = 6 \ \Omega$,$V = 100 \ V$.
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{6^2 + (24 - 16)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ \Omega$.
परिपथ में धारा $i$ है:
$i = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10} = 10 \ A$.
प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर:
$V_{LC} = i |X_L - X_C|$
$V_{LC} = 10 \times |24 - 16| = 10 \times 8 = 80 \ V$.

(D) घरेलू विद्युत मेन्स आपूर्ति में,शक्ति का संचरण प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ के रूप में होता है।
इसका अर्थ है कि वोल्टेज और धारा दोनों समय के साथ ज्यावक्रीय (sinusoidally) रूप से बदलते हैं।
अतः,घरेलू आपूर्ति में $AC$ वोल्टेज और $AC$ धारा होती है।

(C) दिया गया समीकरण $V = V_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $V_0 = 311 \ V$ और $\omega = 314 \ rad/s$ है।
वोल्टेज का $rms$ मान $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$V_{rms} = \frac{311}{1.414} \approx 220 \ V$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ होती है।
$314 = 2 \times 3.14 \times f$.
$314 = 6.28 \times f$.
$f = \frac{314}{6.28} = 50 \ Hz$.
अतः,$rms$ वोल्टेज $220 \ V$ और आवृत्ति $50 \ Hz$ है।

(B) $n^{\text{वीं}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ है, जहाँ $r_1$ प्रथम कक्षा की त्रिज्या $(r_1 = r)$ है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए, $n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$r_2 = (2)^2 \times r$
$r_2 = 4 r$
अतः, दूसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या $4 r$ होगी।

(B) इस परिपथ में $E = 2 \ V$ का $EMF$ और $r = 0.1 \ \Omega$ का आंतरिक प्रतिरोध वाला एक सेल,$R = 3.9 \ \Omega$ के बाह्य प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
सबसे पहले,परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें: $R_{total} = R + r = 3.9 \ \Omega + 0.1 \ \Omega = 4.0 \ \Omega$.
इसके बाद,ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ में प्रवाहित धारा $i$ की गणना करें: $i = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2 \ V}{4.0 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
सेल के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ का सूत्र है: $V = E - i \times r$.
मान रखने पर: $V = 2 \ V - (0.5 \ A \times 0.1 \ \Omega) = 2 \ V - 0.05 \ V = 1.95 \ V$.

(D) समानांतर में जुड़े दो सेलों का समतुल्य emf निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_2 + E_1 r_1 - E_1 r_1 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1(r_1 + r_2) + r_1(E_2 - E_1)}{r_1 + r_2} = E_1 + \frac{r_1}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$
चूंकि $E_2 > E_1$ और $r_1, r_2 > 0$,यह स्पष्ट है कि $E_{eq} > E_1$ है।
इसी प्रकार,$E_{eq} = E_2 - \frac{r_2}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$। चूंकि $E_2 > E_1$ और $r_1, r_2 > 0$,यह स्पष्ट है कि $E_{eq} < E_2$ है।
अतः,$E_1 < E_{eq} < E_2$ है।
दिया गया है कि $r_2 > r_1$,इसलिए पद $\frac{r_1}{r_1 + r_2} < \frac{1}{2}$ होगा।
इसलिए,$E_{eq}$,$E_2$ की तुलना में $E_1$ के अधिक करीब है।

(C) सही उत्तर केवल धारा है।
स्थिर धारा के लिए निरंतरता के सिद्धांत के अनुसार,किसी चालक के किसी भी अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल की परवाह किए बिना स्थिर रहती है।
सूत्र $I = nAev_d$ के अनुसार,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $v_d$ अपवाह वेग है,यदि क्षेत्रफल $A$ बदलता है,तो धारा $I$ को स्थिर रखने के लिए अपवाह वेग $v_d$ को बदलना होगा।
इसी प्रकार,विद्युत क्षेत्र $E$ धारा घनत्व $J = I/A$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह भी अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के साथ बदलता है।

(C) एक गैल्वेनोमीटर को उसके समानांतर में एक छोटा शंट प्रतिरोध $S$ जोड़कर एमीटर में परिवर्तित किया जाता है।
$G$ प्रतिरोध और $i_g$ पूर्ण-स्केल विक्षेपण धारा वाले गैल्वेनोमीटर के लिए,यदि इसे अधिकतम धारा $i$ मापनी है,तो शंट प्रतिरोध $S$ का मान इस प्रकार दिया जाता है:
$S = \frac{i_g G}{i - i_g}$
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $S \propto \frac{1}{i - i_g}$।
चूंकि एक एमीटर को मिलीएमीटर $(i_{milliammeter})$ की तुलना में बड़ी धारा $(i_{ammeter})$ मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है,इसलिए एमीटर के लिए हर $(i - i_g)$ का मान बड़ा होगा।
इसलिए,एमीटर के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध $S$,मिलीएमीटर के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध से कम होगा।
अतः,एमीटर का शंट प्रतिरोध मिलीएमीटर की तुलना में कम होता है।

(C) हाफ-डिफ्लेक्शन मेथड में,गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$G = \frac{S \cdot R}{R - S}$
दिया गया है:
श्रेणी प्रतिरोध $R = 5200 \ \Omega$
शंट प्रतिरोध $S = 90 \ \Omega$
प्रारंभिक विक्षेप $\theta = 26 \ \text{div}$
अंतिम विक्षेप $\theta' = \theta/2 = 13 \ \text{div}$
मान रखने पर:
$G = \frac{90 \times 5200}{5200 - 90}$
$G = \frac{468000}{5110}$
$G \approx 91.58 \ \Omega$
निकटतम विकल्प के अनुसार,$G \approx 91.6 \ \Omega$।

(A) दिए गए ग्राफ में:
$1$. पदार्थ $Z$ के लिए,तापमान $T$ में वृद्धि के साथ प्रतिरोधकता $\rho$ तेजी से घटती है। यह अर्धचालकों का एक विशिष्ट गुण है।
$2$. पदार्थ $Y$ के लिए,तापमान $T$ के साथ प्रतिरोधकता $\rho$ रैखिक रूप से बढ़ती है। यह नाइक्रोम जैसी मिश्र धातुओं का एक विशिष्ट गुण है,जिनका प्रतिरोध का तापमान गुणांक बहुत कम होता है।
$3$. पदार्थ $X$ के लिए,तापमान $T$ के साथ प्रतिरोधकता $\rho$ गैर-रैखिक रूप से बढ़ती है। यह कॉपर जैसी धातुओं का एक विशिष्ट गुण है।
अतः,$X$ कॉपर है,$Y$ नाइक्रोम है,और $Z$ अर्धचालक है।

(C) तार का प्रतिरोध $(R)$ सूत्र $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$\ell$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि तार बेलनाकार है,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ होता है।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $R = \frac{\rho \ell}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho \ell}{\pi D^2}$।
चूंकि $\rho$,$\ell$ और $\pi$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{D^2}$ है।
यह संबंध व्युत्क्रम वर्ग नियम को दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे $D$ बढ़ता है,$R$ घटता है। दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $C$ इस व्यवहार को दर्शाता है।

(D) विद्युत चालकता $(\sigma)$,विद्युत प्रतिरोधकता $(\rho)$ का व्युत्क्रम होती है,अर्थात $\sigma = 1/\rho$।
धातुओं के लिए,प्रतिरोधकता $(\rho)$ बहुत कम होती है,जो आमतौर पर $10^{-8} \Omega \text{ m}$ से $10^{-6} \Omega \text{ m}$ की सीमा में होती है।
परिणामस्वरूप,विद्युत चालकता $(\sigma)$ बहुत अधिक होती है,जो आमतौर पर $10^6 \text{ S m}^{-1}$ से $10^8 \text{ S m}^{-1}$ की सीमा में होती है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ इन सीमाओं को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ किसी कण के संवेग $p$ से $\lambda = \frac{h}{p}$ समीकरण द्वारा संबंधित है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और फोटॉन दोनों के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान है,इसलिए उनका संवेग $p$ भी समान होना चाहिए।
अतः,उनके पास समान संवेग होगा।

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,प्रकाश-विद्युत धारा $I$ आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$,देहली आवृत्ति $\nu_0$ से अधिक हो।
यदि आपतित प्रकाश की तीव्रता को स्थिर रखा जाता है जबकि आवृत्ति $\nu$ को बढ़ाया जाता है,तो प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या स्थिर रहती है (क्योंकि $P = n h \nu$,यदि शक्ति $P$ स्थिर है,तो $\nu$ बढ़ने पर $n$ घटता है)। हालाँकि,व्यावहारिक प्रयोगात्मक सेटअप में,जब तक $\nu > \nu_0$ है,तब तक प्रकाश-विद्युत धारा प्रकाश की आवृत्ति से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,प्रकाश-विद्युत धारा $I$ बनाम आवृत्ति $\nu$ का ग्राफ $\nu > \nu_0$ के लिए एक क्षैतिज रेखा है और $\nu < \nu_0$ के लिए शून्य है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) लेंज़ के नियम के अनुसार,कुंडली में प्रेरित धारा हमेशा चुंबकीय फ्लक्स में उस परिवर्तन का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
जब चुंबक के उत्तरी ध्रुव को कुंडली की ओर धकेला जाता है,तो कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है,और प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करने के लिए प्रवाहित होती है।
जब चुंबक को कुंडली से दूर खींचा जाता है,तो कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घट जाता है। इस कमी का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा पहले मामले की तुलना में विपरीत दिशा में प्रवाहित होती है।
चूंकि चुंबक को अंदर धकेलने पर गैल्वेनोमीटर की सुई $X$ की ओर विक्षेपित हुई थी,इसलिए चुंबक को दूर खींचने पर यह विपरीत दिशा में,यानी $X^1$ की ओर विक्षेपित होगी।

(A) विद्युत चुम्बकीय तरंगों को उनकी संबंधित तरंगदैर्ध्य श्रेणियों के साथ सुमेलित करने के लिए,हम मानक विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम का संदर्भ लेते हैं:
$1$. माइक्रोवेव: तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $0.1 \ m$ से $1 \ mm$ है (जो $(c)$ के अनुरूप है)।
$2$. दृश्य प्रकाश: तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $700 \ nm$ से $400 \ nm$ है (जो $(a)$ के अनुरूप है)।
$3$. पराबैंगनी: तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $400 \ nm$ से $1 \ nm$ है (जो $(d)$ के अनुरूप है)।
$4$. एक्स-रे: तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $1 \ nm$ से $10^{-3} \ nm$ है (जो $(b)$ के अनुरूप है)।
अतः,सही मिलान $i-c, ii-a, iii-d, iv-b$ है।

(A) जब प्रकाश तरंग एक विरल माध्यम से एक गैर-परावर्तक और गैर-अवशोषक माध्यम में यात्रा करती है,तो उसके द्वारा ले जाई जाने वाली कुल ऊर्जा समान रहती है।
प्रकाश तरंग में ऊर्जा तरंग की आवृत्ति और फोटॉन की संख्या के समानुपाती होती है।
चूंकि माध्यम बदलने पर प्रकाश की आवृत्ति स्थिर रहती है और माध्यम गैर-अवशोषक (कोई ऊर्जा हानि नहीं) और गैर-परावर्तक (कोई ऊर्जा परावर्तित नहीं) है,इसलिए कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ है।
प्रत्येक स्थिति के लिए:
$(a)$ $\theta = 180^{\circ}$ पर,$U = -pE \cos 180^{\circ} = -pE(-1) = pE$. यह $(ii)$ से मेल खाता है।
$(b)$ $\theta = 120^{\circ}$ पर,$U = -pE \cos 120^{\circ} = -pE(-1/2) = \frac{1}{2} pE$. यह $(iii)$ से मेल खाता है।
$(c)$ $\theta = 90^{\circ}$ पर,$U = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$. यह $(iv)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $a-ii, b-iii, c-iv$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले और $Q$ कुल आवेश वाले एक चालक गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है क्योंकि सभी आवेश सतह पर स्थित होते हैं।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$,गोला अपने केंद्र पर स्थित एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $E \propto \frac{1}{r^2}$।
$3$. अतः,$r < R$ के लिए विद्युत क्षेत्र शून्य है और $r \geq R$ के लिए यह $1/r^2$ के अनुसार घटता है। इस व्यवहार को दर्शाने वाला ग्राफ $A$ है,जहाँ $r=R$ तक $E=0$ है और उसके बाद यह व्युत्क्रम-वर्ग नियम के अनुसार घटता है।

(B) स्थिर वैद्युत संतुलन में चालकों के गुणों के अनुसार,धात्विक चालक के पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है।
चूंकि $R$ त्रिज्या वाले धात्विक गोले के अंदर हर जगह विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य है,इसलिए इस गोले के पदार्थ के अंदर खींचे गए किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,$\phi = \oint E \cdot dA = 0$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,दूसरे गोले पर स्थित बाहरी आवेश $Q$ के कारण $R$ त्रिज्या वाले धात्विक गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत फ्लक्स शून्य है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{enclosed}}$ सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश है।
दी गई आकृति में,गोले '$A$' की त्रिज्या ' $R$ ' है और यह द्विध्रुव के मध्य बिंदु पर केंद्रित है। $+q$ और $-q$ आवेशों के बीच की दूरी $2R$ है। इसलिए,केंद्र से प्रत्येक आवेश की दूरी $R$ है।
चूंकि गोले '$A$' की त्रिज्या ' $R$ ' है,यह केवल गोले के केंद्र में स्थित $-q$ आवेश को ही घेरता है।
इस प्रकार,गोले '$A$' द्वारा घिरा हुआ आवेश $q_{\text{enclosed}} = -q$ है।
इसलिए,गोले '$A$' से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_A = \frac{-q}{\varepsilon_0}$ होगा।

(D) गॉस का नियम बताता है कि किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का $\frac{1}{\epsilon_0}$ गुना होता है।
इसलिए,गॉस का नियम किसी भी बंद सतह के लिए मान्य है,चाहे उसका आकार कुछ भी हो या उसके अंदर आवेशों का वितरण कैसा भी हो।
सतह के बाहर स्थित आवेश सतह से गुजरने वाले कुल फ्लक्स में योगदान नहीं करते हैं।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(A) बिंदु $B$ से बिंदु $A$ तक आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q(V_A - V_B)$।
दिया गया है:
आवेश $q = 5 \ mC = 5 \times 10^{-3} \ C$।
$A$ पर विभव,$V_A = -3 \ V$।
$B$ पर विभव,$V_B = 5 \ V$।
मान रखने पर:
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-3 - 5)$
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-8)$
$W = -40 \times 10^{-3} \ J$
$W = -0.04 \ J$।

(A) समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
चूंकि समविभव पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $(V_B - V_A)$ शून्य होता है,इसलिए एक आवेश $(q)$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य $(W)$,$W = q(V_B - V_A) = 0$ होता है।
अतः,यह कथन कि 'समविभव पृष्ठ पर आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य नहीं होता है' गलत है।

(B) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल का सूत्र है:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
इस मामले में,दोनों तारों में समान धारा $I$ बह रही है,इसलिए $I_1 = I_2 = I$। अतः,प्रति इकाई लंबाई बल है:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi r}$
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,समान दिशा में धारा ले जाने वाले समानांतर तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,जबकि विपरीत दिशा में धारा ले जाने वाले तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करेंगे।

(B) दिया गया है: परिनालिका की लंबाई $\ell = 1 \ m$,व्यास $d = 4 \ cm$,त्रिज्या $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$।
कुल फेरों की संख्या $N = 5 \times 1000 = 5000$।
धारा $I = 7 \ A$।
एक परिमित परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2\ell} (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)$ होता है।
चूंकि परिनालिका अपनी त्रिज्या की तुलना में लंबी है,हम आदर्श परिनालिका के सूत्र $B = \mu_0 n I$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $n = N/\ell$ है।
$B = \frac{\mu_0 N I}{\ell} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5000 \times 7}{1}$।
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 35000 = 14\pi \times 10^{-3} \ T$।
$B \approx 14 \times 3.14159 \times 10^{-3} \ T = 43.98 \times 10^{-3} \ T = 4.398 \times 10^{-2} \ T$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $4.396 \times 10^{-2} \ T$ है।

(B) ओर्स्टेड के प्रयोग और बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक सीधा धारावाही चालक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। एक लंबे सीधे धारावाही तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं,जिनका केंद्र तार होता है। इसलिए,विकल्प $B$ सही है। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाले बल की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है,न कि स्वयं क्षेत्र की दिशा के लिए। एक आदर्श सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र समान होता है।

(B) एक अनंत लंबाई के सीधे धारावाही चालक से लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $B \propto \frac{1}{r}$ है।
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जहाँ $r$ बढ़ने पर $B$ घटता है। अतः,विकल्प $B$ में दिया गया ग्राफ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) $Y-Z$ तल में स्थित $2 \ m$ भुजा वाले वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$X$-अक्ष की दिशा में होता है।
$\vec{A} = (2 \times 2) \hat{i} = 4 \hat{i} \ m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \ T$ दिया गया है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल होता है:
$\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\phi = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (5 \times 4) + (3 \times 0) + (-4 \times 0)$
$\phi = 20 \ Wb$.
अतः,चुंबकीय फ्लक्स का परिमाण $20 \ Wb$ है।

(D) प्रतिचुंबकीय पदार्थ वे पदार्थ हैं जो लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक कमजोर चुंबकत्व विकसित करते हैं।
उनकी चुंबकीय सुग्राहिता $(\chi)$ छोटी और ऋणात्मक होती है, जो आमतौर पर $-10^{-5}$ से $-10^{-9}$ के बीच होती है।
अनुचुंबकीय (paramagnetic) या लौह-चुंबकीय (ferromagnetic) पदार्थों के विपरीत, प्रतिचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय सुग्राहिता तापमान पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए, यह कथन कि सुग्राहिता छोटी और ऋणात्मक होती है, सही है।

(D) $1$. समस्थानिक: समान परमाणु क्रमांक $(Z)$ लेकिन अलग द्रव्यमान संख्या $(A)$ वाले परमाणु। उदाहरण: $_1H^1$ और $_1H^2$ में $Z=1$ है। अतः,$A-iii$.
$2$. समभारिक: समान द्रव्यमान संख्या $(A)$ लेकिन अलग परमाणु क्रमांक $(Z)$ वाले परमाणु। उदाहरण: $Li^7$ और $Be^7$ दोनों में $A=7$ है। अतः,$B-i$.
$3$. समन्यूट्रॉनिक: समान न्यूट्रॉन संख्या $(N = A-Z)$ वाले परमाणु। $_8O^{18}$ के लिए,$N = 18-8 = 10$। $_9F^{19}$ के लिए,$N = 19-9 = 10$। अतः,$C-ii$.
इसलिए,सही मिलान $A-iii, B-i, C-ii$ है।

(C) प्रबल नाभिकीय बल हमेशा आकर्षक नहीं होता है। यह $0.8 \ fm$ से अधिक दूरी पर प्रबल रूप से आकर्षक होता है और नाभिक के पतन (collapse) को रोकने के लिए $0.8 \ fm$ से कम दूरी पर यह प्रबल रूप से प्रतिकर्षी हो जाता है। इसलिए,यह कथन कि 'नाभिकीय बल हमेशा आकर्षक होता है' गलत है।

(D) $1$. जब किसी लेंस को उसके मुख्य अक्ष के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे हिस्से की फोकस दूरी मूल लेंस के समान रहती है,इसलिए प्रत्येक आधे हिस्से की शक्ति $P$ ही रहती है। अतः,$L_1$ की शक्ति $P$ है।
$2$. जब किसी लेंस को उसके मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की फोकस दूरी दोगुनी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक भाग की शक्ति मूल शक्ति की आधी हो जाती है।
$3$. चूंकि $L_2$ और $L_3$ मूल लेंस के ऊपरी आधे हिस्से को मुख्य अक्ष के लंबवत काटकर प्राप्त किए जाते हैं,इसलिए $L_2$ की शक्ति $\frac{P}{2}$ और $L_3$ की शक्ति $\frac{P}{2}$ होती है।
$4$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,गलत कथन यह है कि $L_1$ की शक्ति $\frac{P}{2}$ है।

(B) एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस को वस्तु के करीब रखा जाता है। वस्तु को अभिदृश्यक लेंस के मुख्य फोकस के ठीक बाहर रखा जाता है। इसके परिणामस्वरूप एक वास्तविक,उल्टा और बड़ा प्रतिबिंब बनता है। यह प्रतिबिंब नेत्रिका (eyepiece) के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है,जो इसे और अधिक आवर्धित करके अंतिम आभासी प्रतिबिंब बनाता है।

(D) एक प्रिज्म के लिए,दो फलकों पर अपवर्तन कोणों का योग प्रिज्म के कोण $(A)$ के बराबर होता है:
$r + r^1 = A$
यह दिया गया है कि प्रिज्म का कोण $A = 50^{\circ}$ है और $r = 10^{\circ} + t^2$ है,इसलिए हम इन मानों को समीकरण में रख सकते हैं:
$10^{\circ} + t^2 + r^1 = 50^{\circ}$
$r^1$ के लिए हल करने पर:
$r^1 = 50^{\circ} - 10^{\circ} - t^2$
$r^1 = 40^{\circ} - t^2$

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$ होता है।
यहाँ,$n_1 = 1$ (निर्वात),$n_2 = n$,$i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
दिया गया है कि $i = 2r$,इसलिए $r = \frac{i}{2}$ होगा।
इन मानों को स्नेल के नियम में रखने पर:
$1 \times \sin i = n \sin \left(\frac{i}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin i = 2 \sin \left(\frac{i}{2}\right) \cos \left(\frac{i}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{i}{2}\right) \cos \left(\frac{i}{2}\right) = n \sin \left(\frac{i}{2}\right)$
दोनों पक्षों को $\sin \left(\frac{i}{2}\right)$ से विभाजित करने पर ($i \neq 0$ मानते हुए):
$2 \cos \left(\frac{i}{2}\right) = n$
$\cos \left(\frac{i}{2}\right) = \frac{n}{2}$
$\frac{i}{2} = \cos^{-1} \left(\frac{n}{2}\right)$
$i = 2 \cos^{-1} \left(\frac{n}{2}\right)$

(A) अपवर्तनांक $n$ वास्तविक गहराई और आभासी गहराई के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
वास्तविक गहराई $(RD)$ कांच के स्लैब की वास्तविक मोटाई है,जो स्लैब के ऊपर चॉक डस्ट के लिए रीडिंग और नीचे स्याही के निशान के लिए रीडिंग के बीच का अंतर है: $RD = 8.123 \ cm - 5.123 \ cm = 3.000 \ cm$.
आभासी गहराई $(AD)$ कांच के स्लैब के माध्यम से देखे गए स्याही के निशान की गहराई है,जो ऊपर चॉक डस्ट के लिए रीडिंग और स्लैब के माध्यम से स्याही के निशान के लिए रीडिंग के बीच का अंतर है: $AD = 8.123 \ cm - 6.123 \ cm = 2.000 \ cm$.
अपवर्तनांक $n = \frac{RD}{AD} = \frac{3.000}{2.000} = 1.5$ है।

(C) दिए गए परिपथ में,$3 \text{ V}$ की बैटरी का धनात्मक टर्मिनल डायोड $D_1$ के कैथोड और डायोड $D_2$ के एनोड से जुड़ा है।
$1$. डायोड $D_1$: बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $D_1$ के n-भाग (कैथोड) से जुड़ा है। अतः,$D_1$ रिवर्स बायस्ड है और एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है (इस शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है)।
$2$. डायोड $D_2$: बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $D_2$ के p-भाग (एनोड) से जुड़ा है। अतः,$D_2$ फॉरवर्ड बायस्ड है और एक बंद स्विच की तरह कार्य करता है (आदर्श डायोड का प्रतिरोध शून्य होता है)।
$3$. तुल्य प्रतिरोध: चूंकि $D_1$ एक ओपन सर्किट है,इसलिए धारा केवल $D_2$ और $30 \Omega$ प्रतिरोध वाली शाखा से होकर बहती है,जो $70 \Omega$ प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है।
$R_{eq} = 30 \Omega + 70 \Omega = 100 \Omega$
$4$. धारा की गणना: ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{R_{eq}}$
$I = \frac{3 \text{ V}}{100 \Omega} = 0.03 \text{ A}$

(D) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,आंतरिक अर्धचालक में दाता अशुद्धियाँ मिलाई जाती हैं। ये अशुद्धियाँ दाता ऊर्जा स्तर नामक अलग ऊर्जा स्तर बनाती हैं। ये स्तर वर्जित ऊर्जा अंतराल के भीतर,कंडक्शन बैंड के निचले हिस्से के बहुत करीब स्थित होते हैं। यह निकटता दाता स्तर के इलेक्ट्रॉनों को कमरे के तापमान पर आसानी से कंडक्शन बैंड में उत्तेजित होने की अनुमति देती है,जिससे पदार्थ की चालकता बढ़ जाती है।

(A) जब एक समतल तरंगाग्र उत्तल लेंस पर आपतित होता है,तो तरंगाग्र का मध्य भाग लेंस के सबसे मोटे हिस्से से होकर गुजरता है,जबकि किनारे पतले हिस्सों से गुजरते हैं।
चूंकि लेंस का अपवर्तनांक $n_2$ आसपास के माध्यम $n_1$ से अधिक है,इसलिए लेंस के अंदर प्रकाश की गति बाहर की तुलना में कम होती है।
परिणामस्वरूप,तरंगाग्र का मध्य भाग किनारों की तुलना में अधिक विलंबित हो जाता है।
यह शुरू में समतल तरंगाग्र को गोलाकार बनने और लेंस के फोकस बिंदु की ओर अभिसरित (converge) होने का कारण बनता है।
इसलिए,अपवर्तित तरंगाग्र एक गोलाकार तरंगाग्र है जो प्रसार की दिशा में अवतल होता है (या अभिसरित होते समय लेंस की ओर अवतल होता है)।
विकल्पों को देखने पर,जो आकार अभिसरित होते गोलाकार तरंगाग्र को दर्शाता है,वह एक अवतल वक्र है।