KCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) શિરોબિંદુઓના યામ $A(0, 0)$,$B(1, 0)$,અને $C(1/2, \sqrt{3}/2)$ છે.
દળ $m_A = 1 \ kg$,$m_B = 2 \ kg$,અને $m_C = 3 \ kg$ છે.
કુલ દળ $M = m_A + m_B + m_C = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C}{M} = \frac{1(0) + 2(1) + 3(1/2)}{6} = \frac{0 + 2 + 1.5}{6} = \frac{3.5}{6} = \frac{7}{12}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C}{M} = \frac{1(0) + 2(0) + 3(\sqrt{3}/2)}{6} = \frac{3\sqrt{3}/2}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{12}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{7}{12}, \frac{3\sqrt{3}}{12}\right)$ છે.

(C) $I$. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રની કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,એટલે કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ અંતિમ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
$II$. જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો તમામ પ્રકારની અથડામણો (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) માં રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$III$. અથડામણના સમયગાળા $\Delta t$ દરમિયાન,પદાર્થો વિકૃત થાય છે અને ગતિઊર્જાનો કેટલોક ભાગ કામચલાઉ રીતે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,અથડામણની પ્રક્રિયા દરમિયાન ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
$\therefore$ ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(B) કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે.
તેથી,$L_p = L_a$.
પેરિહેલિયન એ કક્ષામાં સૂર્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ છે અને એફેલિયન એ સૂર્યથી સૌથી દૂરનું બિંદુ છે.
તેથી,$r_p < r_a$.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ સંરક્ષિત હોવાથી,આપણી પાસે $m v_p r_p = m v_a r_a$ છે.
જેમ કે $r_p < r_a$,તેથી $v_p > v_a$ મળે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $r_p < r_a, v_p > v_a, L_a = L_p$ છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = -\frac{GMm}{2r}$
જ્યાં:
- $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે.
- $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
- $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
- $r = R + h$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $r = R + h$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = -\frac{GMm}{2(R+h)}$
અહીં $G, M, m,$ અને $2$ અચળાંકો હોવાથી,કુલ ઉર્જા $E$ એ $-\frac{1}{R+h}$ ના પ્રમાણમાં છે.
આમ,કુલ ઉર્જા $-\frac{1}{R+h}$ મુજબ બદલાય છે.

(C) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$ કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જેનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
તેથી,$E \propto T$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ આપેલ છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ આપેલ છે.
સમપ્રમાણતાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $E_2 = E_1 \times \frac{600}{300}$.
$E_2 = 2 E_1$.

(A) ધારો કે આડી દોરીમાં તણાવ $T_1$ છે અને $\theta$ ખૂણે નમેલી દોરીમાં તણાવ $T_2$ છે.
$M$ દળના લટકતા બ્લોક માટે,શિરોલંબ સંતુલન પરથી $T_2 \sin \theta = Mg$ ... $(i)$.
$O$ બિંદુ માટે,સમક્ષિતિજ સંતુલન પરથી $T_1 = T_2 \cos \theta$ ... (ii).
જમીન પરના બ્લોક માટે,સમક્ષિતિજ બળ $T_1$ છે અને સીમાંત ઘર્ષણ $f_s = \mu N = \mu Mg$ છે.
સંતુલન માટે,$T_1 = f_s = \mu Mg$ ... (iii).
(ii) અને (iii) પરથી,$T_2 \cos \theta = \mu Mg$ ... (iv).
$(i)$ ને (iv) વડે ભાગતા,આપણને $\frac{T_2 \sin \theta}{T_2 \cos \theta} = \frac{Mg}{\mu Mg}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \cot \theta$.

(D) વેગ-સમયના આલેખ પરથી,બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ એ રેખાનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{3} = \frac{20}{3} \text{ m/s}^2$
બ્લોક ગતિમાં હોવાથી,તેના પર લાગતું ઘર્ષણ એ ગતિક ઘર્ષણ છે,$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
અહીં $\mu_k = 0.25$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ છે,તેથી ગતિક ઘર્ષણ $f_k = 0.25 \times m \times 10 = 2.5m$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F - f_k = ma$:
$20 - 2.5m = m \times \frac{20}{3}$
$20 = m \left( \frac{20}{3} + 2.5 \right)$
$20 = m \left( \frac{20 + 7.5}{3} \right) = m \left( \frac{27.5}{3} \right)$
$m = \frac{20 \times 3}{27.5} = \frac{60}{27.5} \approx 2.18 \text{ kg}$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,દળ $2.2 \text{ kg}$ મળે છે.

(C) સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 V_1 = A_2 V_2$.
અહીં $A_1 = 10 \text{ cm}^2$,$V_1 = 1 \text{ ms}^{-1}$,અને $A_2 = 5 \text{ cm}^2$ આપેલ છે.
$V_2 = (A_1 V_1) / A_2 = (10 \times 1) / 5 = 2 \text{ ms}^{-1}$.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$P_1 + 0.5 \rho V_1^2 = P_2 + 0.5 \rho V_2^2$.
$P_2 = P_1 + 0.5 \rho (V_1^2 - V_2^2)$.
$P_2 = 2000 + 0.5 \times 1000 \times (1^2 - 2^2)$.
$P_2 = 2000 + 500 \times (1 - 4) = 2000 - 1500 = 500 \text{ Pa}$.

(A) સૌ પ્રથમ,દડાને ડૂબવા માટે લાગતો સરેરાશ સમય $t_{\text{avg}}$ શોધો: $t_{\text{avg}} = \frac{2.75 + 2.65 + 2.70}{3} = 2.7 \,s$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{h}{t_{\text{avg}}} = \frac{0.9}{2.7} = \frac{1}{3} \,m/s$.
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9\eta}$ છે,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
$\eta$ માટે સૂત્ર: $\eta = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9v_t}$.
અહીં $r = \sqrt{3} \times 10^{-3} \,m$,તેથી $r^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$.
આપેલ છે કે $(\rho_s - \rho_l) = 7000 \,kg/m^3$ અને $g = 10 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-6}) \times 10 \times 7000}{9 \times (1/3)} = \frac{6 \times 10^{-5} \times 7000}{3} = 2 \times 10^{-5} \times 7000 = 0.14 \,Pa \cdot s$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta \ell$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta \ell$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે,તેથી $\Delta \ell = \frac{4F \ell}{\pi d^2 Y}$ થાય.
તાર એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી $Y$ સમાન છે અને બળ $F$ પણ સમાન છે,તેથી લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\frac{\ell}{d^2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{\ell_A}{\ell_B} \right) \times \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
અહીં $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{2}$ (જેનો અર્થ છે કે $\frac{d_B}{d_A} = 2$),આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{1}{3} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$.
આમ,તેમની લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પથ્થર $t_0$ સમય માટે પડે છે. તેણે કાપેલું અંતર $S_1 = \frac{1}{2} g t_0^2$ છે.
બીજો પથ્થર $\Delta t$ સેકન્ડ પછી શરૂ થાય છે,તેથી તે $(t_0 - \Delta t)$ સમય માટે પડે છે. તેણે કાપેલું અંતર $S_2 = \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$ છે.
બંને વચ્ચેનું અંતર $H = S_1 - S_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{1}{2} g t_0^2 - \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $H = \frac{1}{2} g [t_0^2 - (t_0^2 - 2 t_0 \Delta t + \Delta t^2)]$.
$H = \frac{1}{2} g [2 t_0 \Delta t - \Delta t^2]$.
$H = g t_0 \Delta t - \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$t_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $g t_0 \Delta t = H + \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$g \Delta t$ વડે ભાગતા: $t_0 = \frac{H}{g \Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x)$ સમય અને સ્થાનના સંદર્ભમાં અચળ રહે છે.
આનું કારણ એ છે કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર કોઈ સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $(a_x = 0)$ કાર્ય કરતું નથી,જો આપણે હવાનો અવરોધ અવગણીએ.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(v_y)$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા પ્રવેગ $(g)$ ને લીધે બદલાય છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક એકમાત્ર એવી રાશિ છે જે સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.

(C) પથનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = 25$ છે. આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 5 \text{ m}$ છે.
સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે.
આપેલ છે કે $v = 2 \text{ m/s}$ અને $R = 5 \text{ m}$,તેથી $a_c = \frac{2^2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ m/s}^2$.
કણ તેનો સૌથી ઓછો $y$ યામ $(2, -5)$ બિંદુ પર પ્રાપ્ત કરે છે.
આ બિંદુએ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 0)$ કણની બરાબર ઉપર (ધન $y$-અક્ષની દિશામાં) છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે,જે $0.8 \hat{j} \text{ m/s}^2$ છે.

(B) $SHM$ માં,ગતિઊર્જા $K(x)$ અને સ્થિતિઊર્જા $U(x)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K(x) = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$
$U(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
બિંદુ $x = x_0$ પર,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સમાન છે,એટલે કે $K(x_0) = U(x_0)$.
$\frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x_0^2) = \frac{1}{2}m\omega^2x_0^2$
$A^2 - x_0^2 = x_0^2$
$A^2 = 2x_0^2$
$x_0^2 = \frac{A^2}{2}$
$|x_0| = \frac{A}{\sqrt{2}}$

(A) આપેલ છે: $I_1 = 4 \ kg \ m^2$,$r_1 = 0.2 \ m$,$I_2 = 20 \ kg \ m^2$,$r_2 = 0.3 \ m$,$\tau_1 = 10 \ Nm$.
બેલ્ટ નોન-સ્લિપિંગ હોવાથી,રીમનો રેખીય પ્રવેગ સમાન રહેશે: $a = \alpha_1 r_1 = \alpha_2 r_2$.
નાના વ્હીલ માટે: $\tau_1 = I_1 \alpha_1 \implies 10 = 4 \alpha_1 \implies \alpha_1 = 2.5 = 5/2 \ rad/s^2$.
મોટા વ્હીલ માટે: $\alpha_2 = \alpha_1 (r_1 / r_2) = (5/2) \times (0.2 / 0.3) = (5/2) \times (2/3) = 5/3 \ rad/s^2$.
મોટા વ્હીલ પર લાગતું ટોર્ક: $\tau_2 = I_2 \alpha_2 = 20 \times (5/3) = 100/3 \ Nm$.
જોડકાં: $a \to 3, b \to 2, c \to 1$.

(A) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે અને જંકશનનું તાપમાન $T_X$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતી કુલ ઉષ્મા એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતી કુલ ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
અહીં,$90^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતી બે સળિયાઓમાંથી ઉષ્મા જંકશન $X$ તરફ વહે છે,અને ત્યારબાદ જંકશન $X$ થી $0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતી સળિયા તરફ વહે છે.
ધારો કે $H_1$ અને $H_2$ એ $90^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતી બે સળિયાઓમાંથી આવતો ઉષ્મા પ્રવાહ છે,અને $H$ એ $0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા છેડા તરફ જતો ઉષ્મા પ્રવાહ છે.
$H = H_1 + H_2$
ઉષ્મા પ્રવાહના સૂત્ર $H = \frac{\Delta T}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{T_X - 0}{R} = \frac{90 - T_X}{R} + \frac{90 - T_X}{R}$
સળિયાઓ સમાન હોવાથી,ઉષ્મીય અવરોધ $R$ બધા માટે સમાન છે.
$T_X = (90 - T_X) + (90 - T_X)$
$T_X = 180 - 2T_X$
$3T_X = 180$
$T_X = 60^{\circ} C$
આમ,જંકશન $X$ પરનું તાપમાન $60^{\circ} C$ છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = Q - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,તે માત્ર તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
બંને માર્ગો $1$ અને $2$ માટે,તંત્ર અવસ્થા $A$ થી અવસ્થા $B$ પર જાય છે,તેથી બંને માર્ગો માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન છે: $\Delta U_1 = \Delta U_2$.
તેથી,$Q_1 - W_1 = Q_2 - W_2$.

(C) પરિમાણીય વિશ્લેષણ એ ભૌતિક સમીકરણોની સુસંગતતા તપાસવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન છે,પરંતુ તેની મર્યાદાઓ છે. તે પરિમાણરહિત અચળાંકો (જેમ કે $6 \pi$) અથવા ત્રિકોણમિતીય,ઘાતાંકીય કે લઘુગણકીય વિધેયોની હાજરી નક્કી કરી શકતું નથી કારણ કે તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સ પરિમાણરહિત હોવા જોઈએ.
$1$. $x=A \cos (\omega t)$: પરિમાણીય રીતે સુસંગત હોવા છતાં,$\cos$ વિધેયની હાજરી પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા તારવી શકાતી નથી.
$2$. $N=N_0 e^{-\lambda t}$: પરિમાણીય રીતે સુસંગત હોવા છતાં,ઘાતાંકીય સ્વરૂપ પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા તારવી શકાતું નથી.
$3$. $F=6 \pi \eta r \nu$ (સ્ટોક્સનો નિયમ): જમણી બાજુના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-1}] \cdot [L] \cdot [L T^{-1}] = [M L T^{-2}]$ છે,જે બળનું પરિમાણ છે. પરિમાણીય વિશ્લેષણ દ્વારા $F$ ને $\eta$,$r$,અને $\nu$ સાથે $F \propto \eta^a r^b \nu^c$ તરીકે સંબંધિત કરી શકાય છે. પરિમાણોની સરખામણી કરીને,આપણે $a=1, b=1, c=1$ મેળવી શકીએ છીએ,જે $F \propto \eta r \nu$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,વિધેયાત્મક નિર્ભરતા તારવી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(B) લંબગત તરંગમાં,માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરે છે.
તરંગનો વેગ એ પ્રસરણની દિશામાં હોય છે અને કણનો વેગ તેને લંબ હોય છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
આ કણના તમામ સ્થાનો માટે સાચું છે,સિવાય કે સરેરાશ સ્થાન પર,જ્યાં કણનો વેગ ક્ષણિક રીતે શૂન્ય હોય છે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{net}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
અહીં દળ $m = 0.25 \ kg$,ઝડપ $v = k x^{3/2}$ અને $k = 2$ આપેલ છે.
$x = 0$ આગળ,$v_i = 2(0)^{3/2} = 0 \ m/s$,તેથી $KE_i = 0 \ J$.
$x = 2 \ m$ આગળ,$v_f = 2(2)^{3/2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \ m/s$.
$KE_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 0.25 \times (4\sqrt{2})^2$
$KE_f = \frac{1}{2} \times 0.25 \times 16 \times 2 = 0.25 \times 16 = 4 \ J$.
તેથી,$W_{\text{net}} = 4 \ J - 0 \ J = 4 \ J$.

(A) આપેલ છે: $X_L = 24 \ \Omega$,$X_C = 16 \ \Omega$,$R = 6 \ \Omega$,$V = 100 \ V$.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{6^2 + (24 - 16)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10} = 10 \ A$.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{LC} = i |X_L - X_C|$
$V_{LC} = 10 \times |24 - 16| = 10 \times 8 = 80 \ V$.

(D) ઘરેલું ઇલેક્ટ્રિક મેઇન્સ સપ્લાયમાં,પાવરનું પ્રસારણ અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ તરીકે થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ બંને સમય સાથે સાઇનસૉઇડલ રીતે બદલાય છે.
તેથી,ઘરેલું સપ્લાયમાં $AC$ વોલ્ટેજ અને $AC$ પ્રવાહ હોય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $V = V_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $V_0 = 311 \ V$ અને $\omega = 314 \ rad/s$ છે.
વોલ્ટેજનું $rms$ મૂલ્ય $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$V_{rms} = \frac{311}{1.414} \approx 220 \ V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ છે.
$314 = 2 \times 3.14 \times f$.
$314 = 6.28 \times f$.
$f = \frac{314}{6.28} = 50 \ Hz$.
આમ,$rms$ વોલ્ટેજ $220 \ V$ અને આવૃત્તિ $50 \ Hz$ છે.

(B) $n^{\text{મી}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_1$ છે, જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r_1 = r)$ છે.
બીજી બોહર કક્ષા માટે, $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$r_2 = (2)^2 \times r$
$r_2 = 4 r$
તેથી, બીજી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $4 r$ થશે.

(B) આ પરિપથમાં $E = 2 \ V$ નું $EMF$ અને $r = 0.1 \ \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ ધરાવતો કોષ,$R = 3.9 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,પરિપથનો કુલ અવરોધ શોધો: $R_{total} = R + r = 3.9 \ \Omega + 0.1 \ \Omega = 4.0 \ \Omega$.
ત્યારબાદ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ શોધો: $i = \frac{E}{R_{total}} = \frac{2 \ V}{4.0 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
કોષના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $V = E - i \times r$.
કિંમતો મૂકતા: $V = 2 \ V - (0.5 \ A \times 0.1 \ \Omega) = 2 \ V - 0.05 \ V = 1.95 \ V$.

(D) સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કોષોનું સમતુલ્ય emf નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_2 + E_1 r_1 - E_1 r_1 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1(r_1 + r_2) + r_1(E_2 - E_1)}{r_1 + r_2} = E_1 + \frac{r_1}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$
અહીં $E_2 > E_1$ અને $r_1, r_2 > 0$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $E_{eq} > E_1$.
તે જ રીતે,$E_{eq} = E_2 - \frac{r_2}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$. $E_2 > E_1$ અને $r_1, r_2 > 0$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $E_{eq} < E_2$.
આમ,$E_1 < E_{eq} < E_2$.
આપેલ છે કે $r_2 > r_1$,તેથી પદ $\frac{r_1}{r_1 + r_2} < \frac{1}{2}$ થશે.
તેથી,$E_{eq}$ એ $E_2$ કરતા $E_1$ ની વધુ નજીક છે.

(C) સાચો જવાબ માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ માટે સાતત્યના સિદ્ધાંત મુજબ,વાહકના કોઈપણ આડછેદમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ આડછેદના ક્ષેત્રફળને ધ્યાનમાં લીધા વિના અચળ રહે છે.
સૂત્ર $I = nAev_d$ મુજબ,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ ઝડપ છે,જો ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાય,તો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને અચળ રાખવા માટે ડ્રિફ્ટ ઝડપ $v_d$ બદલાવી જોઈએ.
તે જ રીતે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J = I/A$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પણ આડછેદના ક્ષેત્રફળ સાથે બદલાય છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરને તેની સાથે સમાંતરમાં નાનો શંટ અવરોધ $S$ જોડીને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
$G$ અવરોધ અને $i_g$ પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન કરંટ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટર માટે,જો તેણે $i$ જેટલો મહત્તમ પ્રવાહ માપવો હોય,તો શંટ અવરોધ $S$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$S = \frac{i_g G}{i - i_g}$
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $S \propto \frac{1}{i - i_g}$.
એમીટરને મિલિએમીટર $(i_{milliammeter})$ ની તુલનામાં મોટા પ્રવાહ $(i_{ammeter})$ ને માપવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું હોવાથી,એમીટર માટે છેદ $(i - i_g)$ મોટો હશે.
તેથી,એમીટર માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $S$ એ મિલિએમીટર માટે જરૂરી શંટ અવરોધ કરતા ઓછો હશે.
આમ,એમીટરનો શંટ અવરોધ મિલિએમીટર કરતા ઓછો હોય છે.

(C) હાફ-ડિફ્લેક્શન મેથડમાં,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$G = \frac{S \cdot R}{R - S}$
આપેલ છે:
શ્રેણી અવરોધ $R = 5200 \ \Omega$
શંટ અવરોધ $S = 90 \ \Omega$
પ્રારંભિક વિચલન $\theta = 26 \ \text{div}$
અંતિમ વિચલન $\theta' = \theta/2 = 13 \ \text{div}$
કિંમતો મૂકતા:
$G = \frac{90 \times 5200}{5200 - 90}$
$G = \frac{468000}{5110}$
$G \approx 91.58 \ \Omega$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$G \approx 91.6 \ \Omega$.

(A) આપેલ આલેખમાં:
$1$. પદાર્થ $Z$ માટે,તાપમાન $T$ માં વધારો થતાં અવરોધકતા $\rho$ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. આ સેમિકન્ડક્ટરનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$2$. પદાર્થ $Y$ માટે,તાપમાન $T$ સાથે અવરોધકતા $\rho$ રેખીય રીતે વધે છે. આ નાઈક્રોમ જેવી મિશ્ર ધાતુઓનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે,જેનો અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ જ નાનો હોય છે.
$3$. પદાર્થ $X$ માટે,તાપમાન $T$ સાથે અવરોધકતા $\rho$ અરેખીય રીતે વધે છે. આ કોપર જેવી ધાતુઓનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તેથી,$X$ એ કોપર છે,$Y$ એ નાઈક્રોમ છે અને $Z$ એ સેમિકન્ડક્ટર છે.

(C) તારનો અવરોધ $(R)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = \frac{\rho \ell}{A}$,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર નળાકાર હોવાથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ થાય.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $R = \frac{\rho \ell}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho \ell}{\pi D^2}$.
અહીં $\rho$,$\ell$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{1}{D^2}$ થાય.
આ સંબંધ વ્યસ્ત વર્ગનો નિયમ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે જેમ $D$ વધે તેમ $R$ ઘટે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $C$ આ વર્તણૂક દર્શાવે છે.

(D) વિદ્યુત વાહકતા $(\sigma)$ એ વિદ્યુત અવરોધકતા $(\rho)$ નો વ્યસ્ત છે,એટલે કે $\sigma = 1/\rho$.
ધાતુઓ માટે,અવરોધકતા $(\rho)$ ખૂબ જ ઓછી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{-8} \Omega \text{ m}$ થી $10^{-6} \Omega \text{ m}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
પરિણામે,વિદ્યુત વાહકતા $(\sigma)$ ખૂબ જ ઊંચી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^6 \text{ S m}^{-1}$ થી $10^8 \text{ S m}^{-1}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ આ રેન્જને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના વેગમાન $p$ સાથે $\lambda = \frac{h}{p}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંને માટે દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સમાન છે,તેથી તેમનું વેગમાન $p$ પણ સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,તેમની પાસે સમાન વેગમાન હશે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,ફોટોઈલેક્ટ્રિક કરંટ $I$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા વધારે હોય.
જો આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા અચળ રાખવામાં આવે અને આવૃત્તિ $\nu$ વધારવામાં આવે,તો એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા અચળ રહે છે (કારણ કે $P = n h \nu$,જો પાવર $P$ અચળ હોય,તો $\nu$ વધતા $n$ ઘટે છે). જો કે,વ્યવહારુ પ્રાયોગિક સેટઅપમાં,જ્યાં સુધી $\nu > \nu_0$ હોય ત્યાં સુધી ફોટોઈલેક્ટ્રિક કરંટ પ્રકાશની આવૃત્તિથી સ્વતંત્ર હોય છે.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક કરંટ $I$ વિરુદ્ધ આવૃત્તિ $\nu$ નો આલેખ $\nu > \nu_0$ માટે આડી રેખા છે અને $\nu < \nu_0$ માટે શૂન્ય છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ કોઈલ તરફ ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,અને પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે વહે છે.
જ્યારે ચુંબકને કોઈલથી દૂર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ પ્રથમ કિસ્સાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
તેથી,જ્યારે ચુંબકને અંદર ધકેલવામાં આવ્યો ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરની સોય $X$ તરફ કોણાવર્તન પામી હતી,તેથી જ્યારે ચુંબકને દૂર ખેંચવામાં આવે ત્યારે તે વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે $X^1$ તરફ કોણાવર્તન પામશે.

(A) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગોને તેમની સંબંધિત તરંગલંબાઈની શ્રેણી સાથે જોડવા માટે,આપણે પ્રમાણિત ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સ્પેક્ટ્રમનો સંદર્ભ લઈએ છીએ:
$1$. માઇક્રોવેવ: તરંગલંબાઈની શ્રેણી આશરે $0.1 \ m$ થી $1 \ mm$ છે (જે $(c)$ ને અનુરૂપ છે).
$2$. દ્રશ્ય પ્રકાશ: તરંગલંબાઈની શ્રેણી આશરે $700 \ nm$ થી $400 \ nm$ છે (જે $(a)$ ને અનુરૂપ છે).
$3$. અલ્ટ્રાવાયોલેટ: તરંગલંબાઈની શ્રેણી આશરે $400 \ nm$ થી $1 \ nm$ છે (જે $(d)$ ને અનુરૂપ છે).
$4$. એક્સ-રે: તરંગલંબાઈની શ્રેણી આશરે $1 \ nm$ થી $10^{-3} \ nm$ છે (જે $(b)$ ને અનુરૂપ છે).
આમ,સાચી જોડ $i-c, ii-a, iii-d, iv-b$ છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું તરંગ પાતળા માધ્યમમાંથી બિન-પરાવર્તક અને બિન-શોષક માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વહન કરતી કુલ ઉર્જા સમાન રહે છે.
પ્રકાશના તરંગમાં રહેલી ઉર્જા તેની આવૃત્તિ અને ફોટોનની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ માધ્યમ બદલે છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે અને માધ્યમ બિન-શોષક (કોઈ ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી) અને બિન-પરાવર્તક (કોઈ ઉર્જા પરાવર્તિત થતી નથી) હોવાથી,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ છે.
દરેક કિસ્સા માટે:
$(a)$ $\theta = 180^{\circ}$ માટે,$U = -pE \cos 180^{\circ} = -pE(-1) = pE$. જે $(ii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(b)$ $\theta = 120^{\circ}$ માટે,$U = -pE \cos 120^{\circ} = -pE(-1/2) = \frac{1}{2} pE$. જે $(iii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(c)$ $\theta = 90^{\circ}$ માટે,$U = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$. જે $(iv)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $a-ii, b-iii, c-iv$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા વાહક ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે તમામ વિદ્યુતભારો સપાટી પર રહેલા હોય છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$,ગોળો તેના કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.
$3$. તેથી,$r < R$ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને $r \geq R$ માટે તે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે. આ વર્તણૂક દર્શાવતો આલેખ $A$ છે,જ્યાં $r=R$ સુધી $E=0$ છે અને ત્યારબાદ તે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે.

(B) સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહકોના ગુણધર્મો અનુસાર,ધાતુના વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે $R$ ત્રિજ્યાના ધાતુના ગોળાની અંદર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય છે,તેથી આ ગોળાના દ્રવ્યની અંદર દોરેલી કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \oint E \cdot dA = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બીજા ગોળા પરના બાહ્ય વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $R$ ત્રિજ્યાના ધાતુના ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{enclosed}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વીજભાર છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ગોળા '$A$' ની ત્રિજ્યા ' $R$ ' છે અને તે ડાયપોલના મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે. $+q$ અને $-q$ વીજભાર વચ્ચેનું અંતર $2R$ છે. તેથી,દરેક વીજભારનું કેન્દ્રથી અંતર $R$ છે.
ગોળા '$A$' ની ત્રિજ્યા ' $R$ ' હોવાથી,તે માત્ર ગોળાના કેન્દ્રમાં રહેલા $-q$ વીજભારને જ ઘેરે છે.
આમ,ગોળા '$A$' દ્વારા ઘેરાયેલો વીજભાર $q_{\text{enclosed}} = -q$ છે.
તેથી,ગોળા '$A$' માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_A = \frac{-q}{\varepsilon_0}$ થશે.

(D) ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $\frac{1}{\epsilon_0}$ ગણું હોય છે.
તેથી,ગોસનો નિયમ કોઈપણ બંધ સપાટી માટે માન્ય છે,પછી ભલે તેનો આકાર ગમે તે હોય અથવા તેની અંદર વિદ્યુતભારોનું વિતરણ ગમે તે હોય.
સપાટીની બહારના વિદ્યુતભારો સપાટીમાંથી પસાર થતા ચોખ્ખા ફ્લક્સમાં ફાળો આપતા નથી.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(A) બિંદુ $B$ થી બિંદુ $A$ સુધી વિદ્યુતભાર $q$ ને લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = q(V_A - V_B)$.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 5 \ mC = 5 \times 10^{-3} \ C$.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન,$V_A = -3 \ V$.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન,$V_B = 5 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-3 - 5)$
$W = 5 \times 10^{-3} \times (-8)$
$W = -40 \times 10^{-3} \ J$
$W = -0.04 \ J$.

(A) સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એટલે એવું પૃષ્ઠ કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_B - V_A)$ શૂન્ય હોવાથી,વીજભાર $(q)$ ને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $(W)$ $W = q(V_B - V_A) = 0$ થાય છે.
તેથી,'સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર વીજભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચે મુજબ છે:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
અહીં,બંને તારમાં સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,તેથી $I_1 = I_2 = I$. આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi r}$
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સમાંતર તાર એકબીજાને આકર્ષે છે,જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા તાર એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તાર એકબીજાને અપાકર્ષશે.

(B) આપેલ છે: સોલેનોઇડની લંબાઈ $\ell = 1 \ m$,વ્યાસ $d = 4 \ cm$,ત્રિજ્યા $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 5 \times 1000 = 5000$.
પ્રવાહ $I = 7 \ A$.
સીમિત સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2\ell} (\cos \theta_1 + \cos \theta_2)$ છે.
સોલેનોઇડ તેની ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં લાંબો હોવાથી,આપણે આદર્શ સોલેનોઇડના સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ,જ્યાં $n = N/\ell$.
$B = \frac{\mu_0 N I}{\ell} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5000 \times 7}{1}$.
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 35000 = 14\pi \times 10^{-3} \ T$.
$B \approx 14 \times 3.14159 \times 10^{-3} \ T = 43.98 \times 10^{-3} \ T = 4.398 \times 10^{-2} \ T$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $4.396 \times 10^{-2} \ T$ છે.

(B) ઓર્સ્ટેડના પ્રયોગ અને બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,સીધો પ્રવાહ ધારિત વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. લાંબા સીધા પ્રવાહ ધારિત તારની આસપાસની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકને કેન્દ્રમાં રાખીને સમકેન્દ્રિત વર્તુળો બનાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે. ફ્લેમિંગનો ડાબા હાથનો નિયમ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતા બળની દિશા નક્કી કરવા માટે વપરાય છે,ક્ષેત્રની દિશા માટે નહીં. આદર્શ સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
આ સંબંધ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જેમાં $r$ વધતા $B$ ઘટે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલો આલેખ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) $Y-Z$ સમતલમાં રહેલા $2 \ m$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે.
$\vec{A} = (2 \times 2) \hat{i} = 4 \hat{i} \ m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \ T$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\phi = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (5 \times 4) + (3 \times 0) + (-4 \times 0)$
$\phi = 20 \ Wb$.
આમ,ચુંબકીય ફ્લક્સનું મૂલ્ય $20 \ Wb$ છે.

(D) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો એવા પદાર્થો છે જે લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્બળ ચુંબકત્વ વિકસાવે છે.
તેમની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ઋણ હોય છે, જે સામાન્ય રીતે $-10^{-5}$ થી $-10^{-9}$ ની વચ્ચે હોય છે.
પેરામેગ્નેટિક અથવા ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોથી વિપરીત, ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થોની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી તાપમાન પર આધારિત નથી.
તેથી, સસેપ્ટિબિલિટી નાની અને ઋણ હોય છે તે વિધાન સાચું છે.

(D) $1$. આઈસોટોપ્સ: સમાન પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક $(A)$ ધરાવતા અણુઓ. ઉદાહરણ: $_1H^1$ અને $_1H^2$ માં $Z=1$ છે. તેથી,$A-iii$.
$2$. આઈસોબાર્સ: સમાન દળ ક્રમાંક $(A)$ પરંતુ અલગ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ધરાવતા અણુઓ. ઉદાહરણ: $Li^7$ અને $Be^7$ બંનેમાં $A=7$ છે. તેથી,$B-i$.
$3$. આઈસોટોન્સ: સમાન ન્યુટ્રોન સંખ્યા $(N = A-Z)$ ધરાવતા અણુઓ. $_8O^{18}$ માટે,$N = 18-8 = 10$. $_9F^{19}$ માટે,$N = 19-9 = 10$. તેથી,$C-ii$.
આમ,સાચી જોડ $A-iii, B-i, C-ii$ છે.

(C) પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ હંમેશા આકર્ષી હોતું નથી. તે $0.8 \ fm$ કરતા વધારે અંતરે પ્રબળ આકર્ષી હોય છે અને ન્યુક્લિયસના પતન (collapse) ને રોકવા માટે $0.8 \ fm$ કરતા ઓછા અંતરે તે પ્રબળ અપાકર્ષી બને છે. તેથી,'ન્યુક્લિયર બળ હંમેશા આકર્ષી હોય છે' તેવું વિધાન ખોટું છે.

(D) $1$. જ્યારે લેન્સને તેના મુખ્ય અક્ષની દિશામાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ મૂળ લેન્સ જેટલી જ રહે છે,તેથી દરેક ભાગનો પાવર $P$ રહે છે. આમ,$L_1$ નો પાવર $P$ છે.
$2$. જ્યારે લેન્સને તેના મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ બમણી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક ભાગનો પાવર મૂળ પાવર કરતા અડધો થઈ જાય છે.
$3$. કારણ કે $L_2$ અને $L_3$ મૂળ લેન્સના ઉપરના અડધા ભાગને મુખ્ય અક્ષને લંબ રૂપે કાપીને મેળવવામાં આવે છે,તેથી $L_2$ નો પાવર $\frac{P}{2}$ અને $L_3$ નો પાવર $\frac{P}{2}$ થાય છે.
$4$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,ખોટું વિધાન એ છે કે $L_1$ નો પાવર $\frac{P}{2}$ છે.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વસ્તુની નજીક રાખવામાં આવે છે. વસ્તુને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્રની સહેજ બહાર રાખવામાં આવે છે. આના પરિણામે વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું પ્રતિબિંબ રચાય છે. આ પ્રતિબિંબ આઈપીસ (eyepiece) માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે તેને વધુ મોટું કરીને અંતિમ આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે.

(D) પ્રિઝમ માટે,બે સપાટીઓ પરના વક્રીભવન કોણનો સરવાળો એ પ્રિઝમના કોણ $(A)$ જેટલો હોય છે:
$r + r^1 = A$
આપેલ છે કે પ્રિઝમનો કોણ $A = 50^{\circ}$ છે અને $r = 10^{\circ} + t^2$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$10^{\circ} + t^2 + r^1 = 50^{\circ}$
$r^1$ માટે ઉકેલતા:
$r^1 = 50^{\circ} - 10^{\circ} - t^2$
$r^1 = 40^{\circ} - t^2$

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં,$n_1 = 1$ (શૂન્યાવકાશ),$n_2 = n$,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભૂતકોણ છે.
આપેલ છે કે $i = 2r$,તેથી $r = \frac{i}{2}$.
આ કિંમતોને સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા:
$1 \times \sin i = n \sin \left(\frac{i}{2}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin i = 2 \sin \left(\frac{i}{2}\right) \cos \left(\frac{i}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{i}{2}\right) \cos \left(\frac{i}{2}\right) = n \sin \left(\frac{i}{2}\right)$
બંને બાજુ $\sin \left(\frac{i}{2}\right)$ વડે ભાગતા ($i \neq 0$ ધારીને):
$2 \cos \left(\frac{i}{2}\right) = n$
$\cos \left(\frac{i}{2}\right) = \frac{n}{2}$
$\frac{i}{2} = \cos^{-1} \left(\frac{n}{2}\right)$
$i = 2 \cos^{-1} \left(\frac{n}{2}\right)$

(A) વક્રીભવનાંક $n$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ અને આભાસી ઊંડાઈના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $(RD)$ એ કાચના સ્લેબની વાસ્તવિક જાડાઈ છે,જે સ્લેબની ઉપરની ચોક ડસ્ટ માટેના રીડિંગ અને નીચેના શાહીના નિશાન માટેના રીડિંગ વચ્ચેનો તફાવત છે: $RD = 8.123 \ cm - 5.123 \ cm = 3.000 \ cm$.
આભાસી ઊંડાઈ $(AD)$ એ કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતા શાહીના નિશાનની ઊંડાઈ છે,જે ઉપરની ચોક ડસ્ટ માટેના રીડિંગ અને સ્લેબ દ્વારા શાહીના નિશાન માટેના રીડિંગ વચ્ચેનો તફાવત છે: $AD = 8.123 \ cm - 6.123 \ cm = 2.000 \ cm$.
વક્રીભવનાંક $n = \frac{RD}{AD} = \frac{3.000}{2.000} = 1.5$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,$3 \text{ V}$ ની બેટરીનો ધન ટર્મિનલ ડાયોડ $D_1$ ના કેથોડ અને ડાયોડ $D_2$ ના એનોડ સાથે જોડાયેલ છે.
$1$. ડાયોડ $D_1$: બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $D_1$ ના n-ભાગ (કેથોડ) સાથે જોડાયેલ છે. તેથી,$D_1$ રિવર્સ બાયસમાં છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (આ શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી).
$2$. ડાયોડ $D_2$: બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $D_2$ ના p-ભાગ (એનોડ) સાથે જોડાયેલ છે. તેથી,$D_2$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે અને ક્લોઝ્ડ સ્વિચ તરીકે વર્તે છે (આદર્શ ડાયોડનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે).
$3$. સમતુલ્ય અવરોધ: $D_1$ ઓપન સર્કિટ હોવાથી,પ્રવાહ માત્ર $D_2$ અને $30 \Omega$ ના અવરોધવાળી શાખામાંથી વહે છે,જે $70 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$R_{eq} = 30 \Omega + 70 \Omega = 100 \Omega$
$4$. પ્રવાહની ગણતરી: ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R_{eq}}$
$I = \frac{3 \text{ V}}{100 \Omega} = 0.03 \text{ A}$

(D) $n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં ડોનર અશુદ્ધિઓ ઉમેરવામાં આવે છે. આ અશુદ્ધિઓ ડોનર ઉર્જા સ્તર તરીકે ઓળખાતા અલગ ઉર્જા સ્તરો બનાવે છે. આ સ્તરો ફોરબિડન એનર્જી ગેપની અંદર,કન્ડક્શન બેન્ડના તળિયાની ખૂબ નજીક આવેલા હોય છે. આ નિકટતાને કારણે ડોનર સ્તરના ઇલેક્ટ્રોન ઓરડાના તાપમાને સરળતાથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત થઈ શકે છે,જેનાથી પદાર્થની વાહકતા વધે છે.

(A) જ્યારે સમતલ તરંગ અગ્ર બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે તરંગ અગ્રનો મધ્ય ભાગ લેન્સના સૌથી જાડા ભાગમાંથી પસાર થાય છે,જ્યારે કિનારીઓ પાતળા ભાગમાંથી પસાર થાય છે.
લેન્સનો વક્રીભવનાંક $n_2$ એ આસપાસના માધ્યમ $n_1$ કરતા વધારે હોવાથી,લેન્સની અંદર પ્રકાશની ઝડપ બહાર કરતા ઓછી હોય છે.
પરિણામે,તરંગ અગ્રનો મધ્ય ભાગ કિનારીઓ કરતા વધુ વિલંબિત થાય છે.
આના કારણે શરૂઆતમાં સમતલ તરંગ અગ્ર ગોળાકાર બને છે અને લેન્સના કેન્દ્રબિંદુ તરફ કેન્દ્રિત થાય છે.
તેથી,વક્રીભૂત તરંગ અગ્ર એ ગોળાકાર તરંગ અગ્ર છે જે પ્રસરણની દિશામાં અંતર્ગોળ હોય છે (અથવા તે કેન્દ્રિત થતું હોવાથી લેન્સ તરફ અંતર્ગોળ હોય છે).
વિકલ્પો જોતા,જે આકાર કેન્દ્રિત થતા ગોળાકાર તરંગ અગ્રને દર્શાવે છે તે અંતર્ગોળ વક્ર છે.