KCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है: $m_1 = 1 \,kg$, $u_1 = 12 \,ms^{-1}$, $m_2 = 2 \,kg$, $u_2 = -24 \,ms^{-1}$ (ऋणात्मक चिह्न विपरीत दिशा को दर्शाता है)।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 2/3$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक का सूत्र $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{v_2 - v_1}{12 - (-24)} = \frac{v_2 - v_1}{36}$.
अतः, $v_2 - v_1 = 24$ ... $(i)$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$(1)(12) + (2)(-24) = (1)v_1 + (2)v_2$.
$12 - 48 = v_1 + 2v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -36$ ... (ii).
$(i)$ से, $v_2 = v_1 + 24$. इस मान को (ii) में रखने पर:
$v_1 + 2(v_1 + 24) = -36$.
$v_1 + 2v_1 + 48 = -36 \Rightarrow 3v_1 = -84 \Rightarrow v_1 = -28 \,ms^{-1}$.
तब $v_2 = -28 + 24 = -4 \,ms^{-1}$.
अतः टक्कर के बाद वेग $-28 \,ms^{-1}$ और $-4 \,ms^{-1}$ हैं।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
जब एक गेंद फर्श से टकराती है,तो गेंद और पृथ्वी (फर्श) के बीच की अंतःक्रिया में आंतरिक बल शामिल होते हैं। चूंकि गेंद और पृथ्वी के निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
एक अप्रत्यास्थ टक्कर में,गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि कुछ ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि या विरूपण ऊर्जा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,गेंद की यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है,और अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान ऊर्जा की हानि के कारण गेंद और पृथ्वी की कुल यांत्रिक ऊर्जा भी संरक्षित नहीं रहती है।

(C) शुद्ध लोटनिक गति में किसी वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है,$R$ त्रिज्या है और $m$ वस्तु का द्रव्यमान है।
दिया गया है $m = 1 \ kg$,अतः समीकरण होगा:
$\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right) \quad ...(i)$
दिए गए ग्राफ से,रेखा की ढाल $\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{3}{4}$ है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
$\frac{3}{2} = 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}$
$\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि एक चक्रिका (disc) के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m R^{2}$ होता है,इसलिए $k^{2} = \frac{1}{2} R^{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,वस्तु एक चक्रिका (disc) है।

(B) दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $m_A = m_B = 8 \,kg$, $m_G = 2 \,kg$, और $AG = BG = 1 \,m$।
$A$ पर स्थित द्रव्यमान द्वारा $G$ पर स्थित द्रव्यमान पर लगाया गया बल $F_A = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ है।
$B$ पर स्थित द्रव्यमान द्वारा $G$ पर स्थित द्रव्यमान पर लगाया गया बल $F_B = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ है।
$F_A$ और $F_B$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
परिणामी बल $F_{AB} = \sqrt{F_A^2 + F_B^2 + 2 F_A F_B \cos 120^{\circ}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F_A = F_B = 16G$, इसलिए $F_{AB} = \sqrt{(16G)^2 + (16G)^2 + 2(16G)(16G)(-0.5)} = 16G$।
यह परिणामी बल $F_{AB}$ रेखा $GC$ के अनुदिश $C$ की ओर कार्य करता है।
$2 \,kg$ के पिंड पर नेट बल को शून्य करने के लिए, $4 \,kg$ द्रव्यमान के चौथे पिंड को $GC$ रेखा पर $G$ से $x$ दूरी पर इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि इसके द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_C$, $F_{AB}$ को संतुलित करे।
$F_C = \frac{G \times 4 \times 2}{x^2} = 16G$।
$\frac{8G}{x^2} = 16G \Rightarrow x^2 = \frac{8}{16} = 0.5$।
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$।
अतः, चौथे पिंड को $CG$ रेखा पर बिंदु $P$ पर इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि $PG = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$ हो।

(B) केश नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$
चूँकि समान द्रव और नली के लिए $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ नियत हैं,इसलिए:
$h \propto \frac{1}{r}$
चूँकि व्यास $D = 2r$ होता है,इसलिए हम लिख सकते हैं $h \propto \frac{1}{D}$।
दिया गया है कि $h_P = \frac{2}{3} h_Q$,अतः $\frac{h_P}{h_Q} = \frac{2}{3}$।
व्युत्क्रमानुपाती संबंध $h \propto \frac{1}{D}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h_P}{h_Q} = \frac{D_Q}{D_P} = \frac{2}{3}$
अतः,उनके व्यासों का अनुपात $\frac{D_P}{D_Q} = \frac{3}{2}$ या $3: 2$ है।

(A) अनुप्रस्थ तरंगों में,कणों की गति तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होती है। इसके लिए माध्यम को अपरूपण प्रतिबल (shearing stress) का विरोध करना पड़ता है,जिसे अपरूपण मापांक (shear modulus) द्वारा दर्शाया जाता है।
अनुदैर्ध्य तरंगों में,कण तरंग संचरण की दिशा में दोलन करते हैं,जिससे आयतन में परिवर्तन होता है। इसके लिए माध्यम को संपीडन प्रतिबल (compressive stress) का विरोध करना पड़ता है,जिसे आयतन मापांक (bulk modulus) द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,एक माध्यम में दोनों प्रकार की तरंगों के संचरण के लिए,उसमें आयतन मापांक और अपरूपण मापांक दोनों का होना आवश्यक है।

(B) $v-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल वस्तु का विस्थापन देता है।
$s = \text{v-t ग्राफ का क्षेत्रफल}$
दिए गए ग्राफ में, समान समय अंतराल के लिए एकसमान गति (आयत) के नीचे का क्षेत्रफल, समान त्वरण (समलंब) के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक है।
इसलिए, समान त्वरण के दौरान विस्थापन, एकसमान गति के दौरान विस्थापन से कम होता है।

(B) कण के वेग में परिवर्तन त्वरण-समय $(a-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$a-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $b = 10 \ s$ और ऊँचाई $h = 8 \ m/s^2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \ m/s$.
चूँकि $\Delta v = v - u = \text{क्षेत्रफल}$,और $u = 0$,इसलिए $v = 40 \ m/s$.
अतः,कण की अधिकतम चाल $40 \ m/s$ है।

(C) दिया गया है: अधिकतम परास $R_{max} = 16 \,km = 16,000 \,m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$ है।
हम जानते हैं कि प्रक्षेप्य की अधिकतम परास का सूत्र $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ होता है,जहाँ $u$ थूथन वेग है।
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10$
$u^2 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000}$
$u = 400 \,ms^{-1}$।
अतः,शेल का थूथन वेग $400 \,ms^{-1}$ है।

(D) प्रक्षेप्य का प्रक्षेपपथ केवल तभी परवलय होता है जब हवा के प्रतिरोध को नगण्य माना जाए।
हवा के प्रतिरोध की उपस्थिति में,प्रक्षेप्य एक ड्रैग बल का अनुभव करता है जो उसकी गति का विरोध करता है,जिससे उसकी परास (range) और अधिकतम ऊँचाई दोनों कम हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप,पथ एक पूर्ण परवलय नहीं रहता है,इसलिए 'हमेशा एक परवलय' कथन गलत है।
अतः,प्रक्षेप्य का प्रक्षेपपथ केवल हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में ही परवलय होता है।

(A) प्रक्षेप्य गति में,त्वरण स्थिर होता है और ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर (गुरुत्वाकर्षण) कार्य करता है।
मान लीजिए वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है और त्वरण सदिश $\vec{a} = -g \hat{j}$ है।
$\vec{v}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|} = \frac{-g v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \cdot g} = \frac{-v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$.
जैसे-जैसे प्रक्षेप्य गति करता है,$v_y$ धनात्मक (ऊपर की ओर) से ऋणात्मक (नीचे की ओर) में बदल जाता है।
जब $v_y > 0$ होता है,तो $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ अधिककोण $(> 90^{\circ})$ है।
जब $v_y < 0$ होता है,तो $\cos \theta$ धनात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ न्यूनकोण $(< 90^{\circ})$ है।
जैसे-जैसे $v_y$ अधिक ऋणात्मक होता जाता है,$\cos \theta$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $\theta$ घटता है।
इस प्रकार,नीचे की ओर की गति के दौरान कोण न्यूनकोण रहता है और यह प्रक्षेप्य के जमीन पर टकराने के बिंदु पर (जहाँ $v_y$ सबसे अधिक ऋणात्मक होता है) न्यूनतम हो जाता है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 10 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$, त्वरण $\vec{a} = 8 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ ms}^{-2}$.
गति के समीकरण $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ का उपयोग करने पर:
$\vec{s} = (10 \hat{j})t + \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j})t^2$
$\vec{s} = (4t^2) \hat{i} + (10t + t^2) \hat{j}$.
$\vec{s} = x \hat{i} + y \hat{j}$ के साथ घटकों की तुलना करने पर, हमें $x = 4t^2$ और $y = 10t + t^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $x = 16 \text{ m}$, इसलिए $4t^2 = 16 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \text{ s}$.
$y$ के व्यंजक में $t = 2 \text{ s}$ रखने पर:
$y = 10(2) + (2)^2 = 20 + 4 = 24 \text{ m}$.

(A) व्यावहारिक रूप से,एक सरल लोलक में एक भारी लेकिन छोटे आकार का धात्विक गोलक होता है जो एक हल्की,अवितान्य और लचीली डोरी से लटका होता है।
यह सरल आवर्त गति तभी करता है यदि:
$(I)$ गोलक का आकार लोलक की डोरी की लंबाई की तुलना में नगण्य हो,जिससे हम गोलक को एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में मान सकें।
$(II)$ कोणीय आयाम (ऊर्ध्वाधर माध्य स्थिति और चरम बिंदु पर डोरी के बीच का कोण) छोटा हो,आमतौर पर $10^{\circ}$ से कम,ताकि सन्निकटन $\sin \theta \approx \theta$ मान्य हो सके।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(A) जब एक सिक्का घूमती हुई टर्नटेबल पर रखा जाता है,तो वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल सिक्के और टर्नटेबल की सतह के बीच के स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
सिक्के के फिसलने की स्थिति में,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$m r \omega^2 = \mu m g$
जहाँ $m$ सिक्के का द्रव्यमान है,$r$ केंद्र से दूरी है,$\omega$ कोणीय वेग है,$\mu$ घर्षण गुणांक है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $m, \mu$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए:
$r \omega^2 = \text{स्थिरांक}$
इसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{\omega^2}$।
अतः,दो अलग-अलग कोणीय वेगों के लिए दूरियों का अनुपात होगा:
$\frac{r_2}{r_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
दिया गया है $r_1 = 4 \ cm$ और $\omega_2 = 2 \omega_1$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{r_2}{4} = \left( \frac{\omega_1}{2 \omega_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
$r_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \ cm$.

(B) आयतन प्रसार,तापमान में वृद्धि के कारण गैस के आयतन में होने वाला प्रसार है।
$\therefore$ आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_{V}$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} ... (i)$
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ से,हमारे पास $V = \frac{nRT}{p}$ है।
नियत दाब $p$ पर तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} = \frac{nR}{p}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{p} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{pV}{T} \cdot \frac{1}{p} \right) = \frac{1}{T}$
अतः,$\alpha_{V} = \frac{1}{T}$।
यह दर्शाता है कि $\alpha_{V}$,$\frac{1}{T}$ के सीधे समानुपाती है। इसलिए,$\alpha_{V}$ बनाम $\frac{1}{T}$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी। यह विकल्प $(b)$ में सही ढंग से दर्शाया गया है।

(C) गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा का सूत्र है:
$U = \frac{n f R T}{2}$
जहाँ $n$ मोलों की संख्या है और $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
दिया गया है,$n_{\text{diatomic}} = n_{\text{monoatomic}} = 2$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{\text{monoatomic}} = 3$.
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{\text{diatomic}} = 5$.
प्रत्येक के लिए आंतरिक ऊर्जा की गणना:
$U_{\text{monoatomic}} = \frac{2 \times 3 \times R T}{2} = 3 R T$
$U_{\text{diatomic}} = \frac{2 \times 5 \times R T}{2} = 5 R T$
अतः,गैसों के मिश्रण की कुल आंतरिक ऊर्जा:
$U_{\text{total}} = U_{\text{monoatomic}} + U_{\text{diatomic}} = 3 R T + 5 R T = 8 R T$.

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$
जहाँ $T_{L}$ ठंडे जलाशय का तापमान है और $T_{H}$ गर्म जलाशय का तापमान है।
एक निश्चित ठंडे जलाशय के तापमान $T_{L}$ के लिए,जैसे-जैसे गर्म जलाशय का तापमान $T_{H}$ बढ़ता है,अनुपात $\frac{T_{L}}{T_{H}}$ घटता जाता है।
परिणामस्वरूप,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ का मान $T_{H}$ बढ़ने के साथ बढ़ता है।
जब $T_{H} = T_{L}$ होता है,तो दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{L}} = 0$ होती है।
जैसे-जैसे $T_{H} \to \infty$ होता है,दक्षता $\eta \to 1$ होती है।
$\eta$ बनाम $T_{H}$ का ग्राफ $T_{H} = T_{L}$ पर $0$ से शुरू होता है और $1$ के मान की ओर घटते ढलान के साथ बढ़ता है।
यह व्यवहार विकल्प $(b)$ में दिए गए ग्राफ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) समय $t$ के फलन के रूप में आवेश $q$ को $q = q_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_0$ अधिकतम आवेश है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,धारा $I = \frac{dq}{dt} = \omega q_0 \cos(\omega t)$ प्राप्त होती है।
$t = 0$ पर,धारा $I = \omega q_0 \cos(0) = \omega q_0$ होती है।
चूंकि $t = 0$ पर $I = 2 \ A$ दिया गया है,इसलिए $2 = \omega q_0$ है।
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होने के कारण,समीकरण में मान रखने पर: $q_0 = I \sqrt{LC}$।
$L = 3 \times 10^{-3} \ H$ और $C = 2.7 \times 10^{-6} \ F$ दिए गए हैं,अतः:
$q_0 = 2 \times \sqrt{3 \times 10^{-3} \times 2.7 \times 10^{-6}}$
$q_0 = 2 \times \sqrt{8.1 \times 10^{-9}} = 2 \times \sqrt{81 \times 10^{-10}}$
$q_0 = 2 \times 9 \times 10^{-5} = 18 \times 10^{-5} \ C$.

(D) एक इंडक्टर में प्रेरित emf का सूत्र $|e| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ है।
दिया गया है कि स्व-प्रेरकत्व $L = 6 \text{ mH} = 6 \times 10^{-3} \text{ H}$ है।
ग्राफ से,$t_1 = 20 \text{ s}$ पर,धारा $I_1 = 4 \text{ A}$ है,और $t_2 = 40 \text{ s}$ पर,धारा $I_2 = 3 \text{ A}$ है।
धारा के परिवर्तन की दर $\left| \frac{dI}{dt} \right| = \left| \frac{I_2 - I_1}{t_2 - t_1} \right| = \left| \frac{3 - 4}{40 - 20} \right| = \left| \frac{-1}{20} \right| = 0.05 \text{ A/s}$ है।
अतः,प्रेरित emf $|e| = (6 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (0.05 \text{ A/s}) = 0.3 \times 10^{-3} \text{ V} = 3 \times 10^{-4} \text{ V}$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E_{n} = -13.6 \text{ eV} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$
इसका अर्थ है कि $E_{n} \propto \frac{Z^{2}}{n^{2}}$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है। अतः,दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए:
$E_{2} = k \times \frac{1^{2}}{2^{2}} = \frac{k}{4}$,जहाँ $k = -13.6 \text{ eV}$.
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है। तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए:
$E_{3} = k \times \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4k}{9}$.
अब,$E_{3}$ और $E_{2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{E_{3}}{E_{2}} = \frac{4k/9}{k/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$.
अतः,$E_{3} = \frac{16}{9} E_{2}$.

(B) बोर के अभिधारणा के अनुसार, कोणीय संवेग $L = \frac{n h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, जिससे हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग के क्वांटीकरण से, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, इसलिए $mv = \frac{3h}{2\pi r}$।
इसे तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$।
हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ होती है।
$Li^{2+}$ के लिए, $Z = 3$ और $n = 3$, इसलिए $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$।
$r$ का मान $\lambda$ के व्यंजक में रखने पर: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$।
इसे दिए गए रूप $p \pi a_{0}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $p = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $R$ और $r$ क्रमशः बड़ी बूंद और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्याएँ हैं।
बड़ी बूंद का आयतन $= 8 \times$ छोटी बूंद का आयतन।
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
$R^{3} = 8r^{3} \Rightarrow R = 2r$ ... $(i)$
चूंकि एक गोलाकार चालक की धारिता $C = 4 \pi \varepsilon_{0} r$ द्वारा दी जाती है, इसलिए $C \propto r$ है।
अतः, बड़ी बूंद की धारिता और छोटी बूंद की धारिता का अनुपात:
$\frac{C_{\text{bigger}}}{C_{\text{smaller}}} = \frac{R}{r} = \frac{2r}{r} = 2$.
इस प्रकार, बड़ी बूंद की धारिता प्रत्येक छोटी बूंद की तुलना में $2$ गुना है।

(B) माना $t$ परावैद्युत स्लैब की मोटाई है और $K$ परावैद्युतांक है।
जब $t$ मोटाई की परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो समान धारिता बनाए रखने के लिए प्लेटों के बीच प्रभावी दूरी $x = t(1 - 1/K)$ बढ़ जाती है।
दिया गया है,$x = 3.5 \times 10^{-3} \ m$ और $t = 4 \times 10^{-3} \ m$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3.5 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-3} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$
दोनों पक्षों को $4 \times 10^{-3}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3.5}{4} = 1 - \frac{1}{K}$
$0.875 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.875 = 0.125$
$K = \frac{1}{0.125} = 8$।
अतः,पदार्थ का परावैद्युतांक $8$ है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C V^{2} \dots (i)$
जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल (Slope) है:
$\text{Slope} = \tan \theta = \frac{Q}{V} = \frac{120 \mu C}{10 \text{ V}} = 12 \mu F \dots (ii)$
चूँकि धारिता $C = \frac{Q}{V}$ होती है,इसलिए:
$C = 12 \mu F = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$
अब,$C = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$ और $V = 10 \text{ V}$ के मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^{2}$
$U = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 6 \times 10^{-4} \text{ J} = 600 \times 10^{-6} \text{ J} = 600 \mu J$
अतः,धारिता $12 \mu F$ है और संचित ऊर्जा $600 \mu J$ है।

(D) $500 V$ सहन करने वाले संधारित्रों का उपयोग करके $1.5 kV$ $(1500 V)$ का विभवांतर सहन करने के लिए,प्रत्येक श्रेणी पंक्ति में संधारित्रों की संख्या $(m)$:
$m = \frac{1500 V}{500 V} = 3$
ऐसे $3$ संधारित्रों (प्रत्येक $2 \mu F$) की एक पंक्ति की तुल्य धारिता:
$C_{row} = \frac{2 \mu F}{3}$
यदि हम $6 \mu F$ की कुल धारिता प्राप्त करने के लिए ऐसी $n$ पंक्तियों को समानांतर में जोड़ते हैं,तो:
$C_{eff} = n \times C_{row} = n \times \frac{2}{3} \mu F = 6 \mu F$
$n = \frac{6 \times 3}{2} = 9$
आवश्यक संधारित्रों की कुल संख्या $N = m \times n = 3 \times 9 = 27$ है।

(B) दिया गया है, $X_{L} = 4 \, \Omega$ और $X_{C} = 4 \, \Omega$.
श्रेणी $LC$ परिपथ में, प्रेरक $(V_{L})$ और संधारित्र $(V_{C})$ के सिरों पर वोल्टेज $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
इसलिए, प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन पर कुल वोल्टेज $V_{\text{net}} = |V_{L} - V_{C}|$ है।
चूंकि $X_{L} = X_{C}$, वोल्टेज के परिमाण समान हैं, अर्थात $V_{L} = I X_{L}$ और $V_{C} = I X_{C}$।
अतः, $V_{\text{net}} = I(X_{L} - X_{C}) = I(4 - 4) = 0 \, V$.
वोल्टमीटर इस श्रेणी $LC$ संयोजन के सिरों पर जुड़ा है, इसलिए इसका पाठ्यांक $0 \, V$ है।
परिपथ की कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ है।
मान रखने पर, $Z = \sqrt{45^{2} + (4 - 4)^{2}} = \sqrt{45^{2}} = 45 \, \Omega$.
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{90 \, V}{45 \, \Omega} = 2 \, A$ है।
इसलिए, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $0 \, V$ और एमीटर का पाठ्यांक $2 \, A$ है।

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 1 \,m$,क्षेत्रफल $A = 5 \times 10^{-7} \,m^{2}$,धारा $I = 1 \,A$,इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$,इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$।
अपवाह वेग $v_{d}$ का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{neA}$ है।
मान रखने पर: $v_{d} = \frac{1}{8 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-7}} = \frac{1}{64 \times 10^{2}} = \frac{1}{6.4 \times 10^{3}} \,m/s$।
तार की लंबाई $l$ को पार करने में लगा समय $T = \frac{l}{v_{d}}$ है।
$T = \frac{1}{1 / (6.4 \times 10^{3})} = 6.4 \times 10^{3} \,s$।

(D) जब एक आवेश $\Delta q$ विभवांतर $V$ से होकर गुजरता है,तो उसकी विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \Delta q \cdot V$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$,इसलिए $\Delta q = I \Delta t$ होता है। इस प्रकार,स्थितिज ऊर्जा $I V \Delta t$ से कम हो जाती है।
स्थिर धारा में,आवेश वाहकों का अनुगमन वेग (drift velocity) स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि आवेश की गतिज ऊर्जा में कोई महत्वपूर्ण वृद्धि नहीं होती है। इसके बजाय,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा चालक के आयनों के साथ टकराव के कारण ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,चालक की ऊष्मीय ऊर्जा $I V \Delta t$ से बढ़ जाती है।
अतः,कथन $II$ और $III$ सही हैं।

(A) मीटर ब्रिज में,शून्य विक्षेप की स्थिति व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत द्वारा दी जाती है: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AD}}{R_{DB}}$.
यहाँ,$R_{AD}$ तार के खंड $AD$ का प्रतिरोध है और $R_{DB}$ तार के खंड $DB$ का प्रतिरोध है।
मान लीजिए कि $l$ तार $AD$ की लंबाई है,तो $DB$ की लंबाई $(100 - l)$ होगी।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसे संतुलन स्थिति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho l / A}{\rho (100 - l) / A} = \frac{l}{100 - l}$.
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ अंश और हर से कट जाता है,इसलिए संतुलन लंबाई $l$ (जो $X$ है) तार की त्रिज्या (और इस प्रकार अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल) से स्वतंत्र है।
इसलिए,यदि तार $AB$ की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है,तो संतुलन लंबाई $X$ ही रहेगी।

(D) दिया गया है,प्रारंभिक प्रतिरोध,$R_{1} = 3 \Omega$ है।
मान लीजिए तार की मूल लंबाई $l$ है। जब तार को उसकी लंबाई से दोगुना खींचा जाता है,तो नई लंबाई $l^{\prime} = 2l$ हो जाती है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $V = A \times l = A^{\prime} \times l^{\prime}$।
अतः,$A^{\prime} = \frac{A \times l}{l^{\prime}} = \frac{A \times l}{2l} = \frac{A}{2}$।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
नया प्रतिरोध $R_{2} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = 4 R_{1}$ होगा।
$R_{1}$ का मान रखने पर,हमें $R_{2} = 4 \times 3 \Omega = 12 \Omega$ प्राप्त होता है।

(D) प्रोटॉन के लिए,गैर-सापेक्षिक गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{1}{8}mc^2$ लेने पर,
$p_1^2 = \frac{1}{4}m^2c^2$,जिससे $p_1 = \frac{mc}{2}$ प्राप्त होता है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = p_2c = E_k = \frac{1}{8}mc^2$,जिससे $p_2 = \frac{mc}{8}$ प्राप्त होता है।
अब अनुपात $\frac{p_1 - p_2}{p_1} = \frac{mc/2 - mc/8}{mc/2} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$ होता है।

(D) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,एक स्थिर कक्षा की परिधि तरंग दैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होनी चाहिए:
$n \lambda = 2 \pi r_n$
साथ ही,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस प्रकार दिया जाता है:
$m v_n r_n = \frac{n h}{2 \pi}$
बोर मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{e^2}{2 n h \varepsilon_0}$ होता है।
इस मान को कोणीय संवेग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$m \left( \frac{e^2}{2 n h \varepsilon_0} \right) r_n = \frac{n h}{2 \pi}$
$r_n = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}$
दिए गए चित्र में,स्थिर तरंग लूप (या तरंग दैर्ध्य) की संख्या गिनने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।
इसलिए,त्रिज्या है:
$r_n = \frac{6^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2} = \frac{36 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}$

(D) दिया गया है: कार्य-फलन, $\phi_{0} = 1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$.
तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 3000 \text{Å} = 3000 \times 10^{-10} m$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3000 \times 10^{-10}} = 6.63 \times 10^{-19} J$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = \phi_{0} + KE_{max}$.
$KE_{max} = E - \phi_{0} = 6.63 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 5.03 \times 10^{-19} J$.
चूंकि $KE_{max} = \frac{1}{2}mv^{2}$, इसलिए $v = \sqrt{\frac{2 \times KE_{max}}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2 \times 5.03 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{1.105 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^{6} m/s$.
अतः, वेग लगभग $1 \times 10^{6} m/s$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि $\phi_0 = h\nu_0$,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है,हम लिख सकते हैं:
$K_{max} = h\nu - h\nu_0 = h(\nu - \nu_0)$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ ढाल $h$ है और आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड $\nu_0$ है।
$\nu < \nu_0$ आवृत्तियों के लिए,गतिज ऊर्जा शून्य होती है क्योंकि प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है। $\nu \geq \nu_0$ के लिए,गतिज ऊर्जा आवृत्ति के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है। यह व्यवहार ग्राफ $D$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(D) स्व-प्रेरकत्व $(L)$ और अन्योन्य-प्रेरकत्व $(M)$ दोनों की इकाई समान होती है।
दोनों को प्रति इकाई धारा $(I)$ चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$M = L = \frac{\phi}{I}$ होता है।
चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ की इकाई वेबर $(\text{wb})$ है और धारा $(I)$ की इकाई एम्पीयर $(\text{A})$ है।
इसलिए,स्व-प्रेरकत्व और अन्योन्य-प्रेरकत्व दोनों की इकाई $\text{wb A}^{-1}$ (जिसे हेनरी $(\text{H})$ भी कहा जाता है) होती है।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया है: $E_{0}=120 \text{ NC}^{-1}$,$f=50 \text{ MHz} = 50 \times 10^{6} \text{ Hz}$.
$(a)$ चुंबकीय क्षेत्र आयाम: $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{120}{3 \times 10^{8}} = 40 \times 10^{-8} \text{ T} = 400 \text{ nT}$. (सही)
$(b)$ कोणीय आवृत्ति: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \times 10^{6} = \pi \times 10^{8} \text{ rad/s}$. (सही)
$(c)$ प्रसार नियतांक: $k = \frac{\omega}{c} = \frac{\pi \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \text{ rad/m}$. दिया गया मान $2.1 \text{ rad/m}$ गलत है।
$(d)$ तरंगदैर्ध्य: $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}} = 6 \text{ m}$. (सही)

(B) विद्युतचुंबकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,विद्युतचुंबकीय तरंगें त्वरित आवेशों द्वारा उत्पन्न होती हैं।
विराम अवस्था में स्थित विद्युत आवेश केवल एक स्थिर विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
एकसमान वेग से गति करने वाला आवेश एक स्थिर विद्युत धारा उत्पन्न करता है,जो एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र बनाता है,लेकिन यह विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में ऊर्जा का विकिरण नहीं करता है।
वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाला आवेश अभिकेंद्री त्वरण का अनुभव करता है,जो त्वरित गति का एक रूप है।
इसलिए,वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाला आवेश विद्युतचुंबकीय तरंगों के स्रोत के रूप में कार्य करता है।

(B) अनंत लंबाई के,सीधे,समान रूप से आवेशित तार से $r$ लंबवत दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$,गॉस के नियम के अनुसार इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
यहाँ,$\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व है,$\varepsilon_{0}$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $\pi$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\lambda$,$\pi$ और $\varepsilon_{0}$ स्थिरांक हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र और दूरी के बीच का संबंध है:
$E \propto \frac{1}{r}$
अतः,विद्युत क्षेत्र दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(C) ध्रुवीय अणु वे अणु होते हैं जिनमें धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के केंद्र तब भी अलग-अलग होते हैं जब कोई बाह्य विद्युत क्षेत्र नहीं होता है।
ऐसे अणुओं में स्थायी विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण होता है।
उदाहरण के लिए,$HCl$,$H_{2}O$ आदि।
अतः,विकल्प $(C)$ में दिया गया कथन गलत है क्योंकि ध्रुवीय अणुओं में स्थायी द्विध्रुव आघूर्ण होता है।

(A) वृत्तीय गति में,घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान वाले इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला कुल अभिकेंद्र बल $F_{c} = m \omega^{2} x$ द्वारा दिया जाता है।
जब छड़ घूमती है,तो छड़ के भीतर के इलेक्ट्रॉन भी घूमते हैं और इस अभिकेंद्र बल का अनुभव करते हैं।
यह अभिकेंद्र बल इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाले प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E$ द्वारा प्रदान किया जाता है,जिससे $F_{e} = e E$ होता है।
दोनों बलों को बराबर करने पर,हमें $e E = m \omega^{2} x$ प्राप्त होता है।
विद्युत क्षेत्र $E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{m \omega^{2} x}{e}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$.
विद्युत क्षेत्र $E = 300 \ NC^{-1}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)_1 = 0$ ($x = 0$ पर).
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE)_2 = 0.12 \ J$ ($x = 0.5 \ m$ पर).
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = F \cdot d = (QE) \cdot d$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE = KE_2 - KE_1 = 0.12 \ J - 0 \ J = 0.12 \ J$.
दोनों को बराबर करने पर: $Q \times 300 \times 0.5 = 0.12$.
$Q \times 150 = 0.12$.
$Q = \frac{0.12}{150} = 0.0008 \ C$.
$Q = 800 \times 10^{-6} \ C = 800 \ \mu C$.
चूंकि पिंड विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करके गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है,इसलिए आवेश $Q$ धनात्मक होना चाहिए।

(A) $\text{दिया गया है}$:
$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
$I_1 = I_2 = 10 \,A$
$\text{दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है}$:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
$\text{मान रखने पर}$:
$\frac{F}{l} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 10}{2 \pi \times 0.1} = 2 \times 10^{-4} \,N/m$
$\text{चूंकि धारा समान दिशा में बह रही है,इसलिए बल की प्रकृति आकर्षक होगी}$.

(C) टोरॉइड के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ का निर्धारण एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करके किया जाता है:
$(i)$ $r < R_{1}$ के लिए (टोरॉइड के अंदर के खाली स्थान में),घिरा हुआ कुल करंट शून्य है,इसलिए $B = 0$ है।
(ii) $R_{1} < r < R_{2}$ के लिए (टोरॉइड के कोर के अंदर),चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
(iii) $r > R_{2}$ के लिए (टोरॉइड के बाहर),एम्पीरियन लूप द्वारा घिरा हुआ कुल करंट शून्य है,इसलिए $B = 0$ है।
चूंकि प्रश्न में टोरॉइड के कोर के भीतर त्रिज्यीय दूरी $r$ के साथ चुंबकीय क्षेत्र का परिवर्तन पूछा गया है,और दिए गए विकल्प अनुप्रस्थ काट पर व्यवहार को दर्शाते हैं,इसलिए टोरॉइड के अंदर क्षेत्र के लिए सही निरूपण $1/r$ के समानुपाती एक वक्र है,जिसे ग्राफ $C$ में दिखाया गया है।

(B) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसकी अक्ष के अनुदिश होता है,जिसे $B = \mu_{0} n I$ द्वारा दिया जाता है।
जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण को अक्ष के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,तो यह लॉरेंट्ज़ बल $F = q(v \times B)$ का अनुभव करता है। चूंकि $v \perp B$,बल $F = qvB$ होता है,जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
कण $R_{c} = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
कण परिनालिका की दीवार से न टकराए,इसके लिए उसके वृत्ताकार पथ का व्यास परिनालिका की त्रिज्या $r$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$2R_{c} \leq r$,जिसका अर्थ है $R_{c} \leq \frac{r}{2}$।
$R_{c} = \frac{mv}{qB}$ रखने पर,हमें $\frac{mv}{qB} \leq \frac{r}{2}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v \leq \frac{qBr}{2m}$ प्राप्त होता है।
$B = \mu_{0} n I$ रखने पर,अधिकतम चाल $v_{max} = \frac{\mu_{0} n I q r}{2m}$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B)$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन स्थिर है,इसलिए इसका वेग $v = 0$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $F = q(0 \times B) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला कुल बल शून्य है,इसलिए यह स्थिर रहेगा।

(B) चुंबकीय ध्रुवों पर,नमन कोण (angle of dip),$\delta = 90^{\circ}$ होता है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_{H})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B_{H} = B \cos \delta$
जहाँ $B$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है।
ध्रुवों पर $\delta$ का मान रखने पर:
$B_{H} = B \cos 90^{\circ}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए:
$B_{H} = 0$
अतः,चुंबकीय ध्रुवों पर पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक शून्य होता है।

(D) विकल्प $(A)$ और $(B)$ क्रमशः पृथक धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र रेखाओं को दर्शाते हैं। हालाँकि,प्रकृति में चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं होते हैं,इसलिए ये पैटर्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के लिए मान्य नहीं हैं।
विकल्प $(C)$ धारावाही चालक के चारों ओर गोलाकार चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को दर्शाता है। विद्युत क्षेत्र रेखाएं बंद लूप नहीं बना सकती हैं,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र के लिए मान्य नहीं है।
विकल्प $(D)$ एक द्विध्रुव (dipole) की क्षेत्र रेखाओं को दर्शाता है। यह पैटर्न विद्युत द्विध्रुव (धनात्मक आवेश से उत्पन्न और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं) और चुंबकीय द्विध्रुव (चुंबक के बाहर उत्तर से दक्षिण ध्रुव और अंदर दक्षिण से उत्तर ध्रुव तक निरंतर लूप बनाने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं) दोनों के लिए मान्य है।
अतः,विकल्प $(D)$ विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों के लिए मान्य है।

(D) न्यूक्लियॉन के एक युग्म की स्थितिज ऊर्जा $U$ और उनके पृथक्करण $r$ के बीच का ग्राफ एक गहरे विभव कूप (potential well) द्वारा दर्शाया जाता है।
पृथक्करण $r < r_{0}$ (जहाँ $r_{0} \approx 0.8 \ \text{fm}$) के लिए, नाभिकीय बल अत्यधिक प्रतिकर्षी होता है, जिससे स्थितिज ऊर्जा तेजी से बढ़ती है।
पृथक्करण $r > r_{0}$ के लिए, नाभिकीय बल आकर्षक होता है, और जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है, स्थितिज ऊर्जा शून्य की ओर बढ़ती है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा संतुलन पृथक्करण $r_{0}$ पर होती है, जहाँ न्यूक्लियॉन के बीच का कुल बल शून्य होता है।
ग्राफ $D$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है, जिसमें $U$, $\text{MeV}$ में और $r$, $\text{fm}$ में है।

(B) परमाणु रिएक्टर में उपयोग किए जाने वाले मंदक में हल्के नाभिक (जैसे प्रोटॉन या ड्यूटेरॉन) होने चाहिए।
जब न्यूट्रॉन हल्के नाभिक के साथ पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर करते हैं,तो वे अपनी गतिज ऊर्जा का एक महत्वपूर्ण हिस्सा नाभिक को स्थानांतरित कर देते हैं,जिससे न्यूट्रॉन प्रभावी रूप से धीमे हो जाते हैं।
इसके विपरीत,यदि न्यूट्रॉन भारी नाभिकों से टकराते हैं,तो भारी नाभिक का द्रव्यमान न्यूट्रॉन की तुलना में बहुत अधिक होता है।
संवेग और ऊर्जा संरक्षण के नियमों के अनुसार,किसी बहुत भारी वस्तु के साथ प्रत्यास्थ टक्कर में,आपतित कण (न्यूट्रॉन) का वेग लगभग अपरिवर्तित रहता है।
इसलिए,भारी नाभिक न्यूट्रॉन को प्रभावी ढंग से धीमा नहीं कर सकते हैं और मंदक के रूप में उपयुक्त नहीं हैं।

(C) $LC$-दोलनों के लिए,अवकल समीकरण $L \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} \frac{dq}{dt} = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $i = \frac{dq}{dt}$,यह समीकरण $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} i = 0$ ... $(i)$ बन जाता है।
यांत्रिक स्प्रिंग-ब्लॉक प्रणाली के लिए,गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ ... $(ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि द्रव्यमान $m$ प्रेरकत्व $L$ के अनुरूप है,और बल नियतांक $k$ धारिता के व्युत्क्रम के अनुरूप है,अर्थात $k \propto \frac{1}{C}$।

(D) कार्तीय चिह्न परिपाटी के अनुसार:
पहले उत्तल लेंस की फोकस दूरी $= f_{1}$
दूसरे उत्तल लेंस की फोकस दूरी $= f_{2}$
तीसरे अवतल लेंस की फोकस दूरी $= -f_{3}$
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन के लिए,कुल शक्ति $P = P_{A} + P_{B} = \frac{1}{f_{A}} + \frac{1}{f_{B}}$ होती है।
पहले और दूसरे लेंस के लिए: $P_{1} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} = \frac{f_{1} + f_{2}}{f_{1} f_{2}}$।
पहले और तीसरे लेंस के लिए: $P_{2} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{1}}{f_{1} f_{3}}$।
दूसरे और तीसरे लेंस के लिए: $P_{3} = \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{2}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{2}}{f_{2} f_{3}}$।

(D) दिया गया है,हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक,${ }_{a} \mu_{g} = \frac{3}{2}$.
हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक,${ }_{a} \mu_{w} = \frac{4}{3}$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
हवा में लेंस के लिए: $\frac{1}{f_a} = ({ }_{a} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
पानी में लेंस के लिए: $\frac{1}{f_w} = ({ }_{w} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ ${ }_{w} \mu_{g} = \frac{{ }_{a} \mu_{g}}{{ }_{a} \mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$.
अनुपात $\frac{f_w}{f_a}$ लेने पर:
$\frac{f_w}{f_a} = \frac{{ }_{a} \mu_{g} - 1}{{ }_{w} \mu_{g} - 1} = \frac{3/2 - 1}{9/8 - 1} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(B) दिया गया है: उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_{1} = 30 \,cm$, अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_{2} = -20 \,cm$, और प्रारंभिक प्रतिबिंब का आकार $h_{o} = 2 \,cm$.
चूंकि वस्तु अनंत पर है, उत्तल लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब उसके फोकस पर बनता है, $v_{1} = 30 \,cm$.
अवतल लेंस को उत्तल लेंस से $26 \,cm$ की दूरी पर रखा गया है। अतः, उत्तल लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु का कार्य करता है।
अवतल लेंस से इस आभासी वस्तु की दूरी $u_{2} = v_{1} - 26 = 30 - 26 = 4 \,cm$ है।
अवतल लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20}$.
$\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
अतः, $v_{2} = 5 \,cm$.
अवतल लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन $m = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{5}{4} = 1.25$.
प्रतिबिंब का नया आकार $h_{i} = m \times h_{o} = 1.25 \times 2 \,cm = 2.5 \,cm$।

(B) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो प्रकाश का मुड़ना प्रकाश की गति में परिवर्तन के कारण होता है।
अपवर्तन इसलिए होता है क्योंकि दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक पहले माध्यम से भिन्न होता है।
अपवर्तनांक $( \mu )$ को निर्वात में प्रकाश की गति $( c )$ और माध्यम में प्रकाश की गति $( v )$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $ \mu = c/v $।
जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में यात्रा करता है,तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है,लेकिन उसकी गति बदल जाती है,जिसके कारण प्रकाश किरण अपने मूल पथ से विचलित हो जाती है (मुड़ जाती है)।
इसलिए,प्रकाश के मुड़ने का सही कारण यह है कि दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति भिन्न होती है।

(D) सही उत्तर $D$ है। $LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) एक भारी डोप किया गया $p-n$ जंक्शन डायोड है,न कि हल्का डोप किया गया। जब इसे फॉरवर्ड बायस किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉनों और होल्स का पुनर्संयोजन फोटॉन (प्रकाश) के रूप में ऊर्जा छोड़ता है। विकल्प $A$,$B$ और $C$ अर्धचालक डायोड के संबंध में सही कथन हैं।

(B) दिए गए परिपथ में दो $NAND$ गेट श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,जहाँ दूसरा $NAND$ गेट एक $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है क्योंकि इसके इनपुट आपस में शॉर्ट किए गए हैं।
मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट दूसरे $NAND$ गेट के इनपुट के रूप में दिया जाता है। चूँकि दूसरे $NAND$ गेट के दोनों इनपुट एक ही सिग्नल से जुड़े हैं,इसलिए इसका आउटपुट $Y$ इस प्रकार होगा:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A \cdot B})}$
बूलियन बीजगणित के गुण $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$
अतः,यह परिपथ $AND$ गेट की क्रिया करता है।

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के संगत फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240}{\lambda (nm)} eV$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = 600 nm$ के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240}{600} \approx 2.07 eV$ है।
एक फोटोडायोड प्रकाश का पता तभी लगा सकता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा अर्धचालक पदार्थ के बैंड गैप $(E_{g})$ से अधिक या उसके बराबर हो $(E \ge E_{g})$।
फोटॉन ऊर्जा $(2.07 eV)$ की बैंड गैप के साथ तुलना करने पर:
$D_{1}$ के लिए: $E_{g} = 2.5 eV$। चूंकि $2.07 eV < 2.5 eV$,$D_{1}$ इस प्रकाश का पता नहीं लगा सकता है।
$D_{2}$ के लिए: $E_{g} = 2 eV$। चूंकि $2.07 eV > 2 eV$,$D_{2}$ इस प्रकाश का पता लगा सकता है।
$D_{3}$ के लिए: $E_{g} = 3 eV$। चूंकि $2.07 eV < 3 eV$,$D_{3}$ इस प्रकाश का पता नहीं लगा सकता है।
इसलिए,केवल $D_{2}$ ही $600 nm$ तरंगदैर्ध्य के प्रकाश का पता लगाने में सक्षम होगा।

(B) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6500 Å = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$,कोण $\theta = 30^{\circ}$।
एकल स्लिट के विवर्तन पैटर्न के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ है।
प्रथम विवर्तन निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$।
मान रखने पर: $a \sin 30^{\circ} = 1 \times (6500 \times 10^{-10} \text{ m})$।
चूँकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $a \times 0.5 = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$।
$a = 2 \times 6500 \times 10^{-10} \text{ m} = 13000 \times 10^{-10} \text{ m}$।
$a = 1.3 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.3 \text{ micron}$।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w = 2\lambda D/a$ द्वारा दी जाती है,जबकि द्वितीयक उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\lambda D/a$ होती है।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई द्वितीयक उच्चिष्ठ की तुलना में दोगुनी होती है (कथन $I$ सही है)।
जैसे-जैसे हम केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूर जाते हैं,द्वितीयक उच्चिष्ठ की तीव्रता तेजी से घटती है (कथन $II$ सही है)।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (कथन $III$ गलत है)।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता द्वितीयक उच्चिष्ठ की तुलना में बहुत अधिक होती है (कथन $IV$ गलत है)।
इसलिए,कथन $I$ और $II$ सही हैं।

(B) दोनों स्लिटों से बिंदु $P$ तक पहुँचने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x = \frac{xd}{D}$ है।
तदनुरूप कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{xd}{D}\right)$ होगा।
समान तीव्रता $I_0$ वाले दो कला-संबद्ध स्रोतों के लिए बिंदु $P$ पर परिणामी तीव्रता का सूत्र $I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ है।
$\phi$ का मान रखने पर:
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi xd}{\lambda D}\right)$
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi dx}{\lambda D}\right)$.