int e^{x}left[frac{1+sin x}{1+cos x}right] d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = 1+2 \sin \frac{x}{2} \co

Vedclass · Accepted Answer

$e^{x} 	an \frac{x}{2}+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} ight) dx$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = 1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int e^{x} \left( \frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} ight) dx$ $I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} ight) dx$ $I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + 	an \frac{x}{2} ight) dx$. माना $f(x) = 	an \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$. चूंकि समाकलन $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ के रूप में है,अतः हमें $I = e^{x} 	an \frac{x}{2} + C$ प्राप्त होता है।

$\int e^{x}\left[\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right] d x$ का मान किसके बराबर है?

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$\int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx = $

यदि $f(x)$ का प्रतिअवकलज (antiderivative) $e^x$ है और $g(x)$ का प्रतिअवकलज $\cos x$ है,तो $\int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx = $

$\int_0^1 \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int e^x(1-\cot x+\cot^2 x) dx =$

$\int \left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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