यदि I_{n} = int_{0}^{frac{pi}{4}} tan^{n} x , | vedclass

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Question

(D) $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n} x \, dx$ ... $(i)$ $I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n+2} x \, dx$ ... $(ii)$ समीकरण $(i)$ और $

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$\frac{1}{9}$

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(D) $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n} x \, dx$ ... $(i)$ $I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n+2} x \, dx$ ... $(ii)$ समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n} x (1 + 	an^{2} x) \, dx$ $I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 	an^{n} x \sec^{2} x \, dx$ माना $u = 	an x$,तब $du = \sec^{2} x \, dx$। जब $x = 0, u = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{4}, u = 1$। $I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{1} u^{n} \, du = \left[ \frac{u^{n+1}}{n+1} ight]_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}$। $n = 8$ रखने पर,$I_{8} + I_{10} = \frac{1}{8+1} = \frac{1}{9}$।

यदि $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x \, dx$,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $I_{10} + I_{8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

$\int_{0}^{1} \tan^{-1} \left( \frac{1}{x^2 - x + 1} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{(1+\pi^x) \sin x} dx$,$n=0, 1, 2, \ldots$,तो
$(A)$ $I_n = I_{n+2}$
$(B)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m+1} = 10\pi$
$(C)$ $\sum_{m=1}^{10} I_{2m} = 0$
$(D)$ $I_n = I_{n+1}$

$\int_0^{\pi /2} {x\cot x\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x)$ एक सम फलन (even function) है जिसका आवर्तकाल $2$ है और $f(x)$ प्रत्येक अंतराल पर समाकलनीय है। यदि $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ है,तो $g(x+2) =$

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