KCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે: $m_1 = 1 \,kg$, $u_1 = 12 \,ms^{-1}$, $m_2 = 2 \,kg$, $u_2 = -24 \,ms^{-1}$ (ઋણ નિશાની વિરુદ્ધ દિશા સૂચવે છે).
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 2/3$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંકનું સૂત્ર $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{v_2 - v_1}{12 - (-24)} = \frac{v_2 - v_1}{36}$.
તેથી, $v_2 - v_1 = 24$ ... $(i)$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$(1)(12) + (2)(-24) = (1)v_1 + (2)v_2$.
$12 - 48 = v_1 + 2v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -36$ ... (ii).
$(i)$ પરથી, $v_2 = v_1 + 24$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$v_1 + 2(v_1 + 24) = -36$.
$v_1 + 2v_1 + 48 = -36 \Rightarrow 3v_1 = -84 \Rightarrow v_1 = -28 \,ms^{-1}$.
તેથી $v_2 = -28 + 24 = -4 \,ms^{-1}$.
આમ, અથડામણ પછીના વેગ $-28 \,ms^{-1}$ અને $-4 \,ms^{-1}$ છે.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે દડા અને પૃથ્વી (જમીન) વચ્ચેની આંતરક્રિયામાં આંતરિક બળોનો સમાવેશ થાય છે. દડા અને પૃથ્વીના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,ગતિ ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે કેટલીક ઉર્જા ગરમી,અવાજ અથવા વિરૂપણ ઉર્જા તરીકે વ્યય પામે છે.
તેથી,દડાની યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી,અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન ઉર્જાના વ્યયને કારણે દડા અને પૃથ્વીની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા પણ સંરક્ષિત રહેતી નથી.

(C) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં પદાર્થની કુલ ગતિ ઉર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે,$R$ એ ત્રિજ્યા છે અને $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આપેલ છે કે $m = 1 \ kg$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right) \quad ...(i)$
આપેલ આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\frac{E}{v_{cm}^{2}} = \frac{3}{4}$ છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$
$\frac{3}{2} = 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}$
$\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે તકતી (disc) માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} m R^{2}$ છે,તેથી $k^{2} = \frac{1}{2} R^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{1}{2}$.
આમ,આપેલ પદાર્થ તકતી (disc) છે.

(B) બે દળ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $m_A = m_B = 8 \,kg$, $m_G = 2 \,kg$, અને $AG = BG = 1 \,m$.
$A$ પરના દળ દ્વારા $G$ પરના દળ પર લાગતું બળ $F_A = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ છે.
$B$ પરના દળ દ્વારા $G$ પરના દળ પર લાગતું બળ $F_B = \frac{G \times 8 \times 2}{1^2} = 16G$ છે.
$F_A$ અને $F_B$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
પરિણામી બળ $F_{AB} = \sqrt{F_A^2 + F_B^2 + 2 F_A F_B \cos 120^{\circ}}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $F_A = F_B = 16G$, તેથી $F_{AB} = \sqrt{(16G)^2 + (16G)^2 + 2(16G)(16G)(-0.5)} = 16G$.
આ પરિણામી બળ $F_{AB}$ એ $GC$ રેખાની દિશામાં $C$ તરફ લાગે છે.
$2 \,kg$ ના પદાર્થ પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય કરવા માટે, $4 \,kg$ દળ ધરાવતા ચોથા પદાર્થને $GC$ રેખા પર $G$ થી $x$ અંતરે એવી રીતે મૂકવો જોઈએ કે જેથી તેના દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_C$ એ $F_{AB}$ ને સંતુલિત કરે.
$F_C = \frac{G \times 4 \times 2}{x^2} = 16G$.
$\frac{8G}{x^2} = 16G \Rightarrow x^2 = \frac{8}{16} = 0.5$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$.
આમ, ચોથા પદાર્થને $CG$ રેખા પરના બિંદુ $P$ પર એવી રીતે મૂકવો જોઈએ કે જેથી $PG = \frac{1}{\sqrt{2}} \,m$ થાય.

(B) કેશ નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$
અહીં $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ સમાન પ્રવાહી અને નળી માટે અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$h \propto \frac{1}{r}$
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $h \propto \frac{1}{D}$.
આપેલ છે કે $h_P = \frac{2}{3} h_Q$,તેથી $\frac{h_P}{h_Q} = \frac{2}{3}$.
વ્યસ્ત પ્રમાણના સંબંધ $h \propto \frac{1}{D}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h_P}{h_Q} = \frac{D_Q}{D_P} = \frac{2}{3}$
તેથી,તેમના વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{D_P}{D_Q} = \frac{3}{2}$ એટલે કે $3: 2$ થાય.

(A) લંબગત તરંગોમાં,કણોની ગતિ તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે. આ માટે માધ્યમે શિયર સ્ટ્રેસ (કતરણ પ્રતિબળ) નો સામનો કરવો પડે છે,જે શિયર મોડ્યુલસ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સંગત તરંગોમાં,કણો તરંગ પ્રસરણની દિશામાં દોલન કરે છે,જેનાથી કદમાં ફેરફાર થાય છે. આ માટે માધ્યમે દબાણ પ્રતિબળનો સામનો કરવો પડે છે,જે બલ્ક મોડ્યુલસ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,માધ્યમમાં બંને પ્રકારના તરંગોના પ્રસરણ માટે,તે માધ્યમ પાસે બલ્ક મોડ્યુલસ અને શિયર મોડ્યુલસ બંને હોવા જોઈએ.

(B) $v-t$ આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
$s = \text{v-t આલેખનું ક્ષેત્રફળ}$
આપેલ આલેખમાં, સમાન સમયગાળા માટે અચળ વેગી ગતિ (લંબચોરસ) હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ અચળ પ્રવેગી ગતિ (સમલંબ ચતુષ્કોણ) હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે.
તેથી, અચળ પ્રવેગી ગતિ દરમિયાનનું સ્થાનાંતર એ અચળ વેગી ગતિ દરમિયાનના સ્થાનાંતર કરતા ઓછું છે.

(B) કણના વેગમાં થતો ફેરફાર એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 10 \ s$ અને ઊંચાઈ $h = 8 \ m/s^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \ m/s$.
કારણ કે $\Delta v = v - u = \text{ક્ષેત્રફળ}$,અને $u = 0$,તેથી $v = 40 \ m/s$.
આમ,કણની મહત્તમ ઝડપ $40 \ m/s$ છે.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ રેન્જ $R_{max} = 16 \,km = 16,000 \,m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ રેન્જનું સૂત્ર $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ મઝલ વેગ છે.
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10$
$u^2 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000}$
$u = 400 \,ms^{-1}$.
આમ,શેલનો મઝલ વેગ $400 \,ms^{-1}$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ ત્યારે જ પરવલય હોય છે જ્યારે હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે.
હવાના અવરોધની હાજરીમાં,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તેની ગતિનો વિરોધ કરતું ડ્રેગ બળ અનુભવે છે,જેના કારણે તેની અવધિ (range) અને મહત્તમ ઊંચાઈ બંનેમાં ઘટાડો થાય છે.
પરિણામે,ગતિપથ સંપૂર્ણ પરવલય રહેતો નથી,તેથી 'હંમેશા પરવલય' વિધાન ખોટું છે.
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ માત્ર હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં જ પરવલય હોય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રવેગ અચળ હોય છે અને તે શિરોલંબ નીચેની તરફ (ગુરુત્વાકર્ષણ) હોય છે.
ધારો કે વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે અને પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -g \hat{j}$ છે.
$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|} = \frac{-g v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2} \cdot g} = \frac{-v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}$.
જેમ જેમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ ગતિ કરે છે,તેમ $v_y$ ધન (ઉપરની તરફ) થી ઋણ (નીચેની તરફ) માં બદલાય છે.
જ્યારે $v_y > 0$ હોય,ત્યારે $\cos \theta$ ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ ગુરુકોણ $(> 90^{\circ})$ છે.
જ્યારે $v_y < 0$ હોય,ત્યારે $\cos \theta$ ધન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ લઘુકોણ $(< 90^{\circ})$ છે.
જેમ $v_y$ વધુ ઋણ બને છે,તેમ $\cos \theta$ વધે છે,એટલે કે $\theta$ ઘટે છે.
આમ,નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન ખૂણો લઘુકોણ રહે છે અને તે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ જમીન પર અથડાય છે ત્યારે (જ્યાં $v_y$ સૌથી વધુ ઋણ હોય છે) ન્યૂનતમ બને છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 10 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$, પ્રવેગ $\vec{a} = 8 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ ms}^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{s} = (10 \hat{j})t + \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j})t^2$
$\vec{s} = (4t^2) \hat{i} + (10t + t^2) \hat{j}$.
$\vec{s} = x \hat{i} + y \hat{j}$ સાથે ઘટકોની સરખામણી કરતા, આપણને $x = 4t^2$ અને $y = 10t + t^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $x = 16 \text{ m}$, તેથી $4t^2 = 16 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \text{ s}$.
$y$ ના સમીકરણમાં $t = 2 \text{ s}$ મૂકતા:
$y = 10(2) + (2)^2 = 20 + 4 = 24 \text{ m}$.

(A) વ્યવહારમાં,એક સાદું લોલક એક ભારે પરંતુ નાના કદના ધાતુના ગોળાનું બનેલું હોય છે જે હલકી,અસ્થિતિસ્થાપક અને લવચીક દોરી વડે લટકાવેલું હોય છે.
તે સરળ આવર્ત ગતિ ત્યારે જ કરે છે જો:
$(I)$ ગોળાનું કદ લોલકની દોરીની લંબાઈની સરખામણીમાં અવગણ્ય હોય,જે આપણને ગોળાને બિંદુવત દળ તરીકે ગણવાની મંજૂરી આપે છે.
$(II)$ કોણીય કંપવિસ્તાર (મધ્યમાન સ્થિતિ અને અંતિમ બિંદુએ દોરી વચ્ચેનો ખૂણો) નાનો હોય,સામાન્ય રીતે $10^{\circ}$ કરતા ઓછો,જેથી $\sin \theta \approx \theta$ અંદાજ સાચો ઠરે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) જ્યારે સિક્કો ફરતી ટર્નટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સિક્કા અને ટર્નટેબલની સપાટી વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સિક્કો લપસી જાય તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$m r \omega^2 = \mu m g$
જ્યાં $m$ એ સિક્કાનું દળ છે,$r$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે,$\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે,$\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
અહીં $m, \mu$ અને $g$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$r \omega^2 = \text{અચળ}$
આનો અર્થ એ છે કે $r \propto \frac{1}{\omega^2}$.
તેથી,બે અલગ-અલગ કોણીય ઝડપ માટે અંતરનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_2}{r_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
આપેલ છે કે $r_1 = 4 \ cm$ અને $\omega_2 = 2 \omega_1$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_2}{4} = \left( \frac{\omega_1}{2 \omega_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
$r_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \ cm$.

(B) કદ પ્રસરણ એટલે તાપમાનમાં વધારાને કારણે વાયુના કદમાં થતું પ્રસરણ.
$\therefore$ કદ પ્રસરણાંક $\alpha_{V}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} ... (i)$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT$ પરથી,આપણને મળે છે $V = \frac{nRT}{p}$.
અચળ દબાણ $p$ પર તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{p} = \frac{nR}{p}$
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\alpha_{V} = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{p} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{pV}{T} \cdot \frac{1}{p} \right) = \frac{1}{T}$
આમ,$\alpha_{V} = \frac{1}{T}$.
આ દર્શાવે છે કે $\alpha_{V}$ એ $\frac{1}{T}$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$\alpha_{V}$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળશે. આ વિકલ્પ $(b)$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(C) વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{n f R T}{2}$
જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આપેલ છે કે,$n_{\text{diatomic}} = n_{\text{monoatomic}} = 2$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_{\text{monoatomic}} = 3$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_{\text{diatomic}} = 5$.
દરેક માટે આંતરિક ઉર્જાની ગણતરી:
$U_{\text{monoatomic}} = \frac{2 \times 3 \times R T}{2} = 3 R T$
$U_{\text{diatomic}} = \frac{2 \times 5 \times R T}{2} = 5 R T$
તેથી,વાયુઓના મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા:
$U_{\text{total}} = U_{\text{monoatomic}} + U_{\text{diatomic}} = 3 R T + 5 R T = 8 R T$.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$
જ્યાં $T_{L}$ એ ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે અને $T_{H}$ એ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન છે.
નિશ્ચિત ઠંડા રિઝર્વોયર તાપમાન $T_{L}$ માટે,જેમ ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન $T_{H}$ વધે છે,તેમ ગુણોત્તર $\frac{T_{L}}{T_{H}}$ ઘટે છે.
પરિણામે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}$ એ $T_{H}$ વધવાની સાથે વધે છે.
જ્યારે $T_{H} = T_{L}$ હોય,ત્યારે કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{L}}{T_{L}} = 0$ થાય છે.
જેમ $T_{H} \to \infty$ થાય,તેમ કાર્યક્ષમતા $\eta \to 1$ થાય છે.
$\eta$ વિરુદ્ધ $T_{H}$ નો આલેખ $T_{H} = T_{L}$ પર $0$ થી શરૂ થાય છે અને $1$ ના મૂલ્ય તરફ ઘટતા ઢાળ સાથે વધે છે.
આ વર્તણૂક વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) સમય $t$ ના વિધેય તરીકે વીજભાર $q$ એ $q = q_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_0$ એ મહત્તમ વીજભાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,પ્રવાહ $I = \frac{dq}{dt} = \omega q_0 \cos(\omega t)$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રવાહ $I = \omega q_0 \cos(0) = \omega q_0$ થાય છે.
$t = 0$ સમયે $I = 2 \ A$ આપેલ હોવાથી,$2 = \omega q_0$ મળે.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ હોવાથી,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $q_0 = I \sqrt{LC}$.
$L = 3 \times 10^{-3} \ H$ અને $C = 2.7 \times 10^{-6} \ F$ આપેલ છે,તેથી:
$q_0 = 2 \times \sqrt{3 \times 10^{-3} \times 2.7 \times 10^{-6}}$
$q_0 = 2 \times \sqrt{8.1 \times 10^{-9}} = 2 \times \sqrt{81 \times 10^{-10}}$
$q_0 = 2 \times 9 \times 10^{-5} = 18 \times 10^{-5} \ C$.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $|e| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ છે.
આપેલ છે કે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 6 \text{ mH} = 6 \times 10^{-3} \text{ H}$.
આલેખ પરથી,$t_1 = 20 \text{ s}$ સમયે,પ્રવાહ $I_1 = 4 \text{ A}$ છે,અને $t_2 = 40 \text{ s}$ સમયે,પ્રવાહ $I_2 = 3 \text{ A}$ છે.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફારનો દર $\left| \frac{dI}{dt} \right| = \left| \frac{I_2 - I_1}{t_2 - t_1} \right| = \left| \frac{3 - 4}{40 - 20} \right| = \left| \frac{-1}{20} \right| = 0.05 \text{ A/s}$ છે.
તેથી,પ્રેરિત emf $|e| = (6 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (0.05 \text{ A/s}) = 0.3 \times 10^{-3} \text{ V} = 3 \times 10^{-4} \text{ V}$ થાય.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_{n} = -13.6 \text{ eV} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$
આનો અર્થ એ છે કે $E_{n} \propto \frac{Z^{2}}{n^{2}}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે. તેથી,બીજી કક્ષા $(n = 2)$ માટે:
$E_{2} = k \times \frac{1^{2}}{2^{2}} = \frac{k}{4}$,જ્યાં $k = -13.6 \text{ eV}$.
$He^{+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. ત્રીજી કક્ષા $(n = 3)$ માટે:
$E_{3} = k \times \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4k}{9}$.
હવે,$E_{3}$ અને $E_{2}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_{3}}{E_{2}} = \frac{4k/9}{k/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E_{3} = \frac{16}{9} E_{2}$.

(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ, કોણીય વેગમાન $L = \frac{n h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, તેથી $n = 3$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન પરથી, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, તેથી $mv = \frac{3h}{2\pi r}$.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$.
હાઈડ્રોજન જેવા આયન માટે $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે, $Z = 3$ અને $n = 3$, તેથી $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$.
$r$ ની કિંમત $\lambda$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $p \pi a_{0}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $R$ અને $r$ એ અનુક્રમે મોટા ટીપાં અને દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
મોટા ટીપાંનું કદ $= 8 \times$ નાના ટીપાંનું કદ.
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
$R^{3} = 8r^{3} \Rightarrow R = 2r$ ... $(i)$
ગોળાકાર વાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \varepsilon_{0} r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી $C \propto r$ થાય.
તેથી, મોટા ટીપાંના કેપેસીટન્સ અને નાના ટીપાંના કેપેસીટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C_{\text{bigger}}}{C_{\text{smaller}}} = \frac{R}{r} = \frac{2r}{r} = 2$.
આમ, મોટા ટીપાંનું કેપેસીટન્સ દરેક નાના ટીપાં કરતા $2$ ગણું છે.

(B) ધારો કે $t$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબની જાડાઈ છે અને $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈનો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમાન કેપેસીટન્સ જાળવી રાખવા માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $x = t(1 - 1/K)$ જેટલું વધે છે.
આપેલ છે કે,$x = 3.5 \times 10^{-3} \ m$ અને $t = 4 \times 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3.5 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-3} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$
બંને બાજુ $4 \times 10^{-3}$ વડે ભાગતા:
$\frac{3.5}{4} = 1 - \frac{1}{K}$
$0.875 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.875 = 0.125$
$K = \frac{1}{0.125} = 8$.
આમ,પદાર્થનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $8$ છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C V^{2} \dots (i)$
જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ઢાળ (Slope):
$\text{Slope} = \tan \theta = \frac{Q}{V} = \frac{120 \mu C}{10 \text{ V}} = 12 \mu F \dots (ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે કેપેસિટન્સ $C = \frac{Q}{V}$ છે,તેથી:
$C = 12 \mu F = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$
હવે,$C = 12 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને $V = 10 \text{ V}$ ની કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^{2}$
$U = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 6 \times 10^{-4} \text{ J} = 600 \times 10^{-6} \text{ J} = 600 \mu J$
આમ,કેપેસિટન્સ $12 \mu F$ છે અને સંગ્રહિત ઉર્જા $600 \mu J$ છે.

(D) $500 V$ સહન કરી શકે તેવા કેપેસીટર્સનો ઉપયોગ કરીને $1.5 kV$ $(1500 V)$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સહન કરવા માટે,દરેક શ્રેણી હારમાં કેપેસીટર્સની સંખ્યા $(m)$:
$m = \frac{1500 V}{500 V} = 3$
આવા $3$ કેપેસીટર્સ (દરેક $2 \mu F$) ની એક હારનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ:
$C_{row} = \frac{2 \mu F}{3}$
જો આપણે $6 \mu F$ નું કુલ કેપેસીટન્સ મેળવવા માટે આવી $n$ હારને સમાંતર જોડીએ,તો:
$C_{eff} = n \times C_{row} = n \times \frac{2}{3} \mu F = 6 \mu F$
$n = \frac{6 \times 3}{2} = 9$
જરૂરી કેપેસીટર્સની કુલ સંખ્યા $N = m \times n = 3 \times 9 = 27$ છે.

(B) આપેલ છે, $X_{L} = 4 \, \Omega$ અને $X_{C} = 4 \, \Omega$.
શ્રેણી $LC$ સર્કિટમાં, ઇન્ડક્ટર $(V_{L})$ અને કેપેસિટર $(V_{C})$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $180^{\circ}$ ફેઝ તફાવત ધરાવે છે.
તેથી, ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{\text{net}} = |V_{L} - V_{C}|$ છે.
કારણ કે $X_{L} = X_{C}$, વોલ્ટેજના મૂલ્યો સમાન છે, એટલે કે $V_{L} = I X_{L}$ અને $V_{C} = I X_{C}$.
આમ, $V_{\text{net}} = I(X_{L} - X_{C}) = I(4 - 4) = 0 \, V$.
વોલ્ટમીટર આ શ્રેણી $LC$ જોડાણ સાથે જોડાયેલ છે, તેથી તેનું રીડિંગ $0 \, V$ છે.
સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $Z = \sqrt{45^{2} + (4 - 4)^{2}} = \sqrt{45^{2}} = 45 \, \Omega$.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{90 \, V}{45 \, \Omega} = 2 \, A$ છે.
તેથી, વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0 \, V$ અને એમીટરનું રીડિંગ $2 \, A$ છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1 \,m$,ક્ષેત્રફળ $A = 5 \times 10^{-7} \,m^{2}$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 \,A$,ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ નું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{neA}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{d} = \frac{1}{8 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-7}} = \frac{1}{64 \times 10^{2}} = \frac{1}{6.4 \times 10^{3}} \,m/s$.
તારની લંબાઈ $l$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{l}{v_{d}}$ છે.
$T = \frac{1}{1 / (6.4 \times 10^{3})} = 6.4 \times 10^{3} \,s$.

(D) જ્યારે વિદ્યુતભાર $\Delta q$ એ $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \Delta q \cdot V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$,તેથી $\Delta q = I \Delta t$ થાય. આમ,સ્થિતિઊર્જા $I V \Delta t$ જેટલી ઘટે છે.
સ્થાયી પ્રવાહમાં,વિદ્યુતભાર વાહકોનો ડ્રિફ્ટ વેગ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતભારની ગતિઊર્જામાં નોંધપાત્ર વધારો થતો નથી. તેના બદલે,ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા વાહકના આયનો સાથેની અથડામણને કારણે ઉષ્મા સ્વરૂપે મુક્ત થાય છે.
તેથી,વાહકની ઉષ્મીય ઊર્જા $I V \Delta t$ જેટલી વધે છે.
આમ,વિધાનો $II$ અને $III$ સાચા છે.

(A) મીટર બ્રિજમાં,શૂન્ય વિચલન માટેની શરત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AD}}{R_{DB}}$.
અહીં,$R_{AD}$ એ તારના ભાગ $AD$ નો અવરોધ છે અને $R_{DB}$ એ તારના ભાગ $DB$ નો અવરોધ છે.
ધારો કે $l$ એ તાર $AD$ ની લંબાઈ છે,તો $DB$ ની લંબાઈ $(100 - l)$ થશે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આને સંતુલન સ્થિતિમાં મૂકતા: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho l / A}{\rho (100 - l) / A} = \frac{l}{100 - l}$.
આમ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અંશ અને છેદમાંથી દૂર થાય છે,તેથી સંતુલન લંબાઈ $l$ (જે $X$ છે) તે તારની ત્રિજ્યા (અને તેથી આડછેદના ક્ષેત્રફળ) થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો તાર $AB$ ની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો સંતુલન લંબાઈ $X$ જ રહેશે.

(D) આપેલ છે,પ્રારંભિક અવરોધ,$R_{1} = 3 \Omega$.
ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે તારને તેની લંબાઈ કરતા બમણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l^{\prime} = 2l$ થાય છે.
ખેંચવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \times l = A^{\prime} \times l^{\prime}$.
તેથી,$A^{\prime} = \frac{A \times l}{l^{\prime}} = \frac{A \times l}{2l} = \frac{A}{2}$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવો અવરોધ $R_{2} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = 4 R_{1}$.
$R_{1}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{2} = 4 \times 3 \Omega = 12 \Omega$ મળે છે.

(D) પ્રોટોન માટે,બિન-સાપેક્ષ ગતિઊર્જા $E_k = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{1}{8}mc^2$ લેતા,
$p_1^2 = \frac{1}{4}m^2c^2$,તેથી $p_1 = \frac{mc}{2}$ મળે છે.
ફોટોન માટે,ઊર્જા $E = p_2c = E_k = \frac{1}{8}mc^2$,તેથી $p_2 = \frac{mc}{8}$ મળે છે.
હવે ગુણોત્તર $\frac{p_1 - p_2}{p_1} = \frac{mc/2 - mc/8}{mc/2} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$ થાય છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી પૂર્વધારણા મુજબ,સ્થિર કક્ષાનો પરિઘ એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$n \lambda = 2 \pi r_n$
વળી,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$m v_n r_n = \frac{n h}{2 \pi}$
બોહર મોડેલ મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{e^2}{2 n h \varepsilon_0}$ છે.
આ કિંમતને કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$m \left( \frac{e^2}{2 n h \varepsilon_0} \right) r_n = \frac{n h}{2 \pi}$
$r_n = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}$
આપેલ આકૃતિમાં,સ્થિત તરંગોના લૂપ્સ (અથવા તરંગલંબાઇ) ની સંખ્યા ગણતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.
તેથી,ત્રિજ્યા:
$r_n = \frac{6^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2} = \frac{36 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}$

(D) આપેલ છે: કાર્ય-વિધેય, $\phi_{0} = 1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$.
તરંગલંબાઈ, $\lambda = 3000 \text{Å} = 3000 \times 10^{-10} m$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3000 \times 10^{-10}} = 6.63 \times 10^{-19} J$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = \phi_{0} + KE_{max}$.
$KE_{max} = E - \phi_{0} = 6.63 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 5.03 \times 10^{-19} J$.
કારણ કે $KE_{max} = \frac{1}{2}mv^{2}$, તેથી $v = \sqrt{\frac{2 \times KE_{max}}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2 \times 5.03 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{1.105 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^{6} m/s$.
આમ, વેગ આશરે $1 \times 10^{6} m/s$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $\phi_0 = h\nu_0$,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે,આપણે લખી શકીએ:
$K_{max} = h\nu - h\nu_0 = h(\nu - \nu_0)$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ સ્વરૂપની એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $h$ છે અને આવૃત્તિ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $\nu_0$ છે.
$\nu < \nu_0$ આવૃત્તિઓ માટે,ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી. $\nu \geq \nu_0$ માટે,ગતિઊર્જા આવૃત્તિ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $D$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ અને અન્યોન્ય-પ્રેરકત્વ $(M)$ બંનેનો એકમ સમાન હોય છે.
બંનેને એકમ પ્રવાહ $(I)$ દીઠ ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$M = L = \frac{\phi}{I}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ નો એકમ વેબર $(\text{wb})$ છે અને પ્રવાહ $(I)$ નો એકમ એમ્પીયર $(\text{A})$ છે.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ અને અન્યોન્ય-પ્રેરકત્વ બંનેનો એકમ $\text{wb A}^{-1}$ (જેને હેનરી $(\text{H})$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) થાય છે.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ છે: $E_{0}=120 \text{ NC}^{-1}$,$f=50 \text{ MHz} = 50 \times 10^{6} \text{ Hz}$.
$(a)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર: $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{120}{3 \times 10^{8}} = 40 \times 10^{-8} \text{ T} = 400 \text{ nT}$. (સાચું)
$(b)$ કોણીય આવૃત્તિ: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \times 10^{6} = \pi \times 10^{8} \text{ rad/s}$. (સાચું)
$(c)$ પ્રસરણ અચળાંક: $k = \frac{\omega}{c} = \frac{\pi \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \text{ rad/m}$. આપેલ મૂલ્ય $2.1 \text{ rad/m}$ ખોટું છે.
$(d)$ તરંગલંબાઇ: $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}} = 6 \text{ m}$. (સાચું)

(B) વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો અનુસાર,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રવેગિત વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
અચળ વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે,જે અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે,પરંતુ તે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતું નથી.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે,જે પ્રવેગિત ગતિનું એક સ્વરૂપ છે.
તેથી,વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.

(B) અનંત લંબાઈના,સીધા,સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત તારથી $r$ જેટલા લંબ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$,ગૌસના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
અહીં,$\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે,$\varepsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\pi$ એ અચળાંક છે.
જેহেতু $\lambda$,$\pi$ અને $\varepsilon_{0}$ અચળ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર અને અંતર વચ્ચેનો સંબંધ:
$E \propto \frac{1}{r}$
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.

(C) ધ્રુવીય અણુઓ એવા અણુઓ છે જેમાં બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ન હોય ત્યારે પણ ધન અને ઋણ વીજભારના કેન્દ્રો અલગ હોય છે.
આવા અણુઓ કાયમી ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$HCl$,$H_{2}O$ વગેરે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે કારણ કે ધ્રુવીય અણુઓ કાયમી ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિમાં,$m$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર પરિભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે લાગતું ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ $F_{c} = m \omega^{2} x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયો ફરે છે,ત્યારે સળિયામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન પણ ફરે છે અને આ કેન્દ્રગામી બળ અનુભવે છે.
આ કેન્દ્રગામી બળ ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતા પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જેથી $F_{e} = e E$ થાય.
બંને બળોને સરખાવતા,આપણને $e E = m \omega^{2} x$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{m \omega^{2} x}{e}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 300 \ NC^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE)_1 = 0$ ($x = 0$ આગળ).
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE)_2 = 0.12 \ J$ ($x = 0.5 \ m$ આગળ).
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુત બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \cdot d = (QE) \cdot d$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta KE = KE_2 - KE_1 = 0.12 \ J - 0 \ J = 0.12 \ J$.
બંનેને સરખાવતા: $Q \times 300 \times 0.5 = 0.12$.
$Q \times 150 = 0.12$.
$Q = \frac{0.12}{150} = 0.0008 \ C$.
$Q = 800 \times 10^{-6} \ C = 800 \ \mu C$.
પદાર્થ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરીને ગતિઊર્જા મેળવે છે,તેથી વિદ્યુતભાર $Q$ ધન હોવો જોઈએ.

(A) $\text{આપેલ છે}$:
$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
$I_1 = I_2 = 10 \,A$
$\text{બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે}$:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
$\text{કિંમતો મૂકતા}$:
$\frac{F}{l} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 10}{2 \pi \times 0.1} = 2 \times 10^{-4} \,N/m$
$\text{અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેતો હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે}$.

(C) ટોરોઇડને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:
$(i)$ $r < R_{1}$ માટે (ટોરોઇડની અંદરની ખાલી જગ્યામાં),ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી $B = 0$.
(ii) $R_{1} < r < R_{2}$ માટે (ટોરોઇડના કોરની અંદર),ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
(iii) $r > R_{2}$ માટે (ટોરોઇડની બહાર),એમ્પીરીયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી $B = 0$.
પ્રશ્નમાં ટોરોઇડના કોરની અંદર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ફેરફાર પૂછવામાં આવ્યો છે,અને આપેલા વિકલ્પો આડછેદ પરનું વર્તન દર્શાવે છે,તેથી ટોરોઇડની અંદરના ક્ષેત્ર માટે સાચી રજૂઆત $1/r$ ના પ્રમાણમાં વક્ર છે,જે આલેખ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે અને તે તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે,જે $B = \mu_{0} n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણને અક્ષને લંબ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે લોરેન્ટ્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે. $v \perp B$ હોવાથી,બળ $F = qvB$ થાય છે,જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કણ $R_{c} = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
કણ સોલેનોઈડની દીવાલ સાથે અથડાય નહીં તે માટે,તેના વર્તુળાકાર માર્ગનો વ્યાસ સોલેનોઈડની ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આમ,$2R_{c} \leq r$,જેનો અર્થ છે કે $R_{c} \leq \frac{r}{2}$.
$R_{c} = \frac{mv}{qB}$ મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB} \leq \frac{r}{2}$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v \leq \frac{qBr}{2m}$ મળે છે.
$B = \mu_{0} n I$ મૂકતા,મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = \frac{\mu_{0} n I q r}{2m}$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર હોવાથી,તેનો વેગ $v = 0$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $F = q(0 \times B) = 0$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,તે સ્થિર રહેશે.

(B) ચુંબકીય ધ્રુવો પર,ડીપ એંગલ (નમન કોણ),$\delta = 90^{\circ}$ હોય છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_{H})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_{H} = B \cos \delta$
જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ધ્રુવો પર $\delta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{H} = B \cos 90^{\circ}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ છે,તેથી:
$B_{H} = 0$
આમ,ચુંબકીય ધ્રુવો પર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય હોય છે.

(D) વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ અનુક્રમે અલગ ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. જો કે,પ્રકૃતિમાં ચુંબકીય મોનોપોલ્સ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી,તેથી આ પેટર્ન ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ માટે માન્ય નથી.
વિકલ્પ $(C)$ પ્રવાહ ધારિત વાહકની આસપાસ વર્તુળાકાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ લૂપ બનાવી શકતી નથી,તેથી આ વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે માન્ય નથી.
વિકલ્પ $(D)$ ડાયપોલની ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. આ પેટર્ન વિદ્યુત ડાયપોલ (ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ) અને ચુંબકીય ડાયપોલ (ચુંબકની બહાર ઉત્તરથી દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ અને અંદર દક્ષિણથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ સતત લૂપ બનાવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ) બંને માટે માન્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને માટે માન્ય છે.

(D) ન્યુક્લિયોન્સની જોડીની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ અને તેમના અંતર $r$ વચ્ચેનો આલેખ એક ઊંડા પોટેન્શિયલ વેલ (સ્થિતિ ઊર્જાના ખાડા) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે અંતર $r < r_{0}$ હોય (જ્યાં $r_{0} \approx 0.8 \ \text{fm}$), ત્યારે ન્યુક્લિયર બળ ખૂબ જ અપાકર્ષી હોય છે, જેના કારણે સ્થિતિ ઊર્જા ઝડપથી વધે છે.
જ્યારે અંતર $r > r_{0}$ હોય, ત્યારે ન્યુક્લિયર બળ આકર્ષી હોય છે, અને જેમ $r$ વધે છે તેમ સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય તરફ વધે છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા સંતુલન અંતર $r_{0}$ પર જોવા મળે છે, જ્યાં ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચેનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે.
આલેખ $D$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે, જેમાં $U$ એ $\text{MeV}$ માં અને $r$ એ $\text{fm}$ માં છે.

(B) પરમાણુ રિએક્ટરમાં વપરાતા મોડરેટરમાં હળવા ન્યુક્લિયસ (જેમ કે પ્રોટોન અથવા ડ્યુટેરોન) હોવા જોઈએ.
જ્યારે ન્યુટ્રોન હળવા ન્યુક્લિયસ સાથે સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે,ત્યારે તેઓ તેમની ગતિ ઊર્જાનો મોટો ભાગ ન્યુક્લિયસને સ્થાનાંતરિત કરે છે,જે ન્યુટ્રોનને અસરકારક રીતે ધીમા પાડે છે.
તેનાથી વિપરીત,જો ન્યુટ્રોન ભારે ન્યુક્લિયસ સાથે અથડાય,તો ભારે ન્યુક્લિયસનું દળ ન્યુટ્રોન કરતા ઘણું વધારે હોય છે.
વેગમાન અને ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમો અનુસાર,ખૂબ જ ભારે પદાર્થ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,આપાત કણ (ન્યુટ્રોન) નો વેગ લગભગ બદલાતો નથી.
તેથી,ભારે ન્યુક્લિયસ ન્યુટ્રોનને અસરકારક રીતે ધીમા કરી શકતા નથી અને મોડરેટર તરીકે યોગ્ય નથી.

(C) $LC$-દોલનો માટે,વિકલ સમીકરણ $L \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} \frac{dq}{dt} = 0$ મળે છે. કારણ કે $i = \frac{dq}{dt}$,આ સમીકરણ $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} i = 0$ ... $(i)$ બને છે.
યાંત્રિક સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમ માટે,ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ ... $(ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે દળ $m$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને અનુરૂપ છે,અને બળ અચળાંક $k$ એ કેપેસિટન્સના વ્યસ્તને અનુરૂપ છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{C}$.

(D) કાર્તેઝિયન સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ:
પ્રથમ બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $= f_{1}$
બીજા બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $= f_{2}$
ત્રીજા અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $= -f_{3}$
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,કુલ પાવર $P = P_{A} + P_{B} = \frac{1}{f_{A}} + \frac{1}{f_{B}}$.
પ્રથમ અને બીજા લેન્સ માટે: $P_{1} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2}} = \frac{f_{1} + f_{2}}{f_{1} f_{2}}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા લેન્સ માટે: $P_{2} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{1}}{f_{1} f_{3}}$.
બીજા અને ત્રીજા લેન્સ માટે: $P_{3} = \frac{1}{f_{2}} + \frac{1}{-f_{3}} = \frac{1}{f_{2}} - \frac{1}{f_{3}} = \frac{f_{3} - f_{2}}{f_{2} f_{3}}$.

(D) આપેલ છે,હવા સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક,${ }_{a} \mu_{g} = \frac{3}{2}$.
હવા સાપેક્ષ પાણીનો વક્રીભવનાંક,${ }_{a} \mu_{w} = \frac{4}{3}$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
હવામાં લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_a} = ({ }_{a} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
પાણીમાં લેન્સ માટે: $\frac{1}{f_w} = ({ }_{w} \mu_{g} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં ${ }_{w} \mu_{g} = \frac{{ }_{a} \mu_{g}}{{ }_{a} \mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$.
ગુણોત્તર $\frac{f_w}{f_a}$ લેતા:
$\frac{f_w}{f_a} = \frac{{ }_{a} \mu_{g} - 1}{{ }_{w} \mu_{g} - 1} = \frac{3/2 - 1}{9/8 - 1} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) આપેલ છે: બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{1} = 30 \,cm$, અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_{2} = -20 \,cm$, અને પ્રારંભિક પ્રતિબિંબનું કદ $h_{o} = 2 \,cm$.
વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી, બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મળે છે, એટલે કે $v_{1} = 30 \,cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સને બહિર્ગોળ લેન્સથી $26 \,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તેથી, બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
અંતર્ગોળ લેન્સથી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $u_{2} = v_{1} - 26 = 30 - 26 = 4 \,cm$ થશે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{-20}$.
$\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5-1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
તેથી, $v_{2} = 5 \,cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા મળતી મોટવણી $m = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{5}{4} = 1.25$.
પ્રતિબિંબનું નવું કદ $h_{i} = m \times h_{o} = 1.25 \times 2 \,cm = 2.5 \,cm$.

(B) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે પ્રકાશનું વાંકું વળવું એ પ્રકાશની ઝડપમાં થતા ફેરફારને કારણે હોય છે.
વક્રીભવન ત્યારે થાય છે કારણ કે બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પ્રથમ માધ્યમ કરતા અલગ હોય છે.
વક્રીભવનાંક $( \mu )$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $( c )$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $( v )$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $ \mu = c/v $.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે,પરંતુ તેની ઝડપ બદલાય છે,જેના કારણે પ્રકાશનું કિરણ તેના મૂળ માર્ગથી વિચલિત થાય છે (વાંકું વળે છે).
તેથી,પ્રકાશના વાંકા વળવાનું સાચું કારણ એ છે કે બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ અલગ હોય છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે. $LED$ (લાઈટ એમિટિંગ ડાયોડ) એ ભારે ડોપિંગ કરેલ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે,હળવું ડોપિંગ કરેલ નથી. જ્યારે તે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,ત્યારે ઈલેક્ટ્રોન અને હોલ્સના પુનઃસંયોજનથી ફોટોન્સ (પ્રકાશ) સ્વરૂપે ઉર્જા મુક્ત થાય છે. વિકલ્પો $A$,$B$ અને $C$ સેમિકન્ડક્ટર ડાયોડના સંદર્ભમાં સાચા વિધાનો છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં બે $NAND$ ગેટ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જ્યાં બીજો $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેના ઇનપુટ્સ એકબીજા સાથે ટૂંકા (short) કરેલા છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ બીજા $NAND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. બીજા $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ એક જ સિગ્નલ સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{A \cdot B})}$
બુલિયન બીજગણિતના ગુણધર્મ $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$
આમ,આ પરિપથ $AND$ ગેટની ક્રિયા કરે છે.

(C) તરંગલંબાઇ $\lambda$ ને અનુરૂપ ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240}{\lambda (nm)} eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 600 nm$ માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{1240}{600} \approx 2.07 eV$ છે.
ફોટોડાયોડ પ્રકાશને ત્યારે જ શોધી શકે છે જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા સેમિકન્ડક્ટર મટિરિયલના બેન્ડ ગેપ $(E_{g})$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય $(E \ge E_{g})$.
ફોટોન ઉર્જા $(2.07 eV)$ ની બેન્ડ ગેપ સાથે સરખામણી કરતા:
$D_{1}$ માટે: $E_{g} = 2.5 eV$. $2.07 eV < 2.5 eV$ હોવાથી,$D_{1}$ આ પ્રકાશને શોધી શકશે નહીં.
$D_{2}$ માટે: $E_{g} = 2 eV$. $2.07 eV > 2 eV$ હોવાથી,$D_{2}$ આ પ્રકાશને શોધી શકશે.
$D_{3}$ માટે: $E_{g} = 3 eV$. $2.07 eV < 3 eV$ હોવાથી,$D_{3}$ આ પ્રકાશને શોધી શકશે નહીં.
તેથી,માત્ર $D_{2}$ જ $600 nm$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા પ્રકાશને શોધી શકશે.

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6500 Å = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
એક સ્લિટના વિવર્તન ભાત માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $a \sin 30^{\circ} = 1 \times (6500 \times 10^{-10} \text{ m})$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $a \times 0.5 = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$a = 2 \times 6500 \times 10^{-10} \text{ m} = 13000 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$a = 1.3 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.3 \text{ micron}$.

(D) એકલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w = 2\lambda D/a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda D/a$ હોય છે.
આમ,મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ ગૌણ અધિકતમ કરતા બમણી હોય છે (વિધાન $I$ સાચું છે).
જેમ આપણે મધ્યસ્થ અધિકતમથી દૂર જઈએ છીએ તેમ ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે (વિધાન $II$ સાચું છે).
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (વિધાન $III$ ખોટું છે).
મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા ગૌણ અધિકતમ કરતા ઘણી વધારે હોય છે (વિધાન $IV$ ખોટું છે).
તેથી,વિધાનો $I$ અને $II$ સાચા છે.

(B) બે સ્લિટમાંથી બિંદુ $P$ પર પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = \frac{xd}{D}$ છે.
તેને અનુરૂપ કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{xd}{D}\right)$ થશે.
સમાન તીવ્રતા $I_0$ ધરાવતા બે સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતો માટે બિંદુ $P$ પર પરિણામી તીવ્રતા $I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi xd}{\lambda D}\right)$
$I_P = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi dx}{\lambda D}\right)$.