यदि f(x) = sin^{-1}left[frac{2^{x+1}}{1+4^x}r | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}ight]$.मान लीजिए $2^x = 	an 	heta$,तो $	heta = 	an^{-1}(2^x)$.इसे फलन में

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$\log 2$

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(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}ight]$.मान लीजिए $2^x = 	an 	heta$,तो $	heta = 	an^{-1}(2^x)$.इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 	an 	heta}{1 + 	an^2 	heta}ight]$सर्वसमिका $\sin 2	heta = \frac{2 	an 	heta}{1 + 	an^2 	heta}$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \sin^{-1}(\sin 2	heta) = 2	heta = 2 	an^{-1}(2^x)$.अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x)$$f'(x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log_e 2$.$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:$f'(0) = \frac{2}{1 + 4^0} \cdot 2^0 \log_e 2 = \frac{2}{1 + 1} \cdot 1 \cdot \log_e 2 = \frac{2}{2} \log_e 2 = \log_e 2$.

यदि $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2^{x+1}}{1+4^x}\right]$ है,तो $f'(0) = $

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$\frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{1+6x^2} \right) \right) = $ . . . . . .

यदि $y = \tan^{-1} \left( \frac{3\cos x - 4\sin x}{4\cos x + 3\sin x} \right) + 2\tan^{-1} \left( \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right)$ है,तो $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है। यदि $px+my+n=0$ वक्र $y=f(x)$ पर $x=\alpha$ पर खींची गई एक स्पर्श रेखा है,तो $x=0$ पर $\frac{d}{d x}\left(f\left(\alpha e^{2 x}\right)\right)=$

यदि $0 < |x| < 1$ के लिए $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}} \right]$ है,तो $f'(x) =$

यदि $y = \frac{a^{\cos^{-1}x}}{1 + a^{\cos^{-1}x}}$ और $z = a^{\cos^{-1}x}$ है,तो $\frac{dy}{dz} = $

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