बिंदु P(1, 2, 1) की रेखा frac{x-1}{2} = frac{ | vedclass

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Question

(A) माना दी गई रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $A = (2\lambda + 1, \lambda + 2, 2\lambda + 3)$ है

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$ \frac{2 \sqrt{5}}{3} $

Vedclass · Answer

(A) माना दी गई रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $A = (2\lambda + 1, \lambda + 2, 2\lambda + 3)$ है। सदिश $\vec{PA} = (2\lambda + 1 - 1)\hat{i} + (\lambda + 2 - 2)\hat{j} + (2\lambda + 3 - 1)\hat{k} = 2\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} + (2\lambda + 2)\hat{k}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ है। चूँकि $\vec{PA}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$। $(2\lambda)(2) + (\lambda)(1) + (2\lambda + 2)(2) = 0$। $4\lambda + \lambda + 4\lambda + 4 = 0 \implies 9\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{9}$। $\lambda = -\frac{4}{9}$ को $A$ में रखने पर,$A = (2(-\frac{4}{9}) + 1, -\frac{4}{9} + 2, 2(-\frac{4}{9}) + 3) = (\frac{1}{9}, \frac{14}{9}, \frac{19}{9})$। दूरी $PA = \sqrt{(\frac{1}{9} - 1)^2 + (\frac{14}{9} - 2)^2 + (\frac{19}{9} - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{8}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + (\frac{10}{9})^2}$। $PA = \sqrt{\frac{64 + 16 + 100}{81}} = \sqrt{\frac{180}{81}} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$।

बिंदु $P(1, 2, 1)$ की रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2}$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

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